20. (8分) 如图，AB是$\odot O$直径，直线$l$经过$\odot O$的上一点$C$，过点$A$作直线$l$的垂线，垂足为点$D$，$AC$平分$∠ DAB$.
(1) 求证：直线$l$与$\odot O$相切.
(2) 若$∠ DAB = 60°, CD = 3$, 求$\odot O$的半径.

20. (1) 略;(2)$r = 2\sqrt{3}$.

【分析】
(1) 要证明直线$l$是$\odot O$的切线，根据切线判定定理，需连接半径$OC$，证明$OC⊥$直线$l$即可。先利用角平分线性质得到等角，再结合等腰三角形等边对等角推出$OC// AD$，由$AD⊥ l$可推导得$OC⊥ l$，即可证得切线。
(2) 先根据角平分线得到$∠ DAC=30°$，在$\mathrm{Rt}△ ADC$中利用$30°$直角三角形的性质求出$AC$的长度，再连接$BC$，利用直径所对圆周角是直角得到$\mathrm{Rt}△ ACB$，结合三角函数求出直径$AB$的长度，即可得到半径。
【解析】
(1) 证明：连接$OC$
$\because AC$平分$∠ DAB$，$\therefore ∠ DAC=∠ OAC$
$\because OA=OC$（$\odot O$的半径相等），$\therefore ∠ OAC=∠ OCA$
$\therefore ∠ DAC=∠ OCA$，$\therefore OC// AD$
$\because AD⊥ l$，$\therefore OC⊥ l$
又$\because OC$是$\odot O$的半径，$\therefore$直线$l$与$\odot O$相切。
(2) 解：连接$BC$
$\because AC$平分$∠ DAB$，$∠ DAB=60°$，$\therefore ∠ DAC=∠ CAB=30°$
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$∠ ADC=90°$，$∠ DAC=30°$，$CD=3$
$\therefore AC=2CD=6$（$30°$角所对直角边等于斜边的一半）
$\because AB$是$\odot O$的直径，$\therefore ∠ ACB=90°$（直径所对的圆周角为直角）
在$\mathrm{Rt}△ ACB$中，$∠ CAB=30°$，$AC=6$
$\cos∠ CAB=\frac{AC}{AB}$，即$\cos30°=\frac{6}{AB}$
$\therefore AB=\frac{6}{\cos30°}=\frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=4\sqrt{3}$
$\therefore \odot O$的半径$r=\frac{AB}{2}=2\sqrt{3}$
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $\odot O$的半径为$2\sqrt{3}$
【知识点】
切线的判定；圆周角定理；解直角三角形
【点评】
本题是圆的基础综合题，核心考查切线的判定思路和直角三角形相关性质的应用，正确作出辅助线、将已知条件转化到直角三角形中计算是解题的关键。
【难度系数】
0.7

21.（9分）请阅读下列解题过程：
解一元二次不等式：$x^2 -5x ＞0.$
解：设$x^2 -5x =0,$解得$x_1=0,x_2=5,$则抛物线$y=x^2 -5x$与x轴的交点坐标为$(0,0)$和$(5,0).$
画出二次函数$y=x^2 -5x$的大致图象（），由图象可知，当$x ＜0$或$x＞5$时，函数图象位于x轴上方，此时$y＞0,$即$x^2 -5x＞0,$所以一元二次不等式$x^2 -5x＞0$的解集为$x＜0$或$x＞5.$
通过对上述解题过程的学习，解答下列问题.
（1）上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的和；（填序号）
①转化思想；②分类讨论思想；③数形结合思想.
（2）一元二次不等式$x^2 -5x ＜0$的解集为；
（3）用类似的方法解一元二次不等式：$x^2 -2x -3＞0.$

21. (1)① ③;(2)$0 ＜ x ＜ 5$;(3) 解集为$x ＜ - 1$或$x ＞ 3$.

【分析】
（1）解题时先将一元二次不等式的求解问题转化为一元二次方程求根、二次函数图象分析的问题，用到了转化思想；同时结合函数图象确定不等式解集，用到了数形结合思想，因此选①③。
（2）观察给出的$y=x^2-5x$的图象，不等式$x^2-5x＜0$对应函数图象位于x轴下方的部分，对应x的取值范围就是解集。
（3）仿照题干给出的解题步骤：先求解对应一元二次方程的根，确定抛物线与x轴的交点，再结合开口向上的抛物线图象，找出图象在x轴上方对应的x范围，即为不等式的解集。
【解析】
（1）解不等式时将不等式问题转化为方程、函数问题，体现了转化思想；借助函数图象确定解集，体现了数形结合思想，故选①和③。
（2）由图象可知，当$0＜x＜5$时，抛物线$y=x^2-5x$位于x轴下方，此时$y＜0$，即$x^2-5x＜0$，因此解集为$0＜x＜5$。
（3）解：设$x^2 - 2x - 3 = 0$，
因式分解得$(x - 3)(x + 1) = 0$，
解得$x_1 = -1$，$x_2 = 3$，
则抛物线$y = x^2 - 2x - 3$与x轴的交点坐标为$(-1, 0)$和$(3, 0)$，
∵二次项系数为1，大于0，
∴抛物线开口向上，
结合二次函数图象可知：当$x ＜ -1$或$x ＞ 3$时，函数图象位于x轴上方，此时$y＞0$，即$x^2 - 2x - 3 ＞ 0$，
∴一元二次不等式$x^2 - 2x - 3 ＞ 0$的解集为$x ＜ -1$或$x ＞ 3$。
【答案】
(1)① ③；(2)$0 ＜ x ＜ 5$；(3)解集为$x ＜ - 1$或$x ＞ 3$
【知识点】
1.一元二次不等式解法
2.二次函数与不等式的关系
3.一元二次方程的解法
【点评】
本题属于阅读理解类题型，考查学生的知识迁移应用能力，通过参考给出的解题方法，结合二次函数的图象性质求解不等式，能有效考查学生对数学思想的理解和应用能力。
【难度系数】
0.7

