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3. 使式子$\frac{x+2}{x-3} ÷ \frac{x+1}{x-2}$有意义的$x$满足 （
A.$x≠3$且$x≠2$
B.$x≠3$且$x≠-1$
C.$x≠2$且$x≠-2$
D.$x≠-1$且$x≠2$且$x≠3$
【点拨】解答此题应注意两点，一是各分式的分母不为零，二是除式的分子不为零。
D
）A.$x≠3$且$x≠2$
B.$x≠3$且$x≠-1$
C.$x≠2$且$x≠-2$
D.$x≠-1$且$x≠2$且$x≠3$
【点拨】解答此题应注意两点，一是各分式的分母不为零，二是除式的分子不为零。
答案
3. D
解析
【分析】
要确定使式子有意义的x的取值，首先回忆相关规则：一是分式有意义的条件是分母不为0，二是除法运算中除数不能为0。我们需要找出式子中所有可能导致无意义的限制条件：首先原式包含两个分式，两个分式的分母都不能为0；其次作为除式的分式本身不能为0（即除式的分子不能为0），将这些限制条件全部列出求解即可。
【解析】
要使$\frac{x+2}{x-3} ÷ \frac{x+1}{x-2}$有意义，需同时满足以下三个条件：
1. 被除式的分母不为0：$x-3≠0$，解得$x≠3$；
2. 除式的分母不为0：$x-2≠0$，解得$x≠2$；
3. 除式（除数）不能为0，即除式的分子不为0：$x+1≠0$，解得$x≠-1$。
综上，x需满足$x≠-1$且$x≠2$且$x≠3$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
分式有意义的条件，分式除法法则，除数不为零
【点评】
本题是分式有意义条件的常见题型，易错点是容易遗漏除式的分子不能为0的限制，解题时需全面梳理运算中所有会导致无意义的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
要确定使式子有意义的x的取值，首先回忆相关规则：一是分式有意义的条件是分母不为0，二是除法运算中除数不能为0。我们需要找出式子中所有可能导致无意义的限制条件：首先原式包含两个分式，两个分式的分母都不能为0；其次作为除式的分式本身不能为0（即除式的分子不能为0），将这些限制条件全部列出求解即可。
【解析】
要使$\frac{x+2}{x-3} ÷ \frac{x+1}{x-2}$有意义，需同时满足以下三个条件：
1. 被除式的分母不为0：$x-3≠0$，解得$x≠3$；
2. 除式的分母不为0：$x-2≠0$，解得$x≠2$；
3. 除式（除数）不能为0，即除式的分子不为0：$x+1≠0$，解得$x≠-1$。
综上，x需满足$x≠-1$且$x≠2$且$x≠3$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
分式有意义的条件，分式除法法则，除数不为零
【点评】
本题是分式有意义条件的常见题型，易错点是容易遗漏除式的分子不能为0的限制，解题时需全面梳理运算中所有会导致无意义的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
4.【教材P148练习T4变式】甲、乙两个工程队合修一条公路，已知甲工程队每天修$(a^2 - 4)$ m，乙工程队每天修$(a - 2)^2$ m(其中$a＞2$)，则甲工程队修900 m所用时间是乙工程队修600 m所用时间的多少倍？
02 综合练
关键能力提升
02 综合练
关键能力提升
答案
4. 解:$\frac{900}{a^2-4} ÷ \frac{600}{(a-2)^2}=\frac{3a-6}{2a+4}$.
