5. (2024·新疆中考变式)已知关于$x$的方程$x^2 - 2x + 4 - m = 0$有两个不相等的实数根.
(1)求$m$的取值范围.
(2)化简：$\frac{1 - m^2}{|m - 3|} ÷ \frac{m - 1}{2} · \frac{m - 3}{m + 1}$.

5.(1) 根据题意,得Δ=(-2)²-4(4-m)＞0,解得m＞3.
5.(2)
∵m＞3,
∴m-3＞0,
∴原式=$\frac{(1+m)(1-m)}{m-3}·\frac{2}{m-1}·\frac{m-3}{m+1}=-2$.

6.设$x_1,x_2$是关于$x$的方程$(x-1)(x-2)=m^2$的两个根.
(1)当$x_1=-1$时,求$x_2$及$m$的值.
(2)求证:$(x_1-1)(x_2-1)≤0.$

6.(1) 解:把$x_1=-1$代入方程$(x-1)(x-2)=m^2$,得$m^2=6$,
∴$m=±\sqrt{6}$,
∴$(x-1)(x-2)=6$,即$x^2-3x-4=0$,
∴$(x-4)(x+1)=0$,
∴$x_1=-1,x_2=4$,
∴$x_2=4,m=±\sqrt{6}$.
6.(2) 证明:方程$(x-1)(x-2)=m^2$可化为$x^2-3x+2-m^2=0$.
∵Δ=9-4(2-m²)=4m²+1＞0,
∴方程有两个不相等的实数根.
∵方程$(x-1)(x-2)=m^2$即$x^2-3x+2-m^2=0$的两个根为$x_1,x_2$,
∴$x_1+x_2=3,x_1x_2=2-m^2$,
∴$(x_1-1)(x_2-1)=x_1x_2-(x_1+x_2)+1=2-m^2-3+1=-m^2$.
∵$m^2≥0$,
∴$-m^2≤0$,即$(x_1-1)(x_2-1)≤0$.

7.某超市购进甲、乙两种商品，2023年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产技术的提升，甲种商品每件的进价平均每年下降25元，乙种商品2025年每件的进价为80元.
(1)求乙种商品每件进价的年平均下降率.
(2)2025年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品？

7.(1) 设乙种商品每件进价的年平均下降率为x.根据题意,得$125(1-x)^2=80$,解得$x_1=0.2=20\%,x_2=1.8$(不符合题意,舍去).答:乙种商品每件进价的年平均下降率为20%.
7.(2) 设购进y件甲种商品,则购进(100-y)件乙种商品.根据题意,得$(125-25×2)y+80(100-y)≤7 800$,解得$y≥40$,
∴y的最小值为40.答:最少购进40件甲种商品.

8.某文创公司设计了一款纪念章,成本价为50元/个,以不低于成本价且不超过75元/个的价格销售,售价x(单位:元/个)与每天的销售量y(单位:个)的对应值如下表所示.

(1)求出y与x的函数解析式,并写出自变量的取值范围.
(2)当售价定为多少时,每天的利润可达到6000元?

8.(1) 由表格数据可知,y与x满足一次函数关系,设y与x的函数解析式为y=kx+b(k≠0).将(52,760),(53,740)代入y=kx+b,得$\begin{cases}52k+b=760\\53k+b=740\end{cases}$,解得$\begin{cases}k=-20\\b=1800\end{cases}$.
∵成本价为50元/个,以不低于成本价且不超过75元/个的价格销售,
∴50≤x≤75,
∴y与x的函数解析式为y=-20x+1 800(50≤x≤75).
8.(2) 根据题意,得(x-50)(-20x+1 800)=6 000,整理得$x^2-140x+4 800=0$,解得$x_1=60,x_2=80$(不符合题意,舍去).答:当售价定为60元/个时,每天的利润可达到6 000元.