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9. 如图，四边形ABCD是菱形，∠A=60°，AB=2，扇形BEF的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是(
A.$\frac{2π}{3} - \sqrt{3}$
B.$\frac{2π}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$
C.$π - \frac{\sqrt{3}}{2}$
D.$π - \sqrt{3}$
A
)A.$\frac{2π}{3} - \sqrt{3}$
B.$\frac{2π}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$
C.$π - \frac{\sqrt{3}}{2}$
D.$π - \sqrt{3}$
答案
9. A
解析
【分析】
本题要求不规则阴影部分的面积，需采用割补法转化为规则图形面积的差求解。首先结合已知条件推导：菱形ABCD中∠A=60°、边长为2，可推出△ABD是边长为2的等边三角形；扇形BEF的半径为2、圆心角为60°，和菱形边长、∠ABD角度均相等。进一步推导角度关系可证得扇形与菱形重叠的四边形面积等于等边△ABD的面积，因此阴影总面积=扇形BEF面积 - 等边△ABD的面积，分别计算两个规则图形面积作差即可得到结果。
【解析】
连接BD，
∵ 四边形ABCD是菱形，AB=2，∠A=60°，
∴ AB=AD=BD=2，∠ABD=60°，即△ABD为等边三角形，
则等边△ABD的面积：$S_{△ ABD}=\frac{\sqrt{3}}{4}× AB^2=\frac{\sqrt{3}}{4}× 2^2=\sqrt{3}$。
∵ 扇形BEF的圆心角∠EBF=60°，半径r=2，
∴ 扇形BEF的面积：$S_{扇形BEF}=\frac{nπ r^2}{360}=\frac{60π× 2^2}{360}=\frac{2π}{3}$。
∵ ∠ABE + ∠EBD = ∠ABD=60°，∠DBF + ∠EBD = ∠EBF=60°，
∴ ∠ABE=∠DBF。
设BE交AD于点G，BF交DC于点H，在△ABG和△DBH中：
$\begin{cases}∠A=∠BDH=60° \\AB=BD \\∠ABG=∠DBH\end{cases}$
∴ △ABG≌△DBH（ASA），可得$S_{△ ABG}=S_{△ DBH}$，
因此重叠部分四边形BGDH的面积等于$S_{△ ABD}=\sqrt{3}$。
则阴影部分面积：$S_{阴影}=S_{扇形BEF}-S_{四边形BGDH}=\frac{2π}{3}-\sqrt{3}$。
【答案】
A
【知识点】
菱形的性质，扇形面积计算，全等三角形的判定
【点评】
本题考查不规则图形面积的求解，核心是通过全等转化将不规则面积转化为规则图形的面积差，割补法和全等转化是解决这类面积问题的常用技巧。
【难度系数】
0.6
本题要求不规则阴影部分的面积，需采用割补法转化为规则图形面积的差求解。首先结合已知条件推导：菱形ABCD中∠A=60°、边长为2，可推出△ABD是边长为2的等边三角形；扇形BEF的半径为2、圆心角为60°，和菱形边长、∠ABD角度均相等。进一步推导角度关系可证得扇形与菱形重叠的四边形面积等于等边△ABD的面积，因此阴影总面积=扇形BEF面积 - 等边△ABD的面积，分别计算两个规则图形面积作差即可得到结果。
【解析】
连接BD，
∵ 四边形ABCD是菱形，AB=2，∠A=60°，
∴ AB=AD=BD=2，∠ABD=60°，即△ABD为等边三角形，
则等边△ABD的面积：$S_{△ ABD}=\frac{\sqrt{3}}{4}× AB^2=\frac{\sqrt{3}}{4}× 2^2=\sqrt{3}$。
∵ 扇形BEF的圆心角∠EBF=60°，半径r=2，
∴ 扇形BEF的面积：$S_{扇形BEF}=\frac{nπ r^2}{360}=\frac{60π× 2^2}{360}=\frac{2π}{3}$。
∵ ∠ABE + ∠EBD = ∠ABD=60°，∠DBF + ∠EBD = ∠EBF=60°，
∴ ∠ABE=∠DBF。
设BE交AD于点G，BF交DC于点H，在△ABG和△DBH中：
