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例1 已知抛物线$y=-\dfrac{1}{2}(x+1)^2+2$.
(1)画出函数的图象.
(2)写出抛物线的开口方向、顶点M的坐标、对称轴.
(3)写出与y轴的交点C的坐标及与x轴的交点A,B的坐标.
(4)当x取何值时:①函数值y随x的增大而增大? ②函数值y随x的增大而减小?
(5)观察函数图象,当x取何值时:①$y＞0$? ②$y=0$? ③$y＜0$?
(6)求$△ ABM$的面积.
(1)画出函数的图象.
(2)写出抛物线的开口方向、顶点M的坐标、对称轴.
(3)写出与y轴的交点C的坐标及与x轴的交点A,B的坐标.
(4)当x取何值时:①函数值y随x的增大而增大? ②函数值y随x的增大而减小?
(5)观察函数图象,当x取何值时:①$y＞0$? ②$y=0$? ③$y＜0$?
(6)求$△ ABM$的面积.
答案
解：
(1) 列表：
| x | ... | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | ... |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| y | ... | 0 | $\frac{3}{2}$ | 2 | $\frac{3}{2}$ | 0 | ... |
在平面直角坐标系中描出上述点，用平滑曲线顺次连接各点，即可得到函数的图象。
(2) $\because a=-\frac{1}{2}＜0$，
$\therefore$ 抛物线开口向下，顶点$M$的坐标为$(-1,2)$，对称轴为直线$x=-1$。
(3) 把$x=0$代入函数解析式，得：
$y=-\frac{1}{2}(0+1)^2+2=\frac{3}{2}$，
$\therefore$ 与$y$轴的交点$C$的坐标为$(0,\frac{3}{2})$。
令$y=0$，则$-\frac{1}{2}(x+1)^2+2=0$，
整理得$(x+1)^2=4$，
解得$x_1=-3$，$x_2=1$，
$\therefore$ 与$x$轴的交点坐标为$A(-3,0)$，$B(1,0)$。
(4) ① $\because$ 抛物线开口向下，对称轴为直线$x=-1$，
$\therefore$ 当$x＜-1$时，函数值$y$随$x$的增大而增大；
② 当$x＞-1$时，函数值$y$随$x$的增大而减小。
(5) 结合图象可得：
① 当$-3＜x＜1$时，$y＞0$；
② 当$x=-3$或$x=1$时，$y=0$；
③ 当$x＜-3$或$x＞1$时，$y＜0$。
(6) 由$A(-3,0)$，$B(1,0)$得$AB=|1-(-3)|=4$，
点$M$到$x$轴的距离即$△ ABM$中$AB$边上的高为$2$，
$\therefore S_{△ ABM}=\frac{1}{2}× AB × 2=\frac{1}{2}×4×2=4$。
(1) 列表：
| x | ... | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | ... |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| y | ... | 0 | $\frac{3}{2}$ | 2 | $\frac{3}{2}$ | 0 | ... |
在平面直角坐标系中描出上述点，用平滑曲线顺次连接各点，即可得到函数的图象。
(2) $\because a=-\frac{1}{2}＜0$，
$\therefore$ 抛物线开口向下，顶点$M$的坐标为$(-1,2)$，对称轴为直线$x=-1$。
(3) 把$x=0$代入函数解析式，得：
$y=-\frac{1}{2}(0+1)^2+2=\frac{3}{2}$，
$\therefore$ 与$y$轴的交点$C$的坐标为$(0,\frac{3}{2})$。
令$y=0$，则$-\frac{1}{2}(x+1)^2+2=0$，
整理得$(x+1)^2=4$，
解得$x_1=-3$，$x_2=1$，
