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例 如图,在 $Rt△ ABC$ 中,$∠ C = 90°$,若 $AC = 5\ \mathrm{cm},BC = 12\ \mathrm{cm}$,求 $△ ABC$ 的外接圆的半径.
注意:解答问题时要思考全面,克服片面性思维,加强图形意识的培养.
$\because ∠ 1 + ∠ 2$ $180°$,
$\therefore ∠ 3 + ∠ 2 ≠ 180°$,这和 矛盾.
$\therefore$ 假设 $∠ 1 + ∠ 2$ $180°$ 不成立.
$\therefore ∠ 1 + ∠ 2 = 180°$.
注意:解答问题时要思考全面,克服片面性思维,加强图形意识的培养.
$\because ∠ 1 + ∠ 2$ $180°$,
$\therefore ∠ 3 + ∠ 2 ≠ 180°$,这和 矛盾.
$\therefore$ 假设 $∠ 1 + ∠ 2$ $180°$ 不成立.
$\therefore ∠ 1 + ∠ 2 = 180°$.
答案
解：
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，
由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{5^2+12^2}=13\ \mathrm{cm}$
$\because$ 直角三角形的外接圆直径为斜边，圆心为斜边中点，
$\therefore △ ABC$的外接圆半径$r=\frac{1}{2}AB=\frac{13}{2}=6.5\ \mathrm{cm}$。
填空答案依次为：$\boldsymbol{≠}$；过不在同一直线上的三点$A,B,C$确定的圆内接四边形对角和为$180°$；$\boldsymbol{≠}$
答：$△ ABC$的外接圆的半径为$6.5\ \mathrm{cm}$。
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，
由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{5^2+12^2}=13\ \mathrm{cm}$
$\because$ 直角三角形的外接圆直径为斜边，圆心为斜边中点，
$\therefore △ ABC$的外接圆半径$r=\frac{1}{2}AB=\frac{13}{2}=6.5\ \mathrm{cm}$。
填空答案依次为：$\boldsymbol{≠}$；过不在同一直线上的三点$A,B,C$确定的圆内接四边形对角和为$180°$；$\boldsymbol{≠}$
答：$△ ABC$的外接圆的半径为$6.5\ \mathrm{cm}$。
解析
【分析】
本题包含两部分求解内容：①求直角三角形外接圆半径：首先明确直角三角形外接圆的核心特征——外接圆的直径就是三角形的斜边，圆心为斜边中点，因此只要先通过勾股定理算出斜边长度，再取一半即可得到外接圆半径；②反证法填空：按照反证法的逻辑思考，先假设原结论不成立，再推导得出和已学定理矛盾的结果，即可反推原结论成立。
【解析】
一、计算外接圆半径
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC = 5\ \mathrm{cm},BC = 12\ \mathrm{cm}$，
由勾股定理可得斜边$AB$的长度：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13\ \mathrm{cm}$
因为直角三角形的外接圆直径为斜边，圆心为斜边中点，
所以$△ ABC$的外接圆半径$r=\frac{1}{2}AB=\frac{13}{2}=6.5\ \mathrm{cm}$。
二、反证法填空
反证法第一步先假设原结论$∠1+∠2=180°$不成立，因此第一空填$\boldsymbol{≠}$；
推导后得到$∠3 + ∠2 ≠ 180°$，这和过不在同一直线上的三点$A,B,C$确定的圆内接四边形对角和为$180°$的定理矛盾，因此第二空填该定理内容；
由此可知最初的假设不成立，所以第三空填$\boldsymbol{≠}$，表示假设的“$∠1+∠2≠180°$”是错误的。
【答案】
$△ ABC$的外接圆的半径为$6.5\ \mathrm{cm}$；填空答案依次为：$\boldsymbol{≠}$；过不在同一直线上的三点$A,B,C$确定的圆内接四边形对角和为$180°$；$\boldsymbol{≠}$
【知识点】
勾股定理；直角三角形外接圆性质；反证法
【点评】
