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1.（2024·潍坊中考）下列著名曲线中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是（
C
）答案
1. C
解析
【分析】
解决本题需要先明确轴对称图形和中心对称图形的定义，再按照定义依次判断每个选项：轴对称图形是沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形是绕某一点旋转180°后，能够与原图形重合的图形，按两个标准逐一筛选即可得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 选项A：沿竖直中线折叠后两边可重合，属于轴对称图形，但绕中心旋转180°后与原图形不重合，不属于中心对称图形，不符合要求；
2. 选项B：不存在能使图形折叠后两边重合的直线，旋转180°也无法和原图形重合，既不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合要求；
3. 选项C：沿水平中线或竖直中线折叠，直线两侧部分都能完全重合，属于轴对称图形；绕中心旋转180°后可以和原图形完全重合，也属于中心对称图形，符合要求；
4. 选项D：存在5条对称轴，属于轴对称图形，但绕中心旋转180°后花瓣位置和原图形不匹配，无法重合，不属于中心对称图形，不符合要求。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
轴对称图形识别，中心对称图形识别
【点评】
本题属于基础概念类考题，解题核心是牢记两种对称图形的判定标准，逐一验证选项即可，要注意避免混淆两种对称的判断方法。
【难度系数】
0.7
解决本题需要先明确轴对称图形和中心对称图形的定义，再按照定义依次判断每个选项：轴对称图形是沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形是绕某一点旋转180°后，能够与原图形重合的图形，按两个标准逐一筛选即可得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 选项A：沿竖直中线折叠后两边可重合，属于轴对称图形，但绕中心旋转180°后与原图形不重合，不属于中心对称图形，不符合要求；
2. 选项B：不存在能使图形折叠后两边重合的直线，旋转180°也无法和原图形重合，既不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合要求；
3. 选项C：沿水平中线或竖直中线折叠，直线两侧部分都能完全重合，属于轴对称图形；绕中心旋转180°后可以和原图形完全重合，也属于中心对称图形，符合要求；
4. 选项D：存在5条对称轴，属于轴对称图形，但绕中心旋转180°后花瓣位置和原图形不匹配，无法重合，不属于中心对称图形，不符合要求。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
轴对称图形识别，中心对称图形识别
【点评】
本题属于基础概念类考题，解题核心是牢记两种对称图形的判定标准，逐一验证选项即可，要注意避免混淆两种对称的判断方法。
【难度系数】
0.7
2. 如图,将正方形图案绕着它的中心O旋转180°后,得到的图案是( 
)
)答案
D
解析
【分析】
解决本题的核心是掌握绕中心旋转180°的图形变换性质：旋转后得到的图形与原图形关于旋转中心成中心对称，即图形中每个点都与旋转后对应的点关于中心O对称，也可以通过将原图形上下、左右完全颠倒的直观方式判断结果。首先观察原图案的阴影特征：右上角小正方形的阴影三角形在对角线右下方，左下角小正方形的阴影三角形在对角线左下方，右下角的阴影正八边形是中心对称图形，旋转180°后形态、位置不变。我们只需要判断两个阴影三角形旋转180°后的位置，再比对选项即可。
【解析】
根据旋转的性质，绕点O旋转180°后所得图形与原图形中心对称：
