1. 在平面直角坐标系$xOy$中，点$P(1, -4)$关于原点对称的点的坐标是 （）

A.$(-1, -4)$
B.$(-1,4)$
C.$(1,4)$
D.$(1, -4)$

1. B

【分析】
解题时首先明确题目考查的是关于原点对称的点的坐标特征，我们需要回忆对应的规律：若两点关于原点对称，则它们的横、纵坐标均互为相反数。接下来代入已知点的坐标，分别将横、纵坐标取相反数，即可得到对称点的坐标，再匹配对应选项即可。
【解析】
根据关于原点对称的点的坐标规律：关于原点对称的两个点，横、纵坐标都互为相反数。
已知点P的坐标为$(1,-4)$，
则其关于原点对称的点的横坐标为$1$的相反数$-1$，纵坐标为$-4$的相反数$4$，
即对称点坐标为$(-1,4)$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
关于原点对称的点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题，直接考查核心规律的应用，只要牢记“关于原点对称的点横、纵坐标均变号”的规律，就能快速准确得出答案。
【难度系数】
0.9

2.（人教九上$\mathrm{P}_{104}$练习$\mathrm{T}_{3}$改编）如图，$□ ABCD$的两条对角线$AC$，$BD$交于平面直角坐标系的原点，若点$A$的坐标为$(-2,3)$，则点$C$的坐标为（）

A.$(-3,2)$
B.$(-2,-3)$
C.$(3,-2)$
D.$(2,-3)$

2. D

【分析】
解题时首先结合平行四边形的性质思考：平行四边形是中心对称图形，对角线的交点就是它的对称中心，本题中对角线交点为坐标原点，因此点A和点C关于原点对称。再根据关于原点对称的点的坐标变化规律，即可直接求出点C的坐标。
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于原点O，
∴ 点A与点C关于原点O中心对称。
关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标均互为相反数，
已知点A的坐标为$(-2,3)$，因此点C的坐标为$(2,-3)$。
故选：D
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的性质；关于原点对称的点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题，将平行四边形的性质与平面直角坐标系的坐标规律结合考查，熟练掌握相关性质和规律即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8

3. 点$P(-2026,2026)$关于原点对称的点在（）

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

3. D

【分析】
解题需分两步进行：第一步，回忆关于原点对称的点的坐标规律：两个点关于原点对称时，横、纵坐标均互为相反数，利用该规律求出点P关于原点对称的点的坐标；第二步，回忆平面直角坐标系各象限内点的坐标符号特征，根据求出的对称点的坐标正负，判断其所在象限即可。
【解析】
根据关于原点对称的点的坐标性质：若点坐标为$(x,y)$，则其关于原点对称的点的坐标为$(-x,-y)$。
已知点$P(-2026,2026)$，则它关于原点对称的点的横坐标为$-(-2026)=2026$，纵坐标为$-2026$，即对称点坐标为$(2026,-2026)$。
平面直角坐标系中第四象限内点的坐标符号特征为$(+,-)$，该对称点符合第四象限的坐标特征，因此该点在第四象限。
故选：D
【答案】
D
【知识点】
1.关于原点对称的点的坐标特征
2.象限内点的坐标符号特征
【点评】
本题是基础题型，核心考查对原点对称点坐标规律和象限坐标特点的识记与应用，熟练掌握相关基础结论即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9

4. 如图,在平面直角坐标系中,点A,B,C都在格点上,将$△ ABC$关于y轴的对称图形绕原点O旋转$180°$,得到$△ A_1B_1C_1$,则点A的对应点$A_1$的坐标是 ()

