5.如图,铁路MN和公路PQ在点O处交汇,∠QON=30°,公路PQ上A处距离O点240米.如果火车行驶时,周围200米以内会受到噪音的影响,那么火车在铁路MN上沿MN方向以72千米/小时的速度行驶时,A处受到噪音影响的时间为()

A.12秒
B.16秒
C.20秒
D.24秒

5. B

【分析】要计算A处受噪音影响的时间，首先需要明确火车行驶到哪段区间时，A到火车的距离小于等于200米：①先过A作MN的垂线段，利用30°直角三角形的性质求出垂线段长度，确认A会受噪音影响；②以A为圆心、200米为半径作圆，圆与MN的两个交点之间的线段就是受影响的行驶路段，用勾股定理算出该路段的总长度；③统一速度单位后，根据行程公式“时间=路程÷速度”算出影响时长。
【解析】
解：过点A作AB⊥MN，垂足为B。
1. 计算垂线段AB的长度
已知∠QON=30°，OA=240米，在Rt△OAB中，30°角所对直角边等于斜边的一半，因此：
$AB=OA×\sin30°=240×\frac{1}{2}=120$米
∵$120米＜200米$，
∴A处会受到火车噪音影响。
2. 计算受影响的路段长度
以A为圆心、200米为半径作圆，交MN于C、D两点，则$AC=AD=200$米。
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$CB=\sqrt{AC^2-AB^2}=\sqrt{200^2-120^2}=\sqrt{25600}=160$米
同理可得$DB=160$米，因此受影响的路段总长度$CD=CB+DB=160×2=320$米。
3. 计算影响时间
先统一速度单位：$72千米/小时=72÷3.6米/秒=20米/秒$
影响时间$t=CD÷ v=320÷20=16$秒
【答案】B
【知识点】勾股定理的应用，直角三角形30°角性质，行程问题计算
【点评】本题是几何与实际生活结合的应用题，核心是将“噪音影响范围”转化为圆与直线的相交问题，结合直角三角形性质和勾股定理求出影响路段长度，再代入行程公式即可求解。
【难度系数】0.6

1.轴对称图形:把一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫作,这条直线就是它的.

1. 轴对称图形，对称轴

【分析】
本题属于基础概念识记类题目，解题时直接回忆轴对称图形的相关定义即可作答。我们在学习轴对称相关概念时明确规定了对应图形和直线的名称，只要牢记定义内容，不需要复杂推导就能完成填空。
【解析】
根据轴对称图形的标准定义：把一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫作轴对称图形，这条直线就是它的对称轴，据此直接填写对应概念即可。
【答案】
轴对称图形，对称轴
【知识点】
轴对称图形的概念；对称轴的概念
【点评】
本题是基础概念考查题，重点考察对轴对称相关基础定义的记忆掌握，难度很低，牢记相关定义即可快速得分，该知识点是后续学习图形对称相关性质的重要基础。
【难度系数】
0.9

2. 操作:在圆形的纸片上作出一条弦AB,并作出直径CD,使CD⊥AB,垂足为E,如右图所示,沿CD折叠此图,操作后回答:

(1)此图是对称图形,对称轴是;
(2)图中相等的线段有,相等的弧有.

2. (1) 轴，直径CD所在的直线 (2) AE=BE，OA=OB=OC=OD；$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$，$\overset{\frown}{CAB}=\overset{\frown}{CBA}$，$\overset{\frown}{CAD}=\overset{\frown}{CBD}$