1. 原右上角小正方形内的阴影三角形，旋转180°后对应到左下角小正方形内，位于对角线的左上方；
2. 原左下角小正方形内的阴影三角形，旋转180°后对应到右上角小正方形内，位于对角线的右下方；
3. 右下角的阴影正八边形是中心对称图形，旋转180°后位置、形态均不变。
比对各选项，仅D选项符合上述所有特征。
【答案】
D
【知识点】
图形的旋转、中心对称的性质
【点评】
本题属于基础的图形变换类题目，重点考查旋转180°的变换规律，既可以通过中心对称的性质推理判断，也可以通过将原图倒置的直观方法快速得到答案，难度较低。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心是掌握绕中心旋转180°的图形变换性质：旋转后得到的图形与原图形关于旋转中心成中心对称，即图形中每个点都与旋转后对应的点关于中心O对称，也可以通过将原图形上下、左右完全颠倒的直观方式判断结果。首先观察原图案的阴影特征：右上角小正方形的阴影三角形在对角线右下方，左下角小正方形的阴影三角形在对角线左下方，右下角的阴影正八边形是中心对称图形，旋转180°后形态、位置不变。我们只需要判断两个阴影三角形旋转180°后的位置，再比对选项即可。
【解析】
根据旋转的性质，绕点O旋转180°后所得图形与原图形中心对称：
1. 原右上角小正方形内的阴影三角形，旋转180°后对应到左下角小正方形内，位于对角线的左上方；
2. 原左下角小正方形内的阴影三角形，旋转180°后对应到右上角小正方形内，位于对角线的右下方；
3. 右下角的阴影正八边形是中心对称图形，旋转180°后位置、形态均不变。
比对各选项，仅D选项符合上述所有特征。
【答案】
D
【知识点】
图形的旋转、中心对称的性质
【点评】
本题属于基础的图形变换类题目，重点考查旋转180°的变换规律，既可以通过中心对称的性质推理判断，也可以通过将原图倒置的直观方法快速得到答案，难度较低。
【难度系数】
0.8
3. 在平面直角坐标系中,将点$P(a,b)$关于原点对称得到点$P_1$,再将点$P_1$向左平移2个单位长度得到点$P_2$,则点$P_2$的坐标是(
A.$(b - 2, -a)$
B.$(b + 2, -a)$
C.$(-a + 2, -b)$
D.$(-a - 2, -b)$
D
)A.$(b - 2, -a)$
B.$(b + 2, -a)$
C.$(-a + 2, -b)$
D.$(-a - 2, -b)$
答案
3. D
解析
【分析】
解题时需分两步推导：首先回忆关于原点对称的点的坐标变化规律，求出点$P_1$的坐标；再根据点平移时的坐标变化规则，计算向左平移2个单位后得到的$P_2$的坐标，最后匹配选项即可。
【解析】
1. 求关于原点对称的点$P_1$的坐标：
根据关于原点对称的点的坐标特征：横、纵坐标均为原坐标的相反数。已知点$P$坐标为$(a,b)$，因此$P_1$的坐标为$(-a, -b)$。
2. 求平移后点$P_2$的坐标：
根据点的平移规则：向左平移时，横坐标减去平移的单位长度，纵坐标保持不变。将$P_1(-a, -b)$向左平移2个单位长度，横坐标变为 $-a - 2$，纵坐标仍为 $-b$，即$P_2$的坐标为$(-a - 2, -b)$。
【答案】
D
【知识点】
关于原点对称的坐标特征；点的平移规律
【点评】
本题是平面直角坐标系中点的变换基础题，重点考察对称和平移两种变换下的坐标变化规则，解题时注意区分左右平移对应横坐标的加减规律，避免符号出错即可。
【难度系数】
0.8
解题时需分两步推导：首先回忆关于原点对称的点的坐标变化规律，求出点$P_1$的坐标；再根据点平移时的坐标变化规则，计算向左平移2个单位后得到的$P_2$的坐标，最后匹配选项即可。
【解析】
1. 求关于原点对称的点$P_1$的坐标：
根据关于原点对称的点的坐标特征：横、纵坐标均为原坐标的相反数。已知点$P$坐标为$(a,b)$，因此$P_1$的坐标为$(-a, -b)$。
2. 求平移后点$P_2$的坐标：
