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5. 垂径定理的题设和结论的分析:垂径定理可改述为,一条直线若满足:①过圆心,②垂直于弦,则可以推出③平分弦,④平分弦所对的优弧,⑤平分弦所对的劣弧.这个定理的应用非常广泛,为证明线段相等、弧相等提供了很重要的依据,用时知“二”推“三”很方便.
6. 进一步,我们还可以得到推论:平分弦（
6. 进一步,我们还可以得到推论:平分弦（
不是直径
）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.思考:上述推论中,为什么特别强调括号里面的部分?答案
6. 不是直径；如果这条弦本身就是直径，那么任意两条直径都互相平分，但它们不一定互相垂直，所以必须加上“不是直径”的限制条件
解析
【分析】
本题围绕垂径定理的推论设置，解题思路分为两步：第一步先准确记忆推论的完整内容，补全括号内的表述；第二步分析限制条件的必要性，可通过举反例验证：若被平分的弦是直径，那么任意两条直径都互相平分，但它们不一定垂直，也不满足平分弦所对弧的结论，因此必须添加该限制才能保证推论成立。
【解析】
解：首先补全垂径定理推论的内容：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
原因解释：如果被平分的弦本身就是直径，那么圆内任意两条直径都互相平分，但两条直径的夹角可以是任意角度，不一定互相垂直，此时也无法保证平分这条弦所对的两条弧，推论的后续结论就不成立，因此必须加上“不是直径”的限制条件。
【答案】
不是直径；如果这条弦本身就是直径，那么任意两条直径都互相平分，但它们不一定互相垂直，所以必须加上“不是直径”的限制条件
【知识点】
垂径定理推论、圆的基本性质
【点评】
本题重点考查对垂径定理推论的理解，需要注意推论中的特殊限制条件，通过举反例的方式能快速理解该限制的必要性，避免后续应用定理解决问题时出现疏漏。
【难度系数】
0.8
本题围绕垂径定理的推论设置，解题思路分为两步：第一步先准确记忆推论的完整内容，补全括号内的表述；第二步分析限制条件的必要性，可通过举反例验证：若被平分的弦是直径，那么任意两条直径都互相平分，但它们不一定垂直，也不满足平分弦所对弧的结论，因此必须添加该限制才能保证推论成立。
【解析】
解：首先补全垂径定理推论的内容：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
原因解释：如果被平分的弦本身就是直径，那么圆内任意两条直径都互相平分，但两条直径的夹角可以是任意角度，不一定互相垂直，此时也无法保证平分这条弦所对的两条弧，推论的后续结论就不成立，因此必须加上“不是直径”的限制条件。
【答案】
不是直径；如果这条弦本身就是直径，那么任意两条直径都互相平分，但它们不一定互相垂直，所以必须加上“不是直径”的限制条件
【知识点】
垂径定理推论、圆的基本性质
【点评】
本题重点考查对垂径定理推论的理解，需要注意推论中的特殊限制条件，通过举反例的方式能快速理解该限制的必要性，避免后续应用定理解决问题时出现疏漏。
【难度系数】
0.8
如图,在$\odot O$中,弦AB的长为8 cm,圆心O到AB的距离为3 cm,求$\odot O$的半径. 
答案
解：连接OA，过O作OE⊥AB于E，则AE=1/2 AB=4 cm，OE=3 cm，在Rt△AOE中，OA=$\sqrt{AE^2+OE^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$ cm，即$\odot O$的半径为5 cm。
解析
【分析】
要求圆的半径，已知弦长和圆心到弦的距离，可结合垂径定理与勾股定理求解：首先作辅助线，连接圆心与弦的一个端点得到半径，再过圆心作弦的垂线，根据垂径定理可得到弦长的一半，此时半径、弦心距、弦长的一半恰好构成直角三角形，利用勾股定理即可计算出半径长度。
【解析】
连接OA，过O作OE⊥AB于E，
根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，因此$AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4\ \mathrm{cm}$，
由题可知$OE=3\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ AOE$中，由勾股定理得：
$OA=\sqrt{AE^2+OE^2}=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$\odot O$的半径为5 cm。