本题属于基础题，同时考查了直角三角形外接圆的计算和反证法的推理逻辑，解题的关键是牢记直角三角形外接圆直径与斜边的关系，以及反证法的三步推理流程：假设结论不成立、推导矛盾、肯定原结论。
【难度系数】
0.75
本题包含两部分求解内容：①求直角三角形外接圆半径：首先明确直角三角形外接圆的核心特征——外接圆的直径就是三角形的斜边，圆心为斜边中点，因此只要先通过勾股定理算出斜边长度，再取一半即可得到外接圆半径；②反证法填空：按照反证法的逻辑思考，先假设原结论不成立，再推导得出和已学定理矛盾的结果，即可反推原结论成立。
【解析】
一、计算外接圆半径
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC = 5\ \mathrm{cm},BC = 12\ \mathrm{cm}$，
由勾股定理可得斜边$AB$的长度：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13\ \mathrm{cm}$
因为直角三角形的外接圆直径为斜边，圆心为斜边中点，
所以$△ ABC$的外接圆半径$r=\frac{1}{2}AB=\frac{13}{2}=6.5\ \mathrm{cm}$。
二、反证法填空
反证法第一步先假设原结论$∠1+∠2=180°$不成立，因此第一空填$\boldsymbol{≠}$；
推导后得到$∠3 + ∠2 ≠ 180°$，这和过不在同一直线上的三点$A,B,C$确定的圆内接四边形对角和为$180°$的定理矛盾，因此第二空填该定理内容；
由此可知最初的假设不成立，所以第三空填$\boldsymbol{≠}$，表示假设的“$∠1+∠2≠180°$”是错误的。
【答案】
$△ ABC$的外接圆的半径为$6.5\ \mathrm{cm}$；填空答案依次为：$\boldsymbol{≠}$；过不在同一直线上的三点$A,B,C$确定的圆内接四边形对角和为$180°$；$\boldsymbol{≠}$
【知识点】
勾股定理；直角三角形外接圆性质；反证法
【点评】
本题属于基础题，同时考查了直角三角形外接圆的计算和反证法的推理逻辑，解题的关键是牢记直角三角形外接圆直径与斜边的关系，以及反证法的三步推理流程：假设结论不成立、推导矛盾、肯定原结论。
【难度系数】
0.75
1.不在同一直线上的三个点可以确定一个圆,这里“确定”的意思是.
2.用反证法证明命题时,其步骤可总结为“欲得其正,追究其反,推出矛盾,肯定其正”.
2.用反证法证明命题时,其步骤可总结为“欲得其正,追究其反,推出矛盾,肯定其正”.
答案
解：
1. 有且只有一个圆经过这三个点
1. 有且只有一个圆经过这三个点
解析
【分析】
第1题考查对“确定”在几何定理中的含义理解，解题时可结合过三点作圆的性质思考：过平面内1个或2个点都能画出无数个圆，当三个点不在同一直线上时，首先存在可以经过这三个点的圆，其次这样的圆只有1个，因此“确定”同时包含存在性和唯一性两层含义。第2题为反证法步骤的常识性描述，无对应设问，了解即可。
【解析】
1. 过不在同一直线上的三个点作圆时，任意两点连线的垂直平分线交于唯一一点，该点为圆心，它到三个点的距离相等作为半径，既存在这样的圆，且圆的圆心、半径均唯一，因此“确定”的意思是有且只有一个圆经过这三个点。
2. 本题仅给出反证法步骤的总结，无对应设问，无需作答。
【答案】
1. 有且只有一个圆经过这三个点
【知识点】
过三点的圆；反证法
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点是要明确数学中“确定”一词通常同时包含“存在”和“唯一”两层意思，概念掌握扎实即可轻松作答。
【难度系数】
0.9
第1题考查对“确定”在几何定理中的含义理解，解题时可结合过三点作圆的性质思考：过平面内1个或2个点都能画出无数个圆，当三个点不在同一直线上时，首先存在可以经过这三个点的圆，其次这样的圆只有1个，因此“确定”同时包含存在性和唯一性两层含义。第2题为反证法步骤的常识性描述，无对应设问，了解即可。
【解析】
1. 过不在同一直线上的三个点作圆时，任意两点连线的垂直平分线交于唯一一点，该点为圆心，它到三个点的距离相等作为半径，既存在这样的圆，且圆的圆心、半径均唯一，因此“确定”的意思是有且只有一个圆经过这三个点。
2. 本题仅给出反证法步骤的总结，无对应设问，无需作答。
【答案】
1. 有且只有一个圆经过这三个点
【知识点】
过三点的圆；反证法
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点是要明确数学中“确定”一词通常同时包含“存在”和“唯一”两层意思，概念掌握扎实即可轻松作答。
【难度系数】
0.9