解析
【分析】
要解决本题，首先牢记工程问题的基本数量关系：工作时间=工作总量÷工作效率。第一步，先根据已知的工作总量和两队的工作效率，分别表示出甲、乙两队的施工时间；第二步，求甲的时间是乙的时间的几倍，用甲的时间除以乙的时间即可；第三步，结合分式除法法则，将除法运算转化为乘法运算，再对多项式因式分解后约分，化简得到最终结果。
【解析】
解：甲工程队修900 m所用时间为$\frac{900}{a^2 - 4}$天，
乙工程队修600 m所用时间为$\frac{600}{(a-2)^2}$天。
求倍数关系可列式：
$\frac{900}{a^2-4} ÷ \frac{600}{(a-2)^2}$
根据分式除法法则，除以一个分式等于乘它的倒数，可得：
$=\frac{900}{a^2-4} × \frac{(a-2)^2}{600}$
利用平方差公式分解$a^2-4=(a+2)(a-2)$，代入得：
$=\frac{900}{(a+2)(a-2)} × \frac{(a-2)^2}{600}$
约去公因数300和公因式$(a-2)$后化简：
$=\frac{3(a-2)}{2(a+2)}=\frac{3a-6}{2a+4}$
【答案】
$\frac{3a-6}{2a+4}$
【知识点】
分式乘除运算，公式法因式分解，工程问题数量关系
【点评】
本题结合实际工程场景考查分式的化简运算，解题核心是准确根据数量关系列出分式，再熟练运用因式分解和分式运算法则化简，计算时要注意因式分解正确，约分要彻底。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先牢记工程问题的基本数量关系：工作时间=工作总量÷工作效率。第一步，先根据已知的工作总量和两队的工作效率，分别表示出甲、乙两队的施工时间；第二步，求甲的时间是乙的时间的几倍，用甲的时间除以乙的时间即可；第三步，结合分式除法法则，将除法运算转化为乘法运算，再对多项式因式分解后约分，化简得到最终结果。
【解析】
解：甲工程队修900 m所用时间为$\frac{900}{a^2 - 4}$天，
乙工程队修600 m所用时间为$\frac{600}{(a-2)^2}$天。
求倍数关系可列式：
$\frac{900}{a^2-4} ÷ \frac{600}{(a-2)^2}$
根据分式除法法则，除以一个分式等于乘它的倒数，可得：
$=\frac{900}{a^2-4} × \frac{(a-2)^2}{600}$
利用平方差公式分解$a^2-4=(a+2)(a-2)$，代入得：
$=\frac{900}{(a+2)(a-2)} × \frac{(a-2)^2}{600}$
约去公因数300和公因式$(a-2)$后化简：
$=\frac{3(a-2)}{2(a+2)}=\frac{3a-6}{2a+4}$
【答案】
$\frac{3a-6}{2a+4}$
【知识点】
分式乘除运算，公式法因式分解，工程问题数量关系
【点评】
本题结合实际工程场景考查分式的化简运算，解题核心是准确根据数量关系列出分式，再熟练运用因式分解和分式运算法则化简，计算时要注意因式分解正确，约分要彻底。
【难度系数】
0.7
5. 老师设计了一个接力游戏，甲、乙、丙、丁四位同学用合作的方式完成分式化简，其中自己负责的一步出现错误的同学是（
$\frac{x^2 -6x}{x-3} ÷ \frac{x^3}{3-x}$ → $\frac{x^2 -6x}{x-3} · \frac{3-x}{x^3}$ →
→ $\frac{x(x-6)}{x-3} · \frac{x-3}{x^3}$ → $\frac{x-6}{x^2}$
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
B
）$\frac{x^2 -6x}{x-3} ÷ \frac{x^3}{3-x}$ → $\frac{x^2 -6x}{x-3} · \frac{3-x}{x^3}$ →
→ $\frac{x(x-6)}{x-3} · \frac{x-3}{x^3}$ → $\frac{x-6}{x^2}$A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
答案
5. B
解析
【分析】
要判断哪位同学的步骤出错，需按照分式运算的规则，依次检查每一步的变形：首先回忆分式除法法则，验证甲的变形是否正确；再根据互为相反数的整式的变形规则，检查乙的符号处理是否正确；接着验证因式分解的正确性，检查丙的步骤；最后验证约分规则，检查丁的步骤，即可找到出错的同学。
