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8. 如图，在矩形ABCD中，AB = 1，AD = 2，将AD绕点A顺时针旋转，当点D落在BC上点D'时，则AD' = 
2
，∠AD'B = 30°
。答案
8. 2 30°
解析
【分析】
解题时先从旋转的性质入手，旋转前后对应线段长度不变，因此AD'和AD长度相等，可直接求出AD'的长度；再结合矩形的性质得到∠B为直角，即△ABD'是直角三角形，已知直角边AB和斜边AD'的长度关系，利用直角三角形中“30°角所对直角边等于斜边一半”的逆性质，即可求出∠AD'B的度数。
【解析】
解：① 由旋转的性质可知，旋转前后对应边相等，
∴ $AD' = AD = 2$；
②
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ $∠ B = 90°$，即$△ ABD'$为直角三角形，
在$Rt△ ABD'$中，$AB = 1$，$AD' = 2$，
∴ $AB = \frac{1}{2}AD'$，
根据直角三角形的性质：若直角边等于斜边的一半，则该直角边所对的锐角为$30°$，
AB所对的角为$∠ AD'B$，因此$∠ AD'B = 30°$。
【答案】
2；$30°$
【知识点】
旋转的性质；矩形的性质；直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础题，综合考查了几何图形的基础性质，解题关键是熟练掌握旋转、矩形以及特殊直角三角形的相关性质，即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
解题时先从旋转的性质入手，旋转前后对应线段长度不变，因此AD'和AD长度相等，可直接求出AD'的长度；再结合矩形的性质得到∠B为直角，即△ABD'是直角三角形，已知直角边AB和斜边AD'的长度关系，利用直角三角形中“30°角所对直角边等于斜边一半”的逆性质，即可求出∠AD'B的度数。
【解析】
解：① 由旋转的性质可知，旋转前后对应边相等，
∴ $AD' = AD = 2$；
②
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ $∠ B = 90°$，即$△ ABD'$为直角三角形，
在$Rt△ ABD'$中，$AB = 1$，$AD' = 2$，
∴ $AB = \frac{1}{2}AD'$，
根据直角三角形的性质：若直角边等于斜边的一半，则该直角边所对的锐角为$30°$，
AB所对的角为$∠ AD'B$，因此$∠ AD'B = 30°$。
【答案】
2；$30°$
【知识点】
旋转的性质；矩形的性质；直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础题，综合考查了几何图形的基础性质，解题关键是熟练掌握旋转、矩形以及特殊直角三角形的相关性质，即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
9. (2025·曲靖期中) 如图,在平面直角坐标系中,画△ABC关于点O成中心对称的图形时,由于紧张对称中心选错,画出的图形是△DEF,请你找出此时的对称中心是
(2,1)
. 答案
9. (2,1)
解析
【分析】
要确定两个成中心对称图形的对称中心，依据中心对称的性质：成中心对称的两个图形中，对称中心是任意两组对应点连线的交点，同时也是每一组对应点所连线段的中点。解题时首先找到△ABC和△DEF的两组对应点，写出对应点的坐标，通过计算对应点连线的中点，即可得到对称中心，也可直接画出两组对应点的连线，交点即为所求。
【解析】
根据中心对称的性质可知，对称中心是两组对应点连线的中点。
首先确定对应点坐标：观察图形得，点B坐标为$(7,7)$，对应点E坐标为$(-3,-5)$；点C坐标为$(2,4)$，对应点F坐标为$(2,-2)$。
计算B、E两点连线的中点坐标：
横坐标：$\frac{7+(-3)}{2}=2$，纵坐标：$\frac{7+(-5)}{2}=1$，即中点为$(2,1)$。
验证C、F两点连线的中点坐标：
横坐标：$\frac{2+2}{2}=2$，纵坐标：$\frac{4+(-2)}{2}=1$，中点同样为$(2,1)$。
因此所求的对称中心为$(2,1)$。
【答案】
$(2,1)$
【知识点】
中心对称的性质，中点坐标计算，平面直角坐标系点的坐标
【点评】
本题重点考查中心对称性质的实际应用，解题的核心是掌握成中心对称的图形对应点连线被对称中心平分的特点，结合坐标系内坐标的运算即可快速求解，属于基础类题型。
【难度系数】
0.7
