1.(乌鲁木齐模拟)如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$BD⊥ AC$,垂足为点$D$,过点$C$作$AB$的垂线(尺规作图:要求保留作图痕迹,不写作法),垂足为点$E$.求证:$AE=AD$.

1. 解:如图所示.
证明:$\because BD⊥ AC,CE⊥ AB,\therefore ∠ ADB=∠ AEC=90°$. 在$△ AEC$ 和 $△ ADB$ 中,$\begin{cases}∠ AEC=∠ ADB\\∠ A=∠ A\\AC=AB\end{cases}$
$\therefore △ AEC≌△ ADB(\mathrm{AAS}),\therefore AE=AD.$

2.（2024·新疆中考）如图，已知四边形ABCD是平行四边形.
(1)尺规作图:请用无刻度的直尺和圆规，作∠A的平分线交CD于点E.(要求:不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑)
(2)在(1)的条件下，求证:△ADE是等腰三角形.

2. (1)解:如图,AE 即为所求.
(2)证明:$\because AE$ 为$∠ BAD$ 的平分线,$\therefore ∠ BAE=∠ DAE. \because$ 四边形 $ABCD$ 为平行四边形,$\therefore AB// CD,\therefore ∠ BAE=∠ DEA,\therefore ∠ DAE=∠ DEA,\therefore DA=DE,\therefore △ ADE$ 是等腰三角形.

3.（吐鲁番模拟）如图，在 $Rt△ ABC$ 中，$∠ B=30°,∠ C=90°$。
(1)用尺规作线段 $AB$ 的垂直平分线 $DE$，交 $BC$ 于点 $D$，交 $AB$ 于点 $E$.（保留作图痕迹，不要求写作法）
(2)在(1)的条件下，连接 $AD$.若 $CD=1$，求 $BC$ 的长.

3. 解:(1)如图,直线 $DE$ 即为所求.
(2)$\because ∠ B=30°,∠ C=90°,\therefore ∠ BAC=60°. \because$ 直线$DE$ 为线段$AB$ 的垂直平分线,$\therefore DE⊥ AB,AD=BD,\therefore ∠ B=∠ BAD=30°,\therefore ∠ DAC=∠ BAC-∠ BAD = 30°, \therefore ∠ DAC = ∠ BAD, \therefore AD$ 为$∠ BAC$ 的平分线.$\because DE⊥ AB,∠ C=90°,\therefore DE=CD=1.$ 在 $\mathrm{Rt}△ BDE$ 中,$\because ∠ B=30°,\therefore BD=2DE=2,\therefore BC=BD+CD=2+1=3.$

4. (2025·新疆中考)如图,在四边形ABCD中,AD//BC,BD是对角线.
(1)尺规作图:请用无刻度的直尺和圆规,作线段BD的垂直平分线,垂足为点O,与边AD,BC分别交于点E,F.(要求:不写作法,保留作图痕迹,并将作图痕迹用黑色签字笔描黑)
(2)在(1)的条件下,连接BE,DF.求证:四边形BFDE为菱形.

4. (1)解:如图,直线 $EF$ 即为所求.
(2)证明:$\because$ 直线 $EF$ 是线段 $BD$ 的垂直平分线,$\therefore BE=DE,BF=DF,OB=OD. \because AD// BC,\therefore ∠ EDO=∠ FBO,∠ DEO=∠ BFO,\therefore △ ODE≌△ OBF(\mathrm{AAS}),\therefore DE=BF,\therefore BE=DE=BF=DF,\therefore$ 四边形 $BFDE$ 为菱形.