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15. (10分) 阅读理解:
我们知道,任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称,在平面直角坐标系中,任意两点$P(x_1,y_1),Q(x_2,y_2)$的对称中心的坐标为$( \dfrac{x_1 + x_2}{2}, \dfrac{y_1 + y_2}{2} )$.
观察应用:
(1) 如图,在平面直角坐标系中,已知点$P_1(0, -1),P_2(2,3)$的对称中心是点A,则点A的坐标为
(2) 另取两点$B(-1.6,2.1),C(-1,0)$.有一电子青蛙从点$P_1$处开始依次关于点A,B,C作循环对称跳动,即第1次跳到点$P_1$关于点A的对称点$P_2$处,第2次跳到点$P_2$关于点B的对称点$P_3$处,第3次跳到点$P_3$关于点C的对称点$P_4$处,第4次跳到点$P_4$关于点A的对称点$P_5$处……则点$P_3$的坐标为
我们知道,任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称,在平面直角坐标系中,任意两点$P(x_1,y_1),Q(x_2,y_2)$的对称中心的坐标为$( \dfrac{x_1 + x_2}{2}, \dfrac{y_1 + y_2}{2} )$.
观察应用:
(1) 如图,在平面直角坐标系中,已知点$P_1(0, -1),P_2(2,3)$的对称中心是点A,则点A的坐标为
(1,1)
.(2) 另取两点$B(-1.6,2.1),C(-1,0)$.有一电子青蛙从点$P_1$处开始依次关于点A,B,C作循环对称跳动,即第1次跳到点$P_1$关于点A的对称点$P_2$处,第2次跳到点$P_2$关于点B的对称点$P_3$处,第3次跳到点$P_3$关于点C的对称点$P_4$处,第4次跳到点$P_4$关于点A的对称点$P_5$处……则点$P_3$的坐标为
(-5.2,1.2)
,点$P_8$的坐标为(2,3)
,点$P_{2020}$的坐标为(3.2, - 1.2)
.答案
15. (1)(1,1);(2)(- 5.2,1.2) (2,3) (3.2, - 1.2)
解析
【分析】
本题考查平面直角坐标系中中心对称点的坐标计算及周期规律的探究。(1)第一问可直接利用题干给出的两点对称中心的坐标公式，代入$P_1$、$P_2$的坐标计算即可得到点A的坐标；(2)第二问首先需要逆用中点坐标公式：若已知对称中心$M(a,b)$和其中一个点$P(x_1,y_1)$，则其对称点Q的坐标为$(2a-x_1,2b-y_1)$，依次计算$P_3$、$P_4$、$P_5$……的坐标，找到坐标的循环周期，再根据周期分别求出$P_8$和$P_{2020}$的坐标即可。
【解析】
(1) 根据题意，两点对称中心的坐标为两点横、纵坐标的平均数。
已知$P_1(0,-1)$，$P_2(2,3)$，则对称中心A的坐标为：
$x_A=\frac{0+2}{2}=1$，$y_A=\frac{-1+3}{2}=1$，即$A(1,1)$。
(2) ① 求$P_3$的坐标：$P_3$是$P_2$关于$B(-1.6,2.1)$的对称点，逆用中点坐标公式：
$x_{P_3}=2×(-1.6)-2=-5.2$，$y_{P_3}=2×2.1-3=1.2$，故$P_3(-5.2,1.2)$。
② 依次计算后续点的坐标，寻找周期：
$P_4$是$P_3$关于$C(-1,0)$的对称点：$x_{P_4}=2×(-1)-(-5.2)=3.2$，$y_{P_4}=2×0-1.2=-1.2$，即$P_4(3.2,-1.2)$；
$P_5$是$P_4$关于$A(1,1)$的对称点：$x_{P_5}=2×1-3.2=-1.2$，$y_{P_5}=2×1-(-1.2)=3.2$，即$P_5(-1.2,3.2)$；
$P_6$是$P_5$关于$B(-1.6,2.1)$的对称点：$x_{P_6}=2×(-1.6)-(-1.2)=-2$，$y_{P_6}=2×2.1-3.2=1$，即$P_6(-2,1)$；
$P_7$是$P_6$关于$C(-1,0)$的对称点：$x_{P_7}=2×(-1)-(-2)=0$，$y_{P_7}=2×0-1=-1$，即$P_7(0,-1)=P_1$；
由此可得坐标的变化周期为6，每跳动6次回到$P_1$的位置。
则$P_8=P_{6+2}=P_2=(2,3)$；