要确定两个成中心对称图形的对称中心，依据中心对称的性质：成中心对称的两个图形中，对称中心是任意两组对应点连线的交点，同时也是每一组对应点所连线段的中点。解题时首先找到△ABC和△DEF的两组对应点，写出对应点的坐标，通过计算对应点连线的中点，即可得到对称中心，也可直接画出两组对应点的连线，交点即为所求。
【解析】
根据中心对称的性质可知，对称中心是两组对应点连线的中点。
首先确定对应点坐标：观察图形得，点B坐标为$(7,7)$，对应点E坐标为$(-3,-5)$；点C坐标为$(2,4)$，对应点F坐标为$(2,-2)$。
计算B、E两点连线的中点坐标：
横坐标：$\frac{7+(-3)}{2}=2$，纵坐标：$\frac{7+(-5)}{2}=1$，即中点为$(2,1)$。
验证C、F两点连线的中点坐标：
横坐标：$\frac{2+2}{2}=2$，纵坐标：$\frac{4+(-2)}{2}=1$，中点同样为$(2,1)$。
因此所求的对称中心为$(2,1)$。
【答案】
$(2,1)$
【知识点】
中心对称的性质，中点坐标计算，平面直角坐标系点的坐标
【点评】
本题重点考查中心对称性质的实际应用，解题的核心是掌握成中心对称的图形对应点连线被对称中心平分的特点，结合坐标系内坐标的运算即可快速求解，属于基础类题型。
【难度系数】
0.7
10. 如图,在等边三角形ABC中,AB = 6, D是BC上一点,且BC = 3BD,△ABD绕点A旋转后得到△ACE,则CE的长度为
2
.答案
10. 2
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手，首先根据等边三角形三边相等的性质求出BC的长度，再结合BC=3BD的关系算出BD的长度；接下来根据旋转的性质，旋转前后的两个三角形全等、对应边相等，可知CE是BD的对应边，因此CE的长度等于BD的长度，即可得到最终结果。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，AB=6，
∴BC=AB=6，
∵BC=3BD，
∴$BD=\frac{1}{3}BC=\frac{1}{3}×6=2$，
∵△ABD绕点A旋转后得到△ACE，
∴△ABD≌△ACE，
∴CE=BD=2。
【答案】
2
【知识点】
等边三角形的性质；旋转的性质
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是熟练掌握旋转前后图形全等、对应边相等的性质，结合等边三角形三边相等的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件入手，首先根据等边三角形三边相等的性质求出BC的长度，再结合BC=3BD的关系算出BD的长度；接下来根据旋转的性质，旋转前后的两个三角形全等、对应边相等，可知CE是BD的对应边，因此CE的长度等于BD的长度，即可得到最终结果。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，AB=6，
∴BC=AB=6，
∵BC=3BD，
∴$BD=\frac{1}{3}BC=\frac{1}{3}×6=2$，
∵△ABD绕点A旋转后得到△ACE，
∴△ABD≌△ACE，
∴CE=BD=2。
【答案】
2
【知识点】
等边三角形的性质；旋转的性质
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是熟练掌握旋转前后图形全等、对应边相等的性质，结合等边三角形三边相等的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
11. (2024·雅安中考) 如图, 在$△ ABC$和$△ ADE$中,$AB=AC,∠ BAC=∠ DAE=40°$,将$△ ADE$绕点$A$顺时针旋转一定角度,当$AD// BC$时,$∠ BAE$的度数是
30°或150°
.答案
11. 30°或150°
解析
【分析】
解题思路：首先根据等腰三角形两底角相等的性质，先算出△ABC的底角∠B的度数；接下来考虑AD平行BC的两种位置情况：①AD位于AB的左侧，与BC平行，此时利用平行线内错角相等求出∠DAB的度数，再结合已知∠DAE的度数，用∠DAB减去∠DAE即可得到∠BAE的度数；②AD旋转到另一侧，仍与BC平行，此时利用平行线同旁内角互补求出∠DAB的度数，再结合∠DAE的度数，即可求出另一种情况下∠BAE的度数。注意要分类讨论，避免漏解。
【解析】
解：
∵AB=AC，∠BAC=40°，
∴$∠ B=∠ ACB=\frac{180°-∠ BAC}{2}=\frac{180°-40°}{2}=70°$，
分两种情况讨论：
①当AD在AB左侧，$AD// BC$时，
∵$AD// BC$，
∴$∠ DAB=∠ B=70°$（两直线平行，内错角相等），
又
∵$∠ DAE=40°$，
∴$∠ BAE=∠ DAB-∠ DAE=70°-40°=30°$；
