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1. 下列实数是无理数的是(
A.$\frac{π}{2}$
B.$(π - 1)^0$
C.2
D.3.14
A
)A.$\frac{π}{2}$
B.$(π - 1)^0$
C.2
D.3.14
答案
A
解析
【分析】
解题的核心是明确无理数和有理数的定义：有理数是整数和分数的统称，有限小数、无限循环小数都属于有理数；无理数是无限不循环小数，常见类型有含π的最简形式、开方开不尽的数、无限不循环小数。解题时只需逐个分析每个选项对应的数的类型，筛选出属于无理数的选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. π是无限不循环小数，属于无理数，因此$\frac{π}{2}$仍然是无限不循环小数，属于无理数；
B. 根据零指数幂的运算规则：非零数的0次幂等于1，可得$(π-1)^0=1$，1是整数，属于有理数；
C. 2是正整数，属于有理数；
D. 3.14是有限小数，属于有理数。
综上，只有A选项的数是无理数。
【答案】
A
【知识点】
无理数的识别；零指数幂运算；有理数的概念
【点评】
本题是实数分类的基础题，重点考查对有理数、无理数概念的理解，以及零指数幂的运算规则，解题时要注意区分π和3.14，避免将含π的数误判为有理数。
【难度系数】
0.9
解题的核心是明确无理数和有理数的定义：有理数是整数和分数的统称，有限小数、无限循环小数都属于有理数；无理数是无限不循环小数，常见类型有含π的最简形式、开方开不尽的数、无限不循环小数。解题时只需逐个分析每个选项对应的数的类型，筛选出属于无理数的选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. π是无限不循环小数，属于无理数，因此$\frac{π}{2}$仍然是无限不循环小数，属于无理数；
B. 根据零指数幂的运算规则：非零数的0次幂等于1，可得$(π-1)^0=1$，1是整数，属于有理数；
C. 2是正整数，属于有理数；
D. 3.14是有限小数，属于有理数。
综上，只有A选项的数是无理数。
【答案】
A
【知识点】
无理数的识别；零指数幂运算；有理数的概念
【点评】
本题是实数分类的基础题，重点考查对有理数、无理数概念的理解，以及零指数幂的运算规则，解题时要注意区分π和3.14，避免将含π的数误判为有理数。
【难度系数】
0.9
2. 在0，π，0.010 110 111 0…（相邻两个0之间1的个数逐次加1），3.14，$\frac{24}{11}$中，无理数有（
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
C
）A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
答案
C
解析
【分析】
解题时首先回忆无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数，有理数包括整数和分数，有限小数和无限循环小数都属于有理数。接下来我们逐个判断给出的5个数是否属于无理数，最后统计无理数的个数匹配选项即可。
【解析】
根据无理数、有理数的定义逐个判断：
1. 0是整数，属于有理数；
2. π是无限不循环小数，属于无理数；
3. 0.010 110 111 0…（相邻两个0之间1的个数逐次加1）是无限不循环小数，属于无理数；
4. 3.14是有限小数，可化为分数，属于有理数；
5. $\frac{24}{11}$是分数，属于有理数。
综上，无理数共有2个，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
无理数的定义；实数的分类
【点评】
本题重点考查无理数的识别，解题的核心是明确无限不循环小数才是无理数，注意区分3.14是有限小数属于有理数，不要和π混淆，同时要记住所有的分数都属于有理数。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数，有理数包括整数和分数，有限小数和无限循环小数都属于有理数。接下来我们逐个判断给出的5个数是否属于无理数，最后统计无理数的个数匹配选项即可。
【解析】
根据无理数、有理数的定义逐个判断：
1. 0是整数，属于有理数；
2. π是无限不循环小数，属于无理数；
3. 0.010 110 111 0…（相邻两个0之间1的个数逐次加1）是无限不循环小数，属于无理数；
4. 3.14是有限小数，可化为分数，属于有理数；