$\therefore$ 与$x$轴的交点坐标为$A(-3,0)$，$B(1,0)$。
(4) ① $\because$ 抛物线开口向下，对称轴为直线$x=-1$，
$\therefore$ 当$x＜-1$时，函数值$y$随$x$的增大而增大；
② 当$x＞-1$时，函数值$y$随$x$的增大而减小。
(5) 结合图象可得：
① 当$-3＜x＜1$时，$y＞0$；
② 当$x=-3$或$x=1$时，$y=0$；
③ 当$x＜-3$或$x＞1$时，$y＜0$。
(6) 由$A(-3,0)$，$B(1,0)$得$AB=|1-(-3)|=4$，
点$M$到$x$轴的距离即$△ ABM$中$AB$边上的高为$2$，
$\therefore S_{△ ABM}=\frac{1}{2}× AB × 2=\frac{1}{2}×4×2=4$。
解析
【分析】
本题围绕顶点式二次函数$y=a(x-h)^2+k$的相关知识展开，解题思路如下：①画函数图像遵循列表、描点、连线的步骤，因为抛物线是轴对称图形，列表时以对称轴为中心对称取点即可；②顶点式中$a$的符号决定开口方向，可直接读出顶点坐标$(h,k)$和对称轴直线$x=h$；③求与y轴交点时令$x=0$代入解析式计算y值，求与x轴交点时令$y=0$解一元二次方程得到x值；④增减性结合开口方向和对称轴判断：开口向下时，对称轴左侧y随x增大而增大，右侧y随x增大而减小；⑤判断y与0的大小关系时，对应观察图像在x轴上方、x轴上、x轴下方时的x取值范围即可；⑥求$△ ABM$的面积时，AB在x轴上，先计算AB的长度作为底，顶点M到x轴的距离为高，代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 列表取点（以对称轴$x=-1$为中心对称取值）：
| x | ... | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | ... |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| y | ... | 0 | $\frac{3}{2}$ | 2 | $\frac{3}{2}$ | 0 | ... |
在平面直角坐标系中描出上述各点，用平滑曲线顺次连接各点，即可得到该函数的图象。
(2) 由抛物线解析式$y=-\dfrac{1}{2}(x+1)^2+2$得$a=-\frac{1}{2}＜0$，因此抛物线开口向下，顶点$M$的坐标为$(-1,2)$，对称轴为直线$x=-1$。
(3) 求与y轴交点：将$x=0$代入函数解析式，得$y=-\frac{1}{2}(0+1)^2+2=\frac{3}{2}$，因此与y轴的交点$C$的坐标为$(0,\frac{3}{2})$。
求与x轴交点：令$y=0$，则$-\frac{1}{2}(x+1)^2+2=0$，整理得$(x+1)^2=4$，开方得$x+1=\pm2$，解得$x_1=-3$，$x_2=1$，因此与x轴的交点坐标为$A(-3,0)$，$B(1,0)$。
(4) 已知抛物线开口向下，对称轴为直线$x=-1$：
① 当$x＜-1$时，函数值y随x的增大而增大；
② 当$x＞-1$时，函数值y随x的增大而减小。
(5) 结合函数图象观察：
① 当图象在x轴上方时，对应x的范围是$-3＜x＜1$，即此时$y＞0$；
② 当图象与x轴相交时，对应x的值为$-3$或$1$，即此时$y=0$；
③ 当图象在x轴下方时，对应x的范围是$x＜-3$或$x＞1$，即此时$y＜0$。
(6) 由$A(-3,0)$、$B(1,0)$得AB的长度为$|1-(-3)|=4$，顶点$M(-1,2)$到x轴的距离为2，即$△ ABM$中AB边上的高为2，因此$S_{△ ABM}=\frac{1}{2}×AB×高=\frac{1}{2}×4×2=4$。
【答案】
(1) 按上述列表、描点、连线的方法绘制图像即可；
(2) 开口向下，顶点$M(-1,2)$，对称轴为直线$x=-1$；
(3) $C(0,\frac{3}{2})$，$A(-3,0)$，$B(1,0)$；
(4) ①$x＜-1$时y随x增大而增大；②$x＞-1$时y随x增大而减小；