②当AD在AC右侧，$AD// BC$时，
∵$AD// BC$，
∴$∠ DAB+∠ B=180°$（两直线平行，同旁内角互补），
∴$∠ DAB=180°-70°=110°$，
又
∵$∠ DAE=40°$，
∴$∠ BAE=∠ DAB+∠ DAE=110°+40°=150°$。
综上，∠BAE的度数为30°或150°。
【答案】
30°或150°
【知识点】
等腰三角形的性质，平行线的性质，旋转的性质
【点评】
本题属于几何中档题，解题的关键是熟练掌握等腰三角形、平行线的性质，同时注意AD平行BC存在两种不同的位置，需要分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.5
解题思路：首先根据等腰三角形两底角相等的性质，先算出△ABC的底角∠B的度数；接下来考虑AD平行BC的两种位置情况：①AD位于AB的左侧，与BC平行，此时利用平行线内错角相等求出∠DAB的度数，再结合已知∠DAE的度数，用∠DAB减去∠DAE即可得到∠BAE的度数；②AD旋转到另一侧，仍与BC平行，此时利用平行线同旁内角互补求出∠DAB的度数，再结合∠DAE的度数，即可求出另一种情况下∠BAE的度数。注意要分类讨论，避免漏解。
【解析】
解：
∵AB=AC，∠BAC=40°，
∴$∠ B=∠ ACB=\frac{180°-∠ BAC}{2}=\frac{180°-40°}{2}=70°$，
分两种情况讨论：
①当AD在AB左侧，$AD// BC$时，
∵$AD// BC$，
∴$∠ DAB=∠ B=70°$（两直线平行，内错角相等），
又
∵$∠ DAE=40°$，
∴$∠ BAE=∠ DAB-∠ DAE=70°-40°=30°$；
②当AD在AC右侧，$AD// BC$时，
∵$AD// BC$，
∴$∠ DAB+∠ B=180°$（两直线平行，同旁内角互补），
∴$∠ DAB=180°-70°=110°$，
又
∵$∠ DAE=40°$，
∴$∠ BAE=∠ DAB+∠ DAE=110°+40°=150°$。
综上，∠BAE的度数为30°或150°。
【答案】
30°或150°
【知识点】
等腰三角形的性质，平行线的性质，旋转的性质
【点评】
本题属于几何中档题，解题的关键是熟练掌握等腰三角形、平行线的性质，同时注意AD平行BC存在两种不同的位置，需要分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.5
12. 如图,点D是等边△ABC内一点,如果△ABD绕点A逆时针旋转后能与△ACE重合,那么旋转了
60
度. 答案
12. 60
解析
【分析】
解题时首先回忆旋转的相关性质：旋转前后对应边的夹角即为旋转角，旋转中心为对应点连线的公共端点。本题中旋转中心是点A，△ABD旋转后与△ACE重合，可确定AB的对应边是AC，因此旋转角为∠BAC。再结合等边三角形的性质，等边三角形的内角均为60°，即可求出旋转角度数。
【解析】
∵ △ABD绕点A逆时针旋转后能与△ACE重合，
∴ AB与AC是对应边，旋转角为∠BAC，
又
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠BAC=60°，即旋转了60度。
【答案】
60
【知识点】
旋转的性质；等边三角形的性质；旋转角的定义
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是结合旋转的性质准确找到旋转角，再结合等边三角形的性质求解，考查对基础概念的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆旋转的相关性质：旋转前后对应边的夹角即为旋转角，旋转中心为对应点连线的公共端点。本题中旋转中心是点A，△ABD旋转后与△ACE重合，可确定AB的对应边是AC，因此旋转角为∠BAC。再结合等边三角形的性质，等边三角形的内角均为60°，即可求出旋转角度数。
【解析】
∵ △ABD绕点A逆时针旋转后能与△ACE重合，
∴ AB与AC是对应边，旋转角为∠BAC，
又
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠BAC=60°，即旋转了60度。
【答案】
60
【知识点】
旋转的性质；等边三角形的性质；旋转角的定义
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是结合旋转的性质准确找到旋转角，再结合等边三角形的性质求解，考查对基础概念的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.8
三、解答题(共52分)
13.(12分)如图,△ABC三个顶点的坐标分别是A(-2,2),B(-3,1),C(-1,1).