【解析】
1. 检查甲的步骤：分式除法运算中，除以一个分式等于乘以这个分式的倒数，因此$\frac{x^2 -6x}{x-3} ÷ \frac{x^3}{3-x} =\frac{x^2 -6x}{x-3} · \frac{3-x}{x^3}$，甲的变形正确。
2. 检查乙的步骤：$3-x$与$x-3$互为相反数，即$3-x=-(x-3)$，因此正确变形应为$\frac{x^2 -6x}{x-3} · \frac{-(x-3)}{x^3}$，乙未添加负号直接将$3-x$替换为$x-3$，符号处理错误。
3. 检查丙的步骤：对分子$x^2-6x$提取公因式$x$，可得$x(x-6)$，因此$\frac{x^2 -6x}{x-3} · \frac{x-3}{x^3}=\frac{x(x-6)}{x-3} · \frac{x-3}{x^3}$，因式分解正确，丙的变形无误。
4. 检查丁的步骤：约分时，分子的公因式$x$与分母$x^3$约去$x$得$x^2$，分子的$(x-3)$与分母的$(x-3)$约去，最终得到$\frac{x-6}{x^2}$，约分正确，丁的变形无误。
因此出现错误的是乙。
【答案】
B
【知识点】
分式乘除运算，因式分解，分式符号法则
【点评】
本题是分式化简的基础题型，易错点在于处理互为相反数的整式变形时容易遗漏负号，掌握分式运算的基本规则、注意符号变化是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
要判断哪位同学的步骤出错，需按照分式运算的规则，依次检查每一步的变形：首先回忆分式除法法则，验证甲的变形是否正确；再根据互为相反数的整式的变形规则，检查乙的符号处理是否正确；接着验证因式分解的正确性，检查丙的步骤；最后验证约分规则，检查丁的步骤，即可找到出错的同学。
【解析】
1. 检查甲的步骤：分式除法运算中，除以一个分式等于乘以这个分式的倒数，因此$\frac{x^2 -6x}{x-3} ÷ \frac{x^3}{3-x} =\frac{x^2 -6x}{x-3} · \frac{3-x}{x^3}$，甲的变形正确。
2. 检查乙的步骤：$3-x$与$x-3$互为相反数，即$3-x=-(x-3)$，因此正确变形应为$\frac{x^2 -6x}{x-3} · \frac{-(x-3)}{x^3}$，乙未添加负号直接将$3-x$替换为$x-3$，符号处理错误。
3. 检查丙的步骤：对分子$x^2-6x$提取公因式$x$，可得$x(x-6)$，因此$\frac{x^2 -6x}{x-3} · \frac{x-3}{x^3}=\frac{x(x-6)}{x-3} · \frac{x-3}{x^3}$，因式分解正确，丙的变形无误。
4. 检查丁的步骤：约分时，分子的公因式$x$与分母$x^3$约去$x$得$x^2$，分子的$(x-3)$与分母的$(x-3)$约去，最终得到$\frac{x-6}{x^2}$，约分正确，丁的变形无误。
因此出现错误的是乙。
【答案】
B
【知识点】
分式乘除运算，因式分解，分式符号法则
【点评】
本题是分式化简的基础题型，易错点在于处理互为相反数的整式变形时容易遗漏负号，掌握分式运算的基本规则、注意符号变化是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
6.若化简$\frac{2}{x^2 -1} ÷ \frac{1}{x -a}$的结果是$\frac{2}{x -1}$，则a的值是（
A.1
B.$-1$
C.$2$
D.$-2$
B
）A.1
B.$-1$
C.$2$
D.$-2$
答案
6. B
解析
【分析】
解题时首先回忆分式除法的运算法则：除以一个分式等于乘以这个分式的倒数。第一步先对第一个分式的分母用平方差公式因式分解，再将除法转化为乘法运算，把原式先按规则化简，再将化简后的式子和题目给出的结果对比，建立关于a的等式，就能求出a的值，计算时要注意分母不为0的隐含前提。
【解析】
1. 先对原式中可因式分解的部分分解：由平方差公式得$x^2-1=(x+1)(x-1)$；
2. 根据分式除法法则将除法转化为乘法：
$\frac{2}{x^2 -1} ÷ \frac{1}{x -a} = \frac{2}{(x+1)(x-1)} × (x-a) = \frac{2(x-a)}{(x+1)(x-1)}$；