(5) ①$-3＜x＜1$时$y＞0$；②$x=-3$或$x=1$时$y=0$；③$x＜-3$或$x＞1$时$y＜0$；
(6) $△ ABM$的面积为$4$。
【知识点】
1. 二次函数顶点式的性质
2. 二次函数与坐标轴交点求解
3. 二次函数与不等式的关系
【点评】
本题是二次函数的基础综合题型，全面覆盖了顶点式二次函数的图像绘制、性质应用、交点求解、增减性判断、函数值符号判定及相关面积计算，是巩固二次函数基础知识点的典型习题。
【难度系数】
0.75
本题围绕顶点式二次函数$y=a(x-h)^2+k$的相关知识展开，解题思路如下：①画函数图像遵循列表、描点、连线的步骤，因为抛物线是轴对称图形，列表时以对称轴为中心对称取点即可；②顶点式中$a$的符号决定开口方向，可直接读出顶点坐标$(h,k)$和对称轴直线$x=h$；③求与y轴交点时令$x=0$代入解析式计算y值，求与x轴交点时令$y=0$解一元二次方程得到x值；④增减性结合开口方向和对称轴判断：开口向下时，对称轴左侧y随x增大而增大，右侧y随x增大而减小；⑤判断y与0的大小关系时，对应观察图像在x轴上方、x轴上、x轴下方时的x取值范围即可；⑥求$△ ABM$的面积时，AB在x轴上，先计算AB的长度作为底，顶点M到x轴的距离为高，代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 列表取点（以对称轴$x=-1$为中心对称取值）：
| x | ... | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | ... |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| y | ... | 0 | $\frac{3}{2}$ | 2 | $\frac{3}{2}$ | 0 | ... |
在平面直角坐标系中描出上述各点，用平滑曲线顺次连接各点，即可得到该函数的图象。
(2) 由抛物线解析式$y=-\dfrac{1}{2}(x+1)^2+2$得$a=-\frac{1}{2}＜0$，因此抛物线开口向下，顶点$M$的坐标为$(-1,2)$，对称轴为直线$x=-1$。
(3) 求与y轴交点：将$x=0$代入函数解析式，得$y=-\frac{1}{2}(0+1)^2+2=\frac{3}{2}$，因此与y轴的交点$C$的坐标为$(0,\frac{3}{2})$。
求与x轴交点：令$y=0$，则$-\frac{1}{2}(x+1)^2+2=0$，整理得$(x+1)^2=4$，开方得$x+1=\pm2$，解得$x_1=-3$，$x_2=1$，因此与x轴的交点坐标为$A(-3,0)$，$B(1,0)$。
(4) 已知抛物线开口向下，对称轴为直线$x=-1$：
① 当$x＜-1$时，函数值y随x的增大而增大；
② 当$x＞-1$时，函数值y随x的增大而减小。
(5) 结合函数图象观察：
① 当图象在x轴上方时，对应x的范围是$-3＜x＜1$，即此时$y＞0$；
② 当图象与x轴相交时，对应x的值为$-3$或$1$，即此时$y=0$；
③ 当图象在x轴下方时，对应x的范围是$x＜-3$或$x＞1$，即此时$y＜0$。
(6) 由$A(-3,0)$、$B(1,0)$得AB的长度为$|1-(-3)|=4$，顶点$M(-1,2)$到x轴的距离为2，即$△ ABM$中AB边上的高为2，因此$S_{△ ABM}=\frac{1}{2}×AB×高=\frac{1}{2}×4×2=4$。
【答案】
(1) 按上述列表、描点、连线的方法绘制图像即可；
(2) 开口向下，顶点$M(-1,2)$，对称轴为直线$x=-1$；
(3) $C(0,\frac{3}{2})$，$A(-3,0)$，$B(1,0)$；
(4) ①$x＜-1$时y随x增大而增大；②$x＞-1$时y随x增大而减小；
(5) ①$-3＜x＜1$时$y＞0$；②$x=-3$或$x=1$时$y=0$；③$x＜-3$或$x＞1$时$y＜0$；
(6) $△ ABM$的面积为$4$。
【知识点】
1. 二次函数顶点式的性质
2. 二次函数与坐标轴交点求解
3. 二次函数与不等式的关系
【点评】
