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17.（6分）已知，如图，在$△ ABC$中，$∠ BAC = 90°$，$AB = AC$，点D是BC边上的一个动点（不与B，C重合），$∠ ADE = 45°$. 求证：$△ ABD ∽ △ DCE$.
答案
证明：
∵ ∠BAC = 90°，AB = AC，
∴ ∠B = ∠C = 45°，
∴ ∠1 + ∠2 = 180° - ∠B = 135°。
∵ 点D在BC边上，
∴ ∠2 + ∠ADE + ∠3 = 180°，
又∵ ∠ADE = 45°，
∴ ∠2 + ∠3 = 180° - 45° = 135°，
∴ ∠1 = ∠3。
又∵ ∠B = ∠C = 45°，
∴ △ABD ∽ △DCE（两角分别相等的两个三角形相似）。
∵ ∠BAC = 90°，AB = AC，
∴ ∠B = ∠C = 45°，
∴ ∠1 + ∠2 = 180° - ∠B = 135°。
∵ 点D在BC边上，
∴ ∠2 + ∠ADE + ∠3 = 180°，
又∵ ∠ADE = 45°，
∴ ∠2 + ∠3 = 180° - 45° = 135°，
∴ ∠1 = ∠3。
又∵ ∠B = ∠C = 45°，
∴ △ABD ∽ △DCE（两角分别相等的两个三角形相似）。
解析
【分析】
要证明△ABD∽△DCE，可采用“两角分别相等的两个三角形相似”的判定定理推导：首先根据△ABC是等腰直角三角形，可得到∠B=∠C=45°，得到第一组相等的对应角；接下来需要推导第二组相等的对应角，结合三角形内角和定理，可得△ABD中∠1+∠2=180°-∠B=135°，再根据平角的定义可得∠2+∠ADE+∠3=180°，结合已知∠ADE=45°可推出∠2+∠3=135°，通过等量代换即可得到∠1=∠3，两组对应角相等即可证明两个三角形相似。
【解析】
证明：
∵ ∠BAC = 90°，AB = AC，
∴ ∠B = ∠C = 45°，
∴ ∠1 + ∠2 = 180° - ∠B = 135°。
∵ 点D在BC边上，
∴ ∠2 + ∠ADE + ∠3 = 180°，
又
∵ ∠ADE = 45°，
∴ ∠2 + ∠3 = 180° - 45° = 135°，
∴ ∠1 = ∠3。
又
∵ ∠B = ∠C = 45°，
∴ △ABD ∽ △DCE（两角分别相等的两个三角形相似）。
【答案】
△ABD ∽ △DCE，证明成立。
【知识点】
等腰直角三角形的性质；三角形内角和定理；相似三角形的判定
【点评】
本题属于相似三角形证明的基础题型，解题关键是熟练运用等腰直角三角形的性质和角的和差关系推导出两组对应角相等，掌握两角法判定三角形相似是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.75
要证明△ABD∽△DCE，可采用“两角分别相等的两个三角形相似”的判定定理推导：首先根据△ABC是等腰直角三角形，可得到∠B=∠C=45°，得到第一组相等的对应角；接下来需要推导第二组相等的对应角，结合三角形内角和定理，可得△ABD中∠1+∠2=180°-∠B=135°，再根据平角的定义可得∠2+∠ADE+∠3=180°，结合已知∠ADE=45°可推出∠2+∠3=135°，通过等量代换即可得到∠1=∠3，两组对应角相等即可证明两个三角形相似。
【解析】
证明：
∵ ∠BAC = 90°，AB = AC，
∴ ∠B = ∠C = 45°，
∴ ∠1 + ∠2 = 180° - ∠B = 135°。
∵ 点D在BC边上，
∴ ∠2 + ∠ADE + ∠3 = 180°，
又
∵ ∠ADE = 45°，
∴ ∠2 + ∠3 = 180° - 45° = 135°，
∴ ∠1 = ∠3。
又
∵ ∠B = ∠C = 45°，
∴ △ABD ∽ △DCE（两角分别相等的两个三角形相似）。
【答案】
△ABD ∽ △DCE，证明成立。
【知识点】
等腰直角三角形的性质；三角形内角和定理；相似三角形的判定
【点评】
本题属于相似三角形证明的基础题型，解题关键是熟练运用等腰直角三角形的性质和角的和差关系推导出两组对应角相等，掌握两角法判定三角形相似是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.75
18.（8分）如图,在平面直角坐标系中,一次函数$y=kx+b(k≠0)$的图象与反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象交于A,B两点,与x轴交于C点,点A的坐标为$(-4,n)$,点C的坐标为$(-2,0)$,且$\tan∠AOC=\frac{1}{2}$.
