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2. 如图，AB是$\odot O$的直径，弦$CD ⊥ AB$于点$E$，$OC = 5\ \mathrm{cm}$，$CD = 8\ \mathrm{cm}$，则$AE$等于(
A.$8\ \mathrm{cm}$
B.$5\ \mathrm{cm}$
C.$3\ \mathrm{cm}$
D.$2\ \mathrm{cm}$
第2题图
A
)A.$8\ \mathrm{cm}$
B.$5\ \mathrm{cm}$
C.$3\ \mathrm{cm}$
D.$2\ \mathrm{cm}$
第2题图答案
2. A
解析
【分析】
要求AE的长度，首先回忆垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，可先求出弦CD的一半CE的长度；再观察△OCE是直角三角形，已知斜边OC（即圆的半径）和直角边CE的长度，利用勾股定理可求出OE的长度；最后AE等于半径AO与OE的和，代入数值计算即可。
【解析】
解：
∵AB是$\odot O$的直径，$CD⊥AB$于E，
∴根据垂径定理，$CE=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×8=4\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ OCE$中，$OC=5\ \mathrm{cm}$，$CE=4\ \mathrm{cm}$，
由勾股定理得：$OE=\sqrt{OC^2 - CE^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=\sqrt{9}=3\ \mathrm{cm}$，
又
∵AO是$\odot O$的半径，$AO=OC=5\ \mathrm{cm}$，
∴$AE=AO + OE=5 + 3=8\ \mathrm{cm}$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆的基本性质
【点评】
本题是圆中线段计算的基础题型，核心考查垂径定理的应用，解题时结合直角三角形勾股定理计算线段长度，需要注意区分所求线段的组成，避免误算成AO减OE。
【难度系数】
0.7
要求AE的长度，首先回忆垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，可先求出弦CD的一半CE的长度；再观察△OCE是直角三角形，已知斜边OC（即圆的半径）和直角边CE的长度，利用勾股定理可求出OE的长度；最后AE等于半径AO与OE的和，代入数值计算即可。
【解析】
解：
∵AB是$\odot O$的直径，$CD⊥AB$于E，
∴根据垂径定理，$CE=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×8=4\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ OCE$中，$OC=5\ \mathrm{cm}$，$CE=4\ \mathrm{cm}$，
由勾股定理得：$OE=\sqrt{OC^2 - CE^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=\sqrt{9}=3\ \mathrm{cm}$，
又
∵AO是$\odot O$的半径，$AO=OC=5\ \mathrm{cm}$，
∴$AE=AO + OE=5 + 3=8\ \mathrm{cm}$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆的基本性质
【点评】
本题是圆中线段计算的基础题型，核心考查垂径定理的应用，解题时结合直角三角形勾股定理计算线段长度，需要注意区分所求线段的组成，避免误算成AO减OE。
【难度系数】
0.7
3. 如图，CE是$\odot O$的直径，AB为$\odot O$的弦，$EC ⊥ AB$，垂足为D，下列结论正确的有（
①$AD = BD$；②$\overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{BC}$；③$\overset{\frown}{AE} = \overset{\frown}{BE}$；④$OD = CD$.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
C
）①$AD = BD$；②$\overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{BC}$；③$\overset{\frown}{AE} = \overset{\frown}{BE}$；④$OD = CD$.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
3. C
解析
【分析】
遇到直径垂直于弦的几何问题，首先关联垂径定理的相关知识：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧。我们只需依据该定理逐一判断四个结论是否成立，统计正确结论的个数就能得到答案。
【解析】
已知CE是$\odot O$的直径，且$EC⊥ AB$，垂足为D，根据垂径定理推导：
1. 垂直于弦的直径平分弦，因此$AD=BD$，结论①正确；