3. 已知化简结果为$\frac{2}{x-1}$，可得等式：
$\frac{2(x-a)}{(x+1)(x-1)} = \frac{2}{x-1}$（$x≠±1$且$x≠a$，保证分母有意义）；
4. 等式两边同时乘以$(x+1)(x-1)$消去分母得：$2(x-a)=2(x+1)$；
5. 两边同时除以2得$x-a=x+1$，移项化简得$-a=1$，即$a=-1$。
【答案】
B
【知识点】
分式除法运算，平方差公式因式分解，分式化简
【点评】
本题是分式化简的常规题型，核心考查分式的运算法则和因式分解的基础应用，解题时只要按运算规则逐步计算，对比等式两边就能求出参数，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆分式除法的运算法则：除以一个分式等于乘以这个分式的倒数。第一步先对第一个分式的分母用平方差公式因式分解，再将除法转化为乘法运算，把原式先按规则化简，再将化简后的式子和题目给出的结果对比，建立关于a的等式，就能求出a的值，计算时要注意分母不为0的隐含前提。
【解析】
1. 先对原式中可因式分解的部分分解：由平方差公式得$x^2-1=(x+1)(x-1)$；
2. 根据分式除法法则将除法转化为乘法：
$\frac{2}{x^2 -1} ÷ \frac{1}{x -a} = \frac{2}{(x+1)(x-1)} × (x-a) = \frac{2(x-a)}{(x+1)(x-1)}$；
3. 已知化简结果为$\frac{2}{x-1}$，可得等式：
$\frac{2(x-a)}{(x+1)(x-1)} = \frac{2}{x-1}$（$x≠±1$且$x≠a$，保证分母有意义）；
4. 等式两边同时乘以$(x+1)(x-1)$消去分母得：$2(x-a)=2(x+1)$；
5. 两边同时除以2得$x-a=x+1$，移项化简得$-a=1$，即$a=-1$。
【答案】
B
【知识点】
分式除法运算，平方差公式因式分解，分式化简
【点评】
本题是分式化简的常规题型，核心考查分式的运算法则和因式分解的基础应用，解题时只要按运算规则逐步计算，对比等式两边就能求出参数，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8
7.【整体思想】若 $x^2 + 2x - 3 = 0$，则 $\frac{x^2 + 4x + 4}{4x} ÷ \frac{x + 2}{x^2}$ 的值是 ______。
答案
$\frac{3}{4}$
解析
【分析】
本题是分式化简求值类题目，解题时不要急于求解方程$x^2+2x-3=0$的根，应先利用分式的运算法则对所求代数式进行化简，再观察化简结果与已知等式的联系，采用整体代入的方法计算，可简化计算过程。具体步骤为：先将分式的除法转化为乘法，再对分子分母因式分解，约分后得到最简形式，最后将已知条件变形后代入计算即可。
【解析】
首先化简代数式：
$\begin{aligned}\frac{x^2 + 4x + 4}{4x} ÷ \frac{x + 2}{x^2} &= \frac{x^2 + 4x + 4}{4x} × \frac{x^2}{x + 2} \\&= \frac{(x+2)^2}{4x} × \frac{x^2}{x + 2} \\&= \frac{x(x+2)}{4} \\&= \frac{x^2 + 2x}{4}\end{aligned}$
由已知$x^2 + 2x - 3 = 0$，可得$x^2 + 2x = 3$，将其代入化简后的式子：
原式$=\frac{3}{4}$
【答案】
$\frac{3}{4}$
【知识点】
分式的乘除运算、完全平方公式因式分解、整体代入求值
【点评】
本题重点考查分式化简求值的方法，解题的核心是先正确化简分式，再结合整体思想代入求值，能有效避免直接求解未知数带来的繁琐计算，体现了整体思想在代数求值中的应用。
【难度系数】
0.7
本题是分式化简求值类题目，解题时不要急于求解方程$x^2+2x-3=0$的根，应先利用分式的运算法则对所求代数式进行化简，再观察化简结果与已知等式的联系，采用整体代入的方法计算，可简化计算过程。具体步骤为：先将分式的除法转化为乘法，再对分子分母因式分解，约分后得到最简形式，最后将已知条件变形后代入计算即可。
【解析】
首先化简代数式：