计算2020除以6的余数：$2020÷6=336······4$，故$P_{2020}=P_4=(3.2,-1.2)$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(1,1)}$；(2) $\boldsymbol{(-5.2,1.2)}$，$\boldsymbol{(2,3)}$，$\boldsymbol{(3.2,-1.2)}$
【知识点】
中点坐标公式，中心对称的坐标变换，周期规律探究
【点评】
本题将中心对称性质与坐标规律结合考查，解题核心是熟练掌握中点坐标公式的正用和逆用，通过计算前几个点的坐标归纳出周期规律，再利用周期求解对应点坐标，既考查基础运算能力，也考查归纳推理能力。
【难度系数】
0.7
本题考查平面直角坐标系中中心对称点的坐标计算及周期规律的探究。(1)第一问可直接利用题干给出的两点对称中心的坐标公式，代入$P_1$、$P_2$的坐标计算即可得到点A的坐标；(2)第二问首先需要逆用中点坐标公式：若已知对称中心$M(a,b)$和其中一个点$P(x_1,y_1)$，则其对称点Q的坐标为$(2a-x_1,2b-y_1)$，依次计算$P_3$、$P_4$、$P_5$……的坐标，找到坐标的循环周期，再根据周期分别求出$P_8$和$P_{2020}$的坐标即可。
【解析】
(1) 根据题意，两点对称中心的坐标为两点横、纵坐标的平均数。
已知$P_1(0,-1)$，$P_2(2,3)$，则对称中心A的坐标为：
$x_A=\frac{0+2}{2}=1$，$y_A=\frac{-1+3}{2}=1$，即$A(1,1)$。
(2) ① 求$P_3$的坐标：$P_3$是$P_2$关于$B(-1.6,2.1)$的对称点，逆用中点坐标公式：
$x_{P_3}=2×(-1.6)-2=-5.2$，$y_{P_3}=2×2.1-3=1.2$，故$P_3(-5.2,1.2)$。
② 依次计算后续点的坐标，寻找周期：
$P_4$是$P_3$关于$C(-1,0)$的对称点：$x_{P_4}=2×(-1)-(-5.2)=3.2$，$y_{P_4}=2×0-1.2=-1.2$，即$P_4(3.2,-1.2)$；
$P_5$是$P_4$关于$A(1,1)$的对称点：$x_{P_5}=2×1-3.2=-1.2$，$y_{P_5}=2×1-(-1.2)=3.2$，即$P_5(-1.2,3.2)$；
$P_6$是$P_5$关于$B(-1.6,2.1)$的对称点：$x_{P_6}=2×(-1.6)-(-1.2)=-2$，$y_{P_6}=2×2.1-3.2=1$，即$P_6(-2,1)$；
$P_7$是$P_6$关于$C(-1,0)$的对称点：$x_{P_7}=2×(-1)-(-2)=0$，$y_{P_7}=2×0-1=-1$，即$P_7(0,-1)=P_1$；
由此可得坐标的变化周期为6，每跳动6次回到$P_1$的位置。
则$P_8=P_{6+2}=P_2=(2,3)$；
计算2020除以6的余数：$2020÷6=336······4$，故$P_{2020}=P_4=(3.2,-1.2)$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(1,1)}$；(2) $\boldsymbol{(-5.2,1.2)}$，$\boldsymbol{(2,3)}$，$\boldsymbol{(3.2,-1.2)}$
【知识点】
中点坐标公式，中心对称的坐标变换，周期规律探究
【点评】
本题将中心对称性质与坐标规律结合考查，解题核心是熟练掌握中点坐标公式的正用和逆用，通过计算前几个点的坐标归纳出周期规律，再利用周期求解对应点坐标，既考查基础运算能力，也考查归纳推理能力。
【难度系数】
0.7
16.（10分）如图，已知正方形ABCD的边长为3，点E，F分别是AB，BC边上的点，且∠EDF=45°，将△DAE绕点D按逆时针方向旋转90°得到△DCM。
（1）求证：EF = MF。
（2）当AE = 1时，求EF的长度。
（1）求证：EF = MF。
（2）当AE = 1时，求EF的长度。
答案
16. (1) 证明:$\because$ 将 $△ DAE$ 绕点 $D$ 逆时针旋转 $90°$ 得到 $△ DCM$,$\therefore DE = DM, ∠ EDM = 90°$.$\because ∠ EDF = 45°$,$\therefore ∠ MDF = 45°$.$\therefore ∠ EDF = ∠ MDF$. 在 $△ DEF$ 和 $△ DMF$ 中,
$\begin{cases}DF = DF,\\∠ EDF = ∠ MDF,\therefore △ DEF ≌ △ DMF(SAS). \therefore EF = MF.\\DE = DM,\end{cases}$
(2) 解:$EF$ 的长为$\dfrac{5}{2}$.