2. 垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧，因此弦AB对应的劣弧$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，对应的优弧$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BE}$，结论②③正确；
3. 题干仅给出$EC⊥ AB$，没有信息表明D是OC的中点，因此$OD=CD$不一定成立，结论④错误。
综上，正确的结论共有3个。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理；弦弧关系
【点评】
本题属于垂径定理的基础应用题目，解题核心是熟练掌握垂径定理的内容，注意不要无依据默认D为OC的中点，避免误判第④个结论。
【难度系数】
0.7
遇到直径垂直于弦的几何问题，首先关联垂径定理的相关知识：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧。我们只需依据该定理逐一判断四个结论是否成立，统计正确结论的个数就能得到答案。
【解析】
已知CE是$\odot O$的直径，且$EC⊥ AB$，垂足为D，根据垂径定理推导：
1. 垂直于弦的直径平分弦，因此$AD=BD$，结论①正确；
2. 垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧，因此弦AB对应的劣弧$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，对应的优弧$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BE}$，结论②③正确；
3. 题干仅给出$EC⊥ AB$，没有信息表明D是OC的中点，因此$OD=CD$不一定成立，结论④错误。
综上，正确的结论共有3个。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理；弦弧关系
【点评】
本题属于垂径定理的基础应用题目，解题核心是熟练掌握垂径定理的内容，注意不要无依据默认D为OC的中点，避免误判第④个结论。
【难度系数】
0.7
1. 如图,已知$\odot O$的半径为13,弦AB长为24,则点O到AB的距离是(
A.6
B.5
C.4
D.3
B
)A.6
B.5
C.4
D.3
答案
1. B
解析
【分析】
要计算圆心O到弦AB的距离，我们可以利用垂径定理构造直角三角形求解：首先过圆心作弦AB的垂线，根据垂径定理，该垂线会平分弦AB，得到直角三角形的一条直角边长度，再结合半径作为斜边，用勾股定理即可求出圆心到弦的距离。
【解析】
过点O作$OD⊥AB$于点D，
根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，可得$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×24=12$，
在$Rt△ AOD$中，OA是$\odot O$的半径，$OA=13$，由勾股定理可得：
$OD=\sqrt{OA^2 - AD^2}=\sqrt{13^2 - 12^2}=\sqrt{169 - 144}=\sqrt{25}=5$，
即点O到AB的距离是5，故选B。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理；勾股定理
【点评】
本题是圆中计算类基础题型，核心是通过作垂线构造“半径、半弦长、圆心距”组成的直角三角形，再结合勾股定理计算未知量，是圆相关计算的常考基础模型。
【难度系数】
0.8
要计算圆心O到弦AB的距离，我们可以利用垂径定理构造直角三角形求解：首先过圆心作弦AB的垂线，根据垂径定理，该垂线会平分弦AB，得到直角三角形的一条直角边长度，再结合半径作为斜边，用勾股定理即可求出圆心到弦的距离。
【解析】
过点O作$OD⊥AB$于点D，
根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，可得$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×24=12$，
在$Rt△ AOD$中，OA是$\odot O$的半径，$OA=13$，由勾股定理可得：
$OD=\sqrt{OA^2 - AD^2}=\sqrt{13^2 - 12^2}=\sqrt{169 - 144}=\sqrt{25}=5$，
即点O到AB的距离是5，故选B。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理；勾股定理
【点评】
本题是圆中计算类基础题型，核心是通过作垂线构造“半径、半弦长、圆心距”组成的直角三角形，再结合勾股定理计算未知量，是圆相关计算的常考基础模型。
【难度系数】
0.8
2. 如图，AB是$\odot O$的直径，弦$CD ⊥ AB$于点E. 如果$AB = 10$，$CD = 8$，那么AE的长为
2
.答案
2. 2
解析
【分析】
本题是圆中线段长度求解问题，解题思路如下：首先看到直径AB垂直于弦CD，优先联想到垂径定理，可得到弦CD被AB平分，先求出弦长的一半；接下来连接半径OC，构造出直角三角形OCE，借助勾股定理算出OE的长度；最后用半径OA的长度减去OE的长度，即可得到AE的长。
【解析】
连接OC，
∵AB是$\odot O$的直径，$AB=10$，
∴$OC=OA=\frac{1}{2}AB=5$，
∵$CD⊥AB$于点E，$CD=8$，根据垂径定理可得：