根据点的平移规则：向左平移时，横坐标减去平移的单位长度，纵坐标保持不变。将$P_1(-a, -b)$向左平移2个单位长度，横坐标变为 $-a - 2$，纵坐标仍为 $-b$，即$P_2$的坐标为$(-a - 2, -b)$。
【答案】
D
【知识点】
关于原点对称的坐标特征；点的平移规律
【点评】
本题是平面直角坐标系中点的变换基础题，重点考察对称和平移两种变换下的坐标变化规则，解题时注意区分左右平移对应横坐标的加减规律，避免符号出错即可。
【难度系数】
0.8
4. 如图,在等腰直角△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,点D为斜边AB上一点,将△BCD绕点C逆时针旋转90°得到△ACE,则下列说法错误的是(
A.∠EAC = ∠B
B.△EDC是等腰直角三角形
C.$BD^2 + AD^2 = CD^2$
D.∠AED = ∠ACD
C
)A.∠EAC = ∠B
B.△EDC是等腰直角三角形
C.$BD^2 + AD^2 = CD^2$
D.∠AED = ∠ACD
答案
4. C
解析
【分析】
解题时首先结合旋转的性质，明确旋转前后的两个三角形全等，对应边、对应角相等，旋转角为90°，再结合等腰直角△ABC的性质，逐个推导四个选项的正误即可：
1. 先由旋转全等直接判断选项A；
2. 根据旋转得到的边、角关系判断△EDC的形状，验证选项B；
3. 推导∠EAD为直角，结合勾股定理和等腰直角三角形EDC的边长关系验证选项C；
4. 通过角的等量代换推导∠AED和∠ACD的关系，验证选项D。
【解析】
解：
∵△BCD绕点C逆时针旋转90°得到△ACE，
∴△BCD≌△ACE，∠DCE=∠ACB=90°，CD=CE，BD=AE，∠EAC=∠B，
A选项：由全等三角形对应角相等可得∠EAC=∠B，说法正确，不符合题意；
B选项：
∵CD=CE，∠DCE=90°，
∴△EDC是等腰直角三角形，说法正确，不符合题意；
C选项：
∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，
∴∠B+∠CAD=90°，
又
∵∠EAC=∠B，
∴∠EAC+∠CAD=∠EAD=90°，
在Rt△EAD中，由勾股定理得：$AE^2 + AD^2 = ED^2$，
∵△EDC是等腰直角三角形，
∴$ED^2=CD^2 + CE^2=2CD^2$，
又
∵AE=BD，
∴$BD^2 + AD^2 = 2CD^2 ≠ CD^2$，说法错误，符合题意；
D选项：
∵Rt△EAD中，∠AED + ∠ADE = 90°，
又
∵∠ADC=∠B + ∠BCD=45°+∠BCD，且∠ADC=∠ADE + ∠EDC=∠ADE + 45°，
∴∠ADE=∠BCD，
∵∠ACB=∠ACD + ∠BCD=90°，
∴∠ACD=90°-∠BCD=90°-∠ADE=∠AED，说法正确，不符合题意。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
旋转的性质；等腰直角三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的核心是熟练运用旋转的性质得到全等三角形，再结合直角三角形的边角关系逐一验证选项，注意旋转前后对应边、对应角相等，旋转角相等的性质的灵活应用。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合旋转的性质，明确旋转前后的两个三角形全等，对应边、对应角相等，旋转角为90°，再结合等腰直角△ABC的性质，逐个推导四个选项的正误即可：
1. 先由旋转全等直接判断选项A；
2. 根据旋转得到的边、角关系判断△EDC的形状，验证选项B；
3. 推导∠EAD为直角，结合勾股定理和等腰直角三角形EDC的边长关系验证选项C；
4. 通过角的等量代换推导∠AED和∠ACD的关系，验证选项D。
【解析】
解：
∵△BCD绕点C逆时针旋转90°得到△ACE，
∴△BCD≌△ACE，∠DCE=∠ACB=90°，CD=CE，BD=AE，∠EAC=∠B，
