1.【例1】如图，$A(3,2),B(-3,2),C(3,0)$.

(1)在平面直角坐标系中,画出点$A,B,C$关于原点的对称点$A',B',C'$;
(2)点$A(3,2)$关于原点的对称点为$A'($$, $$)$,点$B(-3,2)$关于原点的对称点为$B'($$, $$)$,点$C(3,0)$关于原点的对称点为$C'($$, $$)$;
(3)你发现点$P(x,y)$关于原点的对称点$P'($$, $$)$,它们的坐标符号.
2.填空:
(1)在平面直角坐标系中,点$(-5,7)$关于原点对称的点的坐标是;
(2)点$A(2,-1)$关于$y$轴对称的点的坐标是,关于$x$轴对称的点的坐标是,关于原点对称的点的坐标是;
(3)点$(0,-4)$与点关于原点对称;
(4)若点$A(a,3)$和$B(-4,b)$关于原点对称,则$a=$$,b=$.
【规律总结】已知点$A(m,n)$.
①点$A$关于$x$轴对称的点的坐标为$(m,-n)$;
②点$A$关于$y$轴对称的点的坐标为$(-m,n)$;
③点$A$关于原点对称的点的坐标为$(-m,-n)$.
简记为:关于谁对称,谁不变,关于原点对称都改变.

1. (1) 如图所示
(2) -3 -2 3 -2 -3 0
(3) -x -y 相反
2. (1) (5,-7)
(2) (-2,-1) (2,1) (-2,1)
(3) (0,4)
(4) 4 -3

【分析】
解题时先回忆平面直角坐标系中各类对称点的坐标变化规律：关于x轴对称的点横坐标不变、纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点纵坐标不变、横坐标互为相反数；关于原点对称的点横、纵坐标均互为相反数。
1. 第(1)小问先根据原点对称的坐标规律算出A、B、C的对称点坐标，再在坐标系中描点即可；
2. 第(2)(3)小问直接应用原点对称的坐标规律计算、总结即可；
3. 第二大题的各个填空分别对应不同对称类型的坐标规律，代入对应点的坐标转换即可，关于原点对称的两点横纵坐标均互为相反数，据此列等式即可求解未知参数的值。
【解析】
1. (1) 根据关于原点对称的点横、纵坐标均互为相反数，计算得：A(3,2)的对称点为A'(-3,-2)，B(-3,2)的对称点为B'(3,-2)，C(3,0)的对称点为C'(-3,0)，在坐标系中描出这三个点，结果如图所示：

(2) 由原点对称坐标规律可得：A(3,2)关于原点的对称点为A'(-3,-2)，B(-3,2)关于原点的对称点为B'(3,-2)，C(3,0)关于原点的对称点为C'(-3,0)；
(3) 归纳可得，点P(x,y)关于原点的对称点为P'(-x,-y)，它们的横、纵坐标符号均相反。
2. (1) 点(-5,7)关于原点对称，横纵坐标都变为原数的相反数，得对应点坐标为(5,-7)；
(2) 点A(2,-1)关于y轴对称：纵坐标不变，横坐标变为原数的相反数，得坐标(-2,-1)；关于x轴对称：横坐标不变，纵坐标变为原数的相反数，得坐标(2,1)；关于原点对称：横纵坐标都变为原数的相反数，得坐标(-2,1)；
(3) 点(0,-4)关于原点对称，横纵坐标都变为原数的相反数，得对应点坐标(0,4)；
(4) 点A(a,3)和B(-4,b)关于原点对称，故a是-4的相反数，即a=4；b是3的相反数，即b=-3。
【答案】
1. (1) 如图所示
(2) -3；-2；3；-2；-3；0
(3) -x；-y；相反
2. (1) (5,-7)
(2) (-2,-1)；(2,1)；(-2,1)
(3) (0,4)
(4) 4；-3
【知识点】
关于原点对称的点的坐标特征，关于坐标轴轴对称的点的坐标特征，平面直角坐标系点坐标变换
【点评】
本题是平面直角坐标系对称变换的基础题，核心考查各类对称点的坐标变化规律，牢记“关于谁对称谁不变，原点对称都改变”的口诀可快速解题，解题时注意避免符号混淆出错，熟练掌握该规律是后续学习中心对称图形相关知识的基础。
【难度系数】
0.85

3.【例2】(人教九上$\mathrm{P}_{103}$例2改编)在如图所示的平面直角坐标系中,利用关于原点对称的点的坐标的关系,作出与$△ ABC$关于原点对称的$△ A_{1}B_{1}C_{1}$.