$\begin{cases}∠A=∠BDH=60° \\AB=BD \\∠ABG=∠DBH\end{cases}$
∴ △ABG≌△DBH（ASA），可得$S_{△ ABG}=S_{△ DBH}$，
因此重叠部分四边形BGDH的面积等于$S_{△ ABD}=\sqrt{3}$。
则阴影部分面积：$S_{阴影}=S_{扇形BEF}-S_{四边形BGDH}=\frac{2π}{3}-\sqrt{3}$。
【答案】
A
【知识点】
菱形的性质，扇形面积计算，全等三角形的判定
【点评】
本题考查不规则图形面积的求解，核心是通过全等转化将不规则面积转化为规则图形的面积差，割补法和全等转化是解决这类面积问题的常用技巧。
【难度系数】
0.6
10. 如图,圆心都在x轴正半轴上的半圆$O_1$,半圆$O_2$,……,半圆$O_n$与直线$l$相切.设半圆$O_1$,半圆$O_2$,……,半圆$O_n$的半径分别是$r_1,r_2,···,r_n$,则当直线$l$与$x$轴所成锐角为$α$,$\tanα=\frac{\sqrt{3}}{3}$,且$r_1=1$时,$r_{2026}$的值是(
A.$(\sqrt{3})^{2025}$
B.$3^{2025}$
C.$(\sqrt{3})^{2026}$
D.$3^{2026}$
B
)A.$(\sqrt{3})^{2025}$
B.$3^{2025}$
C.$(\sqrt{3})^{2026}$
D.$3^{2026}$
答案
10. B
解析
【分析】
首先由$\tanα=\frac{\sqrt{3}}{3}$可得直线$l$与$x$轴的夹角为$30°$，结合切线的性质：圆心到切线的距离等于半径，构造含$30°$角的直角三角形，可推出每个圆心到原点的距离是对应半圆半径的2倍；再利用相邻两个圆心的距离等于对应两半圆半径之和，推导相邻半径的倍比关系，总结出半径的通用规律，最后代入$n=2026$计算即可。
【解析】
1. 求直线与$x$轴夹角：
$\because \tanα=\frac{\sqrt{3}}{3}$，且$α$为锐角，$\therefore α=30°$。
2. 利用切线性质和直角三角形性质推导圆心到原点的距离：
过$O_1$、$O_2$分别作直线$l$的垂线，根据切线的性质，垂线段长度分别等于对应半圆的半径$r_1$、$r_2$。
在含$30°$角的直角三角形中，$30°$角对的直角边是斜边的一半，因此圆心到原点的距离是对应半径的2倍，即$OO_1=2r_1$，$OO_2=2r_2$。
3. 推导相邻半径的关系：
相邻两个半圆的圆心距等于两半径之和，即$O_1O_2=r_1+r_2$，又$OO_2=OO_1+O_1O_2$，代入得：
$2r_2=2r_1+r_1+r_2$，化简得$r_2=3r_1$。
已知$r_1=1$，因此$r_2=3$，同理可推$r_3=3r_2=3^2$，$r_4=3r_3=3^3$，以此类推，可得通用规律：$r_n=3^{n-1}$。
4. 计算$r_{2026}$：
当$n=2026$时，$r_{2026}=3^{2026-1}=3^{2025}$。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质；含30°角的直角三角形的性质；规律探究
【点评】
本题结合几何性质考查数字规律的探究，解题的关键是利用切线和特殊直角三角形的性质，推导出相邻半径的倍比关系，难度适中，对规律推导能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
首先由$\tanα=\frac{\sqrt{3}}{3}$可得直线$l$与$x$轴的夹角为$30°$，结合切线的性质：圆心到切线的距离等于半径，构造含$30°$角的直角三角形，可推出每个圆心到原点的距离是对应半圆半径的2倍；再利用相邻两个圆心的距离等于对应两半圆半径之和，推导相邻半径的倍比关系，总结出半径的通用规律，最后代入$n=2026$计算即可。
【解析】
1. 求直线与$x$轴夹角：
$\because \tanα=\frac{\sqrt{3}}{3}$，且$α$为锐角，$\therefore α=30°$。
2. 利用切线性质和直角三角形性质推导圆心到原点的距离：
过$O_1$、$O_2$分别作直线$l$的垂线，根据切线的性质，垂线段长度分别等于对应半圆的半径$r_1$、$r_2$。