A选项：由全等三角形对应角相等可得∠EAC=∠B，说法正确，不符合题意；
B选项：
∵CD=CE，∠DCE=90°，
∴△EDC是等腰直角三角形，说法正确，不符合题意；
C选项：
∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，
∴∠B+∠CAD=90°，
又
∵∠EAC=∠B，
∴∠EAC+∠CAD=∠EAD=90°，
在Rt△EAD中，由勾股定理得：$AE^2 + AD^2 = ED^2$，
∵△EDC是等腰直角三角形，
∴$ED^2=CD^2 + CE^2=2CD^2$，
又
∵AE=BD，
∴$BD^2 + AD^2 = 2CD^2 ≠ CD^2$，说法错误，符合题意；
D选项：
∵Rt△EAD中，∠AED + ∠ADE = 90°，
又
∵∠ADC=∠B + ∠BCD=45°+∠BCD，且∠ADC=∠ADE + ∠EDC=∠ADE + 45°，
∴∠ADE=∠BCD，
∵∠ACB=∠ACD + ∠BCD=90°，
∴∠ACD=90°-∠BCD=90°-∠ADE=∠AED，说法正确，不符合题意。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
旋转的性质；等腰直角三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的核心是熟练运用旋转的性质得到全等三角形，再结合直角三角形的边角关系逐一验证选项，注意旋转前后对应边、对应角相等，旋转角相等的性质的灵活应用。
【难度系数】
0.7
5.在如图所示的$4×4$正方形网格中，$△ MNP$绕某点旋转一定的角度，得到$△ M_{1}N_{1}P_{1}$，则其旋转中心是(
A.点A
B.点B
C.点C
D.点D
B
)A.点A
B.点B
C.点C
D.点D
答案
5. B
解析
【分析】
要确定旋转中心，需依据旋转的性质：旋转中心到每一组对应点的距离相等，即旋转中心是所有对应点连线的垂直平分线的交点。解题时可以先找到两组对应点，分别作它们连线的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为旋转中心；也可逐一验证选项中的点到两组对应点的距离是否相等，判断是否符合旋转中心的特征。
【解析】
根据旋转的性质可知，旋转中心到对应点的距离相等。
首先确定△MNP和△M₁N₁P₁的对应点：P与P₁是对应点，N与N₁是对应点，M与M₁是对应点。
我们逐一验证选项：
选项A：点A到P和P₁的距离不相等，不符合要求，排除；
选项B：点B到P、P₁的距离相等，到N、N₁的距离相等，到M、M₁的距离也相等，完全符合旋转中心的特征；
选项C：点C到各组对应点的距离不相等，不符合要求，排除；
选项D：点D到各组对应点的距离不相等，不符合要求，排除。
因此旋转中心是点B。
【答案】
B
【知识点】
旋转的性质，垂直平分线的性质
【点评】
本题考查旋转中心的确定，解题关键是熟练掌握旋转的性质，明确旋转中心是对应点连线垂直平分线的交点，也可通过验证点到对应点距离是否相等快速判断，结合网格特征计算会更简便。
【难度系数】
0.7
要确定旋转中心，需依据旋转的性质：旋转中心到每一组对应点的距离相等，即旋转中心是所有对应点连线的垂直平分线的交点。解题时可以先找到两组对应点，分别作它们连线的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为旋转中心；也可逐一验证选项中的点到两组对应点的距离是否相等，判断是否符合旋转中心的特征。
【解析】
根据旋转的性质可知，旋转中心到对应点的距离相等。
首先确定△MNP和△M₁N₁P₁的对应点：P与P₁是对应点，N与N₁是对应点，M与M₁是对应点。
我们逐一验证选项：
选项A：点A到P和P₁的距离不相等，不符合要求，排除；
选项B：点B到P、P₁的距离相等，到N、N₁的距离相等，到M、M₁的距离也相等，完全符合旋转中心的特征；
选项C：点C到各组对应点的距离不相等，不符合要求，排除；
选项D：点D到各组对应点的距离不相等，不符合要求，排除。