A.$(-1,-2)$
B.$(1,2)$
C.$(2,1)$
D.$(-2,-1)$

4. A

【分析】
解题时首先需从坐标系中读出点A的坐标，再依次应用两种变换的坐标变化规则计算：第一步先求点A关于y轴对称的点的坐标，第二步再求该对称点绕原点旋转180°后的坐标，即可得到$A_1$的坐标。关于y轴对称的点坐标规律为纵坐标不变，横坐标变为原数的相反数；绕原点旋转180°的点坐标规律为横、纵坐标均变为原数的相反数。
【解析】
第一步：确定点A的坐标，由图可知点A的坐标为$(-1,2)$；
第二步：求点A关于y轴的对称点坐标，根据关于y轴对称的点纵坐标不变、横坐标互为相反数，可得对称点坐标为$(1,2)$；
第三步：求该对称点绕原点旋转180°后的坐标，绕原点旋转180°的点与原点关于原点对称，横、纵坐标均互为相反数，因此对应点$A_1$的坐标为$(-1,-2)$。
【答案】
A
【知识点】
关于y轴对称的点的坐标特征，关于原点对称的点的坐标特征，坐标与图形变换
【点评】
本题考查平面直角坐标系中图形变换对应的坐标变化，只需熟练掌握对称、旋转变换的坐标变化规律，按顺序逐步计算即可，解题时要注意不要混淆两种变换的坐标变化规则。
【难度系数】
0.8

5. 在平面直角坐标系中，$△ ABC$ 的位置如图所示.

(1)分别写出$△ ABC$各个顶点的坐标:
A ,B ,C ;
(2)画出$△ ABC$关于原点$O$对称的$△ A'B'C'$;
(3)点$A$关于$x$轴对称的点的坐标为 ,
点$C$关于原点对称的点的坐标为 ;
(4)$△ ABC$的面积为 .

5. 解:(1) (-4,3) (3,0) (-2,5)
(2)如图所示,$△ A'B'C'$即为所求。
(3) (-4,-3) (2,-5)
(4) 10

【分析】
本题围绕平面直角坐标系中三角形的相关性质设问，解题思路如下：1. 写顶点坐标：直接观察每个点对应x轴、y轴的数值，横坐标在前，纵坐标在后即可；2. 画关于原点对称的三角形：根据关于原点对称的点横、纵坐标均互为相反数的规律，先求出三个顶点的对称点坐标，再描点连线即可；3. 求对称点坐标：关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标变为相反数，关于原点对称的点横、纵坐标均变为相反数，直接代入规律计算即可；4. 求三角形面积：可采用割补法或坐标面积公式，用包围三角形的矩形面积减去周围多余直角三角形的面积，或直接代入坐标面积公式计算。
【解析】
(1) 观察网格可得：点A横坐标为-4，纵坐标为3，即$A(-4,3)$；点B在x轴上，横坐标为3，纵坐标为0，即$B(3,0)$；点C横坐标为-2，纵坐标为5，即$C(-2,5)$。
(2) 先求各点关于原点对称的坐标：$A'(4,-3)$，$B'(-3,0)$，$C'(2,-5)$，在坐标系中描出这三个点，依次连接$A'B'$、$B'C'$、$C'A'$，即可得到$△ A'B'C'$。
(3) 关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标取相反数，因此A关于x轴对称的点坐标为$(-4,-3)$；关于原点对称的点横、纵坐标均取相反数，因此C关于原点对称的点坐标为$(2,-5)$。
(4) 用坐标面积公式计算：已知三点坐标$A(-4,3)$、$B(3,0)$、$C(-2,5)$，代入公式：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}\left| x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_1 - x_2y_1 - x_3y_2 - x_1y_3 \right|$
$=\frac{1}{2}\left| (-4)×0 + 3×5 + (-2)×3 - 3×3 - (-2)×0 - (-4)×5 \right|$
$=\frac{1}{2}\left| 0 + 15 - 6 - 9 + 0 + 20 \right|=\frac{1}{2}×20=10$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(-4,3)}$，$\boldsymbol{(3,0)}$，$\boldsymbol{(-2,5)}$
(2) 如图所示，$△ A'B'C'$即为所求。
(3) $\boldsymbol{(-4,-3)}$，$\boldsymbol{(2,-5)}$
(4) $\boldsymbol{10}$
【知识点】
点的坐标读写，对称点坐标规律，网格图形面积计算
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础综合题，难度不大，重点考查对坐标变化规律的掌握和不规则图形面积的计算方法，熟练掌握相关规律、灵活运用割补法或坐标面积公式即可快速解题。
【难度系数】
0.7