(1)将△ABC向右平移4个单位长度得△A₁B₁C₁,画出△A₁B₁C₁;
(2)画出△A₁B₁C₁关于原点对称的△A₂B₂C₂;
(3)由△ABC和△A₂B₂C₂组成的图形是中心对称图形吗?如果是,请直接写出对称中心的坐标.
13.(12分)如图,△ABC三个顶点的坐标分别是A(-2,2),B(-3,1),C(-1,1).
(1)将△ABC向右平移4个单位长度得△A₁B₁C₁,画出△A₁B₁C₁;
(2)画出△A₁B₁C₁关于原点对称的△A₂B₂C₂;
(3)由△ABC和△A₂B₂C₂组成的图形是中心对称图形吗?如果是,请直接写出对称中心的坐标.
答案
13. (1)略;(2)略;(3)$(-\dfrac{3}{2}, - 1)$
解析
【分析】
本题考查图形的平移变换、中心对称变换及中心对称图形的判定，解题思路如下：
1. 解决第(1)问：根据平移规律，向右平移4个单位长度，即图形上所有点的横坐标加4，纵坐标不变，先算出△A₁B₁C₁各顶点坐标，再描点连线即可画出图形。
2. 解决第(2)问：根据关于原点对称的点的坐标特征，即横、纵坐标均互为相反数，算出△A₂B₂C₂各顶点坐标，再描点连线画出图形。
3. 解决第(3)问：中心对称图形的定义是绕某一点旋转180°后能与自身重合的图形，可通过找两组不同对应点连线的中点，若中点重合，该点即为对称中心，由此判断并计算对称中心坐标。
【解析】
(1) 平移变换：向右平移4个单位，横坐标+4，纵坐标不变：
A(-2,2)平移后得A₁(-2+4,2)=(2,2)，
B(-3,1)平移后得B₁(-3+4,1)=(1,1)，
C(-1,1)平移后得C₁(-1+4,1)=(3,1)，
在坐标系中依次描出A₁、B₁、C₁，顺次连接即可得到△A₁B₁C₁。
(2) 关于原点对称的点坐标特征为$(x,y)$对应$(-x,-y)$：
A₁(2,2)对称后得A₂(-2,-2)，
B₁(1,1)对称后得B₂(-1,-1)，
C₁(3,1)对称后得C₂(-3,-1)，
在坐标系中依次描出A₂、B₂、C₂，顺次连接即可得到△A₂B₂C₂。
(3) 根据中心对称图形的判定，将△ABC和△A₂B₂C₂组成的图形绕某点旋转180°后能与自身重合，可知该图形是中心对称图形，计算对应点连线的中点，可得对称中心坐标。
【答案】
(1) 略；(2) 略；(3) 是中心对称图形，对称中心坐标为$\boldsymbol{(-\dfrac{3}{2},-1)}$
【知识点】
坐标与图形平移；关于原点对称的点的坐标；中心对称图形
【点评】
本题属于基础作图类题目，核心是掌握平移和中心对称的坐标变换规律，作图时要注意顶点坐标计算准确，判断中心对称图形时要紧扣定义，通过对应点中点确定对称中心。
【难度系数】
0.7
本题考查图形的平移变换、中心对称变换及中心对称图形的判定，解题思路如下：