本题是二次函数的基础综合题型，全面覆盖了顶点式二次函数的图像绘制、性质应用、交点求解、增减性判断、函数值符号判定及相关面积计算，是巩固二次函数基础知识点的典型习题。
【难度系数】
0.75
例2 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一个水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1.6 m处达到最高，高度为3 m，水柱落地处离池中心3.6 m，水管应该多长？
答案
解：以池中心为原点，竖直水管所在直线为y轴，水平地面为x轴，建立平面直角坐标系。
由题意得抛物线的顶点坐标为$(1.6, 3)$，设抛物线的解析式为：
$y=a(x-1.6)^2+3$
将水柱落地处的坐标$(3.6, 0)$代入解析式：
$0=a·(3.6-1.6)^2+3$
化简得$4a+3=0$，解得$a=-\dfrac{3}{4}$。
因此抛物线的解析式为：
$y=-\dfrac{3}{4}(x-1.6)^2+3$
当$x=0$时，代入解析式得：
$y=-\dfrac{3}{4}×(0-1.6)^2+3=1.08$
答：水管的长度为$1.08\ \mathrm{m}$。
由题意得抛物线的顶点坐标为$(1.6, 3)$，设抛物线的解析式为：
$y=a(x-1.6)^2+3$
将水柱落地处的坐标$(3.6, 0)$代入解析式：
$0=a·(3.6-1.6)^2+3$
化简得$4a+3=0$，解得$a=-\dfrac{3}{4}$。
因此抛物线的解析式为：
$y=-\dfrac{3}{4}(x-1.6)^2+3$
当$x=0$时，代入解析式得：
$y=-\dfrac{3}{4}×(0-1.6)^2+3=1.08$
答：水管的长度为$1.08\ \mathrm{m}$。
解析
【分析】
这是二次函数解决实际问题的典型题型，解题思路如下：首先需要把实际的抛物线水柱转化为数学中的二次函数模型，优先建立方便计算的平面直角坐标系，本题以池中心为原点、竖直水管为y轴、水平地面为x轴建系后，所求水管长度就是x=0时对应的y值；其次已知抛物线的顶点坐标，因此选择顶点式设二次函数解析式，仅需1个额外的点就能求出未知系数；最后代入水柱落地处的坐标求出解析式，再代入x=0计算即可得到水管长度。
【解析】
以池中心为原点，竖直水管所在直线为y轴，水平地面为x轴，建立平面直角坐标系。
由题意得抛物线的顶点坐标为$(1.6, 3)$，设抛物线的解析式为：
$y=a(x-1.6)^2+3\ (a≠0)$
水柱落地处离池中心3.6m，对应坐标为$(3.6, 0)$，将其代入解析式：
$0=a·(3.6-1.6)^2+3$
化简得$4a+3=0$，解得$a=-\dfrac{3}{4}$。
因此抛物线的解析式为：
$y=-\dfrac{3}{4}(x-1.6)^2+3$
水管长度为x=0时对应的y值，将x=0代入解析式得：
$y=-\dfrac{3}{4}×(0-1.6)^2+3=1.08$
【答案】
$\boldsymbol{1.08\ \mathrm{m}}$
【知识点】
二次函数实际应用、待定系数法求解析式、二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数在生活中应用的基础题，解题核心是将实际场景转化为数学模型，合理建立坐标系、选择合适的解析式形式能大幅降低解题难度，可锻炼学生的数学建模能力。
【难度系数】
0.7
这是二次函数解决实际问题的典型题型，解题思路如下：首先需要把实际的抛物线水柱转化为数学中的二次函数模型，优先建立方便计算的平面直角坐标系，本题以池中心为原点、竖直水管为y轴、水平地面为x轴建系后，所求水管长度就是x=0时对应的y值；其次已知抛物线的顶点坐标，因此选择顶点式设二次函数解析式，仅需1个额外的点就能求出未知系数；最后代入水柱落地处的坐标求出解析式，再代入x=0计算即可得到水管长度。
【解析】
以池中心为原点，竖直水管所在直线为y轴，水平地面为x轴，建立平面直角坐标系。
由题意得抛物线的顶点坐标为$(1.6, 3)$，设抛物线的解析式为：
$y=a(x-1.6)^2+3\ (a≠0)$
