登录
1. [2026深圳龙华区期中]如图,三角形纸片ABC中,∠BAC=90°,AB=2,AC=3。沿过点A的直线将纸片折叠,使点B落在边BC上的点D处;再折叠纸片,使点C与点D重合。若折痕与AC的交点为E,则AE的长是 (
A.$\frac{13}{6}$
B.$\frac{5}{6}$
C.$\frac{7}{6}$
D.$\frac{6}{5}$
A
)A.$\frac{13}{6}$
B.$\frac{5}{6}$
C.$\frac{7}{6}$
D.$\frac{6}{5}$
答案
因为沿过点A的直线将纸片折叠,使点B落在边BC上的点D处,所以AD=AB=2,∠B=∠ADB。因为折叠纸片,使点C与点D重合,所以CE=DE,∠C=∠CDE。因为∠BAC=90°,所以∠B+∠C=90°,所以∠ADB+∠CDE=90°,所以∠ADE=90°,(得到直角三角形)所以AD² + DE² = AE²,设AE=x,则CE=DE=3-x,所以2² + (3-x)² =x²,所以x=$\frac{13}{6}$,即AE=$\frac{13}{6}$。
2. 如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°,AC=6,BC=8$,点$D,E$分别在$AC,BC$上,且$DE// AB$。将$△ ABC$沿$DE$折叠,使点$C$落在斜边$AB$上的点$F$处,则$AF$的长是 (
A.$3.6$
B.$4$
C.$4.8$
D.$6.4$
A
)A.$3.6$
B.$4$
C.$4.8$
D.$6.4$
答案
如图,连接CF,根据题意,得CF⊥DE。因为DE//AB,所以CF⊥AB。因为∠ACB=90°,AC=6,BC=8,所以AB=10,所以$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AC·BC=\frac{1}{2}AB·CF$,所以CF=4.8,所以$AF^2=AC^2 - CF^2=6^2 - 4.8^2=3.6^2$,所以AF=3.6。
3. [2025西安雁塔二中月考]小王剪了两张直角三角形纸片，分别进行了如下的操作：
操作一 如图1，小王拿出一张直角三角形纸片$ABC$，将$\mathrm{Rt}△ ABC$折叠，使斜边的两个端点$A$与$B$重合，折痕为$DE$。
(1)若$AC = 6\ \mathrm{cm}$，$AB = 10\ \mathrm{cm}$，则$△ ACD$的周长为
(2)若$∠ CAD:∠ BAD = 1:4$，则$∠ B$的度数为
操作二 如图2，小王拿出另一张直角三角形纸片$ABC$，将直角边$AC$沿$AD$折叠，使它落在斜边$AB$上，且点$C$与点$E$重合。若$AC = 9\ \mathrm{cm}$，$AB = 15\ \mathrm{cm}$，请求出$CD$的长。
操作一 如图1，小王拿出一张直角三角形纸片$ABC$，将$\mathrm{Rt}△ ABC$折叠，使斜边的两个端点$A$与$B$重合，折痕为$DE$。
(1)若$AC = 6\ \mathrm{cm}$，$AB = 10\ \mathrm{cm}$，则$△ ACD$的周长为
14
$\mathrm{cm}$。(2)若$∠ CAD:∠ BAD = 1:4$，则$∠ B$的度数为
40°
。 操作二 如图2，小王拿出另一张直角三角形纸片$ABC$，将直角边$AC$沿$AD$折叠，使它落在斜边$AB$上，且点$C$与点$E$重合。若$AC = 9\ \mathrm{cm}$，$AB = 15\ \mathrm{cm}$，请求出$CD$的长。
答案
解:操作一
(1)14
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,所以$BC^2 + AC^2 = AB^2$,即$BC^2 + 6^2 =10^2$,所以$BC = 8\ \mathrm{cm}$。由折叠的性质,得$AD = BD$,所以$△ ACD$的周长为$AC + CD + AD = AC + CD + BD = AC + BC = 6 + 8 = 14(\mathrm{cm})$。
(2)$40°$
设$∠ CAD = α$,则$∠ BAD = 4α$,由折叠的性质,得$∠ B = ∠ BAD = 4α$。因为$∠ B + ∠ CAD + ∠ BAD = 90°$,所以$4α + α + 4α = 90°$,所以$α = 10°$,所以$∠ B = 40°$。
操作二 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,