【分析】
解决本题可按以下思路思考：
1. 第一问判断对称类型：根据折叠后直线CD两侧部分完全重合的特征，结合轴对称图形的定义即可判断，对称轴为折痕所在的直线；
2. 第二问找相等的线段和弧：首先回忆圆的基本性质，同圆的所有半径都相等，可得到第一组相等线段；再结合已知条件CD⊥AB且CD是直径，运用垂径定理可得直径平分弦AB，得到第二组相等线段；最后根据垂径定理中“垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧”，结合弧的和差关系、半圆的性质，即可找出所有相等的弧。
【解析】
(1) 沿直径CD折叠图形后，CD两侧的部分能够完全重合，因此该图形是轴对称图形，折痕CD所在的直线就是它的对称轴。
(2) 线段部分：
① OA、OB、OC、OD都是⊙O的半径，同圆的半径相等，因此$OA=OB=OC=OD$；
② 已知CD是⊙O的直径，且$CD⊥ AB$，根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，可得$AE=BE$。
弧部分：
① 根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧，因此AB所对的劣弧被CD平分，得$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$；AB所对的优弧被CD平分，得$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$；
② $\overset{\frown}{CAD}$和$\overset{\frown}{CBD}$都是以CD为直径的半圆，同圆中半圆长度相等，因此$\overset{\frown}{CAD}=\overset{\frown}{CBD}$；
③ 由$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，两边同时加$\overset{\frown}{AB}$可得$\overset{\frown}{CAB}=\overset{\frown}{CBA}$。
【答案】
(1) 轴，直径CD所在的直线
(2) $AE=BE$，$OA=OB=OC=OD$；$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$，$\overset{\frown}{CAB}=\overset{\frown}{CBA}$，$\overset{\frown}{CAD}=\overset{\frown}{CBD}$
【知识点】
轴对称图形；垂径定理；圆的基本性质
【点评】
本题是圆的基础性质应用类题目，核心考查轴对称图形的概念和垂径定理的内容，解题时要注意对称轴是直线，不要误写为线段CD；找相等的弧时不要遗漏半圆这类特殊的等弧。
【难度系数】
0.9

1. 实践探究:把一个圆沿着它的任意一条直径对折,重复几次,你发现了什么?由此你能得到什么结论?
结论:圆是轴对称图形,其对称轴是,对称轴有条.

1. 任意一条过圆心的直线，无数

【分析】
解题时首先回忆轴对称图形的相关概念：沿某条直线对折后，直线两侧的部分能完全重合的图形是轴对称图形，该直线为对称轴。我们动手操作将圆沿任意直径对折时，每次对折后两侧的半圆都能完全重合，说明圆是轴对称图形；注意对称轴是直线，而直径是线段，因此要把直径转化为它所在的过圆心的直线；又因为过圆心可以画出无数条直线，因此可推出对称轴的数量。
【解析】
将圆沿着任意一条直径对折后，直径两侧的部分能够完全重合，符合轴对称图形的特征，因此圆是轴对称图形。
由于对称轴是直线，而直径是过圆心的线段，因此圆的对称轴是任意一条过圆心的直线（也可表述为任意一条直径所在的直线）；
过圆心可以作出无数条直线，因此圆的对称轴有无数条。
【答案】
任意一条过圆心的直线，无数
【知识点】
1. 轴对称图形的定义
2. 圆的轴对称性
【点评】
本题通过实践操作考查圆的轴对称相关基础概念，解题时需注意区分“直径（线段）”和“对称轴（直线）”的差异，避免因概念混淆丢分，是对基础探究能力和概念辨析能力的考查。
【难度系数】
0.8

2. 如图,$CD$是过圆心$O$的任意一条直线,你能否证明圆是轴对称图形呢?
提示:欲证圆是轴对称图形,只需证明圆上任意一点关于直径所在直线(对称轴)的对称点也在圆上即可.