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求$△ AOB$的面积.
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求$△ AOB$的面积.
答案
18. (1)$y=-\frac{8}{x},y=-x-2$;(2)6.
解析
【分析】
（1）要确定反比例函数解析式，需先得到其图象上点A的坐标：已知点A横坐标为-4，过A作x轴垂线，结合$\tan∠AOC=\frac{1}{2}$可求出A点纵坐标，得到A点坐标后代入反比例函数即可求出m；再利用一次函数过A、C两个已知点，代入解析式得到关于k、b的二元一次方程组，求解即可得到一次函数解析式。
（2）求$△ AOB$的面积时，先联立两个函数解析式求出点B的坐标，再利用割补法，将$△ AOB$拆分为以OC为公共底的$△ AOC$和$△ BOC$，分别计算两个三角形面积后求和即可得到$△ AOB$的面积。
【解析】
（1）过点A作$AD⊥x$轴于点D，
∵点A的坐标为$(-4,n)$，且位于第二象限，
∴$OD=4$，$AD=n$，
∵$\tan∠AOC=\frac{AD}{OD}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{n}{4}=\frac{1}{2}$，解得$n=2$，即$A(-4,2)$，
将$A(-4,2)$代入反比例函数$y=\frac{m}{x}$，得$2=\frac{m}{-4}$，解得$m=-8$，
∴反比例函数的解析式为$y=-\frac{8}{x}$。
将$A(-4,2)$、$C(-2,0)$代入一次函数$y=kx+b$，得：
$\begin{cases}-4k+b=2 \\-2k+b=0 \end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$2k=-2$，解得$k=-1$，
将$k=-1$代入$-2k+b=0$，得$2+b=0$，解得$b=-2$，
∴一次函数的解析式为$y=-x-2$。
（2）联立一次函数与反比例函数解析式：
$\begin{cases}y=-x-2 \\y=-\frac{8}{x} \end{cases}$
消去y得：$-x-2=-\frac{8}{x}$，整理得$x^2+2x-8=0$，
解得$x_1=-4$，$x_2=2$，
将$x=2$代入$y=-x-2$，得$y=-4$，即$B(2,-4)$。
∵点C坐标为$(-2,0)$，
∴$OC=2$，
$S_{△ AOC}=\frac{1}{2}× OC× |y_A|=\frac{1}{2}×2×2=2$，
$S_{△ BOC}=\frac{1}{2}× OC× |y_B|=\frac{1}{2}×2×4=4$，
∴$S_{△ AOB}=S_{△ AOC}+S_{△ BOC}=2+4=6$。
【答案】
（1）反比例函数解析式为$y=-\frac{8}{x}$，一次函数解析式为$y=-x-2$；（2）$6$
【知识点】
待定系数法求解析式，函数交点问题，坐标系中面积计算
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合基础题，解题核心是先利用已知条件求出关键点坐标，再结合待定系数法求解析式，计算不规则三角形面积时选用割补法可大幅简化运算。
【难度系数】
0.6
（1）要确定反比例函数解析式，需先得到其图象上点A的坐标：已知点A横坐标为-4，过A作x轴垂线，结合$\tan∠AOC=\frac{1}{2}$可求出A点纵坐标，得到A点坐标后代入反比例函数即可求出m；再利用一次函数过A、C两个已知点，代入解析式得到关于k、b的二元一次方程组，求解即可得到一次函数解析式。