$CE=\frac{1}{2}CD=4$，
在$Rt△ OCE$中，由勾股定理得：
$OE=\sqrt{OC^2-CE^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{9}=3$，
∴$AE=OA-OE=5-3=2$。
【答案】
2
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题属于圆的基础计算题，核心是利用垂径定理结合勾股定理求解，解决这类问题的常用技巧是连接半径构造直角三角形，将圆的问题转化为直角三角形的计算问题。
【难度系数】
0.7
本题是圆中线段长度求解问题，解题思路如下：首先看到直径AB垂直于弦CD，优先联想到垂径定理，可得到弦CD被AB平分，先求出弦长的一半；接下来连接半径OC，构造出直角三角形OCE，借助勾股定理算出OE的长度；最后用半径OA的长度减去OE的长度，即可得到AE的长。
【解析】
连接OC，
∵AB是$\odot O$的直径，$AB=10$，
∴$OC=OA=\frac{1}{2}AB=5$，
∵$CD⊥AB$于点E，$CD=8$，根据垂径定理可得：
$CE=\frac{1}{2}CD=4$，
在$Rt△ OCE$中，由勾股定理得：
$OE=\sqrt{OC^2-CE^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{9}=3$，
∴$AE=OA-OE=5-3=2$。
【答案】
2
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题属于圆的基础计算题，核心是利用垂径定理结合勾股定理求解，解决这类问题的常用技巧是连接半径构造直角三角形，将圆的问题转化为直角三角形的计算问题。
【难度系数】
0.7
3. 如图，AB是半径为$\sqrt{31}$ cm的圆的弦，交半径为$\sqrt{7}$ cm的同心圆于C，D两点. 已知圆心O到AB的距离为2 cm，则AC=
2√3
cm.答案
3. 2√3
解析
【分析】
遇到圆中弦长计算问题，首先考虑垂径定理的应用：过圆心作弦的垂线，即可利用“垂直于弦的直径平分弦”的性质将弦长等分，同时构造出含半径、弦心距、半弦长的直角三角形，再结合勾股定理分别计算出大圆半弦长AE和小圆半弦长CE，二者的差即为AC的长度。
【解析】
过点O作OE⊥AB于点E，根据垂径定理可得：AE=EB，CE=ED。
由题意可知：OE=2cm，大圆半径$OA=\sqrt{31}\ \mathrm{cm}$，小圆半径$OC=\sqrt{7}\ \mathrm{cm}$。
在Rt△OAE中，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{OA^2-OE^2}=\sqrt{(\sqrt{31})^2-2^2}=\sqrt{31-4}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$；
在Rt△OCE中，由勾股定理得：
$CE=\sqrt{OC^2-OE^2}=\sqrt{(\sqrt{7})^2-2^2}=\sqrt{7-4}=\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$；
因此$AC=AE-CE=3\sqrt{3}-\sqrt{3}=2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$2\sqrt{3}$
【知识点】
垂径定理、勾股定理
【点评】
本题是圆中弦长计算的典型基础题，解题的核心是通过作圆心到弦的垂线构造直角三角形，将垂径定理和勾股定理结合求解，熟练掌握相关定理就能快速得到答案。
【难度系数】
0.7
遇到圆中弦长计算问题，首先考虑垂径定理的应用：过圆心作弦的垂线，即可利用“垂直于弦的直径平分弦”的性质将弦长等分，同时构造出含半径、弦心距、半弦长的直角三角形，再结合勾股定理分别计算出大圆半弦长AE和小圆半弦长CE，二者的差即为AC的长度。
【解析】
过点O作OE⊥AB于点E，根据垂径定理可得：AE=EB，CE=ED。
由题意可知：OE=2cm，大圆半径$OA=\sqrt{31}\ \mathrm{cm}$，小圆半径$OC=\sqrt{7}\ \mathrm{cm}$。
在Rt△OAE中，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{OA^2-OE^2}=\sqrt{(\sqrt{31})^2-2^2}=\sqrt{31-4}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$；
在Rt△OCE中，由勾股定理得：
$CE=\sqrt{OC^2-OE^2}=\sqrt{(\sqrt{7})^2-2^2}=\sqrt{7-4}=\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$；
因此$AC=AE-CE=3\sqrt{3}-\sqrt{3}=2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$2\sqrt{3}$
【知识点】
垂径定理、勾股定理
【点评】
本题是圆中弦长计算的典型基础题，解题的核心是通过作圆心到弦的垂线构造直角三角形，将垂径定理和勾股定理结合求解，熟练掌握相关定理就能快速得到答案。
【难度系数】
0.7
4. 如图，$OA = OB$，$AB$交$\odot O$于点$C,D$，$OE$是半径，且$OE ⊥ AB$于点$F$.