1. 如图，以点A(1,1)为圆心，AO为半径画圆，则点P(-1,1),Q(1,0),R(2,2)与⊙A的位置关系：
点P在
2. 用反证法证明“平行于同一条直线的
点P在
圆外
，点Q在圆内
，点R在圆上
.2. 用反证法证明“平行于同一条直线的
答案
1. 圆外 圆内 圆上
解析
【分析】
判断点与圆的位置关系的核心方法是比较点到圆心的距离d和圆半径r的大小：若d＞r，点在圆外；若d=r，点在圆上；若d＜r，点在圆内。解题时首先计算⊙A的半径AO的长度，再分别计算P、Q、R三点到圆心A的距离，最后将三个距离分别和半径比较即可得出各点的位置。
【解析】
首先计算⊙A的半径r=AO的长度，已知A(1,1)，原点O(0,0)，根据两点间距离公式：
$r = AO = \sqrt{(1-0)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$
1. 计算点P(-1,1)到A的距离：
$AP = \sqrt{(-1-1)^2 + (1-1)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 0} = \sqrt{4} = 2$
∵$2＞\sqrt{2}$，即$d＞r$，
∴点P在圆外。
2. 计算点Q(1,0)到A的距离：
$AQ = \sqrt{(1-1)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{0 + 1} = 1$
∵$1＜\sqrt{2}$，即$d＜r$，
∴点Q在圆内。
3. 计算点R(2,2)到A的距离：
$AR = \sqrt{(2-1)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$
∵$\sqrt{2}=\sqrt{2}$，即$d=r$，
∴点R在圆上。
【答案】
圆外；圆内；圆上
【知识点】
点与圆的位置关系判定；两点间距离公式
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是牢记点和圆位置关系的判定规则，能正确运用两点间距离公式计算点到圆心的距离，再和半径比较即可得出结论。
【难度系数】
0.8
判断点与圆的位置关系的核心方法是比较点到圆心的距离d和圆半径r的大小：若d＞r，点在圆外；若d=r，点在圆上；若d＜r，点在圆内。解题时首先计算⊙A的半径AO的长度，再分别计算P、Q、R三点到圆心A的距离，最后将三个距离分别和半径比较即可得出各点的位置。
【解析】
首先计算⊙A的半径r=AO的长度，已知A(1,1)，原点O(0,0)，根据两点间距离公式：
$r = AO = \sqrt{(1-0)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$
1. 计算点P(-1,1)到A的距离：
$AP = \sqrt{(-1-1)^2 + (1-1)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 0} = \sqrt{4} = 2$
∵$2＞\sqrt{2}$，即$d＞r$，
∴点P在圆外。
2. 计算点Q(1,0)到A的距离：
$AQ = \sqrt{(1-1)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{0 + 1} = 1$
∵$1＜\sqrt{2}$，即$d＜r$，
∴点Q在圆内。
3. 计算点R(2,2)到A的距离：
$AR = \sqrt{(2-1)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$
∵$\sqrt{2}=\sqrt{2}$，即$d=r$，
∴点R在圆上。
【答案】
圆外；圆内；圆上
【知识点】
点与圆的位置关系判定；两点间距离公式
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是牢记点和圆位置关系的判定规则，能正确运用两点间距离公式计算点到圆心的距离，再和半径比较即可得出结论。
【难度系数】
0.8
2. 用反证法证明“平行于同一条直线的两条直线互相平行”时,先假设
平行于同一条直线的两条直线不平行
成立,然后经过推理与平行公理相矛盾.答案
2. 平行于同一条直线的两条直线不平行
解析
【分析】
使用反证法证明命题时，第一步需要先否定原命题的结论，即假设结论的反面成立。首先明确本题中原命题的结构：题设为“两条直线平行于同一条直线”，结论为“这两条直线互相平行”，因此我们需要先假设结论的反面成立，再进行推理验证是否会出现矛盾。
【解析】
反证法的第一步是假设待证命题的结论不成立，也就是假设结论的反面为真。