（2）求$△ AOB$的面积时，先联立两个函数解析式求出点B的坐标，再利用割补法，将$△ AOB$拆分为以OC为公共底的$△ AOC$和$△ BOC$，分别计算两个三角形面积后求和即可得到$△ AOB$的面积。
【解析】
（1）过点A作$AD⊥x$轴于点D，
∵点A的坐标为$(-4,n)$，且位于第二象限，
∴$OD=4$，$AD=n$，
∵$\tan∠AOC=\frac{AD}{OD}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{n}{4}=\frac{1}{2}$，解得$n=2$，即$A(-4,2)$，
将$A(-4,2)$代入反比例函数$y=\frac{m}{x}$，得$2=\frac{m}{-4}$，解得$m=-8$，
∴反比例函数的解析式为$y=-\frac{8}{x}$。
将$A(-4,2)$、$C(-2,0)$代入一次函数$y=kx+b$，得：
$\begin{cases}-4k+b=2 \\-2k+b=0 \end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$2k=-2$，解得$k=-1$，
将$k=-1$代入$-2k+b=0$，得$2+b=0$，解得$b=-2$，
∴一次函数的解析式为$y=-x-2$。
（2）联立一次函数与反比例函数解析式：
$\begin{cases}y=-x-2 \\y=-\frac{8}{x} \end{cases}$
消去y得：$-x-2=-\frac{8}{x}$，整理得$x^2+2x-8=0$，
解得$x_1=-4$，$x_2=2$，
将$x=2$代入$y=-x-2$，得$y=-4$，即$B(2,-4)$。
∵点C坐标为$(-2,0)$，
∴$OC=2$，
$S_{△ AOC}=\frac{1}{2}× OC× |y_A|=\frac{1}{2}×2×2=2$，
$S_{△ BOC}=\frac{1}{2}× OC× |y_B|=\frac{1}{2}×2×4=4$，
∴$S_{△ AOB}=S_{△ AOC}+S_{△ BOC}=2+4=6$。
【答案】
（1）反比例函数解析式为$y=-\frac{8}{x}$，一次函数解析式为$y=-x-2$；（2）$6$
【知识点】
待定系数法求解析式，函数交点问题，坐标系中面积计算
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合基础题，解题核心是先利用已知条件求出关键点坐标，再结合待定系数法求解析式，计算不规则三角形面积时选用割补法可大幅简化运算。
【难度系数】
0.6
19. (8分) 图1是一款厨房常用的防烫取盘器, 图2是其侧面示意图. 经测量: 支架AB = AC = 19 cm, 托盘器外沿BD = CE = 3 cm. 支架AB,AC可绕点A转动, BD ⊥ AB, CE ⊥ AC. 经调研发现, 当45° ≤ ∠BAC ≤ 75°时, 操作人员手势自然.
(1) 当点D和点E重合时, 求∠BAC的度数;
(2) 若一圆形盘盘口的直径为24 cm, 请判断此时操作人员用该取盘器手势是否自然;
(3) 当∠BAC = 50°时, 请计算点A到DE的距离.
(参考数据:sin 9° ≈ 0.16,cos 9° ≈ 0.98,tan 9° ≈ 0.16,sin 25° ≈ 0.42,cos 25° ≈ 0.9,tan 25° ≈ 0.47,sin 39° ≈ 0.63,cos 39° ≈ 0.77,tan 39° ≈ 0.84)
(1) 当点D和点E重合时, 求∠BAC的度数;
(2) 若一圆形盘盘口的直径为24 cm, 请判断此时操作人员用该取盘器手势是否自然;
(3) 当∠BAC = 50°时, 请计算点A到DE的距离.