$\begin{aligned}\frac{x^2 + 4x + 4}{4x} ÷ \frac{x + 2}{x^2} &= \frac{x^2 + 4x + 4}{4x} × \frac{x^2}{x + 2} \\&= \frac{(x+2)^2}{4x} × \frac{x^2}{x + 2} \\&= \frac{x(x+2)}{4} \\&= \frac{x^2 + 2x}{4}\end{aligned}$
由已知$x^2 + 2x - 3 = 0$，可得$x^2 + 2x = 3$，将其代入化简后的式子：
原式$=\frac{3}{4}$
【答案】
$\frac{3}{4}$
【知识点】
分式的乘除运算、完全平方公式因式分解、整体代入求值
【点评】
本题重点考查分式化简求值的方法，解题的核心是先正确化简分式，再结合整体思想代入求值，能有效避免直接求解未知数带来的繁琐计算，体现了整体思想在代数求值中的应用。
【难度系数】
0.7
8. 在计算$\frac{m^2}{m+1} ÷ \frac{\otimes}{m+1}$时，把运算符号“÷”看成了“+”，得到的计算结果是$m$，则$\otimes$表示的式子是
$m$
，正确的运算结果是$m$
。答案
8. m m
解析
【分析】
解题时首先根据“错把÷看成+得到结果为m”这一条件，建立关于⊗的等式，先求解出⊗表示的代数式；再将求出的⊗代入原式，按照分式除法的运算法则计算即可得到正确结果。
【解析】
设⊗表示的式子为$ A $，根据题意，看错运算符号后的算式为：
$\frac{m^2}{m+1} + \frac{A}{m+1} = m$
同分母分式相加，分母不变，分子相加，整理得：
$\frac{m^2 + A}{m+1} = m$
由原式分母不为0可知$ m+1 ≠ 0 $，等式两边同时乘$ m+1 $得：
$m^2 + A = m(m+1)$
展开右侧并化简：
$m^2 + A = m^2 + m \implies A = m$
即⊗表示的式子是$ m $。
将$ A=m $代入原式计算正确结果：
$\frac{m^2}{m+1} ÷ \frac{m}{m+1} = \frac{m^2}{m+1} × \frac{m+1}{m} = m$
【答案】
$ m $；$ m $
【知识点】
分式的加减运算；分式的乘除运算
【点评】
本题结合错看运算符号的情景考查分式的四则运算，解题核心是先利用错误的运算结果求出未知式子，再代入计算正确结果，侧重对分式运算法则的基础应用考查。
【难度系数】
0.8
解题时首先根据“错把÷看成+得到结果为m”这一条件，建立关于⊗的等式，先求解出⊗表示的代数式；再将求出的⊗代入原式，按照分式除法的运算法则计算即可得到正确结果。
【解析】
设⊗表示的式子为$ A $，根据题意，看错运算符号后的算式为：
$\frac{m^2}{m+1} + \frac{A}{m+1} = m$
同分母分式相加，分母不变，分子相加，整理得：
$\frac{m^2 + A}{m+1} = m$
由原式分母不为0可知$ m+1 ≠ 0 $，等式两边同时乘$ m+1 $得：
$m^2 + A = m(m+1)$
展开右侧并化简：
$m^2 + A = m^2 + m \implies A = m$
即⊗表示的式子是$ m $。
将$ A=m $代入原式计算正确结果：
$\frac{m^2}{m+1} ÷ \frac{m}{m+1} = \frac{m^2}{m+1} × \frac{m+1}{m} = m$
【答案】
$ m $；$ m $
【知识点】
分式的加减运算；分式的乘除运算
【点评】
本题结合错看运算符号的情景考查分式的四则运算，解题核心是先利用错误的运算结果求出未知式子，再代入计算正确结果，侧重对分式运算法则的基础应用考查。
【难度系数】
0.8
9.【教材 P148 练习 T2 变式】计算：
(1)$(a-2)· \dfrac{4-a^2}{a^2-4a+4}$；
(2)$\dfrac{x^2-6x+9}{9-x^2}÷ \dfrac{2x-6}{x^2+3x}$。
(1)$(a-2)· \dfrac{4-a^2}{a^2-4a+4}$；
(2)$\dfrac{x^2-6x+9}{9-x^2}÷ \dfrac{2x-6}{x^2+3x}$。
答案
9. (1) 解:原式$=(a-2) · \frac{-(a+2)(a-2)}{(a-2)^2}=-a-2$； (2)解:原式$=\frac{(x-3)^2}{(3+x)(3-x)} · \frac{x(x+3)}{2(x-3)}=-\frac{x}{2}$.