水柱落地处离池中心3.6m，对应坐标为$(3.6, 0)$，将其代入解析式：
$0=a·(3.6-1.6)^2+3$
化简得$4a+3=0$，解得$a=-\dfrac{3}{4}$。
因此抛物线的解析式为：
$y=-\dfrac{3}{4}(x-1.6)^2+3$
水管长度为x=0时对应的y值，将x=0代入解析式得：
$y=-\dfrac{3}{4}×(0-1.6)^2+3=1.08$
【答案】
$\boldsymbol{1.08\ \mathrm{m}}$
【知识点】
二次函数实际应用、待定系数法求解析式、二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数在生活中应用的基础题，解题核心是将实际场景转化为数学模型，合理建立坐标系、选择合适的解析式形式能大幅降低解题难度，可锻炼学生的数学建模能力。
【难度系数】
0.7
1. 将抛物线$y=x^2$向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得到的抛物线的解析式为(
A.$y=(x+3)^2+5$
B.$y=(x-3)^2+5$
C.$y=(x+5)^2+3$
D.$y=(x-5)^2+3$
D
)A.$y=(x+3)^2+5$
B.$y=(x-3)^2+5$
C.$y=(x+5)^2+3$
D.$y=(x-5)^2+3$
答案
1. D
解析
【分析】
本题考查二次函数图象的平移变换，解题核心是熟练掌握平移规律“左加右减，上加下减”。思考步骤如下：第一步先处理上下平移，上下平移是对函数整体的值进行调整，向上平移则加，向下平移则减；第二步处理左右平移，左右平移是针对自变量x进行调整，向左平移则给x加平移距离，向右平移则给x减平移距离，注意替换x时要带括号，避免计算错误。
【解析】
已知原抛物线解析式为$y=x^2$：
1. 第一步向上平移3个单位长度，根据“上加下减”的规律，在解析式末尾加上平移距离3，得到平移后的解析式为$y=x^2+3$；
2. 第二步向右平移5个单位长度，根据“左加右减”的规律，将解析式中的$x$替换为$(x-5)$，代入后得到最终解析式为$y=(x-5)^2+3$。
对应选项为D。
【答案】
D
【知识点】
1. 二次函数图象平移
2. 函数平移规律
【点评】
本题是二次函数图象变换的基础题型，主要考查对平移规律的理解与应用，易错点是容易混淆左右平移时的加减方向，解题时注意左右平移是对自变量x单独进行变形，即可避免出错，是二次函数部分的常见基础考点。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数图象的平移变换，解题核心是熟练掌握平移规律“左加右减，上加下减”。思考步骤如下：第一步先处理上下平移，上下平移是对函数整体的值进行调整，向上平移则加，向下平移则减；第二步处理左右平移，左右平移是针对自变量x进行调整，向左平移则给x加平移距离，向右平移则给x减平移距离，注意替换x时要带括号，避免计算错误。
【解析】
已知原抛物线解析式为$y=x^2$：
1. 第一步向上平移3个单位长度，根据“上加下减”的规律，在解析式末尾加上平移距离3，得到平移后的解析式为$y=x^2+3$；
2. 第二步向右平移5个单位长度，根据“左加右减”的规律，将解析式中的$x$替换为$(x-5)$，代入后得到最终解析式为$y=(x-5)^2+3$。
对应选项为D。
【答案】
D
【知识点】
1. 二次函数图象平移
2. 函数平移规律
【点评】
本题是二次函数图象变换的基础题型，主要考查对平移规律的理解与应用，易错点是容易混淆左右平移时的加减方向，解题时注意左右平移是对自变量x单独进行变形，即可避免出错，是二次函数部分的常见基础考点。
【难度系数】
0.8
2. 抛物线$y=(x-2)^2 + h -4$的顶点在直线$y=-4x -1$上，则$h=$
-5
。答案
2. -5
解析
【分析】
解题第一步先回忆二次函数顶点式$y=a(x-m)^2+n$的性质，其顶点坐标为$(m,n)$，因此先确定题中所给抛物线的顶点坐标；再根据“点在直线上，则点的坐标满足直线的解析式”这一规律，将顶点坐标代入直线方程，得到关于$h$的一元一次方程，解方程即可求出$h$的值。