(参考数据:sin 9° ≈ 0.16,cos 9° ≈ 0.98,tan 9° ≈ 0.16,sin 25° ≈ 0.42,cos 25° ≈ 0.9,tan 25° ≈ 0.47,sin 39° ≈ 0.63,cos 39° ≈ 0.77,tan 39° ≈ 0.84)
答案
19. 解:(1) 连接AD,AE,
,$\because BD ⊥ AB,\therefore ∠ ABD = 90°$,$\because BD = 3\ \mathrm{cm},AB = 19\ \mathrm{cm},\therefore \tan∠ BAD = \frac{BD}{AB} = \frac{3}{19} \approx 0.16,\therefore ∠ BAD = 9°$,
同理:$∠ CAE = 9°$,$\because$ 点D和点E重合,$\therefore ∠ BAC = 18°$;
(2) 连接BC,过点A作$AH ⊥ BC$于点H,
,$\because AB = AC,BC = 24\ \mathrm{cm},\therefore BH = \frac{1}{2}BC = 12\ \mathrm{cm}$,
$\therefore \sin∠ BAH = \frac{BH}{AB} = \frac{12}{19} \approx 0.63,\therefore ∠ BAH = 39°,\therefore ∠ BAC = 78° ＞ 75°$,
$\therefore$ 此时操作人员用该取盘器手势不自然;
(3) 过点D作$DF ⊥ BC$于点F,过点A作$AG ⊥ BC$于点G,
,$\therefore ∠ AGB = 90°. \because AB = AC,∠ BAC = 50°,\therefore ∠ BAG = 25°$,
$\therefore AG = AB · \cos25° \approx 19 × 0.9 = 17.1\ \mathrm{cm},∠ ABG = 75°,\because ∠ ABD = 90°$,
$\therefore ∠ DBF = 25°,\therefore DF = BD · \sin25° \approx 3 × 0.42 = 1.26\ \mathrm{cm}$,
$\therefore$ 点A到DE的距离为$17.1 + 1.26 = 18.36\ \mathrm{cm}$.
答:点A到DE的距离约为18.36 cm.
解析
【分析】
（1）求解第一问时，先连接AD、AE构造直角三角形，已知Rt△ABD的两条直角边长度，可通过正切函数求出∠BAD的度数，同理得到∠CAE的度数，结合D、E重合的条件，将两个角度相加即可得到∠BAC的度数。
（2）第二问判断手势是否自然，核心是求此时∠BAC的度数，判断其是否在45°~75°范围内。已知盘口直径即BC=24cm，△ABC为等腰三角形，过A作BC的垂线，利用等腰三角形三线合一得到BH的长度，再通过正弦函数求出∠BAH的度数，乘2得到∠BAC后和范围比较即可。
（3）第三问求点A到DE的距离，由于DE平行于BC，可将距离拆分为A到BC的距离与BC到DE的距离两段，分别作两条高，结合三角函数求出两段高的长度，相加即为所求。
【解析】
(1) 连接AD、AE，，
∵ BD⊥AB，
∴ ∠ABD=90°，
已知BD=3 cm，AB=19 cm，在Rt△ABD中，$\tan∠ BAD = \frac{BD}{AB} = \frac{3}{19} \approx 0.16$，
结合参考数据得∠BAD=9°，同理可得∠CAE=9°，
∵ 点D和点E重合，
∴ $∠ BAC = ∠ BAD + ∠ CAE = 18°$。
(2) 连接BC，过点A作$AH ⊥ BC$于点H，，
∵ AB=AC，AH⊥BC，由等腰三角形三线合一得$BH = \frac{1}{2}BC$，
盘口直径为24 cm，即BC=24 cm，
∴ BH=12 cm，
在Rt△ABH中，$\sin∠ BAH = \frac{BH}{AB} = \frac{12}{19} \approx 0.63$，结合参考数据得∠BAH=39°，
∴ $∠ BAC = 2∠ BAH = 78° ＞75°$，超出手势自然的角度范围，因此手势不自然。