因此旋转中心是点B。
【答案】
B
【知识点】
旋转的性质，垂直平分线的性质
【点评】
本题考查旋转中心的确定，解题关键是熟练掌握旋转的性质，明确旋转中心是对应点连线垂直平分线的交点，也可通过验证点到对应点距离是否相等快速判断，结合网格特征计算会更简便。
【难度系数】
0.7
6. 如图, 将 $△ ABC$ 绕点 $C(0,1)$ 旋转 $180°$ 得到 $△ DEC$. 若点 $A$ 的坐标为 $(3,-1)$, 则点 $D$ 的坐标为(
A.$(-3,1)$
B.$(-2,2)$
C.$(-3,3)$
D.$(-3,2)$
C
)A.$(-3,1)$
B.$(-2,2)$
C.$(-3,3)$
D.$(-3,2)$
答案
6. C
解析
【分析】
本题考查旋转180°（即中心对称）的坐标变换规律。首先明确：旋转180°后，对应点关于旋转中心中心对称，即旋转中心是对应点连线的中点。因此点C是线段AD的中点，我们可以利用中点坐标公式建立方程，求解点D的坐标。
【解析】
设点$D$的坐标为$(x,y)$。
因为$△ ABC$绕点$C(0,1)$旋转$180°$得到$△ DEC$，所以点$A$与点$D$关于点$C$中心对称，即点$C$是线段$AD$的中点。
根据中点坐标公式：若两点坐标为$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$，则它们的中点坐标为$(\dfrac{x_1+x_2}{2},\dfrac{y_1+y_2}{2})$。
已知点$A(3,-1)$，中点$C(0,1)$，代入公式得：
$\begin{cases}\dfrac{3+x}{2}=0\\\dfrac{-1+y}{2}=1\end{cases}$
解第一个方程：$3+x=0$，得$x=-3$；
解第二个方程：$-1+y=2$，得$y=3$。
因此点$D$的坐标为$(-3,3)$。
【答案】
C
【知识点】
中心对称的性质，中点坐标公式
【点评】
本题是坐标与旋转变换的基础题，解题核心是抓住旋转180°的本质是中心对称，对应点连线经过对称中心且被对称中心平分，结合中点坐标公式即可快速求解，计算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.8
本题考查旋转180°（即中心对称）的坐标变换规律。首先明确：旋转180°后，对应点关于旋转中心中心对称，即旋转中心是对应点连线的中点。因此点C是线段AD的中点，我们可以利用中点坐标公式建立方程，求解点D的坐标。
【解析】
设点$D$的坐标为$(x,y)$。
因为$△ ABC$绕点$C(0,1)$旋转$180°$得到$△ DEC$，所以点$A$与点$D$关于点$C$中心对称，即点$C$是线段$AD$的中点。
根据中点坐标公式：若两点坐标为$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$，则它们的中点坐标为$(\dfrac{x_1+x_2}{2},\dfrac{y_1+y_2}{2})$。
已知点$A(3,-1)$，中点$C(0,1)$，代入公式得：
$\begin{cases}\dfrac{3+x}{2}=0\\\dfrac{-1+y}{2}=1\end{cases}$
解第一个方程：$3+x=0$，得$x=-3$；
解第二个方程：$-1+y=2$，得$y=3$。
因此点$D$的坐标为$(-3,3)$。
【答案】
C
【知识点】
中心对称的性质，中点坐标公式
【点评】
本题是坐标与旋转变换的基础题，解题核心是抓住旋转180°的本质是中心对称，对应点连线经过对称中心且被对称中心平分，结合中点坐标公式即可快速求解，计算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.8
7. 如图,直线$y=\sqrt{3}x+\sqrt{3}$与$y$轴交于点$P$,将它绕着点$P$旋转$90°$,所得的直线的解析式为(
A.$y=\frac{\sqrt{3}}{3}x+\sqrt{3}$
