用描点法画出函数$y=-\dfrac{1}{2}(x+1)^2 -1$的图象.
列表:
| $x$ | $···$ | $-4$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $···$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y=-\dfrac{1}{2}(x+1)^2 -1$ | $···$ | $-5.5$ | $-3$ | | $-1$ | $-1.5$ | $-3$ | $-5.5$ | $···$ |
描点并连线:

(1)结合图象说出抛物线$y=-\dfrac{1}{2}(x+1)^2 -1$的开口方向、对称轴和顶点坐标. 抛物线$y=-\dfrac{1}{2}x^2$经过怎样的平移能得到抛物线$y=-\dfrac{1}{2}(x+1)^2 -1$?
(2)抛物线$y=-\dfrac{1}{2}(x+1)^2 -1$与$y=-\dfrac{1}{2}x^2$的形状________,位置________.
(3)二次函数$y=-\dfrac{1}{2}(x+1)^2 -1$,当$x＜-1$时,函数值$y$随$x$的增大而________;当$x＞-1$时,函数值$y$随$x$的增大而________;当$x=-1$时,函数值取最________值,最值$y=\_\_\_\_\_\_$.
思考:(1)用类比的方法能否指出抛物线$y=\dfrac{1}{2}(x+1)^2 -1$的开口方向、对称轴和顶点坐标?
(2)抛物线$y=\dfrac{1}{2}x^2$经过怎样平移能得到抛物线$y=\dfrac{1}{2}(x+1)^2 -1$?
【归纳总结】二次函数$y=a(x-h)^2 +k$的图象和性质.
(1)填表:

列表中x=-2对应的y值为-1.5
(1) 开口方向向下，对称轴为直线x=-1，顶点坐标(-1,-1)；将抛物线$y=-\dfrac{1}{2}x^2$先向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度即可得到目标抛物线。
(2) 相同 不同
(3) 增大 减小 大 -1
思考(1)：开口方向向上，对称轴为直线x=-1，顶点坐标(-1,-1)。
思考(2)：将抛物线$y=\dfrac{1}{2}x^2$先向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度即可得到目标抛物线。

【分析】
解题时首先从二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的基本性质入手：①$a$的正负决定抛物线开口方向，$|a|$决定抛物线开口大小（即形状）；②对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$；③平移遵循“左加右减（针对$x$），上加下减（针对函数整体）”的规律；④增减性根据开口方向和对称轴判断。首先代入$x=-2$算出对应$y$值，再结合上述性质依次解答各小问即可。
【解析】
1. 计算列表中$x=-2$对应的$y$值：
将$x=-2$代入$y=-\dfrac{1}{2}(x+1)^2 -1$，得：
$y=-\dfrac{1}{2}× (-2+1)^2 -1=-\dfrac{1}{2}× 1 -1=-1.5$。
(1) 对于抛物线$y=-\dfrac{1}{2}(x+1)^2 -1$：
$\because a=-\dfrac{1}{2}＜0$，$\therefore$开口方向向下；
顶点式中$h=-1$，$k=-1$，$\therefore$对称轴为直线$x=-1$，顶点坐标为$(-1,-1)$；
根据平移规律：$y=-\dfrac{1}{2}x^2$的顶点为$(0,0)$，目标抛物线顶点为$(-1,-1)$，因此将$y=-\dfrac{1}{2}x^2$先向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度即可得到目标抛物线。
(2) 两个抛物线的二次项系数$a$均为$-\dfrac{1}{2}$，$|a|$相同，因此形状相同；经过平移后顶点位置不同，因此位置不同。
(3) $\because$抛物线开口向下，对称轴为$x=-1$，
$\therefore$当$x＜-1$（对称轴左侧）时，$y$随$x$的增大而增大；
当$x＞-1$（对称轴右侧）时，$y$随$x$的增大而减小；
当$x=-1$时，函数取得最大值，最大值为$y=-1$。
思考(1) 对于抛物线$y=\dfrac{1}{2}(x+1)^2 -1$：
$\because a=\dfrac{1}{2}＞0$，$\therefore$开口方向向上；
$h=-1$，$k=-1$，因此对称轴为直线$x=-1$，顶点坐标为$(-1,-1)$。
思考(2) $y=\dfrac{1}{2}x^2$的顶点为$(0,0)$，目标抛物线顶点为$(-1,-1)$，因此将$y=\dfrac{1}{2}x^2$先向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度即可得到目标抛物线。
【答案】
列表中x=-2对应的y值为-1.5
(1) 开口方向向下，对称轴为直线x=-1，顶点坐标(-1,-1)；将抛物线$y=-\dfrac{1}{2}x^2$先向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度即可得到目标抛物线。
(2) 相同 不同
(3) 增大 减小 大 -1
思考(1)：开口方向向上，对称轴为直线x=-1，顶点坐标(-1,-1)。
思考(2)：将抛物线$y=\dfrac{1}{2}x^2$先向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度即可得到目标抛物线。
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数图象平移；二次函数增减性
【点评】
本题是二次函数顶点式的基础考查题，通过描点画图结合性质推导的方式，帮助理解顶点式中$a$、$h$、$k$三个参数对抛物线的影响，其中平移规律和增减性是二次函数的核心基础考点，熟练掌握相关结论可以快速解决同类问题。
【难度系数】
0.8