6.(易错题)如果点$P(1-x,1-y)$在第二象限，那么点$Q(1-x,y-1)$关于原点的对称点$M$在第象限.

6. 一

【分析】
要解决这道题，首先回忆第二象限点的坐标特征：横坐标小于0，纵坐标大于0，据此先根据点P的象限得到1-x和1-y的符号；再推导点Q横、纵坐标的符号，确定Q所在的象限；最后根据关于原点对称的点的坐标规律（横、纵坐标均互为相反数），即可判断对称点M所在的象限。
【解析】
解：
∵点$P(1-x,1-y)$在第二象限，
∴根据第二象限点的坐标特征可得：$\begin{cases}1-x ＜ 0 \\1-y ＞ 0\end{cases}$
由$1-x ＜ 0$可知点Q的横坐标为负；
对$1-y ＞ 0$两边同乘$-1$，不等号方向改变，得$y-1 ＜ 0$，即点Q的纵坐标为负，
∴点$Q(1-x,y-1)$在第三象限。
∵关于原点对称的两个点的横、纵坐标均互为相反数，第三象限的点关于原点对称的点横、纵坐标均为正，
∴点M在第一象限。
【答案】
一
【知识点】
象限内点的坐标特征；关于原点对称的点的性质；不等式的基本性质
【点评】
本题属于易错题，核心考察平面直角坐标系中点的坐标规律，易错点在于推导y-1的符号时忽略不等式变号规则，或是混淆不同对称方式的坐标变换规律，解题时要逐步推导每一个坐标的符号，避免跳步出错。
【难度系数】
0.6

7.在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，以MN所在的直线为y轴，以小正方形的边长为单位长度建立平面直角坐标系。若点A与点B关于原点对称，则此时点C的坐标是。

7. (2,-1)

【分析】
解题首先需要确定平面直角坐标系的原点位置：已知MN为y轴，且点A与点B关于原点对称，根据关于原点对称的点的性质，原点是线段AB的中点，且原点必须在y轴上，因此找到AB的中点即可确定原点；再结合方格的水平方向为x轴方向，单位长度为1，即可读取点C的坐标。
【解析】
步骤1：确定原点位置。因为点A、B关于原点对称，所以原点是线段AB的中点，结合MN为y轴，可找到AB的中点在MN上，该点即为坐标原点O。
步骤2：建立完整坐标系。过原点O作水平直线为x轴，规定向右为x轴正方向，向上为y轴正方向，每个小正方形边长为1个单位长度。
步骤3：读取点C坐标。观察点C的位置，它在x轴正方向距离原点2个单位，在y轴负方向距离原点1个单位，因此点C的坐标为(2,-1)。
【答案】
(2,-1)
【知识点】
1. 关于原点对称的点的性质
2. 平面直角坐标系的构成
3. 点的坐标表示
【点评】
本题侧重考查平面直角坐标系基础知识点的应用，解题核心是利用两点关于原点对称的性质确定原点位置，再结合坐标系定义读取对应点坐标，整体难度不大，是坐标系相关的典型基础题。
【难度系数】
0.7

8. 如图所示，AB // CD // x轴，且AB = CD = 3，A点坐标为(-1,1)，C点坐标为(1,-1)。
(1)写出B,D两点的坐标；
(2)你发现A,B,C,D四点坐标之间有何特征？

8. 解:(1)
∵ AB // CD // x轴,A点坐标为(-1,1),C点坐标为(1,-1),
∴ 点B,D的纵坐标分别是1,-1.
∵ AB = CD = 3,
∴ 点B的坐标为(2,1),点D的坐标为(-2,-1).
(2)
∵ A(-1,1),C(1,-1)横、纵坐标互为相反数,
∴ 关于原点对称.同理,点B,D关于原点对称.