在含$30°$角的直角三角形中，$30°$角对的直角边是斜边的一半，因此圆心到原点的距离是对应半径的2倍，即$OO_1=2r_1$，$OO_2=2r_2$。
3. 推导相邻半径的关系：
相邻两个半圆的圆心距等于两半径之和，即$O_1O_2=r_1+r_2$，又$OO_2=OO_1+O_1O_2$，代入得：
$2r_2=2r_1+r_1+r_2$，化简得$r_2=3r_1$。
已知$r_1=1$，因此$r_2=3$，同理可推$r_3=3r_2=3^2$，$r_4=3r_3=3^3$，以此类推，可得通用规律：$r_n=3^{n-1}$。
4. 计算$r_{2026}$：
当$n=2026$时，$r_{2026}=3^{2026-1}=3^{2025}$。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质；含30°角的直角三角形的性质；规律探究
【点评】
本题结合几何性质考查数字规律的探究，解题的关键是利用切线和特殊直角三角形的性质，推导出相邻半径的倍比关系，难度适中，对规律推导能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
11. 已知$m$是关于$x$的方程$x^2 - 2x - 3 = 0$的一个根，则$2m^2 - 4m =$
6
.答案
11. 6
解析
【分析】
首先根据一元二次方程根的定义，将x=m代入原方程可得到关于m的等式，观察所求代数式$2m^2 -4m$的结构，发现其可变形为$2(m^2 -2m)$，与代入后得到的等式中的$m^2-2m$部分对应，因此不需要求解m的具体值，采用整体代入的方法即可快速求出结果，避免复杂计算。
【解析】
∵ $m$是方程$x^2 -2x -3=0$的一个根，
∴ 将$x=m$代入方程得：$m^2 -2m -3 = 0$，
移项可得：$m^2 -2m = 3$，
对所求代数式变形得：$2m^2 -4m = 2(m^2 -2m)$，
将$m^2 -2m=3$代入得：原式$=2×3=6$。
【答案】
6
【知识点】
一元二次方程的根的定义；代数式求值
【点评】
本题考查利用方程根的性质进行代数式求值，运用整体代入的思想可简化计算过程，是代数式求值类的常见基础题型。
【难度系数】
0.85
首先根据一元二次方程根的定义，将x=m代入原方程可得到关于m的等式，观察所求代数式$2m^2 -4m$的结构，发现其可变形为$2(m^2 -2m)$，与代入后得到的等式中的$m^2-2m$部分对应，因此不需要求解m的具体值，采用整体代入的方法即可快速求出结果，避免复杂计算。
【解析】
∵ $m$是方程$x^2 -2x -3=0$的一个根，
∴ 将$x=m$代入方程得：$m^2 -2m -3 = 0$，
移项可得：$m^2 -2m = 3$，
对所求代数式变形得：$2m^2 -4m = 2(m^2 -2m)$，
将$m^2 -2m=3$代入得：原式$=2×3=6$。
【答案】
6
【知识点】
一元二次方程的根的定义；代数式求值
【点评】
本题考查利用方程根的性质进行代数式求值，运用整体代入的思想可简化计算过程，是代数式求值类的常见基础题型。
【难度系数】
0.85
12. 如图, 坡面CD的坡度为$1:\sqrt{3}$, 坡顶的平地BC上有一棵小树AB. 当太阳光线与水平线夹角成$60°$时, 测得小树在坡顶平地上的树影BC为3 m. 若斜坡上的树影CD为$\sqrt{3}$ m, 则小树AB的高是
$4\sqrt{3}$
m. 答案
12. $4\sqrt{3}$
解析
【分析】
解题时首先要明确坡度的定义（坡面的竖直高度与水平宽度的比值），结合已知的CD长度先求出坡面CD对应的竖直高度和水平宽度；再通过作辅助线构造含60°角的直角三角形，利用太阳光线和水平线夹角为60°的条件，结合锐角三角函数的关系列出关于AB的式子，最终求出AB的长度。具体思路：1. 作辅助线构造矩形和直角三角形，将已知线段转化到直角三角形中；2. 利用坡度和三角函数计算CD对应的竖直、水平分量；3. 利用60°角的正切值列式求解AB。
【解析】
解：过点D作$DE⊥ BC$，交BC的延长线于点E，延长AB交过D的水平线于点F，易得四边形BFDE是矩形，因此$BF=DE$，$DF=BE=BC+CE$。