5. $\frac{24}{11}$是分数，属于有理数。
综上，无理数共有2个，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
无理数的定义；实数的分类
【点评】
本题重点考查无理数的识别，解题的核心是明确无限不循环小数才是无理数，注意区分3.14是有限小数属于有理数，不要和π混淆，同时要记住所有的分数都属于有理数。
【难度系数】
0.8
3.下列实数中，比－1大的无理数是（
A.－0.5
B.0
C.π
D.－1.909 009 000 9…
C
）A.－0.5
B.0
C.π
D.－1.909 009 000 9…
答案
C
解析
【分析】
要解决这道题，需同时满足两个筛选条件：一是该数为无理数，二是该数比-1大。解题时可以先根据无理数的定义排除有理数选项，再对剩余的无理数进行大小比较，选出符合要求的选项即可。首先回忆相关概念：有理数包括整数、有限小数、无限循环小数；无理数是无限不循环小数；负数比较大小时，绝对值越大的数本身越小。
【解析】
第一步：先筛选出所有无理数选项
选项A：-0.5是有限小数，属于有理数，不符合无理数的要求，排除；
选项B：0是整数，属于有理数，不符合无理数的要求，排除；
选项C：π是无限不循环小数，属于无理数，保留；
选项D：-1.909 009 0009…是无限不循环小数，属于无理数，保留。
第二步：比较剩余无理数与-1的大小
选项C：π≈3.14，显然3.14 ＞ -1，符合要求；
选项D：-1.909 009 0009…的绝对值为1.909…＞1，负数绝对值越大数值越小，因此-1.909… ＜ -1，不符合要求，排除。
综上，符合条件的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
无理数的定义；实数的大小比较
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题时需注意同时满足题干的两个限定条件，避免因漏看“无理数”或“比-1大”的要求选错答案，重点要准确区分有理数和无理数的概念，掌握实数大小比较的方法。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，需同时满足两个筛选条件：一是该数为无理数，二是该数比-1大。解题时可以先根据无理数的定义排除有理数选项，再对剩余的无理数进行大小比较，选出符合要求的选项即可。首先回忆相关概念：有理数包括整数、有限小数、无限循环小数；无理数是无限不循环小数；负数比较大小时，绝对值越大的数本身越小。
【解析】
第一步：先筛选出所有无理数选项
选项A：-0.5是有限小数，属于有理数，不符合无理数的要求，排除；
选项B：0是整数，属于有理数，不符合无理数的要求，排除；
选项C：π是无限不循环小数，属于无理数，保留；
选项D：-1.909 009 0009…是无限不循环小数，属于无理数，保留。
第二步：比较剩余无理数与-1的大小
选项C：π≈3.14，显然3.14 ＞ -1，符合要求；
选项D：-1.909 009 0009…的绝对值为1.909…＞1，负数绝对值越大数值越小，因此-1.909… ＜ -1，不符合要求，排除。
综上，符合条件的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
无理数的定义；实数的大小比较
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题时需注意同时满足题干的两个限定条件，避免因漏看“无理数”或“比-1大”的要求选错答案，重点要准确区分有理数和无理数的概念，掌握实数大小比较的方法。
【难度系数】
0.8
4.若一个面积为3的正方形的边长为a，
则a的值在(
A.1.5和1.6之间
B.1.6和1.7之间
C.1.7和1.8之间
D.1.8和1.9之间
则a的值在(
C
)A.1.5和1.6之间
B.1.6和1.7之间
C.1.7和1.8之间
D.1.8和1.9之间
答案
C
解析
【分析】
首先根据正方形面积与边长的关系推导a的表达式：正方形面积等于边长的平方，已知面积为3，因此可得$a^2=3$，边长为正数，所以a是3的算术平方根$\sqrt{3}$。接下来要判断$\sqrt{3}$的取值范围，只需要计算选项中相邻小数的平方，对比3落在哪两个平方数之间，就能确定a的范围。
【解析】
解：由正方形面积公式可得：
$a^2=3$
∵a是正方形的边长，$a＞0$
∴$a=\sqrt{3}$
计算对应小数的平方：
$1.7^2=2.89$，$1.8^2=3.24$
∵$2.89＜3＜3.24$