$\begin{cases}DF = DF,\\∠ EDF = ∠ MDF,\therefore △ DEF ≌ △ DMF(SAS). \therefore EF = MF.\\DE = DM,\end{cases}$
(2) 解:$EF$ 的长为$\dfrac{5}{2}$.
解析
【分析】
（1）要证明EF=MF，可通过证明两线段所在的三角形全等推导。首先根据旋转的性质得到DE=DM、∠EDM=90°，结合已知∠EDF=45°可推出∠MDF=∠EDF，再结合公共边DF，利用SAS判定△DEF≌△DMF，即可得到对应边相等的结论。
（2）求EF的长度可利用勾股定理列方程求解：先根据已知条件求出EB的长度，结合旋转性质得到CM=AE，进而求出BM的长度，设EF=x，由EF=MF可表示出BF的长度，最后在Rt△BEF中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
（1）证明：$\because$ 将 $△ DAE$ 绕点 $D$ 逆时针旋转 $90°$ 得到 $△ DCM$，
$\therefore DE = DM, ∠ EDM = 90°$，
$\because ∠ EDF = 45°$，
$\therefore ∠ MDF = ∠EDM - ∠EDF = 90°-45°=45°$，
$\therefore ∠ EDF = ∠ MDF$，
在 $△ DEF$ 和 $△ DMF$ 中,
$\begin{cases}DE = DM,\\∠ EDF = ∠ MDF,\\DF = DF,\end{cases}$
$\therefore △ DEF ≌ △ DMF(SAS)$，
$\therefore EF = MF$。
（2）解：
∵正方形ABCD边长为3，AE=1，
$\therefore EB=AB-AE=3-1=2$，$BC=3$，
由旋转性质得$CM=AE=1$，
$\therefore BM=BC+CM=3+1=4$，
设$EF=MF=x$，则$BF=BM-MF=4-x$，
∵四边形ABCD是正方形，$\therefore ∠B=90°$，
在Rt△BEF中，由勾股定理得$EB^2+BF^2=EF^2$，
代入数值：$2^2+(4-x)^2=x^2$，
展开化简：$4+16-8x+x^2=x^2$，解得$x=\frac{5}{2}$。
【答案】
（1）证明成立，$EF=MF$；
（2）$\boxed{\dfrac{5}{2}}$
【知识点】
旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题为几何综合常考题，解题核心是利用旋转构造全等三角形，实现线段的转化，将分散的边集中到同一个直角三角形中，通过勾股定理列方程求解，能够很好地考查几何知识的综合应用能力。
【难度系数】
0.6
（1）要证明EF=MF，可通过证明两线段所在的三角形全等推导。首先根据旋转的性质得到DE=DM、∠EDM=90°，结合已知∠EDF=45°可推出∠MDF=∠EDF，再结合公共边DF，利用SAS判定△DEF≌△DMF，即可得到对应边相等的结论。
（2）求EF的长度可利用勾股定理列方程求解：先根据已知条件求出EB的长度，结合旋转性质得到CM=AE，进而求出BM的长度，设EF=x，由EF=MF可表示出BF的长度，最后在Rt△BEF中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
（1）证明：$\because$ 将 $△ DAE$ 绕点 $D$ 逆时针旋转 $90°$ 得到 $△ DCM$，
$\therefore DE = DM, ∠ EDM = 90°$，
$\because ∠ EDF = 45°$，
$\therefore ∠ MDF = ∠EDM - ∠EDF = 90°-45°=45°$，
$\therefore ∠ EDF = ∠ MDF$，
在 $△ DEF$ 和 $△ DMF$ 中,
$\begin{cases}DE = DM,\\∠ EDF = ∠ MDF,\\DF = DF,\end{cases}$
$\therefore △ DEF ≌ △ DMF(SAS)$，
$\therefore EF = MF$。
（2）解：
∵正方形ABCD边长为3，AE=1，
$\therefore EB=AB-AE=3-1=2$，$BC=3$，
由旋转性质得$CM=AE=1$，
$\therefore BM=BC+CM=3+1=4$，
设$EF=MF=x$，则$BF=BM-MF=4-x$，
∵四边形ABCD是正方形，$\therefore ∠B=90°$，
在Rt△BEF中，由勾股定理得$EB^2+BF^2=EF^2$，
代入数值：$2^2+(4-x)^2=x^2$，
展开化简：$4+16-8x+x^2=x^2$，解得$x=\frac{5}{2}$。
【答案】
（1）证明成立，$EF=MF$；
（2）$\boxed{\dfrac{5}{2}}$
【知识点】
旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题为几何综合常考题，解题核心是利用旋转构造全等三角形，实现线段的转化，将分散的边集中到同一个直角三角形中，通过勾股定理列方程求解，能够很好地考查几何知识的综合应用能力。
【难度系数】
0.6