B.$y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x+\sqrt{3}$
C.$y=\frac{1}{3}x+\sqrt{3}$
D.$y=-\frac{1}{3}x+\sqrt{3}$
B
)A.$y=\frac{\sqrt{3}}{3}x+\sqrt{3}$
B.$y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x+\sqrt{3}$
C.$y=\frac{1}{3}x+\sqrt{3}$
D.$y=-\frac{1}{3}x+\sqrt{3}$
答案
7. B
解析
【分析】
要得到旋转后直线的解析式，需明确两个关键信息：①旋转后直线经过的定点：因为直线绕点P旋转，所以P点仍在新直线上，可先通过原直线解析式求出P点坐标；②旋转后直线的斜率：结合锐角三角函数知识，先求原直线的倾斜角，旋转90°后得到新直线的倾斜角，用三角函数算出新直线的斜率，最后结合定点即可写出解析式。
【解析】
步骤1：求点P的坐标
已知直线$y=\sqrt{3}x+\sqrt{3}$与y轴交于点P，令$x=0$，代入得$y=\sqrt{3}$，即P点坐标为$(0,\sqrt{3})$，旋转后直线仍过点P。
步骤2：求旋转后直线的斜率
设原直线与x轴正方向的夹角为$α$，由原直线解析式得$\tanα=\sqrt{3}$，结合特殊角的三角函数值可知$α=60°$。
直线绕点P旋转$90°$后，新直线与x轴正方向的夹角为$60°+90°=150°$，则新直线的斜率$k=\tan150°=\tan(180°-30°)=-\tan30°=-\frac{\sqrt{3}}{3}$。
步骤3：写旋转后直线的解析式
新直线过点$(0,\sqrt{3})$，即纵截距$b=\sqrt{3}$，代入一次函数斜截式$y=kx+b$，得解析式为$y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x+\sqrt{3}$。
【答案】
B
【知识点】
一次函数性质，特殊角的三角函数值，待定系数法求解析式
【点评】
本题结合一次函数旋转考查锐角三角函数的应用，解题的核心是抓住旋转前后直线的倾斜角变化关系，结合特殊角的三角函数值快速求出斜率，同时牢记旋转过程中经过的定点不变，即可轻松求解。
【难度系数】
0.7
要得到旋转后直线的解析式，需明确两个关键信息：①旋转后直线经过的定点：因为直线绕点P旋转，所以P点仍在新直线上，可先通过原直线解析式求出P点坐标；②旋转后直线的斜率：结合锐角三角函数知识，先求原直线的倾斜角，旋转90°后得到新直线的倾斜角，用三角函数算出新直线的斜率，最后结合定点即可写出解析式。
【解析】
步骤1：求点P的坐标
已知直线$y=\sqrt{3}x+\sqrt{3}$与y轴交于点P，令$x=0$，代入得$y=\sqrt{3}$，即P点坐标为$(0,\sqrt{3})$，旋转后直线仍过点P。
步骤2：求旋转后直线的斜率
设原直线与x轴正方向的夹角为$α$，由原直线解析式得$\tanα=\sqrt{3}$，结合特殊角的三角函数值可知$α=60°$。
直线绕点P旋转$90°$后，新直线与x轴正方向的夹角为$60°+90°=150°$，则新直线的斜率$k=\tan150°=\tan(180°-30°)=-\tan30°=-\frac{\sqrt{3}}{3}$。
步骤3：写旋转后直线的解析式
新直线过点$(0,\sqrt{3})$，即纵截距$b=\sqrt{3}$，代入一次函数斜截式$y=kx+b$，得解析式为$y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x+\sqrt{3}$。
【答案】
B
【知识点】
一次函数性质，特殊角的三角函数值，待定系数法求解析式
【点评】
本题结合一次函数旋转考查锐角三角函数的应用，解题的核心是抓住旋转前后直线的倾斜角变化关系，结合特殊角的三角函数值快速求出斜率，同时牢记旋转过程中经过的定点不变，即可轻松求解。
【难度系数】
0.7
