5.(乌鲁木齐模拟)如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$AN$为$△ ABC$的外角$∠ CAM$的平分线,$CE ⊥ AN$于点$E$.
(1)尺规作图:作$∠ BAC$的平分线$AD$交$BC$于点$D$.(不写作法,保留作图痕迹)
(2)求证:四边形$ADCE$是矩形.

5. (1)解:如图.
(2)证明:由条件可知$∠ CAN=\frac{1}{2}∠ CAM,∠ DAC=\frac{1}{2}∠ BAC,\therefore ∠ CAN + ∠ DAC = \frac{1}{2}∠ CAM + \frac{1}{2}∠ BAC = \frac{1}{2}(∠ CAM + ∠ BAC). \because ∠ CAM + ∠ BAC=180°,\therefore ∠ DAN=\frac{1}{2}×180°=90°. \because AB=AC,AD$ 平分$∠ BAC,\therefore AD⊥ BC,\therefore ∠ ADC=90°.$ 又$\because CE⊥ AN,\therefore ∠ AEC=90°,\therefore ∠ DAN=∠ ADC=∠ AEC=90°,\therefore$ 四边形 $ADCE$ 是矩形.

6.(乌鲁木齐模拟)如图,在平面直角坐标系$xOy$中,点$A,B,C$在坐标轴上,$∠ ABC=90°$,$AB=6$,$BC=8$.
(1)尺规作图:请用无刻度的直尺和圆规,作$∠ BAC$的平分线交$BC$于点$E$. (要求:不写作法,保留作图痕迹,并把作图痕迹用黑色签字笔描黑)
(2)在(1)的条件下,求点$E$的坐标.

6. 解:(1)如图,射线 $AE$ 即为所求.
(2)如图,过点 $E$ 作 $EF⊥ x$ 轴于点 $F. \because AE$ 为$∠ BAC$ 的平分线,$∠ ABC=90°,\therefore BE=EF.$ 易知$AB=AF=6.$ 由勾股定理,得$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=10,\therefore CF=AC-AF=10-6=4.$ 设 $BE=EF=x$,则 $CE=BC-BE=8-x.$ 在 $\mathrm{Rt}△ CEF$ 中,由勾股定理,得$CE^2=EF^2+CF^2$,即$(8-x)^2=x^2+4^2$,解得$x=3,\therefore EF=3,CE=5. \because ∠ ECF=∠ BCO,∠ EFC = ∠ BOC = 90°, \therefore △ CEF ∽ △ CBO,\therefore \frac{CE}{BC}=\frac{CF}{OC}$,即$\frac{5}{8}=\frac{4}{OC},\therefore OC=\frac{32}{5},\therefore OF=OC-CF=\frac{32}{5}-4=\frac{12}{5},\therefore$ 点 $E$ 的坐标为$(\frac{12}{5},3)$.

7.(吐鲁番二模)如图,点E是矩形ABCD的边BC上的一点,且$AE=AD$.
(1)尺规作图:作$∠DAE$的平分线AF,交BC的延长线于点F,连接DF.(保留作图痕迹,不写作法)
(2)试判断四边形AEFD的形状.

7. 解:(1)如图所示.
(2)$\because$ 四边形 $ABCD$ 是矩形,$\therefore AD// BF,\therefore ∠ DAF=∠ AFC. \because AF$ 平分$∠ DAE,\therefore ∠ DAF=∠ FAE,\therefore ∠ FAE=∠ AFC,\therefore EA=EF. \because AE=AD,\therefore AD=EF,\therefore$ 四边形 $AEFD$ 是平行四边形.$\because AE=AD,\therefore$ 四边形 $AEFD$ 是菱形.

8. (乌鲁木齐模拟)如图,在$△ ABD$中, $∠ ABD=∠ ADB$.
(1)作点A关于BD的对称点C.(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)
(2)在(1)所作的图中,连接BC,DC,连接AC,交BD于点O.
①求证:四边形ABCD是菱形.
②取BC的中点E,连接OE.若$OE=\frac{13}{2}$, $BD=10$,求点E到AD的距离.

8. (1)解:如图所示,点 $C$ 即为所求.
(2) ① 证明:$\because ∠ ABD=∠ ADB,\therefore AB=AD. \because$ 点 $C$ 是点 $A$ 关于 $BD$ 的对称点,$\therefore CB=AB,CD=AD,\therefore AB=BC=CD=AD,\therefore$ 四边形 $ABCD$ 是菱形.
② 解:如图,过点 $B$ 作 $BF⊥ AD$ 于点 $F. \because$ 四边形 $ABCD$ 是菱形,$\therefore AC⊥ BD,OB=\frac{1}{2}BD=5. \because$ 点 $E$ 是 $BC$ 的中点,$OA=OC,\therefore BC=2OE=13,\therefore OC=\sqrt{BC^2-OB^2}=12,\therefore OA=12. \because$ 四边形 $ABCD$ 是菱形,$\therefore AD=13,\therefore BF=\frac{1}{2}×12×10×2÷13=\frac{120}{13}$,故点 $E$ 到 $AD$ 的距离是$\frac{120}{13}$.