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1. 新趋势·数学文化 [2025 广州执信中学月考]勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图1所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”。图2由“弦图”变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNXT的面积分别为$ S_1 $，$ S_2 $，$ S_3 $，若$ S_1 + S_2 + S_3 =24 $，则正方形EFGH的面积为
8
。答案
1 设八个全等的直角三角形的两直角边长分别为a,b,则$S_1=(a+b)^2$,$S_2=a^2+b^2$,$S_3=(a-b)^2$。因为$S_1 + S_2 + S_3 =24$,所以$(a + b)^2 + a^2 + b^2 + (a - b)^2 = 24$,所以$3( a^2 + b^2) = 24$,所以$a^2 + b^2 = 8$,即正方形EFGH的面积为8。
2. [2025德州月考]在$Rt△ ABC$中，$AB=8$，$BC=6$，则以$AC$为边的正方形的面积为
100或28
。答案
2 100或28 当AB是直角边时,在Rt△ABC中,由勾股定理,得$AC^2=6^2+8^2=36+64=100$,所以以AC为边的正方形的面积为100;当AB是斜边时,在Rt△ABC中,由勾股定理,得$AC^2=8^2-6^2=64-36=28$,所以以AC为边的正方形的面积为28。综上,以AC为边的正方形的面积为100或28。
3. [2026 无锡月考] 已知 $△ ABC$ 中，$AB = 17$，$AC = 10$，$BC$ 边上的高 $AD = 8$。求边 $BC$ 的长。
答案
3 解题思路:高AD可能在△ABC的内部也可能在△ABC的外部,本题应分两种情况进行讨论,分别依据勾股定理求解即可。
解:分两种情况:
①若高AD在△ABC的内部,如
,在Rt△ABD中,AB=17,AD=8,所以BD=15。
在Rt△ACD中,AC=10,AD=8,所以CD=6,
所以BC=15+6=21。
②若高AD在△ABC的外部,如
,同理可得,BD=15,CD=6,所以BC=15-6=9。
综上,BC的长是21或9。
4. ▶古题今算 [2026福州华伦中学期末]《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：“今有开门去阃一尺，不合二寸。问：门广几何？”题目大意：如图，推开双门，双门间隙CD的长为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺=10寸），则AB的长是（
A.50.5寸
B.52寸
C.101寸
D.104寸
C
）A.50.5寸
B.52寸
C.101寸
D.104寸
答案
4 C 如图,取AB的中点O,连接OD,OC,CD,过点D作$DE⊥AB$于点E。由题意,得OA=OB=AD=BC,DE=1尺=10寸,$OE=\frac{1}{2}CD=1$寸。设OA=AD=r寸,则AB=2r寸,AE=(r-1)寸。在Rt△ADE中,$AE^2 + DE^2 = AD^2$,即$(r-1)^2 + 10^2 = r^2$,解得r=50.5,所以AB=2r=101寸。
5. [2025信阳期末]如图，AB为一棵大树，在树上距地面10 m的D处有两只猴子，它们同时发现地面上的C处有一筐水果，一只猴子从D处爬到树顶A处，利用滑绳AC，滑到C处，另一只猴子从D处滑到地面B处，再由B处跑到C处，已知两只猴子所经路程都是16 m，求树高AB。
答案
5 解:由题意可得,BD = 10 m,则BC = 6 m,
设AD = x m,则AB = (10 + x)m,AC = (16 - x)m。
在Rt△ABC中,$AB^2 + BC^2 = AC^2$,
即$(10 + x)^2 + 6^2 = (16 - x)^2$,解得$x = \frac{30}{13}$,
所以$AB = 10 + \frac{30}{13} = \frac{160}{13}(m)$,所以树高AB为$\frac{160}{13}$ m。
设AD = x m,则AB = (10 + x)m,AC = (16 - x)m。
在Rt△ABC中,$AB^2 + BC^2 = AC^2$,
即$(10 + x)^2 + 6^2 = (16 - x)^2$,解得$x = \frac{30}{13}$,
所以$AB = 10 + \frac{30}{13} = \frac{160}{13}(m)$,所以树高AB为$\frac{160}{13}$ m。
6. [2026漳州一模]在直线$l$上依次摆放着七个正方形(如图)。已知斜放的三个正方形的面积分别是1,2,3,正放的四个正方形的面积依次是$S_1$,$S_2$,$S_3$,$S_4$,则$S_1 + S_2 + S_3 + S_4 =$
4
。答案
6 4 如图,易得$Rt△ACB≌Rt△BDE$,所以BC = ED,所以$AC^2 + ED^2 = AC^2 + BC^2 = AB^2 = 1$,所以$S_1 + S_2 = 1$。同理可得$S_3 + S_4 = 3$,所以$S_1 + S_2 + S_3 + S_4 = 1 + 3 = 4$。