∴$\sqrt{2.89}＜\sqrt{3}＜\sqrt{3.24}$
即$1.7＜a＜1.8$
因此a的值在1.7和1.8之间。
【答案】
C
【知识点】
正方形面积计算；无理数大小估算；算术平方根的意义
【点评】
本题主要考查无理数的估算方法，通过平方运算将无理数的大小比较转化为有理数的大小比较是这类题的常用解题技巧，掌握该方法就能快速解题。
【难度系数】
0.7
首先根据正方形面积与边长的关系推导a的表达式：正方形面积等于边长的平方，已知面积为3，因此可得$a^2=3$，边长为正数，所以a是3的算术平方根$\sqrt{3}$。接下来要判断$\sqrt{3}$的取值范围，只需要计算选项中相邻小数的平方，对比3落在哪两个平方数之间，就能确定a的范围。
【解析】
解：由正方形面积公式可得：
$a^2=3$
∵a是正方形的边长，$a＞0$
∴$a=\sqrt{3}$
计算对应小数的平方：
$1.7^2=2.89$，$1.8^2=3.24$
∵$2.89＜3＜3.24$
∴$\sqrt{2.89}＜\sqrt{3}＜\sqrt{3.24}$
即$1.7＜a＜1.8$
因此a的值在1.7和1.8之间。
【答案】
C
【知识点】
正方形面积计算；无理数大小估算；算术平方根的意义
【点评】
本题主要考查无理数的估算方法，通过平方运算将无理数的大小比较转化为有理数的大小比较是这类题的常用解题技巧，掌握该方法就能快速解题。
【难度系数】
0.7
5.下列说法正确的有(
①无理数包括正无理数，0和负无理数；②无理数都可以用数轴上的点来表示；③数轴上的点表示无理数；④有理数与数轴上的点是一一对应关系。
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
A
)①无理数包括正无理数，0和负无理数；②无理数都可以用数轴上的点来表示；③数轴上的点表示无理数；④有理数与数轴上的点是一一对应关系。
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
A
解析
【分析】
解题时需逐一判断每个说法的正误，先回忆两个核心概念：1. 无理数的定义和分类：无理数是无限不循环小数，分为正无理数和负无理数；2. 实数与数轴的关系：全体实数和数轴上的点是一一对应的，即每个实数都可以用数轴上的点表示，数轴上的每个点都对应一个实数，有理数和无理数统称实数。按照这两个概念逐个验证4个说法即可得到正确结论。
【解析】
我们逐个分析各说法：
①：无理数仅包括正无理数和负无理数，0是有理数，不属于无理数，故①错误；
②：无理数属于实数，所有实数都可以用数轴上的点表示，因此无理数都可以用数轴上的点来表示，故②正确；
③：数轴上的点对应全体实数，既可以表示有理数，也可以表示无理数，并非只能表示无理数，故③错误；
④：是全体实数与数轴上的点成一一对应关系，不是仅有理数，故④错误。
综上，只有1个说法正确，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
无理数的分类；实数与数轴的关系；实数的定义
【点评】
本题考查实数相关的基础概念，易错点在于容易混淆无理数的范围、记错与数轴成一一对应关系的数的类型，只要准确掌握相关基础概念就能轻松解答。
【难度系数】
0.7
解题时需逐一判断每个说法的正误，先回忆两个核心概念：1. 无理数的定义和分类：无理数是无限不循环小数，分为正无理数和负无理数；2. 实数与数轴的关系：全体实数和数轴上的点是一一对应的，即每个实数都可以用数轴上的点表示，数轴上的每个点都对应一个实数，有理数和无理数统称实数。按照这两个概念逐个验证4个说法即可得到正确结论。
【解析】
我们逐个分析各说法：
①：无理数仅包括正无理数和负无理数，0是有理数，不属于无理数，故①错误；
②：无理数属于实数，所有实数都可以用数轴上的点表示，因此无理数都可以用数轴上的点来表示，故②正确；
③：数轴上的点对应全体实数，既可以表示有理数，也可以表示无理数，并非只能表示无理数，故③错误；
④：是全体实数与数轴上的点成一一对应关系，不是仅有理数，故④错误。
综上，只有1个说法正确，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
无理数的分类；实数与数轴的关系；实数的定义
【点评】
本题考查实数相关的基础概念，易错点在于容易混淆无理数的范围、记错与数轴成一一对应关系的数的类型，只要准确掌握相关基础概念就能轻松解答。
【难度系数】
0.7
6. 把下列各数的序号填入相应的集合内。
①$-\frac{1}{3}$；②$+8$；③$20\%$；④$-|+5.1|$；