本题待证命题是“平行于同一条直线的两条直线互相平行”，其结论是“两条直线互相平行”，结论的反面为“平行于同一条直线的两条直线不平行”，因此先假设该内容成立，后续推理会与平行公理产生矛盾，从而证明原命题成立。
【答案】
平行于同一条直线的两条直线不平行
【知识点】
反证法；平行公理
【点评】
本题考查反证法的基本操作步骤，核心是要准确找到原命题的结论，再写出结论的反面作为反证的假设，属于基础概念考查题，熟练掌握反证法的逻辑流程即可快速作答。
【难度系数】
0.9
使用反证法证明命题时，第一步需要先否定原命题的结论，即假设结论的反面成立。首先明确本题中原命题的结构：题设为“两条直线平行于同一条直线”，结论为“这两条直线互相平行”，因此我们需要先假设结论的反面成立，再进行推理验证是否会出现矛盾。
【解析】
反证法的第一步是假设待证命题的结论不成立，也就是假设结论的反面为真。
本题待证命题是“平行于同一条直线的两条直线互相平行”，其结论是“两条直线互相平行”，结论的反面为“平行于同一条直线的两条直线不平行”，因此先假设该内容成立，后续推理会与平行公理产生矛盾，从而证明原命题成立。
【答案】
平行于同一条直线的两条直线不平行
【知识点】
反证法；平行公理
【点评】
本题考查反证法的基本操作步骤，核心是要准确找到原命题的结论，再写出结论的反面作为反证的假设，属于基础概念考查题，熟练掌握反证法的逻辑流程即可快速作答。
【难度系数】
0.9
2.用反证法证明时,假设结论“点在圆外”不成立,那么点与圆的位置关系只能是（）
A.点在圆内
B.点在圆上
C.点在圆心上
D.点在圆上或圆内
A.点在圆内
B.点在圆上
C.点在圆心上
D.点在圆上或圆内
答案
D
解析
【分析】
解题时首先要明确两个核心知识：一是点与圆的所有位置关系共有三类，二是反证法的假设是对原结论的完全否定。首先回忆点和圆的位置关系：点在圆外、点在圆上、点在圆内。原结论是“点在圆外”，它不成立就意味着排除“点在圆外”这一种情况，剩下的所有可能情况就是我们要找的结果。
【解析】
点与圆的位置关系共有三种：①点在圆外；②点在圆上；③点在圆内。
用反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，即“点不在圆外”，因此点的位置只能是剩下的两种情况：点在圆上或者点在圆内。
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
反证法；点与圆的位置关系
【点评】
本题是基础概念考查题，重点要求学生掌握点与圆的三类位置关系，同时理解反证法中对结论否定的逻辑，避免遗漏情况即可正确作答。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确两个核心知识：一是点与圆的所有位置关系共有三类，二是反证法的假设是对原结论的完全否定。首先回忆点和圆的位置关系：点在圆外、点在圆上、点在圆内。原结论是“点在圆外”，它不成立就意味着排除“点在圆外”这一种情况，剩下的所有可能情况就是我们要找的结果。
【解析】
点与圆的位置关系共有三种：①点在圆外；②点在圆上；③点在圆内。
用反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，即“点不在圆外”，因此点的位置只能是剩下的两种情况：点在圆上或者点在圆内。
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
反证法；点与圆的位置关系
【点评】
本题是基础概念考查题，重点要求学生掌握点与圆的三类位置关系，同时理解反证法中对结论否定的逻辑，避免遗漏情况即可正确作答。
【难度系数】
0.8
3. 用反证法证明:两直线平行,同旁内角互补.
如图,$l_1 // l_2$,$l_1$,$l_2$都被$l_3$所截.
求证:$∠ 1 + ∠ 2 = 180°$.
证明:假设 $∠ 1 + ∠ 2$ $180°$.
$\because l_1 // l_2$(已知),
$\therefore ∠ 1$ $∠ 3$().
如图,$l_1 // l_2$,$l_1$,$l_2$都被$l_3$所截.
求证:$∠ 1 + ∠ 2 = 180°$.
证明:假设 $∠ 1 + ∠ 2$ $180°$.
$\because l_1 // l_2$(已知),
$\therefore ∠ 1$ $∠ 3$().
答案
证明:假设 $∠ 1 + ∠ 2 \boldsymbol{≠} 180°$.
$\because l_1 // l_2$(已知),
$\therefore ∠ 1 \boldsymbol{=} ∠ 3$(两直线平行，同位角相等).