已知坡面CD的坡度为$1:\sqrt{3}$，即$\tan∠ DCE=\frac{DE}{CE}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，可得$∠ DCE=30°$。
在$Rt△ CDE$中，$CD=\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，因此：
$DE=CD·\sin30°=\sqrt{3}×\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\ \mathrm{m}$，
$CE=CD·\cos30°=\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{2}\ \mathrm{m}$。
因此$DF=BC+CE=3+\frac{3}{2}=\frac{9}{2}\ \mathrm{m}$，$BF=DE=\frac{\sqrt{3}}{2}\ \mathrm{m}$。
由题意得太阳光线与水平线夹角为$60°$，即$∠ ADF=60°$，在$Rt△ AFD$中：
$\tan60°=\frac{AF}{DF}$，因此$AF=DF·\tan60°=\frac{9}{2}×\sqrt{3}=\frac{9\sqrt{3}}{2}\ \mathrm{m}$。
又$AF=AB+BF$，因此$AB=AF-BF=\frac{9\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
【答案】
$4\sqrt{3}$
【知识点】
坡度坡角问题，解直角三角形的应用
【点评】
本题结合生活场景考查解直角三角形的实际应用，解题关键是正确作出辅助线构造直角三角形，将实际问题中的坡度、光线夹角等条件转化为直角三角形的边角关系，对学生的转化能力和作图能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
解题时首先要明确坡度的定义（坡面的竖直高度与水平宽度的比值），结合已知的CD长度先求出坡面CD对应的竖直高度和水平宽度；再通过作辅助线构造含60°角的直角三角形，利用太阳光线和水平线夹角为60°的条件，结合锐角三角函数的关系列出关于AB的式子，最终求出AB的长度。具体思路：1. 作辅助线构造矩形和直角三角形，将已知线段转化到直角三角形中；2. 利用坡度和三角函数计算CD对应的竖直、水平分量；3. 利用60°角的正切值列式求解AB。
【解析】
解：过点D作$DE⊥ BC$，交BC的延长线于点E，延长AB交过D的水平线于点F，易得四边形BFDE是矩形，因此$BF=DE$，$DF=BE=BC+CE$。
已知坡面CD的坡度为$1:\sqrt{3}$，即$\tan∠ DCE=\frac{DE}{CE}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，可得$∠ DCE=30°$。
在$Rt△ CDE$中，$CD=\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，因此：
$DE=CD·\sin30°=\sqrt{3}×\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\ \mathrm{m}$，
$CE=CD·\cos30°=\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{2}\ \mathrm{m}$。
因此$DF=BC+CE=3+\frac{3}{2}=\frac{9}{2}\ \mathrm{m}$，$BF=DE=\frac{\sqrt{3}}{2}\ \mathrm{m}$。
由题意得太阳光线与水平线夹角为$60°$，即$∠ ADF=60°$，在$Rt△ AFD$中：
$\tan60°=\frac{AF}{DF}$，因此$AF=DF·\tan60°=\frac{9}{2}×\sqrt{3}=\frac{9\sqrt{3}}{2}\ \mathrm{m}$。
又$AF=AB+BF$，因此$AB=AF-BF=\frac{9\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
【答案】
$4\sqrt{3}$
【知识点】
坡度坡角问题，解直角三角形的应用