【解析】
1. 确定抛物线的顶点坐标：
对于抛物线$y=(x-2)^2 + h -4$，符合顶点式$y=a(x-m)^2+n$的形式，其中$m=2$，$n=h-4$，因此它的顶点坐标为$(2, h-4)$。
2. 代入直线解析式列方程：
因为顶点$(2, h-4)$在直线$y=-4x -1$上，所以将$x=2$，$y=h-4$代入直线解析式得：
$h - 4 = -4×2 -1$
3. 解方程求$h$：
计算等号右侧：$-4×2 -1 = -8 -1 = -9$
则方程变为$h - 4 = -9$，移项得$h = -9 + 4 = -5$。
【答案】
-5
【知识点】
二次函数顶点式的性质；一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题型，核心是掌握二次函数顶点式的顶点坐标的求法，以及点在函数图象上时坐标满足对应函数解析式这一规律，计算量小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.8
解题第一步先回忆二次函数顶点式$y=a(x-m)^2+n$的性质，其顶点坐标为$(m,n)$，因此先确定题中所给抛物线的顶点坐标；再根据“点在直线上，则点的坐标满足直线的解析式”这一规律，将顶点坐标代入直线方程，得到关于$h$的一元一次方程，解方程即可求出$h$的值。
【解析】
1. 确定抛物线的顶点坐标：
对于抛物线$y=(x-2)^2 + h -4$，符合顶点式$y=a(x-m)^2+n$的形式，其中$m=2$，$n=h-4$，因此它的顶点坐标为$(2, h-4)$。
2. 代入直线解析式列方程：
因为顶点$(2, h-4)$在直线$y=-4x -1$上，所以将$x=2$，$y=h-4$代入直线解析式得：
$h - 4 = -4×2 -1$
3. 解方程求$h$：
计算等号右侧：$-4×2 -1 = -8 -1 = -9$
则方程变为$h - 4 = -9$，移项得$h = -9 + 4 = -5$。
【答案】
-5
【知识点】
二次函数顶点式的性质；一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题型，核心是掌握二次函数顶点式的顶点坐标的求法，以及点在函数图象上时坐标满足对应函数解析式这一规律，计算量小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.8
3. 已知二次函数$y=2(x-3)^2+1$. 有下列说法:①其图象的开口向下;②其图象的对称轴为直线$x=-3$;③其图象的顶点坐标为$(3,-1)$;④当$x＜3$时,$y$随$x$的增大而减小. 其中说法正确的有(
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
A
)A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
3. A
解析
【分析】
本题考查二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的图象与性质，解题时先明确各参数的含义：$a$决定开口方向，对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$，再结合开口方向判断函数的增减性，最后逐一验证4个说法的正误，统计正确个数即可得到答案。
【解析】
已知二次函数为$y=2(x-3)^2+1$，对应顶点式$y=a(x-h)^2+k$，可得$a=2$，$h=3$，$k=1$：
① 因为$a=2＞0$，所以图象开口向上，故①说法错误；
② 顶点式的对称轴为直线$x=h$，即直线$x=3$，故②说法错误；
③ 顶点式的顶点坐标为$(h,k)$，即$(3,1)$，故③说法错误；
④ 因为图象开口向上，在对称轴左侧$y$随$x$的增大而减小，即$x＜3$时，$y$随$x$的增大而减小，故④说法正确。
综上，只有1个说法正确，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数增减性；二次函数图象特征