又$\because ∠ 2 + ∠ 3 = 180°$(平角的定义),
$\therefore ∠ 1 + ∠ 2 = 180°$, 这与假设$∠ 1 + ∠ 2 ≠ 180°$矛盾.
$\therefore$ 假设不成立，$∠ 1 + ∠ 2 = 180°$.
$\because l_1 // l_2$(已知),
$\therefore ∠ 1 \boldsymbol{=} ∠ 3$(两直线平行，同位角相等).
又$\because ∠ 2 + ∠ 3 = 180°$(平角的定义),
$\therefore ∠ 1 + ∠ 2 = 180°$, 这与假设$∠ 1 + ∠ 2 ≠ 180°$矛盾.
$\therefore$ 假设不成立，$∠ 1 + ∠ 2 = 180°$.
解析
【分析】
本题使用反证法证明，解题思路如下：首先回忆反证法的第一步是反设，即假设待证结论不成立，本题要证∠1+∠2=180°，因此先假设∠1+∠2≠180°；接下来结合已知的l₁//l₂的条件，观察得∠1和∠3是两条平行线被l₃截得的同位角，根据平行线的性质可得到两角的等量关系，再结合平角的定义推导角的和，即可得出和假设矛盾的结果；最后由矛盾判定假设不成立，原结论正确。
【解析】
反证法的完整证明步骤：
1. 反设：假设待证结论不成立，即 $∠ 1 + ∠ 2 ≠ 180°$；
2. 推导：
$\because l_1 // l_2$（已知），
$\therefore ∠ 1 = ∠ 3$（两直线平行，同位角相等），
又$\because ∠ 2 + ∠ 3 = 180°$（平角的定义），
将$∠ 3$替换为$∠ 1$，可得$∠ 1 + ∠ 2 = 180°$；
3. 判定结论：
推导结果与假设$∠ 1 + ∠ 2 ≠ 180°$矛盾，说明假设不成立，因此原结论$∠ 1 + ∠ 2 = 180°$成立。
【答案】
证明:假设 $∠ 1 + ∠ 2 ≠ 180°$.
$\because l_1 // l_2$(已知),
$\therefore ∠ 1 = ∠ 3$(两直线平行，同位角相等).
又$\because ∠ 2 + ∠ 3 = 180°$(平角的定义),
$\therefore ∠ 1 + ∠ 2 = 180°$, 这与假设$∠ 1 + ∠ 2 ≠ 180°$矛盾.
$\therefore$ 假设不成立，$∠ 1 + ∠ 2 = 180°$.
【知识点】
反证法；平行线的性质；平角的定义
【点评】
本题主要考查反证法的基本证明逻辑，同时结合了平行线性质、平角定义的应用，要求学生熟练掌握反证法“反设-推矛盾-得结论”的三步证明流程，能准确识别同位角并利用平行线性质推导角的关系，属于基础类证明题。
【难度系数】
0.8
本题使用反证法证明，解题思路如下：首先回忆反证法的第一步是反设，即假设待证结论不成立，本题要证∠1+∠2=180°，因此先假设∠1+∠2≠180°；接下来结合已知的l₁//l₂的条件，观察得∠1和∠3是两条平行线被l₃截得的同位角，根据平行线的性质可得到两角的等量关系，再结合平角的定义推导角的和，即可得出和假设矛盾的结果；最后由矛盾判定假设不成立，原结论正确。
【解析】
反证法的完整证明步骤：
1. 反设：假设待证结论不成立，即 $∠ 1 + ∠ 2 ≠ 180°$；
2. 推导：
$\because l_1 // l_2$（已知），
$\therefore ∠ 1 = ∠ 3$（两直线平行，同位角相等），
又$\because ∠ 2 + ∠ 3 = 180°$（平角的定义），
将$∠ 3$替换为$∠ 1$，可得$∠ 1 + ∠ 2 = 180°$；
3. 判定结论：
推导结果与假设$∠ 1 + ∠ 2 ≠ 180°$矛盾，说明假设不成立，因此原结论$∠ 1 + ∠ 2 = 180°$成立。
【答案】
证明:假设 $∠ 1 + ∠ 2 ≠ 180°$.
$\because l_1 // l_2$(已知),
$\therefore ∠ 1 = ∠ 3$(两直线平行，同位角相等).
又$\because ∠ 2 + ∠ 3 = 180°$(平角的定义),
$\therefore ∠ 1 + ∠ 2 = 180°$, 这与假设$∠ 1 + ∠ 2 ≠ 180°$矛盾.