⑤0.131 331 333 1…（相邻两个1之间3的个数逐次加1）；⑥0；⑦$\frac{π}{2}$；
⑧$-(-1.8)$；⑨$-3$。
整数集合：$\{ \dots \}$；
负分数集合：$\{ \dots \}$；
无理数集合：$\{ \dots \}$。
①$-\frac{1}{3}$；②$+8$；③$20\%$；④$-|+5.1|$；
⑤0.131 331 333 1…（相邻两个1之间3的个数逐次加1）；⑥0；⑦$\frac{π}{2}$；
⑧$-(-1.8)$；⑨$-3$。
整数集合：$\{ \dots \}$；
负分数集合：$\{ \dots \}$；
无理数集合：$\{ \dots \}$。
答案
整数集合：{②⑥⑨ …}；
负分数集合：{①④ …}；
无理数集合：{⑤⑦ …}。
负分数集合：{①④ …}；
无理数集合：{⑤⑦ …}。
解析
【分析】
解题前首先要先对题目中带有绝对值、多重符号的数进行化简，再明确三类集合的定义：整数包含正整数、0、负整数；负分数是小于0的分数（包含可化为分数形式的负有限小数、负无限循环小数）；无理数是无限不循环小数。之后逐个判断每个数所属的类别，再对应填入集合即可。
【解析】
第一步：先化简特殊形式的数：
④$-|+5.1|=-5.1$，⑧$-(-1.8)=1.8$
第二步：按定义逐个判断各数所属集合：
1. 整数：正整数$+8$、0、负整数$-3$都属于整数，对应序号为②⑥⑨；
2. 负分数：$-\frac{1}{3}$是负分数，化简后的$-5.1$是负有限小数，可化为负分数，对应序号为①④；
3. 无理数：0.1313313331…（相邻两个1之间3的个数逐次加1）是无限不循环小数，$\frac{π}{2}$含无理数π，也是无限不循环小数，二者都属于无理数，对应序号为⑤⑦。
【答案】
整数集合：{②⑥⑨ …}；
负分数集合：{①④ …}；
无理数集合：{⑤⑦ …}。
【知识点】
实数的分类；无理数的概念；有理数的概念
【点评】
本题属于基础题，核心考查实数的分类判断，解题时要注意先对带运算符号的数化简后再判断，尤其要注意区分无限循环小数和无限不循环小数，含π的数均为无理数，不要误判为分数。
【难度系数】
0.8
解题前首先要先对题目中带有绝对值、多重符号的数进行化简，再明确三类集合的定义：整数包含正整数、0、负整数；负分数是小于0的分数（包含可化为分数形式的负有限小数、负无限循环小数）；无理数是无限不循环小数。之后逐个判断每个数所属的类别，再对应填入集合即可。
【解析】
第一步：先化简特殊形式的数：
④$-|+5.1|=-5.1$，⑧$-(-1.8)=1.8$
第二步：按定义逐个判断各数所属集合：
1. 整数：正整数$+8$、0、负整数$-3$都属于整数，对应序号为②⑥⑨；
2. 负分数：$-\frac{1}{3}$是负分数，化简后的$-5.1$是负有限小数，可化为负分数，对应序号为①④；
3. 无理数：0.1313313331…（相邻两个1之间3的个数逐次加1）是无限不循环小数，$\frac{π}{2}$含无理数π，也是无限不循环小数，二者都属于无理数，对应序号为⑤⑦。
【答案】
整数集合：{②⑥⑨ …}；
负分数集合：{①④ …}；
无理数集合：{⑤⑦ …}。
【知识点】
实数的分类；无理数的概念；有理数的概念
【点评】
本题属于基础题，核心考查实数的分类判断，解题时要注意先对带运算符号的数化简后再判断，尤其要注意区分无限循环小数和无限不循环小数，含π的数均为无理数，不要误判为分数。
【难度系数】
0.8
7. 提升题 如图,在$4×4$的正方形网格中,按要求画出直角三角形。
(1)在图①中画一个直角三角形,使它的三边长均为有理数。
(2)在图②中画一个直角三角形,使它的一边长为有理数,另外两边长为无理数。
(3)在图③中画一个直角三角形,使它的三边长均为无理数。
(1)在图①中画一个直角三角形,使它的三边长均为有理数。
(2)在图②中画一个直角三角形,使它的一边长为有理数,另外两边长为无理数。
(3)在图③中画一个直角三角形,使它的三边长均为无理数。
答案
解:(1)如图①,△ABC即为所求。
(2)如图②,△ABC即为所求。
(3)如图③,△ABC即为所求。
(答案不唯一)
解析
【分析】
我们先设每个小正方形的边长为1，网格中任意线段的长度都可以通过勾股定理计算得到。解题时结合有理数、无理数的定义，先确定满足要求的三边长，再根据边长在网格中画出对应的直角三角形即可：
(1) 要画三边长均为有理数的直角三角形，可直接选择常见的整数勾股数，比如3、4、5，以此为边长构造直角三角形；