【点评】
本题属于二次函数的基础考查题，核心是对顶点式中各参数对应图象性质的记忆和辨析，容易出错的点是对$h$的符号判断，熟记性质即可快速解题。
【难度系数】
0.7
本题考查二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的图象与性质，解题时先明确各参数的含义：$a$决定开口方向，对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$，再结合开口方向判断函数的增减性，最后逐一验证4个说法的正误，统计正确个数即可得到答案。
【解析】
已知二次函数为$y=2(x-3)^2+1$，对应顶点式$y=a(x-h)^2+k$，可得$a=2$，$h=3$，$k=1$：
① 因为$a=2＞0$，所以图象开口向上，故①说法错误；
② 顶点式的对称轴为直线$x=h$，即直线$x=3$，故②说法错误；
③ 顶点式的顶点坐标为$(h,k)$，即$(3,1)$，故③说法错误；
④ 因为图象开口向上，在对称轴左侧$y$随$x$的增大而减小，即$x＜3$时，$y$随$x$的增大而减小，故④说法正确。
综上，只有1个说法正确，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数增减性；二次函数图象特征
【点评】
本题属于二次函数的基础考查题，核心是对顶点式中各参数对应图象性质的记忆和辨析，容易出错的点是对$h$的符号判断，熟记性质即可快速解题。
【难度系数】
0.7
4. 已知二次函数$y=a(x+1)^2 -4(a≠0)$的图象经过点$(1,0)$.
(1)求该二次函数的解析式；
(2)当$-3≤x≤2$时，求$y$的最小值.
(1)求该二次函数的解析式；
(2)当$-3≤x≤2$时，求$y$的最小值.
答案
(1) 将点(1,0)代入解析式得：$0=a(1+1)^2-4$，解得a=1，因此二次函数解析式为$y=(x+1)^2-4$。
(2) 由a=1＞0可知抛物线开口向上，对称轴为直线x=-1，在区间$-3≤x≤2$内，当x=-1时y取得最小值，最小值为-4。
解析
【分析】
(1) 求二次函数解析式时，已知给出的是顶点式解析式，仅含有未知参数a，只需将已知点(1,0)的坐标代入解析式，得到关于a的一元一次方程，解方程求出a的值，即可确定完整的二次函数解析式。
(2) 求给定区间内二次函数的最小值，首先要根据a的正负判断抛物线的开口方向，再找到抛物线的对称轴，判断对称轴是否在给定区间[-3,2]内：若抛物线开口向上，对称轴在区间内时，顶点处的函数值就是最小值；若对称轴不在区间内，则在离对称轴更近的区间端点处取最小值。本题中对称轴落在给定区间内，直接计算顶点纵坐标即可得到最小值。
【解析】
(1) 将点$(1,0)$代入二次函数$y=a(x+1)^2 -4$中，可得：
$0=a(1+1)^2 -4$
整理得$4a-4=0$，解得$a=1$
因此该二次函数的解析式为$y=(x+1)^2 -4$。
(2) 由(1)得$a=1＞0$，所以抛物线开口向上，该函数的对称轴为直线$x=-1$。
因为对称轴$x=-1$在区间$-3≤x≤2$范围内，所以当$x=-1$时，$y$取得最小值，将$x=-1$代入解析式得：$y=(-1+1)^2 -4 = -4$。
【答案】
(1) $y=(x+1)^2 -4$；(2) $-4$
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数图象性质，二次函数区间最值
【点评】
本题是二次函数的基础应用题，重点考查顶点式解析式的求解和给定区间内最值的计算，解题关键是熟练掌握二次函数开口方向、对称轴与函数最值的对应关系。
【难度系数】
0.8
(1) 求二次函数解析式时，已知给出的是顶点式解析式，仅含有未知参数a，只需将已知点(1,0)的坐标代入解析式，得到关于a的一元一次方程，解方程求出a的值，即可确定完整的二次函数解析式。
(2) 求给定区间内二次函数的最小值，首先要根据a的正负判断抛物线的开口方向，再找到抛物线的对称轴，判断对称轴是否在给定区间[-3,2]内：若抛物线开口向上，对称轴在区间内时，顶点处的函数值就是最小值；若对称轴不在区间内，则在离对称轴更近的区间端点处取最小值。本题中对称轴落在给定区间内，直接计算顶点纵坐标即可得到最小值。