$\therefore$ 假设不成立，$∠ 1 + ∠ 2 = 180°$.
【知识点】
反证法；平行线的性质；平角的定义
【点评】
本题主要考查反证法的基本证明逻辑，同时结合了平行线性质、平角定义的应用，要求学生熟练掌握反证法“反设-推矛盾-得结论”的三步证明流程，能准确识别同位角并利用平行线性质推导角的关系，属于基础类证明题。
【难度系数】
0.8
3. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB = 90°$，$AC = 6\ \mathrm{cm}$，$BC = 8\ \mathrm{cm}$，则它的外心与顶点$C$的距离为(
A.$5\ \mathrm{cm}$
B.$6\ \mathrm{cm}$
C.$7\ \mathrm{cm}$
D.$8\ \mathrm{cm}$
A
)A.$5\ \mathrm{cm}$
B.$6\ \mathrm{cm}$
C.$7\ \mathrm{cm}$
D.$8\ \mathrm{cm}$
答案
3. A
解析
【分析】
解题首先要明确三角形外心的定义：外心是三角形外接圆的圆心，为三边垂直平分线的交点，外心到三角形三个顶点的距离相等，都等于外接圆半径。结合直角三角形的特殊性质：直角三角形的外心恰好落在斜边的中点上，因此外心与顶点C的距离就等于外接圆的半径，也就是斜边长度的一半。接下来只需用勾股定理求出斜边AB的长度，再除以2即可得到结果。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=6\ \mathrm{cm}$，$BC=8\ \mathrm{cm}$，
根据勾股定理可得斜边$AB$的长度为：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10\ \mathrm{cm}$。
因为直角三角形的外心为斜边的中点，外心到三角形各顶点的距离等于外接圆半径，
所以外心与顶点$C$的距离等于外接圆半径，即$\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×10=5\ \mathrm{cm}$。
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理；三角形的外接圆与外心；直角三角形的性质
【点评】
本题是基础类常考题，核心考查直角三角形外心的位置特性，结合勾股定理即可快速求解，熟练掌握特殊三角形的外心规律能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.8
解题首先要明确三角形外心的定义：外心是三角形外接圆的圆心，为三边垂直平分线的交点，外心到三角形三个顶点的距离相等，都等于外接圆半径。结合直角三角形的特殊性质：直角三角形的外心恰好落在斜边的中点上，因此外心与顶点C的距离就等于外接圆的半径，也就是斜边长度的一半。接下来只需用勾股定理求出斜边AB的长度，再除以2即可得到结果。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=6\ \mathrm{cm}$，$BC=8\ \mathrm{cm}$，
根据勾股定理可得斜边$AB$的长度为：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10\ \mathrm{cm}$。
因为直角三角形的外心为斜边的中点，外心到三角形各顶点的距离等于外接圆半径，
所以外心与顶点$C$的距离等于外接圆半径，即$\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×10=5\ \mathrm{cm}$。
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理；三角形的外接圆与外心；直角三角形的性质
【点评】
本题是基础类常考题，核心考查直角三角形外心的位置特性，结合勾股定理即可快速求解，熟练掌握特殊三角形的外心规律能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.8
4. 若点$ O $是等腰三角形$ ABC $的外心，且$ ∠ BOC = 60° $，底边$ BC = 2 $，则$ △ ABC $的面积为(
A.$ 2 + \sqrt{3} $
B.$ \dfrac{2\sqrt{3}}{3} $
C.$ 2 + \sqrt{3} $或$ 2 - \sqrt{3} $
D.$ 4 + 2\sqrt{3} $或$ 2 - \sqrt{3} $
C