【分析】
(1) 求解B、D两点坐标时，首先根据“平行于x轴的直线上所有点的纵坐标相等”的性质，结合已知A、C点的坐标，先确定B、D点的纵坐标；再根据AB、CD的长度，结合A、C点的横坐标，沿x轴对应方向平移对应长度，即可算出B、D点的横坐标。
(2) 分析四点坐标特征时，分别对比A与C、B与D的横、纵坐标的关系，结合对称点的坐标规律总结特征即可。
【解析】
(1)
∵ AB//CD//x轴，A点坐标为(-1,1)，C点坐标为(1,-1)，
∴ 点B的纵坐标与A点相同，为1；点D的纵坐标与C点相同，为-1。
又
∵ AB=CD=3，
∴ 点B的横坐标为-1+3=2，即B(2,1)；
点D的横坐标为1-3=-2，即D(-2,-1)。
(2) 观察四点坐标：A(-1,1)、C(1,-1)，二者横、纵坐标均互为相反数；B(2,1)、D(-2,-1)，二者横、纵坐标也均互为相反数，因此A与C关于原点对称，B与D关于原点对称。
【答案】
(1) $B(2,1)$，$D(-2,-1)$；
(2) A和C、B和D分别关于原点对称，每组对应点的横、纵坐标都互为相反数。
【知识点】
平行于x轴的点的坐标特征；水平方向两点距离计算；关于原点对称的点的坐标特征
【点评】
本题考查平面直角坐标系中点的坐标规律，解题核心是掌握特殊位置直线上点的坐标特点和对称点的坐标性质，结合图形位置关系计算即可。
【难度系数】
0.8

9.（拓展题）（规律探究）在平面直角坐标系中，已知$A(3,2)$，作点$A$关于$y$轴的对称点$A_1$，点$A_1$关于原点的对称点$A_2$，点$A_2$关于$x$轴的对称点$A_3$，点$A_3$关于$y$轴的对称点$A_4$，…，按此规律，点$A_{2026}$的坐标为。

9. (-3,2)

【分析】
解题时先掌握三类对称点的坐标变化规则：①关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数；②关于原点对称的点，横、纵坐标均互为相反数；③关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数。先依次计算前几个变换后的点坐标，找到坐标的循环周期，再用2026除以周期，根据余数即可对应得到$A_{2026}$的坐标。
【解析】
解：已知初始点A的坐标为$(3,2)$，按规则依次计算：
1. 点A关于y轴对称得$A_1$：横坐标变号，纵坐标不变，故$A_1(-3,2)$；
2. 点$A_1$关于原点对称得$A_2$：横、纵坐标均变号，故$A_2(3,-2)$；
3. 点$A_2$关于x轴对称得$A_3$：纵坐标变号，横坐标不变，故$A_3(3,2)$，与初始点A坐标完全相同；
4. 继续计算得$A_4(-3,2)=A_1$，可知变换周期为3，即每3次变换后坐标回到初始状态，循环组为$(A_1,A_2,A_3)$。
计算$2026÷3=675······1$，余数为1，说明$A_{2026}$的坐标与循环组中第1个点$A_1$的坐标相同。
【答案】
$(-3,2)$
【知识点】
1. 轴对称的点的坐标特征
2. 关于原点对称的点的坐标特征
3. 周期类规律探究
【点评】
本题将坐标系中对称点的基础知识点和规律探究结合，既需要熟练掌握不同对称方式下的坐标变化规则，又需要具备归纳总结周期规律的能力，能较好地考察学生的综合运算和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6