【解析】
(1) 将点$(1,0)$代入二次函数$y=a(x+1)^2 -4$中，可得：
$0=a(1+1)^2 -4$
整理得$4a-4=0$，解得$a=1$
因此该二次函数的解析式为$y=(x+1)^2 -4$。
(2) 由(1)得$a=1＞0$，所以抛物线开口向上，该函数的对称轴为直线$x=-1$。
因为对称轴$x=-1$在区间$-3≤x≤2$范围内，所以当$x=-1$时，$y$取得最小值，将$x=-1$代入解析式得：$y=(-1+1)^2 -4 = -4$。
【答案】
(1) $y=(x+1)^2 -4$；(2) $-4$
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数图象性质，二次函数区间最值
【点评】
本题是二次函数的基础应用题，重点考查顶点式解析式的求解和给定区间内最值的计算，解题关键是熟练掌握二次函数开口方向、对称轴与函数最值的对应关系。
【难度系数】
0.8
1. 某抛物线和抛物线$y=-2x^2+1$的形状完全相同,顶点坐标是$(-1,3)$,则该抛物线的解析式为$\underline{\hspace{5cm}}$.
答案
$y = - 2(x + 1)^2 + 3$
解析
【分析】
解题时首先要明确：抛物线的形状由二次项系数的绝对值决定，若两个抛物线形状完全相同，说明它们的二次项系数相等（本题默认开口方向与已知抛物线一致）。已知所求抛物线的顶点坐标，优先选用二次函数的顶点式求解，顶点式的形式为$y=a(x-h)^2+k$，其中$(h,k)$为顶点坐标，$a$为二次项系数，我们只需要将已知的$a$值和顶点坐标代入顶点式，化简即可得到解析式。
【解析】
1. 确定二次项系数$a$：
因为所求抛物线与$y=-2x^2+1$形状完全相同，所以二次项系数$a=-2$。
2. 代入顶点式：
已知抛物线顶点坐标为$(-1,3)$，设抛物线解析式为顶点式$y=a(x-h)^2+k$，其中$h=-1$，$k=3$。
将$a=-2$、$h=-1$、$k=3$代入顶点式，得：
$y=-2(x-(-1))^2+3$
化简后为：$y=-2(x+1)^2+3$
【答案】
$y = - 2(x + 1)^2 + 3$
【知识点】
二次函数的性质；待定系数法求二次函数解析式；二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数解析式求解的基础题型，解题核心是掌握形状相同的抛物线二次项系数的特点，以及顶点式的适用场景，熟练掌握顶点式可以大幅提升这类题的解题效率。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确：抛物线的形状由二次项系数的绝对值决定，若两个抛物线形状完全相同，说明它们的二次项系数相等（本题默认开口方向与已知抛物线一致）。已知所求抛物线的顶点坐标，优先选用二次函数的顶点式求解，顶点式的形式为$y=a(x-h)^2+k$，其中$(h,k)$为顶点坐标，$a$为二次项系数，我们只需要将已知的$a$值和顶点坐标代入顶点式，化简即可得到解析式。
【解析】
1. 确定二次项系数$a$：
因为所求抛物线与$y=-2x^2+1$形状完全相同，所以二次项系数$a=-2$。
2. 代入顶点式：
已知抛物线顶点坐标为$(-1,3)$，设抛物线解析式为顶点式$y=a(x-h)^2+k$，其中$h=-1$，$k=3$。
将$a=-2$、$h=-1$、$k=3$代入顶点式，得：
$y=-2(x-(-1))^2+3$
化简后为：$y=-2(x+1)^2+3$
【答案】
$y = - 2(x + 1)^2 + 3$
【知识点】
二次函数的性质；待定系数法求二次函数解析式；二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数解析式求解的基础题型，解题核心是掌握形状相同的抛物线二次项系数的特点，以及顶点式的适用场景，熟练掌握顶点式可以大幅提升这类题的解题效率。
【难度系数】
0.8