| a的取值 | 图象 | 开口方向 | 顶点坐标 | 对称轴 | 增减性 | 最值 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $a＞0$ | | | | | 当$x＜h$时，$y$随$x$的增大而；当$x＞h$时，$y$随$x$的增大而 | 当$x=h$时，$y$取最值，最值为 |
| $a＜0$ | | | | | 当$x＜h$时，$y$随$x$的增大而；当$x＞h$时，$y$随$x$的增大而 | 当$x=h$时，$y$取最值，最值为 |
(2)平移:抛物线$y=a(x-h)^2+k$与$y=ax^2$的形状，位置，它们之间可以通过平移得到，平移方向、距离由$h,k$的值决定，平移前后$a$的值。

(1) a＞0时：开口向上，顶点坐标(h,k)，对称轴直线x=h；a＜0时：开口向下，顶点坐标(h,k)，对称轴直线x=h。
(2) 相同 不同 不变

【分析】
本题考查二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的图象性质和平移规律，解题时首先根据二次项系数$a$的正负判断开口方向，再结合顶点式的结构特征直接推导顶点坐标、对称轴，随后根据开口方向分析增减性和最值；平移问题抓住“$a$决定抛物线形状”这一核心特点即可推导结论。
【解析】
(1) 对于二次函数$y=a(x-h)^2+k$：
①当$a＞0$时：
开口方向向上；顶点坐标为$(h,k)$；对称轴为直线$x=h$；
增减性：对称轴左侧$x＜h$时，$y$随$x$的增大而减小，对称轴右侧$x＞h$时，$y$随$x$的增大而增大；
最值：开口向上时顶点为图象最低点，因此$x=h$时$y$取最小值，最值为$k$。
②当$a＜0$时：
开口方向向下；顶点坐标为$(h,k)$；对称轴为直线$x=h$；
增减性：对称轴左侧$x＜h$时，$y$随$x$的增大而增大，对称轴右侧$x＞h$时，$y$随$x$的增大而减小；
最值：开口向下时顶点为图象最高点，因此$x=h$时$y$取最大值，最值为$k$。
(2) 抛物线的形状仅由二次项系数$a$决定，因此$y=a(x-h)^2+k$与$y=ax^2$形状相同；参数$h$、$k$决定抛物线的位置，因此二者位置不同；平移仅改变图象位置不改变形状，因此平移前后$a$的值不变。
【答案】
(1) $a＞0$：向上，$(h,k)$，直线$x=h$，减小，增大，小，$k$；
$a＜0$：向下，$(h,k)$，直线$x=h$，增大，减小，大，$k$；
(2) 相同，不同，不变
【知识点】
二次函数顶点式的性质，二次函数平移规律
【点评】
本题是二次函数的基础考察题型，相关性质是解决二次函数综合问题的核心基础，需要熟练掌握顶点式中各参数对应的图象特征。
【难度系数】
0.8