)A.$ 2 + \sqrt{3} $
B.$ \dfrac{2\sqrt{3}}{3} $
C.$ 2 + \sqrt{3} $或$ 2 - \sqrt{3} $
D.$ 4 + 2\sqrt{3} $或$ 2 - \sqrt{3} $
答案
4. C
解析
【分析】
首先明确外心是三角形外接圆的圆心，到三个顶点距离相等，且在三角形各边的垂直平分线上。本题中△ABC是底边为BC的等腰三角形，因此外心O在BC的垂直平分线上，且OB=OC=OA。已知∠BOC=60°且OB=OC，可先判定△BOC为等边三角形，得到外接圆半径长度，再计算O到BC的距离。解题时需分类讨论：外心O在△ABC内部（对应锐角等腰三角形）、外心O在△ABC外部（对应钝角等腰三角形）两种情况，分别求出△ABC底边BC上的高，即可计算出对应面积。
【解析】
1. 判定△BOC的形状
∵O是△ABC的外心，
∴OB=OC（外心到三角形顶点距离相等，均为外接圆半径）
又
∵∠BOC=60°，
∴△BOC是等边三角形，即OB=OC=BC=2，外接圆半径r=2。
2. 计算O到BC的距离
过O作OD⊥BC于D，
∵△BOC是等边三角形，
∴D为BC中点，$BD=\frac{1}{2}BC=1$。
在Rt△BOD中，由勾股定理得：$OD=\sqrt{OB^2-BD^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
3. 分类讨论求△ABC的面积
∵△ABC是底边为BC的等腰三角形，
∴顶点A在BC的垂直平分线OD所在直线上。
情况1：外心O在△ABC内部，A与O在BC同侧，此时BC边上的高$h_1=OA+OD=2+\sqrt{3}$，
面积$S_1=\frac{1}{2}×BC×h_1=\frac{1}{2}×2×(2+\sqrt{3})=2+\sqrt{3}$。
情况2：外心O在△ABC外部，A与O在BC异侧，此时BC边上的高$h_2=OA-OD=2-\sqrt{3}$，
面积$S_2=\frac{1}{2}×BC×h_2=\frac{1}{2}×2×(2-\sqrt{3})=2-\sqrt{3}$。
综上，△ABC的面积为$2+\sqrt{3}$或$2-\sqrt{3}$。
【答案】
C
【知识点】
三角形外心的性质；等腰三角形的性质；分类讨论思想
【点评】
本题易错点是仅考虑外心在三角形内部的情况，忽略钝角三角形外心在外部的情况导致漏解，解题时需结合几何图形性质全面分析位置关系。
【难度系数】
0.6
首先明确外心是三角形外接圆的圆心，到三个顶点距离相等，且在三角形各边的垂直平分线上。本题中△ABC是底边为BC的等腰三角形，因此外心O在BC的垂直平分线上，且OB=OC=OA。已知∠BOC=60°且OB=OC，可先判定△BOC为等边三角形，得到外接圆半径长度，再计算O到BC的距离。解题时需分类讨论：外心O在△ABC内部（对应锐角等腰三角形）、外心O在△ABC外部（对应钝角等腰三角形）两种情况，分别求出△ABC底边BC上的高，即可计算出对应面积。
【解析】
1. 判定△BOC的形状
∵O是△ABC的外心，
∴OB=OC（外心到三角形顶点距离相等，均为外接圆半径）
又
∵∠BOC=60°，
∴△BOC是等边三角形，即OB=OC=BC=2，外接圆半径r=2。
2. 计算O到BC的距离
过O作OD⊥BC于D，
∵△BOC是等边三角形，
∴D为BC中点，$BD=\frac{1}{2}BC=1$。
在Rt△BOD中，由勾股定理得：$OD=\sqrt{OB^2-BD^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
3. 分类讨论求△ABC的面积
∵△ABC是底边为BC的等腰三角形，
∴顶点A在BC的垂直平分线OD所在直线上。
情况1：外心O在△ABC内部，A与O在BC同侧，此时BC边上的高$h_1=OA+OD=2+\sqrt{3}$，
面积$S_1=\frac{1}{2}×BC×h_1=\frac{1}{2}×2×(2+\sqrt{3})=2+\sqrt{3}$。
情况2：外心O在△ABC外部，A与O在BC异侧，此时BC边上的高$h_2=OA-OD=2-\sqrt{3}$，
面积$S_2=\frac{1}{2}×BC×h_2=\frac{1}{2}×2×(2-\sqrt{3})=2-\sqrt{3}$。
综上，△ABC的面积为$2+\sqrt{3}$或$2-\sqrt{3}$。
【答案】
C
【知识点】
三角形外心的性质；等腰三角形的性质；分类讨论思想
【点评】
本题易错点是仅考虑外心在三角形内部的情况，忽略钝角三角形外心在外部的情况导致漏解，解题时需结合几何图形性质全面分析位置关系。
【难度系数】
0.6