1. 解决第(1)问：根据平移规律，向右平移4个单位长度，即图形上所有点的横坐标加4，纵坐标不变，先算出△A₁B₁C₁各顶点坐标，再描点连线即可画出图形。
2. 解决第(2)问：根据关于原点对称的点的坐标特征，即横、纵坐标均互为相反数，算出△A₂B₂C₂各顶点坐标，再描点连线画出图形。
3. 解决第(3)问：中心对称图形的定义是绕某一点旋转180°后能与自身重合的图形，可通过找两组不同对应点连线的中点，若中点重合，该点即为对称中心，由此判断并计算对称中心坐标。
【解析】
(1) 平移变换：向右平移4个单位，横坐标+4，纵坐标不变：
A(-2,2)平移后得A₁(-2+4,2)=(2,2)，
B(-3,1)平移后得B₁(-3+4,1)=(1,1)，
C(-1,1)平移后得C₁(-1+4,1)=(3,1)，
在坐标系中依次描出A₁、B₁、C₁，顺次连接即可得到△A₁B₁C₁。
(2) 关于原点对称的点坐标特征为$(x,y)$对应$(-x,-y)$：
A₁(2,2)对称后得A₂(-2,-2)，
B₁(1,1)对称后得B₂(-1,-1)，
C₁(3,1)对称后得C₂(-3,-1)，
在坐标系中依次描出A₂、B₂、C₂，顺次连接即可得到△A₂B₂C₂。
(3) 根据中心对称图形的判定，将△ABC和△A₂B₂C₂组成的图形绕某点旋转180°后能与自身重合，可知该图形是中心对称图形，计算对应点连线的中点，可得对称中心坐标。
【答案】
(1) 略；(2) 略；(3) 是中心对称图形，对称中心坐标为$\boldsymbol{(-\dfrac{3}{2},-1)}$
【知识点】
坐标与图形平移；关于原点对称的点的坐标；中心对称图形
【点评】
本题属于基础作图类题目，核心是掌握平移和中心对称的坐标变换规律，作图时要注意顶点坐标计算准确，判断中心对称图形时要紧扣定义，通过对应点中点确定对称中心。
【难度系数】
0.7
14.（20分）将两块大小相同的直角三角尺(∠BAC = ∠B'A'C = 30°)按图(1)方式放置,固定三角尺A'B'C,然后将三角尺ABC绕直角顶点C顺时针方向旋转(旋转角小于90°)至图(2)所示的位置,AB与A'C交于点E,AC与A'B'交于点F,AB与A'B'相交于点O.
(1)求证:△BCE ≌ △B'CF.
(2)当旋转角等于30°时,AB与A'B'垂直吗？请说明理由.
(1)求证:△BCE ≌ △B'CF.
(2)当旋转角等于30°时,AB与A'B'垂直吗？请说明理由.
答案
14. (1) 提示:用 ASA 证明. (2) 解:$AB ⊥ A'B'$,理由如下:$\because ∠ A'CA = 30°,∠ A'CB' = 90°$,$\therefore ∠ B'CF = 60°$. 又 $∠ B' = 60°$,$\therefore ∠ B'FC = 60°$.$\therefore ∠ A'FA = 60°$. 又 $∠ A = 30°$,$\therefore ∠ AOF = 90°$,即$AB ⊥ A'B'$.