解析
【分析】
（1）解整式乘分式类题目时，首先要对分式的分子、分母做因式分解：分子$4-a^2$是平方差形式，可变形为$-(a^2-4)=-(a+2)(a-2)$，分母$a^2-4a+4$是完全平方形式，可分解为$(a-2)^2$；再将整式和分式相乘，约去分子分母的公因式，最后化简即可，要注意负号的处理。
（2）解分式除法类题目时，首先根据分式除法法则，将除法转化为乘法（除以一个分式等于乘这个分式的倒数）；再对每个分式的分子、分母分别因式分解：$x^2-6x+9$分解为$(x-3)^2$，$9-x^2$变形为$-(x+3)(x-3)$，$2x-6$提取公因式得$2(x-3)$，$x^2+3x$提取公因式得$x(x+3)$；接着约去分子分母的公因式，注意互为相反数的因式（如$x-3$和$3-x$）约分时要添加负号，最后化简得到结果。
【解析】
(1) 对分式的分子分母因式分解后约分：
原式$=(a-2) · \frac{-(a+2)(a-2)}{(a-2)^2}$
约去公因式$(a-2)^2$，得原式$=-(a+2)=-a-2$
(2) 先将除法转为乘法，再因式分解约分：
原式$=\frac{(x-3)^2}{(3+x)(3-x)} · \frac{x(x+3)}{2(x-3)}$
约去公因式$(x-3)$、$(x+3)$，且$\frac{x-3}{3-x}=-1$，得原式$=-\frac{x}{2}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-a-2}$；(2) $\boldsymbol{-\dfrac{x}{2}}$
【知识点】
1. 分式的乘除运算
2. 因式分解
3. 平方差与完全平方公式
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，核心考查分式乘除的运算规则，解题的关键是熟练掌握因式分解的常用方法，运算时要注意先把除法转化为乘法，同时留意互为相反数的因式约分时的符号变化，熟练掌握这类题型是后续学习复杂分式运算的基础。
【难度系数】
0.8
（1）解整式乘分式类题目时，首先要对分式的分子、分母做因式分解：分子$4-a^2$是平方差形式，可变形为$-(a^2-4)=-(a+2)(a-2)$，分母$a^2-4a+4$是完全平方形式，可分解为$(a-2)^2$；再将整式和分式相乘，约去分子分母的公因式，最后化简即可，要注意负号的处理。
（2）解分式除法类题目时，首先根据分式除法法则，将除法转化为乘法（除以一个分式等于乘这个分式的倒数）；再对每个分式的分子、分母分别因式分解：$x^2-6x+9$分解为$(x-3)^2$，$9-x^2$变形为$-(x+3)(x-3)$，$2x-6$提取公因式得$2(x-3)$，$x^2+3x$提取公因式得$x(x+3)$；接着约去分子分母的公因式，注意互为相反数的因式（如$x-3$和$3-x$）约分时要添加负号，最后化简得到结果。
【解析】
(1) 对分式的分子分母因式分解后约分：
原式$=(a-2) · \frac{-(a+2)(a-2)}{(a-2)^2}$
约去公因式$(a-2)^2$，得原式$=-(a+2)=-a-2$
(2) 先将除法转为乘法，再因式分解约分：
原式$=\frac{(x-3)^2}{(3+x)(3-x)} · \frac{x(x+3)}{2(x-3)}$
约去公因式$(x-3)$、$(x+3)$，且$\frac{x-3}{3-x}=-1$，得原式$=-\frac{x}{2}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-a-2}$；(2) $\boldsymbol{-\dfrac{x}{2}}$
【知识点】
1. 分式的乘除运算
2. 因式分解
3. 平方差与完全平方公式
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，核心考查分式乘除的运算规则，解题的关键是熟练掌握因式分解的常用方法，运算时要注意先把除法转化为乘法，同时留意互为相反数的因式约分时的符号变化，熟练掌握这类题型是后续学习复杂分式运算的基础。
【难度系数】
0.8
10. 先化简：$\dfrac{x^2 + 4x + 4}{x^2 - 4} ÷ \dfrac{x^2 + 2x}{x - 2}$，然后在不等式$x ≤ 2$的非负整数解中选择一个合适的数代入求值。
03 素养练
学科素养培育
03 素养练
学科素养培育
答案
10. 解:原式$=\frac{(x+2)^2}{(x+2)(x-2)} · \frac{x-2}{x(x+2)}=\frac{1}{x}$.要使原式有意义,则$x≠0,±2$.又$∵x≤2$,且$x$为非负整数,$∴x$只能取1.当$x=1$时,原式$=1$.