【知识点】
垂径定理；勾股定理
【点评】
本题是圆中线段计算的基础题型，核心是掌握“弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形”的常用模型，可将圆的计算问题转化为直角三角形的求解问题，解题思路清晰明确。
【难度系数】
0.8
要求圆的半径，已知弦长和圆心到弦的距离，可结合垂径定理与勾股定理求解：首先作辅助线，连接圆心与弦的一个端点得到半径，再过圆心作弦的垂线，根据垂径定理可得到弦长的一半，此时半径、弦心距、弦长的一半恰好构成直角三角形，利用勾股定理即可计算出半径长度。
【解析】
连接OA，过O作OE⊥AB于E，
根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，因此$AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4\ \mathrm{cm}$，
由题可知$OE=3\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ AOE$中，由勾股定理得：
$OA=\sqrt{AE^2+OE^2}=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$\odot O$的半径为5 cm。
【知识点】
垂径定理；勾股定理
【点评】
本题是圆中线段计算的基础题型，核心是掌握“弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形”的常用模型，可将圆的计算问题转化为直角三角形的求解问题，解题思路清晰明确。
【难度系数】
0.8
变式1 如图，OE⊥AB于点E，若⊙O的半径为10 cm，OE = 6 cm，则AB = 
16
cm. 答案
变式1 16
解析
【分析】
本题可结合垂径定理与勾股定理求解。首先观察到过圆心的线段OE垂直于弦AB，根据垂径定理可知E是AB的中点，因此只需先求出半弦长AE的长度，再乘2即可得到AB的总长。要求AE的长度，可连接半径OA，构造直角三角形OAE，利用勾股定理计算AE即可。
【解析】
连接OA，
∵ OE⊥AB，根据垂径定理，可得：$AE = EB = \frac{1}{2}AB$，
在Rt△OAE中，OA = 10 cm，OE = 6 cm，
由勾股定理得：$AE = \sqrt{OA^2 - OE^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{64} = 8$ cm，
∴ $AB = 2AE = 2×8 = 16$ cm。
【答案】
16
【知识点】
垂径定理、勾股定理
【点评】
本题是垂径定理的典型基础应用，解题的核心是通过连接半径构造直角三角形，将弦长求解问题转化为直角三角形边长计算问题，掌握该模型能快速解决同类弦长计算问题。
【难度系数】
0.8
本题可结合垂径定理与勾股定理求解。首先观察到过圆心的线段OE垂直于弦AB，根据垂径定理可知E是AB的中点，因此只需先求出半弦长AE的长度，再乘2即可得到AB的总长。要求AE的长度，可连接半径OA，构造直角三角形OAE，利用勾股定理计算AE即可。
【解析】
连接OA，
∵ OE⊥AB，根据垂径定理，可得：$AE = EB = \frac{1}{2}AB$，
在Rt△OAE中，OA = 10 cm，OE = 6 cm，
由勾股定理得：$AE = \sqrt{OA^2 - OE^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{64} = 8$ cm，
∴ $AB = 2AE = 2×8 = 16$ cm。
【答案】
16
【知识点】
垂径定理、勾股定理
【点评】
本题是垂径定理的典型基础应用，解题的核心是通过连接半径构造直角三角形，将弦长求解问题转化为直角三角形边长计算问题，掌握该模型能快速解决同类弦长计算问题。
【难度系数】
0.8
变式2 如图，$\odot O$的弦$AB=8\ \mathrm{cm}$，直径$CE ⊥ AB$于点$D$，$DC=2\ \mathrm{cm}$. 求$\odot O$的半径.
【归纳总结】在圆中有关弦长$a$、半径$r$、弦心距$d$(圆心到弦的距离)、弓形高$h$的计算时，常常通过连半径，或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.
【归纳总结】在圆中有关弦长$a$、半径$r$、弦心距$d$(圆心到弦的距离)、弓形高$h$的计算时，常常通过连半径，或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.