22. (11分)如图,在平面直角坐标系中,$\odot M$经过原点$O$,且与$x$轴、$y$轴分别相交于点$A(-6,0),B(0,-8)$.
(1)求直线$AB$的函数解析式.
(2)若有一抛物线的对称轴平行于$y$轴且经过点$M$,顶点$C$在$\odot M$上,开口向下,且经过点$B$,求此抛物线的函数解析式.
(3)设(2)中的抛物线交$x$轴于$D,E$两点,在抛物线上是否存在点$P$,使得$S_{△ PDE}=\frac{1}{15}S_{△ ABC}$?若存在,请求出点$P$的坐标;若不存在,请说明理由.

22. 解:(1)$y=-\frac{4}{3}x - 8$;(2)$y=-x^2 - 6x - 8$;(3) 如图,连接$AC,BC$,
$P_1(-3,1),P_2(-3+\sqrt{2},-1),P_3(-3-\sqrt{2},-1)$.

【分析】
（1）求直线AB的解析式，已知直线过A(-6,0)、B(0,-8)两点，可采用待定系数法，设一次函数一般式，代入两点坐标求解k、b即可。
（2）先根据圆的性质：90°的圆周角所对的弦是直径，可得AB是⊙M的直径，因此M为AB中点，先求出M坐标和圆的半径；再结合抛物线对称轴过M、顶点C在圆上且开口向下，求出顶点C的坐标，设抛物线顶点式，代入B点坐标即可求出抛物线解析式。
（3）先计算△ABC的面积，得到△PDE的面积；再求出抛物线与x轴交点D、E的坐标，得到DE的长度，设P点纵坐标为$y_P$，根据三角形面积公式列方程求出$y_P$的取值，再代入抛物线解析式求出对应横坐标即可，注意要分类讨论$y_P$的正负。
【解析】
(1) 设直线AB的函数解析式为$y=kx+b$（$k≠ 0$），
将$A(-6,0)$、$B(0,-8)$代入解析式得：
$\begin{cases} -6k + b = 0 \\ b = -8 \end{cases}$
把$b=-8$代入$-6k + b = 0$，解得$k=-\frac{4}{3}$，
∴直线AB的解析式为$y=-\frac{4}{3}x - 8$。
(2)
∵$∠ AOB=90°$，且O、A、B三点都在$\odot M$上，
∴AB是$\odot M$的直径，M为AB的中点，
由中点坐标公式得M的坐标为$( \frac{-6+0}{2},\frac{0+(-8)}{2} )=(-3,-4)$，
AB的长度为$\sqrt{(-6-0)^2 + (0+8)^2}=\sqrt{100}=10$，故$\odot M$的半径为5。
∵抛物线的对称轴平行于y轴且过M，
∴抛物线对称轴为直线$x=-3$，
∵顶点C在$\odot M$上，抛物线开口向下，
∴C点在M点正上方，
C点的纵坐标为$-4 + 5=1$，即$C(-3,1)$。
设抛物线的解析式为$y=a(x+3)^2 +1$（$a＜0$），
将$B(0,-8)$代入得：$9a +1 = -8$，解得$a=-1$，
∴抛物线解析式为$y=-(x+3)^2 +1 = -x^2 -6x -8$。
(3) 先计算$S_{△ ABC}$，由坐标求三角形面积公式可得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}\left| x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2) \right|$，代入A(-6,0)、C(-3,1)、B(0,-8)得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}\left| -6×(1+8) + (-3)×(-8-0) + 0×(0-1) \right|=\frac{1}{2}×30=15$，
∴$\frac{1}{15}S_{△ ABC}=1$。
令抛物线$y=-x^2-6x-8$中$y=0$，则$-x^2-6x-8=0$，
解得$x_1=-4$，$x_2=-2$，即$D(-4,0)$，$E(-2,0)$，故$DE=2$。
设点P的坐标为$(x,y)$，则$S_{△ PDE}=\frac{1}{2}× DE × |y|=|y|=1$，
分两种情况讨论：
①当$y=1$时，$-x^2-6x-8=1$，即$(x+3)^2=0$，解得$x=-3$，即$P_1(-3,1)$；
②当$y=-1$时，$-x^2-6x-8=-1$，即$x^2+6x+7=0$，解得$x=-3\pm\sqrt{2}$，即$P_2(-3+\sqrt{2},-1)$，$P_3(-3-\sqrt{2},-1)$。
综上，存在符合条件的点P。
【答案】
(1)$y=-\frac{4}{3}x - 8$；
(2)$y=-x^2 - 6x - 8$；
(3) 如图,连接$AC,BC$,
存在，点P坐标为$P_1(-3,1),P_2(-3+\sqrt{2},-1),P_3(-3-\sqrt{2},-1)$。
【知识点】
待定系数法求解析式，圆的基本性质，二次函数综合应用
【点评】
本题是函数与几何的综合题，融合了一次函数、圆、二次函数的核心知识点，解题过程中需要熟练运用待定系数法、坐标法求面积，同时要注意存在性问题中的分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6