解析
【分析】
解决这道题可按三步思考：第一步化简分式，先将各分式的分子、分母因式分解，再把除法运算转化为乘法运算，通过约分得到最简结果；第二步筛选合适的x值，首先要保证原式有意义，即所有分母、除数均不为0，先排除不满足的x，再从不等式x≤2的非负整数解中选出符合条件的取值；第三步将选好的x代入最简式计算求值即可。
【解析】
首先对原式进行化简：
原式$=\frac{(x+2)^2}{(x+2)(x-2)} ÷ \frac{x(x+2)}{x-2}$
将除法转化为乘以除数的倒数，得：
$=\frac{(x+2)^2}{(x+2)(x-2)} · \frac{x-2}{x(x+2)}$
约去分子分母的公因式$(x+2)^2$、$(x-2)$，得化简结果：
$=\frac{1}{x}$
接下来确定x的可取值：要使原式有意义，则分母和除数均不为0，即$x^2-4≠0$，$x-2≠0$，$x^2+2x≠0$，解得$x≠0$且$x≠±2$。
已知x是不等式$x≤2$的非负整数，对应的非负整数解为0、1、2，排除0和2，仅能取x=1。
将x=1代入$\frac{1}{x}$，得原式$=\frac{1}{1}=1$。
【答案】
化简结果为$\frac{1}{x}$，选x=1代入，值为1。
【知识点】
1. 分式的乘除运算
2. 分式有意义的条件
3. 因式分解
【点评】
本题是分式化简求值的典型题型，既考查了分式运算的基础技能，也设置了分式有意义的隐含条件，解题时需注意不能直接代入所有符合不等式的整数，要先排除使分母为0的取值，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.7
解决这道题可按三步思考：第一步化简分式，先将各分式的分子、分母因式分解，再把除法运算转化为乘法运算，通过约分得到最简结果；第二步筛选合适的x值，首先要保证原式有意义，即所有分母、除数均不为0，先排除不满足的x，再从不等式x≤2的非负整数解中选出符合条件的取值；第三步将选好的x代入最简式计算求值即可。
【解析】
首先对原式进行化简：
原式$=\frac{(x+2)^2}{(x+2)(x-2)} ÷ \frac{x(x+2)}{x-2}$
将除法转化为乘以除数的倒数，得：
$=\frac{(x+2)^2}{(x+2)(x-2)} · \frac{x-2}{x(x+2)}$
约去分子分母的公因式$(x+2)^2$、$(x-2)$，得化简结果：
$=\frac{1}{x}$
接下来确定x的可取值：要使原式有意义，则分母和除数均不为0，即$x^2-4≠0$，$x-2≠0$，$x^2+2x≠0$，解得$x≠0$且$x≠±2$。
已知x是不等式$x≤2$的非负整数，对应的非负整数解为0、1、2，排除0和2，仅能取x=1。
将x=1代入$\frac{1}{x}$，得原式$=\frac{1}{1}=1$。
【答案】
化简结果为$\frac{1}{x}$，选x=1代入，值为1。
【知识点】
1. 分式的乘除运算
2. 分式有意义的条件
3. 因式分解
【点评】
本题是分式化简求值的典型题型，既考查了分式运算的基础技能，也设置了分式有意义的隐含条件，解题时需注意不能直接代入所有符合不等式的整数，要先排除使分母为0的取值，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.7
11. 有甲、乙两筐水果，甲筐水果质量为$(m-1)^2$ kg，乙筐水果质量为$(m^2 -1)$ kg（其中$m＞1$），售完后，两筐水果都卖了120元.
(1)哪筐水果的单价卖得高？
(2)高的单价是低的单价的多少倍？
(1)哪筐水果的单价卖得高？
(2)高的单价是低的单价的多少倍？
答案
11. 解:(1)甲筐水果的单价为$\frac{120}{(m-1)^2}$ 元/kg；乙筐水果的单价为$\frac{120}{m^2-1}$ 元/kg.$∵m＞1$,$∴0＜(m-1)^2＜m^2-1$,$∴\frac{120}{(m-1)^2}＞\frac{120}{m^2-1}$.故甲筐水果的单价卖得高；(2)$\frac{120}{(m-1)^2} ÷ \frac{120}{m^2-1} = \frac{120}{(m-1)^2} · \frac{(m-1)(m+1)}{120} =\frac{m+1}{m-1}$.答:高的单价是低的单价的$\frac{m+1}{m-1}$倍.