【点评】
本题结合生活场景考查解直角三角形的实际应用，解题关键是正确作出辅助线构造直角三角形，将实际问题中的坡度、光线夹角等条件转化为直角三角形的边角关系，对学生的转化能力和作图能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
13. 如图，在平面直角坐标系中，过点M(-5,3)分别作x轴，y轴的垂线与反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象交于A，B两点. 若四边形MAOB的面积为24，则k =
9
.答案
13. 9
解析
【分析】
解题思路如下：1. 先计算点M向x轴、y轴作垂线围成的矩形的面积，矩形面积等于点M横、纵坐标绝对值的乘积；2. 结合反比例函数k的几何意义：过双曲线上任意一点作坐标轴的垂线，所得直角三角形的面积为$\frac{1}{2}|k|$，可得点A、B与原点形成的两个直角三角形的面积和为$|k|$；3. 观察图形可知四边形MAOB的面积等于上述矩形面积加两个直角三角形的面积，结合反比例函数图象所在象限确定k的符号，代入面积数值即可求出k。
【解析】
已知点$M(-5,3)$，过M分别作x轴、y轴的垂线，与坐标轴围成的矩形的面积为$|-5|×3=15$。
根据反比例函数$k$的几何意义，点A、B在$y=\frac{k}{x}$的图象上，因此$S_{△ AOx}=\frac{1}{2}|k|$，$S_{△ BOy}=\frac{1}{2}|k|$，两个三角形的面积和为$|k|$。
由图可知反比例函数图象位于第一、三象限，因此$k＞0$，两个三角形面积和为$k$。
已知四边形$MAOB$的面积为24，可得：
$15 + k = 24$
解得$k=9$。
【答案】
9
【知识点】
1. 反比例函数k的几何意义
2. 割补法求图形面积
【点评】
本题属于反比例函数的基础应用题型，核心是将不规则四边形的面积转化为规则图形面积的和，结合k的几何意义建立方程求解，掌握反比例函数k的几何意义是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：1. 先计算点M向x轴、y轴作垂线围成的矩形的面积，矩形面积等于点M横、纵坐标绝对值的乘积；2. 结合反比例函数k的几何意义：过双曲线上任意一点作坐标轴的垂线，所得直角三角形的面积为$\frac{1}{2}|k|$，可得点A、B与原点形成的两个直角三角形的面积和为$|k|$；3. 观察图形可知四边形MAOB的面积等于上述矩形面积加两个直角三角形的面积，结合反比例函数图象所在象限确定k的符号，代入面积数值即可求出k。
【解析】
已知点$M(-5,3)$，过M分别作x轴、y轴的垂线，与坐标轴围成的矩形的面积为$|-5|×3=15$。
根据反比例函数$k$的几何意义，点A、B在$y=\frac{k}{x}$的图象上，因此$S_{△ AOx}=\frac{1}{2}|k|$，$S_{△ BOy}=\frac{1}{2}|k|$，两个三角形的面积和为$|k|$。
由图可知反比例函数图象位于第一、三象限，因此$k＞0$，两个三角形面积和为$k$。
已知四边形$MAOB$的面积为24，可得：
$15 + k = 24$
解得$k=9$。
【答案】
9
【知识点】
1. 反比例函数k的几何意义
2. 割补法求图形面积
【点评】
本题属于反比例函数的基础应用题型，核心是将不规则四边形的面积转化为规则图形面积的和，结合k的几何意义建立方程求解，掌握反比例函数k的几何意义是解题的关键。
【难度系数】
0.7
14. 如图，MN是$\odot O$的直径，$MN = 4$，$∠ AMN = 40°$，点B为弧AN的中点，点P是直径MN上的一个动点，则$PA + PB$的最小值为
第14题图 第15题图
$2\sqrt{3}$
.第14题图 第15题图
答案
14. $2\sqrt{3}$
解析
【分析】
本题是圆背景下的最短路径问题，核心运用"将军饮马"模型求解。首先明确：要让直径MN上的动点P到A、B的距离和最小，需作其中一点关于MN的对称点，利用轴对称性质将PA+PB转化为两点之间的线段长度，此时线段长度即为最小值；再结合圆周角与圆心角的关系求出对应弧的圆心角度数，最后通过等腰三角形性质和勾股定理计算线段长度即可。
【解析】