3. 解:根据图形可知$A( -2,2),B( -3,0),C( -1, -1)$,点$A,B,C$关于原点对称的点的坐标分别是$A_1(2, -2)$,$B_1(3,0),C_1(1,1)$. 依次连接$A_1B_1,B_1C_1,C_1A_1$即可.$△A_1B_1C_1$如图所示.

【分析】
要作出与△ABC关于原点对称的三角形，可按三步思考：第一步，先从平面直角坐标系中读取△ABC三个顶点A、B、C的坐标；第二步，根据“关于原点对称的点，横、纵坐标都互为相反数”的规律，分别计算出三个顶点关于原点对称的对应点的坐标；第三步，在坐标系中描出这三个对应点，再依次连接各点，即可得到所求的对称图形。
【解析】
步骤1：读取原三角形顶点坐标：观察坐标系可得A(-2,2)，B(-3,0)，C(-1,-1)；
步骤2：计算对称点坐标：根据关于原点对称的点的坐标特征：点P(x,y)关于原点对称的点为P'(-x,-y)，可得：
A(-2,2)关于原点的对称点A₁的坐标为(2,-2)，
B(-3,0)关于原点的对称点B₁的坐标为(3,0)，
C(-1,-1)关于原点的对称点C₁的坐标为(1,1)；
步骤3：描点连线：在平面直角坐标系中分别描出A₁(2,-2)、B₁(3,0)、C₁(1,1)，再依次连接A₁B₁、B₁C₁、C₁A₁，所得图形即为所求的△A₁B₁C₁。
【答案】
根据图形可知$A( -2,2),B( -3,0),C( -1, -1)$,点$A,B,C$关于原点对称的点的坐标分别是$A_1(2, -2)$,$B_1(3,0),C_1(1,1)$. 依次连接$A_1B_1,B_1C_1,C_1A_1$即可.$△A_1B_1C_1$如图所示
【知识点】
1.关于原点对称的点的坐标特征
2.中心对称作图
3.平面直角坐标系点的坐标读取
【点评】
本题属于基础作图题，核心考查关于原点对称的图形的绘制方法，解题的关键是熟记关于原点对称的点的坐标规律，准确读取原图形顶点坐标、算出对应对称点坐标后描点连线即可完成解答。
【难度系数】
0.8

4. 如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点坐标分别为A(2,-1),B(3,-3),C(0,-4).
(1)画出△ABC关于原点O成中心对称的△A₁B₁C₁,并写出点B₁的坐标;
(2)画出△A₁B₁C₁关于y轴对称的△A₂B₂C₂.

4. 解:(1) 如图,$△A_1B_1C_1$即为所求,$B_1( -3,3)$.
(2) 如图,$△A_2B_2C_2$即为所求.

【分析】
解决本题需掌握不同对称变换下点的坐标变化规律。第(1)问作关于原点中心对称的三角形：关于原点对称的点横、纵坐标均互为相反数，先根据原△ABC三个顶点的坐标算出对应对称点的坐标，再描点、顺次连接即可得到△A₁B₁C₁，同时可直接写出B₁的坐标。第(2)问作关于y轴对称的三角形：关于y轴对称的点纵坐标不变、横坐标互为相反数，同理算出△A₁B₁C₁三个顶点的对称点坐标，描点连线即可得到△A₂B₂C₂。
【解析】
(1) 根据关于原点对称的点的坐标特征：点$(x,y)$关于原点对称的点的坐标为$(-x,-y)$。
已知$A(2,-1)$、$B(3,-3)$、$C(0,-4)$，计算得对应对称点坐标：$A_1(-2,1)$，$B_1(-3,3)$，$C_1(0,4)$。
在坐标系中描出$A_1$、$B_1$、$C_1$三点，顺次连接三点得到$△ A_1B_1C_1$，即为所求。
(2) 根据关于y轴对称的点的坐标特征：点$(x,y)$关于y轴对称的点的坐标为$(-x,y)$。
已知$A_1(-2,1)$、$B_1(-3,3)$、$C_1(0,4)$，计算得对应对称点坐标：$A_2(2,1)$，$B_2(3,3)$，$C_2(0,4)$。
在坐标系中描出$A_2$、$B_2$、$C_2$三点，顺次连接三点得到$△ A_2B_2C_2$，即为所求。
【答案】
(1) 如图,$△A_1B_1C_1$即为所求,$B_1( -3,3)$。
(2) 如图,$△A_2B_2C_2$即为所求。
【知识点】
关于原点对称的点的坐标特征，关于y轴对称的点的坐标特征，对称变换作图
【点评】
本题考查平面直角坐标系中的对称变换相关知识，解题核心是熟练掌握两类对称对应的坐标变化规律，作图时需准确描点，保证图形连线规范。
【难度系数】
0.8