解析
【分析】
(1) 要判断哪筐水果单价更高，首先根据“单价=总价÷质量”分别表示出两筐水果的单价，两筐总价相同均为120元，因此只需比较两个单价的分母（即两筐水果的质量）大小即可：分子相同的正分数，分母越小，分数值越大。结合m＞1的条件，通过作差法比较$(m-1)^2$和$m^2-1$的大小，即可得出单价的高低关系。
(2) 求高单价是低单价的几倍，直接用高单价除以低单价，按照分式除法的运算法则，先将除法转化为乘法，再利用平方差公式对$m^2-1$因式分解后约分，即可求出倍数。
【解析】
(1) 首先计算两筐水果的单价：
甲筐水果单价：$\frac{120}{(m-1)^2}$ 元/kg，乙筐水果单价：$\frac{120}{m^2-1}$ 元/kg。
接下来比较两个分母的大小：
作差得 $(m^2-1) - (m-1)^2 = m^2 -1 - (m^2 - 2m + 1) = 2m - 2 = 2(m-1)$，
∵ $m＞1$，
∴ $m-1＞0$，即 $2(m-1)＞0$，
∴ $0 ＜ (m-1)^2 ＜ m^2 -1$，
根据分子相同的正分数，分母越小分数值越大，可得 $\frac{120}{(m-1)^2} ＞ \frac{120}{m^2-1}$，因此甲筐水果单价更高。
(2) 用高单价（甲筐单价）除以低单价（乙筐单价）求倍数：
$\frac{120}{(m-1)^2} ÷ \frac{120}{m^2-1} = \frac{120}{(m-1)^2} × \frac{m^2-1}{120}$，
利用平方差公式分解$m^2-1=(m-1)(m+1)$，代入约分：
原式$=\frac{120}{(m-1)^2} × \frac{(m-1)(m+1)}{120} = \frac{m+1}{m-1}$。
【答案】
(1) 甲筐水果的单价卖得高；
(2) 高的单价是低的单价的$\frac{m+1}{m-1}$倍。
【知识点】
分式大小比较；分式除法运算；平方差公式
【点评】
本题结合生活场景考查分式的实际应用，解题核心是熟练掌握单价、总价、质量三者的数量关系，同时需要熟练运用作差法比较整式大小、因式分解对分式约分，是对分式相关基础运算的综合考查。
【难度系数】
0.7
(1) 要判断哪筐水果单价更高，首先根据“单价=总价÷质量”分别表示出两筐水果的单价，两筐总价相同均为120元，因此只需比较两个单价的分母（即两筐水果的质量）大小即可：分子相同的正分数，分母越小，分数值越大。结合m＞1的条件，通过作差法比较$(m-1)^2$和$m^2-1$的大小，即可得出单价的高低关系。
(2) 求高单价是低单价的几倍，直接用高单价除以低单价，按照分式除法的运算法则，先将除法转化为乘法，再利用平方差公式对$m^2-1$因式分解后约分，即可求出倍数。
【解析】
(1) 首先计算两筐水果的单价：
甲筐水果单价：$\frac{120}{(m-1)^2}$ 元/kg，乙筐水果单价：$\frac{120}{m^2-1}$ 元/kg。
接下来比较两个分母的大小：
作差得 $(m^2-1) - (m-1)^2 = m^2 -1 - (m^2 - 2m + 1) = 2m - 2 = 2(m-1)$，
∵ $m＞1$，
∴ $m-1＞0$，即 $2(m-1)＞0$，
∴ $0 ＜ (m-1)^2 ＜ m^2 -1$，
根据分子相同的正分数，分母越小分数值越大，可得 $\frac{120}{(m-1)^2} ＞ \frac{120}{m^2-1}$，因此甲筐水果单价更高。
(2) 用高单价（甲筐单价）除以低单价（乙筐单价）求倍数：
$\frac{120}{(m-1)^2} ÷ \frac{120}{m^2-1} = \frac{120}{(m-1)^2} × \frac{m^2-1}{120}$，
利用平方差公式分解$m^2-1=(m-1)(m+1)$，代入约分：
原式$=\frac{120}{(m-1)^2} × \frac{(m-1)(m+1)}{120} = \frac{m+1}{m-1}$。
【答案】
(1) 甲筐水果的单价卖得高；
(2) 高的单价是低的单价的$\frac{m+1}{m-1}$倍。
【知识点】
分式大小比较；分式除法运算；平方差公式
【点评】
本题结合生活场景考查分式的实际应用，解题核心是熟练掌握单价、总价、质量三者的数量关系，同时需要熟练运用作差法比较整式大小、因式分解对分式约分，是对分式相关基础运算的综合考查。
【难度系数】
0.7