(2) 要画一边长为有理数、另外两边长为无理数的直角三角形，可先选一条长度为整数（有理数）的线段作为边，再构造另外两条边长为开方开不尽的数的边，同时满足勾股定理即可；
(3) 要画三边长均为无理数的直角三角形，只需构造三条边长都为开方开不尽的数，且满足勾股定理逆定理的三角形即可。本题答案不唯一，符合要求即可。
【解析】
设每个小方格的边长为1：
(1) 如图①，构造直角边AB=3，BC=4，∠B=90°，由勾股定理得斜边$AC=\sqrt{3^2+4^2}=5$，三边长3、4、5均为有理数，△ABC符合要求；
(2) 如图②，取BC=4（有理数），点A在BC中点的正上方2格位置，由勾股定理得$AB=AC=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$（无理数），验证得$AB^2+AC^2=(2\sqrt{2})^2+(2\sqrt{2})^2=16=BC^2$，故∠A=90°，△ABC符合一边为有理数、另外两边为无理数的直角三角形要求；
(3) 如图③，取点A、B、C，计算得$AB=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，$AC=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$BC=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，三个边长均为无理数，且$AB^2+AC^2=8+2=10=BC^2$，故∠A=90°，△ABC符合三边长均为无理数的直角三角形要求。
本题画法不唯一，只要满足题目要求均正确。
【答案】
(1) 如图①，△ABC即为所求。
(2) 如图②，△ABC即为所求。
(3) 如图③，△ABC即为所求。
(答案不唯一)
【知识点】
勾股定理；无理数的定义；直角三角形判定
【点评】
本题属于网格开放性作图题，将勾股定理和实数分类的知识点相结合，既考查了对有理数、无理数概念的区分，又考查了勾股定理及逆定理的灵活运用，能有效锻炼动手操作能力和知识综合应用能力。
【难度系数】
0.7
我们先设每个小正方形的边长为1，网格中任意线段的长度都可以通过勾股定理计算得到。解题时结合有理数、无理数的定义，先确定满足要求的三边长，再根据边长在网格中画出对应的直角三角形即可：
(1) 要画三边长均为有理数的直角三角形，可直接选择常见的整数勾股数，比如3、4、5，以此为边长构造直角三角形；
(2) 要画一边长为有理数、另外两边长为无理数的直角三角形，可先选一条长度为整数（有理数）的线段作为边，再构造另外两条边长为开方开不尽的数的边，同时满足勾股定理即可；
(3) 要画三边长均为无理数的直角三角形，只需构造三条边长都为开方开不尽的数，且满足勾股定理逆定理的三角形即可。本题答案不唯一，符合要求即可。
【解析】
设每个小方格的边长为1：
(1) 如图①，构造直角边AB=3，BC=4，∠B=90°，由勾股定理得斜边$AC=\sqrt{3^2+4^2}=5$，三边长3、4、5均为有理数，△ABC符合要求；
(2) 如图②，取BC=4（有理数），点A在BC中点的正上方2格位置，由勾股定理得$AB=AC=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$（无理数），验证得$AB^2+AC^2=(2\sqrt{2})^2+(2\sqrt{2})^2=16=BC^2$，故∠A=90°，△ABC符合一边为有理数、另外两边为无理数的直角三角形要求；
(3) 如图③，取点A、B、C，计算得$AB=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，$AC=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$BC=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，三个边长均为无理数，且$AB^2+AC^2=8+2=10=BC^2$，故∠A=90°，△ABC符合三边长均为无理数的直角三角形要求。
本题画法不唯一，只要满足题目要求均正确。
【答案】
(1) 如图①，△ABC即为所求。
(2) 如图②，△ABC即为所求。
(3) 如图③，△ABC即为所求。
(答案不唯一)
【知识点】
勾股定理；无理数的定义；直角三角形判定
【点评】
本题属于网格开放性作图题，将勾股定理和实数分类的知识点相结合，既考查了对有理数、无理数概念的区分，又考查了勾股定理及逆定理的灵活运用，能有效锻炼动手操作能力和知识综合应用能力。
【难度系数】
0.7