解析
【分析】
(1) 要证明△BCE ≌ △B'CF，首先结合两块三角尺大小相同的性质，可得对应边BC=B'C、对应角∠B=∠B'，再观察两个三角形的夹角：两个直角∠ACB和∠A'CB'减去公共角∠ECF，可得到∠BCE=∠B'CF，满足ASA全等判定的条件，即可完成证明。
(2) 要判断AB与A'B'是否垂直，只需验证两者的夹角是否为90°。已知旋转角为30°即∠A'CA=30°，先计算∠B'CF的度数，再结合三角形内角和算出∠B'FC，利用对顶角相等得到△AOF的一个内角度数，最后在△AOF中计算夹角∠AOF的度数，即可判断是否垂直。
【解析】
(1) 证明：由两块大小相同的直角三角尺的性质可得：
∠B = ∠B' = 60°，BC = B'C，∠ACB = ∠A'CB' = 90°，
∴ ∠ACB - ∠ECF = ∠A'CB' - ∠ECF，即∠BCE = ∠B'CF。
在△BCE和△B'CF中：
$\{\begin{array}{l}∠B = ∠B' \\BC = B'C \\∠BCE = ∠B'CF\end{array} $
∴ △BCE ≌ △B'CF（ASA）。
(2) 当旋转角等于30°时，AB ⊥ A'B'，理由如下：
∵ 旋转角∠A'CA = 30°，∠A'CB' = 90°，
∴ ∠B'CF = ∠A'CB' - ∠A'CA = 90° - 30° = 60°。
又
∵ ∠B' = 60°，在△B'CF中：
∠B'FC = 180° - ∠B' - ∠B'CF = 180° - 60° - 60° = 60°。
由对顶角相等可得∠AFA' = ∠B'FC = 60°。
在△AOF中，∠A = 30°，∠AFO = 60°，
∴ ∠AOF = 180° - ∠A - ∠AFO = 180° - 30° - 60° = 90°，
∴ AB ⊥ A'B'。
【答案】
(1) △BCE ≌ △B'CF，证明成立；
(2) AB ⊥ A'B'。
【知识点】
全等三角形的判定；旋转的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题结合三角尺旋转的情境考查几何基础应用，难度适中，解题的核心是抓住旋转前后图形对应边、对应角相等的性质，灵活运用全等判定定理和三角形内角和定理推导角的关系。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明△BCE ≌ △B'CF，首先结合两块三角尺大小相同的性质，可得对应边BC=B'C、对应角∠B=∠B'，再观察两个三角形的夹角：两个直角∠ACB和∠A'CB'减去公共角∠ECF，可得到∠BCE=∠B'CF，满足ASA全等判定的条件，即可完成证明。
(2) 要判断AB与A'B'是否垂直，只需验证两者的夹角是否为90°。已知旋转角为30°即∠A'CA=30°，先计算∠B'CF的度数，再结合三角形内角和算出∠B'FC，利用对顶角相等得到△AOF的一个内角度数，最后在△AOF中计算夹角∠AOF的度数，即可判断是否垂直。
【解析】
(1) 证明：由两块大小相同的直角三角尺的性质可得：
∠B = ∠B' = 60°，BC = B'C，∠ACB = ∠A'CB' = 90°，
∴ ∠ACB - ∠ECF = ∠A'CB' - ∠ECF，即∠BCE = ∠B'CF。
在△BCE和△B'CF中：
$\{\begin{array}{l}∠B = ∠B' \\BC = B'C \\∠BCE = ∠B'CF\end{array} $
∴ △BCE ≌ △B'CF（ASA）。
(2) 当旋转角等于30°时，AB ⊥ A'B'，理由如下：
∵ 旋转角∠A'CA = 30°，∠A'CB' = 90°，
∴ ∠B'CF = ∠A'CB' - ∠A'CA = 90° - 30° = 60°。
又
∵ ∠B' = 60°，在△B'CF中：
∠B'FC = 180° - ∠B' - ∠B'CF = 180° - 60° - 60° = 60°。
由对顶角相等可得∠AFA' = ∠B'FC = 60°。
在△AOF中，∠A = 30°，∠AFO = 60°，
∴ ∠AOF = 180° - ∠A - ∠AFO = 180° - 30° - 60° = 90°，
∴ AB ⊥ A'B'。
【答案】
(1) △BCE ≌ △B'CF，证明成立；
(2) AB ⊥ A'B'。
【知识点】
全等三角形的判定；旋转的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题结合三角尺旋转的情境考查几何基础应用，难度适中，解题的核心是抓住旋转前后图形对应边、对应角相等的性质，灵活运用全等判定定理和三角形内角和定理推导角的关系。
【难度系数】
0.7