3. 除了利用轴对称证明线段相等外,还可以用逻辑思维进行证明. 阅读以下内容并填空.
已知:直径$CD$,弦$AB$,且$CD ⊥ AB$,垂足为$M$.
求证:$AM=BM$,$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$,$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$.
分析:要证$AM=BM$,只需证$AM$,$BM$构成的两个三角形全等. 因此,只要连接$OA$,$OB$或$AC$,$BC$即可.
证明:如图,连接$OA$,$OB$,则$OA=OB$.
在$\mathrm{Rt}△ OAM$和$\mathrm{Rt}△ OBM$中,
$\begin{cases} \underline{\qquad\qquad\qquad\qquad}, \\ \underline{\qquad\qquad\qquad\qquad}, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ OAM ≌ \mathrm{Rt}△ OBM(\quad)$.
$\therefore AM = \underline{\qquad\qquad}$.
$\therefore$ 点$\underline{\qquad\qquad}$和点$\underline{\qquad\qquad}$关于$CD$对称.
$\because \odot O$关于$CD$对称,
$\therefore$ 当圆沿着直线$CD$对折时,点$A$与点$B$重合,$\overset{\frown}{AC}$与$\overset{\frown}{BC}$重合,$\overset{\frown}{AD}$与$\overset{\frown}{BD}$重合.
$\therefore \underline{\qquad\qquad}$,$\underline{\qquad\qquad}$.

4. 垂径定理:$\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}$.

符号语言:$\because AB$是$\odot O$的直径,$AB ⊥ CD$,
$\therefore CE=DE$,$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$,$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AD}$.
5. 垂径定理的题设和结论的分析 垂径

2. 略 3. OA=OB，OM=OM，HL，BM，A，B，$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$ 4. 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧

【分析】
第2题：要证明圆是轴对称图形，根据题中提示，只需证明圆上任意一点关于直径所在直线CD的对称点也在圆上即可。思路是：在圆上任取一点，作该点关于CD的对称点，结合圆的半径相等的性质，证明对称点到圆心的距离等于半径，即可得对称点也在圆上，从而证明圆的轴对称性。
第3题：要证明线段AM=BM，思路是证明包含这两条线段的Rt△OAM和Rt△OBM全等，两个直角三角形有公共直角边OM，还有半径OA=OB，可用HL判定全等；全等后可得对应边相等，进而得到A、B关于CD对称，再结合轴对称的性质，对折后重合的弧相等，即可得要证的弧相等的结论。
第4题：根据前面的推导过程，总结垂径定理的文字内容即可，核心是“垂直于弦的直径”带来的“平分弦、平分弦所对的两条弧”的结论。
【解析】
2. 证明：在$\odot O$上任取一点$A$，过点$A$作$AA'⊥ CD$，垂足为$M$，延长$AA'$交$\odot O$于点$A'$。
$\because OA=OA'$，$△ OAA'$是等腰三角形，且$OM⊥ AA'$，
$\therefore AM=MA'$，即直线$CD$垂直平分线段$AA'$，
$\therefore$点$A$与点$A'$关于直线$CD$对称。
由于点$A$是圆上任意一点，因此圆上任意一点关于直线$CD$的对称点都在圆上，故圆是轴对称图形，任意一条过圆心的直线（直径所在直线）都是它的对称轴。
3. 证明：连接$OA$、$OB$，则$OA=OB$。
在$\mathrm{Rt}△ OAM$和$\mathrm{Rt}△ OBM$中，
$\begin{cases} OA=OB, \\ OM=OM, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ OAM ≌ \mathrm{Rt}△ OBM(\mathrm{HL})$。
$\therefore AM = BM$。
$\therefore$ 点$A$和点$B$关于$CD$对称。
$\because \odot O$关于$CD$对称，
$\therefore$ 当圆沿着直线$CD$对折时，点$A$与点$B$重合，$\overset{\frown}{AC}$与$\overset{\frown}{BC}$重合，$\overset{\frown}{AD}$与$\overset{\frown}{BD}$重合。
$\therefore \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$。
4. 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
【答案】
2. 略
3. $OA=OB$，$OM=OM$，$\mathrm{HL}$，$BM$，$A$，$B$，$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$
4. 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧
【知识点】
圆的轴对称性，直角三角形全等判定（HL），垂径定理
【点评】
本组题目从圆的轴对称性的证明入手，逐步推导垂径定理的内容，既注重逻辑推理过程的训练，又强化了定理内容的理解记忆，帮助学生掌握垂径定理的推导逻辑，为后续运用定理解决几何问题做好铺垫。
【难度系数】
0.85