(3) 过点D作$DF ⊥ BC$于点F，过点A作$AG ⊥ BC$于点G，，
∴ $∠ AGB = 90°$，
∵ AB=AC，$∠ BAC=50°$，由等腰三角形三线合一得$∠ BAG=25°$，
在Rt△ABG中，$AG = AB · \cos25° \approx 19 × 0.9 = 17.1\ \mathrm{cm}$，$∠ ABG=75°$，
∵ $∠ ABD=90°$，
∴ $∠ DBF = 180° - 90° - 75° = 25°$，
在Rt△BDF中，$DF = BD · \sin25° \approx 3 × 0.42 = 1.26\ \mathrm{cm}$，
∵ DE//BC，
∴ 点A到DE的距离为$AG + DF = 17.1 + 1.26 = 18.36\ \mathrm{cm}$。
【答案】
19. 解:(1) 连接AD,AE,,$\because BD ⊥ AB,\therefore ∠ ABD = 90°$,
$\because BD = 3\ \mathrm{cm},AB = 19\ \mathrm{cm},\therefore \tan∠ BAD = \frac{BD}{AB} = \frac{3}{19} \approx 0.16,\therefore ∠ BAD = 9°$,
同理:$∠ CAE = 9°$,$\because$ 点D和点E重合,$\therefore ∠ BAC = 18°$;
(2) 连接BC,过点A作$AH ⊥ BC$于点H,,
$\because AB = AC,BC = 24\ \mathrm{cm},\therefore BH = \frac{1}{2}BC = 12\ \mathrm{cm}$,
$\therefore \sin∠ BAH = \frac{BH}{AB} = \frac{12}{19} \approx 0.63,\therefore ∠ BAH = 39°,\therefore ∠ BAC = 78° ＞ 75°$,
$\therefore$ 此时操作人员用该取盘器手势不自然;
(3) 过点D作$DF ⊥ BC$于点F,过点A作$AG ⊥ BC$于点G,,
$\therefore ∠ AGB = 90°. \because AB = AC,∠ BAC = 50°,\therefore ∠ BAG = 25°$,
$\therefore AG = AB · \cos25° \approx 19 × 0.9 = 17.1\ \mathrm{cm},∠ ABG = 75°,\because ∠ ABD = 90°$,
$\therefore ∠ DBF = 25°,\therefore DF = BD · \sin25° \approx 3 × 0.42 = 1.26\ \mathrm{cm}$,
$\therefore$ 点A到DE的距离为$17.1 + 1.26 = 18.36\ \mathrm{cm}$.
答:点A到DE的距离约为18.36 cm.
【知识点】
解直角三角形，等腰三角形的性质，三角函数的实际应用
【点评】
本题结合生活实际场景命题，将生活问题转化为几何计算问题，重点考查学生对三角函数、等腰三角形性质的掌握情况，解题的核心是合理作辅助线构造直角三角形，结合参考数据完成计算，既考察了基础知识点，也锻炼了学生将知识应用到实际的能力。
【难度系数】
0.6
（1）求解第一问时，先连接AD、AE构造直角三角形，已知Rt△ABD的两条直角边长度，可通过正切函数求出∠BAD的度数，同理得到∠CAE的度数，结合D、E重合的条件，将两个角度相加即可得到∠BAC的度数。
（2）第二问判断手势是否自然，核心是求此时∠BAC的度数，判断其是否在45°~75°范围内。已知盘口直径即BC=24cm，△ABC为等腰三角形，过A作BC的垂线，利用等腰三角形三线合一得到BH的长度，再通过正弦函数求出∠BAH的度数，乘2得到∠BAC后和范围比较即可。
（3）第三问求点A到DE的距离，由于DE平行于BC，可将距离拆分为A到BC的距离与BC到DE的距离两段，分别作两条高，结合三角函数求出两段高的长度，相加即为所求。
【解析】
(1) 连接AD、AE，
，∵ BD⊥AB，
∴ ∠ABD=90°，