1. 作点A关于直径MN的对称点A'，由圆的轴对称性可知A'在$\odot O$上，连接A'B交MN于点P，此时$PA+PB=PA'+PB=A'B$，值最小。
2. 连接$OA、OA'、OB$：
∵$∠ AMN=40°$，$∠ AMN$是弧AN所对的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对圆心角是圆周角的2倍，
∴弧AN对应的圆心角$∠ AON=2∠ AMN=80°$。
由轴对称性质得$∠ A'ON=∠ AON=80°$，
∵点B是弧AN的中点，
∴$∠ BON=\frac{1}{2}∠ AON=40°$，
∴$∠ A'OB=∠ A'ON+∠ BON=80°+40°=120°$。
3. 已知$MN=4$，则$\odot O$半径$OA'=OB=2$，过O作$OH⊥ A'B$于H：
等腰$△ A'OB$中，$∠ OA'H=\frac{1}{2}(180°-120°)=30°$，
∴$OH=\frac{1}{2}OA'=1$，由勾股定理得$A'H=\sqrt{OA'^2-OH^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$，
∴$A'B=2A'H=2\sqrt{3}$，即$PA+PB$的最小值为$2\sqrt{3}$。
【答案】
$2\sqrt{3}$
【知识点】
最短路径模型；圆周角定理；勾股定理
【点评】
本题结合了圆的性质与最短路径问题，解题关键是通过轴对称完成线段和的转化，再利用圆的角度性质求出对应夹角，是几何综合类的常考题型，需要熟练掌握跨知识点的综合运用。
【难度系数】
0.65
本题是圆背景下的最短路径问题，核心运用"将军饮马"模型求解。首先明确：要让直径MN上的动点P到A、B的距离和最小，需作其中一点关于MN的对称点，利用轴对称性质将PA+PB转化为两点之间的线段长度，此时线段长度即为最小值；再结合圆周角与圆心角的关系求出对应弧的圆心角度数，最后通过等腰三角形性质和勾股定理计算线段长度即可。
【解析】
1. 作点A关于直径MN的对称点A'，由圆的轴对称性可知A'在$\odot O$上，连接A'B交MN于点P，此时$PA+PB=PA'+PB=A'B$，值最小。
2. 连接$OA、OA'、OB$：
∵$∠ AMN=40°$，$∠ AMN$是弧AN所对的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对圆心角是圆周角的2倍，
∴弧AN对应的圆心角$∠ AON=2∠ AMN=80°$。
由轴对称性质得$∠ A'ON=∠ AON=80°$，
∵点B是弧AN的中点，
∴$∠ BON=\frac{1}{2}∠ AON=40°$，
∴$∠ A'OB=∠ A'ON+∠ BON=80°+40°=120°$。
3. 已知$MN=4$，则$\odot O$半径$OA'=OB=2$，过O作$OH⊥ A'B$于H：
等腰$△ A'OB$中，$∠ OA'H=\frac{1}{2}(180°-120°)=30°$，
∴$OH=\frac{1}{2}OA'=1$，由勾股定理得$A'H=\sqrt{OA'^2-OH^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$，
∴$A'B=2A'H=2\sqrt{3}$，即$PA+PB$的最小值为$2\sqrt{3}$。
【答案】
$2\sqrt{3}$
【知识点】
最短路径模型；圆周角定理；勾股定理
【点评】
本题结合了圆的性质与最短路径问题，解题关键是通过轴对称完成线段和的转化，再利用圆的角度性质求出对应夹角，是几何综合类的常考题型，需要熟练掌握跨知识点的综合运用。
【难度系数】
0.65
15. 抛物线 $ y = ax^2 + bx + c(a ≠ 0) $ 图象的一部分如图所示，其对称轴为直线 $ x = 2 $，与x轴的一个交点是$(-1,0)$，以下结论：
① $ abc ＞ 0 $;② $ 4a - 2b + c ＜ 0 $;③ $ 4a + b = 0 $;
④ 抛物线与x轴的另一个交点是$(5,0)$;
⑤ 若点$(-3,y_1)(-6,y_2)$都在抛物线上，则 $ y_1 ＜ y_2 $.其中正确的是
① $ abc ＞ 0 $;② $ 4a - 2b + c ＜ 0 $;③ $ 4a + b = 0 $;
④ 抛物线与x轴的另一个交点是$(5,0)$;