答案
变式2 解：设$\odot O$的半径为r cm，则OD=(r-2) cm，连接OA，由垂径定理得AD=1/2 AB=4 cm，在Rt△AOD中，$OA^2=AD^2+OD^2$，即$r^2=4^2+(r-2)^2$，解得r=5，即$\odot O$的半径为5 cm。
解析
【分析】
遇到直径垂直于弦的问题，首先结合垂径定理可得弦被交点平分，先求出弦长的一半AD的长度。要求圆的半径，可连接半径OA构造直角三角形，设半径为r，用含r的式子表示出OD的长度，再在直角三角形中利用勾股定理列方程，解方程即可求出半径。
【解析】
解：设$\odot O$的半径为$r\ \mathrm{cm}$，则$OC=OA=r\ \mathrm{cm}$。
$\because DC=2\ \mathrm{cm}$，$\therefore OD=OC-DC=(r-2)\ \mathrm{cm}$。
连接$OA$，
$\because$直径$CE⊥ AB$，$AB=8\ \mathrm{cm}$，由垂径定理得：
$AD=\frac{1}{2}AB=4\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ AOD$中，根据勾股定理有$OA^2=AD^2+OD^2$，
代入得：$r^2=4^2+(r-2)^2$，
展开整理：$r^2=16+r^2-4r+4$，
消去$r^2$后解得：$4r=20$，$r=5$。
【答案】
$\odot O$的半径为$5\ \mathrm{cm}$
【知识点】
垂径定理；勾股定理；方程思想
【点评】
本题是圆中线段计算的基础题型，解题关键是利用垂径定理构造直角三角形，将几何关系转化为方程求解，该思路是解决圆中弦长、半径、弦心距相关计算的核心方法，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
遇到直径垂直于弦的问题，首先结合垂径定理可得弦被交点平分，先求出弦长的一半AD的长度。要求圆的半径，可连接半径OA构造直角三角形，设半径为r，用含r的式子表示出OD的长度，再在直角三角形中利用勾股定理列方程，解方程即可求出半径。
【解析】
解：设$\odot O$的半径为$r\ \mathrm{cm}$，则$OC=OA=r\ \mathrm{cm}$。
$\because DC=2\ \mathrm{cm}$，$\therefore OD=OC-DC=(r-2)\ \mathrm{cm}$。
连接$OA$，
$\because$直径$CE⊥ AB$，$AB=8\ \mathrm{cm}$，由垂径定理得：
$AD=\frac{1}{2}AB=4\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ AOD$中，根据勾股定理有$OA^2=AD^2+OD^2$，
代入得：$r^2=4^2+(r-2)^2$，
展开整理：$r^2=16+r^2-4r+4$，
消去$r^2$后解得：$4r=20$，$r=5$。
【答案】
$\odot O$的半径为$5\ \mathrm{cm}$
【知识点】
垂径定理；勾股定理；方程思想
【点评】
本题是圆中线段计算的基础题型，解题关键是利用垂径定理构造直角三角形，将几何关系转化为方程求解，该思路是解决圆中弦长、半径、弦心距相关计算的核心方法，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
1. 下列命题中正确的是(
A.圆只有一条对称轴
B.圆的对称轴不止一条,但只有有限条
C.圆有无数条对称轴,每条直径都是它的对称轴
D.圆有无数条对称轴,经过圆心的每条直线都是它的对称轴
D
)A.圆只有一条对称轴
B.圆的对称轴不止一条,但只有有限条
C.圆有无数条对称轴,每条直径都是它的对称轴
D.圆有无数条对称轴,经过圆心的每条直线都是它的对称轴
答案
1. D
解析
【分析】
解题时首先回忆对称轴的定义：沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形，这条直线叫做对称轴。再结合圆的性质分析：圆是轴对称图形，过圆心的直线都能让圆折叠后两边完全重合，接下来逐个排查选项，注意区分“直径（线段）”和“直线”的差异，就能选出正确答案。
【解析】
首先明确对称轴是直线，满足沿其折叠后图形两边完全重合的性质：
选项A：圆沿任意一条过圆心的直线折叠都能重合，对称轴远不止1条，故A错误；
选项B：过圆心的直线有无数条，因此圆的对称轴有无数条，不是有限条，故B错误；
选项C：直径是两端点在圆上且过圆心的线段，而对称轴是直线，不能说直径是对称轴，故C错误；
选项D：经过圆心的每条直线都能使圆折叠后两边完全重合，这类直线有无数条，符合圆的对称轴性质，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 圆的对称性 2. 对称轴的概念
【点评】
本题属于基础概念题，易错点是误将直径（线段）当成对称轴（直线），只要准确掌握对称轴的定义和圆的轴对称性质，就能轻松做对。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆对称轴的定义：沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形，这条直线叫做对称轴。再结合圆的性质分析：圆是轴对称图形，过圆心的直线都能让圆折叠后两边完全重合，接下来逐个排查选项，注意区分“直径（线段）”和“直线”的差异，就能选出正确答案。
【解析】
首先明确对称轴是直线，满足沿其折叠后图形两边完全重合的性质：
选项A：圆沿任意一条过圆心的直线折叠都能重合，对称轴远不止1条，故A错误；
选项B：过圆心的直线有无数条，因此圆的对称轴有无数条，不是有限条，故B错误；
选项C：直径是两端点在圆上且过圆心的线段，而对称轴是直线，不能说直径是对称轴，故C错误；
选项D：经过圆心的每条直线都能使圆折叠后两边完全重合，这类直线有无数条，符合圆的对称轴性质，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 圆的对称性 2. 对称轴的概念
【点评】
本题属于基础概念题，易错点是误将直径（线段）当成对称轴（直线），只要准确掌握对称轴的定义和圆的轴对称性质，就能轻松做对。
【难度系数】
0.8