已知BD=3 cm，AB=19 cm，在Rt△ABD中，$\tan∠ BAD = \frac{BD}{AB} = \frac{3}{19} \approx 0.16$，
结合参考数据得∠BAD=9°，同理可得∠CAE=9°，
∵ 点D和点E重合，
∴ $∠ BAC = ∠ BAD + ∠ CAE = 18°$。
(2) 连接BC，过点A作$AH ⊥ BC$于点H，
，∵ AB=AC，AH⊥BC，由等腰三角形三线合一得$BH = \frac{1}{2}BC$，
盘口直径为24 cm，即BC=24 cm，
∴ BH=12 cm，
在Rt△ABH中，$\sin∠ BAH = \frac{BH}{AB} = \frac{12}{19} \approx 0.63$，结合参考数据得∠BAH=39°，
∴ $∠ BAC = 2∠ BAH = 78° ＞75°$，超出手势自然的角度范围，因此手势不自然。
(3) 过点D作$DF ⊥ BC$于点F，过点A作$AG ⊥ BC$于点G，
，∴ $∠ AGB = 90°$，
∵ AB=AC，$∠ BAC=50°$，由等腰三角形三线合一得$∠ BAG=25°$，
在Rt△ABG中，$AG = AB · \cos25° \approx 19 × 0.9 = 17.1\ \mathrm{cm}$，$∠ ABG=75°$，
∵ $∠ ABD=90°$，
∴ $∠ DBF = 180° - 90° - 75° = 25°$，
在Rt△BDF中，$DF = BD · \sin25° \approx 3 × 0.42 = 1.26\ \mathrm{cm}$，
∵ DE//BC，
∴ 点A到DE的距离为$AG + DF = 17.1 + 1.26 = 18.36\ \mathrm{cm}$。
【答案】
19. 解:(1) 连接AD,AE,
,$\because BD ⊥ AB,\therefore ∠ ABD = 90°$,$\because BD = 3\ \mathrm{cm},AB = 19\ \mathrm{cm},\therefore \tan∠ BAD = \frac{BD}{AB} = \frac{3}{19} \approx 0.16,\therefore ∠ BAD = 9°$,
同理:$∠ CAE = 9°$,$\because$ 点D和点E重合,$\therefore ∠ BAC = 18°$;
(2) 连接BC,过点A作$AH ⊥ BC$于点H,
,$\because AB = AC,BC = 24\ \mathrm{cm},\therefore BH = \frac{1}{2}BC = 12\ \mathrm{cm}$,
$\therefore \sin∠ BAH = \frac{BH}{AB} = \frac{12}{19} \approx 0.63,\therefore ∠ BAH = 39°,\therefore ∠ BAC = 78° ＞ 75°$,
$\therefore$ 此时操作人员用该取盘器手势不自然;
(3) 过点D作$DF ⊥ BC$于点F,过点A作$AG ⊥ BC$于点G,
,$\therefore ∠ AGB = 90°. \because AB = AC,∠ BAC = 50°,\therefore ∠ BAG = 25°$,
$\therefore AG = AB · \cos25° \approx 19 × 0.9 = 17.1\ \mathrm{cm},∠ ABG = 75°,\because ∠ ABD = 90°$,
$\therefore ∠ DBF = 25°,\therefore DF = BD · \sin25° \approx 3 × 0.42 = 1.26\ \mathrm{cm}$,
$\therefore$ 点A到DE的距离为$17.1 + 1.26 = 18.36\ \mathrm{cm}$.
答:点A到DE的距离约为18.36 cm.
【知识点】
解直角三角形，等腰三角形的性质，三角函数的实际应用
【点评】
本题结合生活实际场景命题，将生活问题转化为几何计算问题，重点考查学生对三角函数、等腰三角形性质的掌握情况，解题的核心是合理作辅助线构造直角三角形，结合参考数据完成计算，既考察了基础知识点，也锻炼了学生将知识应用到实际的能力。
【难度系数】
0.6