⑤ 若点$(-3,y_1)(-6,y_2)$都在抛物线上，则 $ y_1 ＜ y_2 $.其中正确的是
①③④⑤
.(填序号)答案
15. ①③④⑤
解析
【分析】
解决这类二次函数图像结论判断题，需先从图像中提取核心信息：开口方向、对称轴位置、与坐标轴的交点，再结合二次函数的性质逐一验证每个结论：1.根据开口定a的符号，结合对称轴公式推导b的符号，由与y轴交点定c的符号，判断①；2.明确4a-2b+c是x=-2对应的函数值，结合x=-2所在区间的图像位置判断②；3.利用对称轴公式化简推导b与a的关系，判断③；4.利用二次函数的对称性，两个x轴交点到对称轴距离相等，计算另一个交点坐标，判断④；5.比较两点到对称轴的距离，结合开口向上时离对称轴越远函数值越大的规律，判断⑤。
【解析】
首先从图像提取已知信息：
∵抛物线开口向上，
∴$a＞0$；
∵对称轴为直线$x=2$，由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}=2$，得$b=-4a＜0$；
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴$c＜0$。
逐个判断结论：
① $abc＞0$：$a＞0$，$b＜0$，$c＜0$，三者乘积为正，故①正确；
② $4a-2b+c$是$x=-2$时的函数值，由图像可知，当$x＜-1$时，抛物线位于x轴上方，即$x＜-1$时$y＞0$，$x=-2＜-1$，故$4a-2b+c＞0$，②错误；
③ 由对称轴$x=-\frac{b}{2a}=2$，整理得$-b=4a$，即$4a+b=0$，故③正确；
④ 二次函数图像关于对称轴$x=2$对称，设与x轴另一个交点为$(x,0)$，则$\frac{-1+x}{2}=2$，解得$x=5$，即另一个交点是$(5,0)$，故④正确；
⑤ 开口向上时，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大：点$(-3,y_1)$到对称轴$x=2$的距离为$|-3-2|=5$，点$(-6,y_2)$到对称轴的距离为$|-6-2|=8$，$8＞5$，故$y_2＞y_1$，即$y_1＜y_2$，故⑤正确。
综上，正确的结论是①③④⑤。
【答案】
①③④⑤
【知识点】
二次函数的图像与性质；二次函数的对称性；函数值大小比较
【点评】
本题是二次函数图像与系数关系的典型题型，需要熟练掌握二次函数开口、对称轴、交点等性质，结合图像位置分析推导结论，注意利用对称性简化判断。
【难度系数】
0.6
解决这类二次函数图像结论判断题，需先从图像中提取核心信息：开口方向、对称轴位置、与坐标轴的交点，再结合二次函数的性质逐一验证每个结论：1.根据开口定a的符号，结合对称轴公式推导b的符号，由与y轴交点定c的符号，判断①；2.明确4a-2b+c是x=-2对应的函数值，结合x=-2所在区间的图像位置判断②；3.利用对称轴公式化简推导b与a的关系，判断③；4.利用二次函数的对称性，两个x轴交点到对称轴距离相等，计算另一个交点坐标，判断④；5.比较两点到对称轴的距离，结合开口向上时离对称轴越远函数值越大的规律，判断⑤。
【解析】
首先从图像提取已知信息：
∵抛物线开口向上，
∴$a＞0$；
∵对称轴为直线$x=2$，由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}=2$，得$b=-4a＜0$；
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴$c＜0$。
逐个判断结论：
① $abc＞0$：$a＞0$，$b＜0$，$c＜0$，三者乘积为正，故①正确；
② $4a-2b+c$是$x=-2$时的函数值，由图像可知，当$x＜-1$时，抛物线位于x轴上方，即$x＜-1$时$y＞0$，$x=-2＜-1$，故$4a-2b+c＞0$，②错误；
③ 由对称轴$x=-\frac{b}{2a}=2$，整理得$-b=4a$，即$4a+b=0$，故③正确；
④ 二次函数图像关于对称轴$x=2$对称，设与x轴另一个交点为$(x,0)$，则$\frac{-1+x}{2}=2$，解得$x=5$，即另一个交点是$(5,0)$，故④正确；