（1）求证：$AC = BD$.
（2）若$CD = 10$，$EF = 3$，求$\odot O$的半径.
（1）求证：$AC = BD$.
（2）若$CD = 10$，$EF = 3$，求$\odot O$的半径.
答案
4. (1) 略;(2) r = 17/3
解析
【分析】
（1）要证明$AC=BD$，可先利用等腰三角形三线合一的性质得到$AF=BF$，再结合垂径定理得到$CF=DF$，通过线段的差量关系即可推出结论；（2）求圆的半径时，可设半径为$r$，用含$r$的式子表示出$OF$的长度，再在直角三角形$OFC$中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
（1）证明：
$\because OA=OB$，$OE⊥ AB$，
根据等腰三角形三线合一的性质，可得$AF=BF$，
又$\because OE$是$\odot O$的半径，且$OE⊥$弦$CD$，
根据垂径定理，可得$CF=DF$，
$\therefore AF-CF=BF-DF$，
即$AC=BD$。
（2）解：设$\odot O$的半径为$r$，则$OC=OE=r$，
$\because EF=3$，$\therefore OF=OE-EF=r-3$，
$\because OE⊥ CD$，$CD=10$，
$\therefore CF=\frac{1}{2}CD=5$，
在$\mathrm{Rt}△ OFC$中，由勾股定理得$OC^2=OF^2+CF^2$，
代入数值可得：$r^2=(r-3)^2+5^2$，
展开整理得：$r^2=r^2-6r+9+25$，
移项合并得：$6r=34$，
解得$r=\frac{17}{3}$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $\boxed{\dfrac{17}{3}}$
【知识点】
垂径定理；等腰三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题是圆与三角形性质的综合应用题，第一问利用线段和差证明线段相等是基础的几何证明思路，第二问结合勾股定理列方程求半径是圆中长度计算的常用方法，需熟练掌握垂径定理的适用条件。
【难度系数】
0.7
（1）要证明$AC=BD$，可先利用等腰三角形三线合一的性质得到$AF=BF$，再结合垂径定理得到$CF=DF$，通过线段的差量关系即可推出结论；（2）求圆的半径时，可设半径为$r$，用含$r$的式子表示出$OF$的长度，再在直角三角形$OFC$中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
（1）证明：
$\because OA=OB$，$OE⊥ AB$，
根据等腰三角形三线合一的性质，可得$AF=BF$，
又$\because OE$是$\odot O$的半径，且$OE⊥$弦$CD$，
根据垂径定理，可得$CF=DF$，
$\therefore AF-CF=BF-DF$，
即$AC=BD$。
（2）解：设$\odot O$的半径为$r$，则$OC=OE=r$，
$\because EF=3$，$\therefore OF=OE-EF=r-3$，
$\because OE⊥ CD$，$CD=10$，
$\therefore CF=\frac{1}{2}CD=5$，
在$\mathrm{Rt}△ OFC$中，由勾股定理得$OC^2=OF^2+CF^2$，
代入数值可得：$r^2=(r-3)^2+5^2$，
展开整理得：$r^2=r^2-6r+9+25$，
移项合并得：$6r=34$，
解得$r=\frac{17}{3}$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $\boxed{\dfrac{17}{3}}$
【知识点】
垂径定理；等腰三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题是圆与三角形性质的综合应用题，第一问利用线段和差证明线段相等是基础的几何证明思路，第二问结合勾股定理列方程求半径是圆中长度计算的常用方法，需熟练掌握垂径定理的适用条件。
【难度系数】
0.7