⑤ 开口向上时，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大：点$(-3,y_1)$到对称轴$x=2$的距离为$|-3-2|=5$，点$(-6,y_2)$到对称轴的距离为$|-6-2|=8$，$8＞5$，故$y_2＞y_1$，即$y_1＜y_2$，故⑤正确。
综上，正确的结论是①③④⑤。
【答案】
①③④⑤
【知识点】
二次函数的图像与性质；二次函数的对称性；函数值大小比较
【点评】
本题是二次函数图像与系数关系的典型题型，需要熟练掌握二次函数开口、对称轴、交点等性质，结合图像位置分析推导结论，注意利用对称性简化判断。
【难度系数】
0.6
三、解答题(共55分)
16.(5分)计算:
$- ( - \dfrac{1}{2} )^{-3} + \tan 60° + \left| \sqrt{3} - 2 \right| + (π - 2026)^0.$
16.(5分)计算:
$- ( - \dfrac{1}{2} )^{-3} + \tan 60° + \left| \sqrt{3} - 2 \right| + (π - 2026)^0.$
答案
16. 11
解析
【分析】
本题属于实数的混合运算题，解题时先将原式拆分为四个独立运算的部分，分别依据对应法则计算每一项：①先计算负整数指数幂，注意符号处理；②牢记特殊角的三角函数值直接代入；③根据绝对值内代数式的正负性化简绝对值；④非零数的零指数幂结果为1，最后将各部分结果合并同类项即可得到最终答案。
【解析】
解：分别计算各项：
1. 计算负整数指数幂项：
根据负整数指数幂法则$a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a≠0)$，可得：
$(-\frac{1}{2})^{-3}=\frac{1}{(-\frac{1}{2})^3}=-8$，因此$-(-\frac{1}{2})^{-3}=-(-8)=8$
2. 代入特殊角三角函数值：$\tan60°=\sqrt{3}$
3. 化简绝对值：
因为$\sqrt{3}\approx1.732＜2$，即$\sqrt{3}-2＜0$，负数的绝对值等于它的相反数，因此$|\sqrt{3}-2|=2-\sqrt{3}$
4. 计算零指数幂：
因为$π-2026≠0$，根据非零数的零指数幂为1，可得$(π-2026)^0=1$
将各项结果相加：
原式$=8+\sqrt{3}+(2-\sqrt{3})+1=8+\sqrt{3}+2-\sqrt{3}+1=11$
【答案】
11
【知识点】
负整数指数幂运算，特殊角的三角函数值，零指数幂运算
【点评】
本题是实数运算的基础题型，重点考查基础运算法则的掌握情况，计算时需注意负指数幂的符号、绝对值化简的符号判断，避免因符号处理错误失分。
【难度系数】
0.8
本题属于实数的混合运算题，解题时先将原式拆分为四个独立运算的部分，分别依据对应法则计算每一项：①先计算负整数指数幂，注意符号处理；②牢记特殊角的三角函数值直接代入；③根据绝对值内代数式的正负性化简绝对值；④非零数的零指数幂结果为1，最后将各部分结果合并同类项即可得到最终答案。
【解析】
解：分别计算各项：
1. 计算负整数指数幂项：
根据负整数指数幂法则$a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a≠0)$，可得：
$(-\frac{1}{2})^{-3}=\frac{1}{(-\frac{1}{2})^3}=-8$，因此$-(-\frac{1}{2})^{-3}=-(-8)=8$
2. 代入特殊角三角函数值：$\tan60°=\sqrt{3}$
3. 化简绝对值：
因为$\sqrt{3}\approx1.732＜2$，即$\sqrt{3}-2＜0$，负数的绝对值等于它的相反数，因此$|\sqrt{3}-2|=2-\sqrt{3}$
4. 计算零指数幂：
因为$π-2026≠0$，根据非零数的零指数幂为1，可得$(π-2026)^0=1$
将各项结果相加：
原式$=8+\sqrt{3}+(2-\sqrt{3})+1=8+\sqrt{3}+2-\sqrt{3}+1=11$
【答案】
11
【知识点】
负整数指数幂运算，特殊角的三角函数值，零指数幂运算
【点评】
本题是实数运算的基础题型，重点考查基础运算法则的掌握情况，计算时需注意负指数幂的符号、绝对值化简的符号判断，避免因符号处理错误失分。
【难度系数】
0.8