所以$BC^2 = AB^2 - AC^2 = 15^2 - 9^2 = 144$,所以$BC = 12\ \mathrm{cm}$。
由折叠的性质,可知$CD = DE$,$AE = AC = 9\ \mathrm{cm}$,$∠ DEA = ∠ C = 90°$。
因为$AB = 15\ \mathrm{cm}$,所以$BE = AB - AE = 6\ \mathrm{cm}$。
设$CD = x\ \mathrm{cm}$,则$BD = (12 - x)\mathrm{cm}$,$DE = CD = x\ \mathrm{cm}$。
因为$∠ DEB = 180° - ∠ DEA = 90°$,
所以$DE^2 + BE^2 = BD^2$,即$x^2 + 6^2 = (12 - x)^2$,解得$x = 4.5$。
故$CD$的长为$4.5\ \mathrm{cm}$。
(1)14
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,所以$BC^2 + AC^2 = AB^2$,即$BC^2 + 6^2 =10^2$,所以$BC = 8\ \mathrm{cm}$。由折叠的性质,得$AD = BD$,所以$△ ACD$的周长为$AC + CD + AD = AC + CD + BD = AC + BC = 6 + 8 = 14(\mathrm{cm})$。
(2)$40°$
设$∠ CAD = α$,则$∠ BAD = 4α$,由折叠的性质,得$∠ B = ∠ BAD = 4α$。因为$∠ B + ∠ CAD + ∠ BAD = 90°$,所以$4α + α + 4α = 90°$,所以$α = 10°$,所以$∠ B = 40°$。
操作二 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,
所以$BC^2 = AB^2 - AC^2 = 15^2 - 9^2 = 144$,所以$BC = 12\ \mathrm{cm}$。
由折叠的性质,可知$CD = DE$,$AE = AC = 9\ \mathrm{cm}$,$∠ DEA = ∠ C = 90°$。
因为$AB = 15\ \mathrm{cm}$,所以$BE = AB - AE = 6\ \mathrm{cm}$。
设$CD = x\ \mathrm{cm}$,则$BD = (12 - x)\mathrm{cm}$,$DE = CD = x\ \mathrm{cm}$。
因为$∠ DEB = 180° - ∠ DEA = 90°$,
所以$DE^2 + BE^2 = BD^2$,即$x^2 + 6^2 = (12 - x)^2$,解得$x = 4.5$。
故$CD$的长为$4.5\ \mathrm{cm}$。
4. [2025宝鸡一中调研] 如图，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边上的F点处，若AB = 8 cm，BC = 10 cm，则EC的长为（
A.2 cm
B.3 cm
C.4 cm
D.5 cm
B
）A.2 cm
B.3 cm
C.4 cm
D.5 cm
答案
由题意可知,$DC = AB = 8\ \mathrm{cm}$,$∠ B = ∠ C = 90°$,$AF = AD = 10\ \mathrm{cm}$,$EF = DE$,设$EF = DE = x\ \mathrm{cm}$,则$EC = (8 - x)\mathrm{cm}$,由勾股定理,得$BF^2 = 10^2 - 8^2$,所以$BF = 6\ \mathrm{cm}$,所以$CF = 10 - 6 = 4(\mathrm{cm})$。在$\mathrm{Rt}△ EFC$中,由勾股定理,得$x^2 = 4^2 + (8 - x)^2$,解得$x = 5$,所以$EC = 8 - 5 = 3(\mathrm{cm})$。
5. [2026太原月考]如图,在长方形ABCD中,AB=4,BC=3,P为边BC上一点,将△CDP沿DP折叠,点C落在点E处,DE,PE分别交AB于点F,G,已知GE=GB,则BF的长为 (
A.$\dfrac{17}{5}$
B.$\dfrac{3}{5}$
C.$\dfrac{12}{5}$
D.5
C
)A.$\dfrac{17}{5}$
B.$\dfrac{3}{5}$
C.$\dfrac{12}{5}$
D.5
答案
由折叠知$∠ E = ∠ C = 90°$,$EP = CP$,$DE = DC$,在$△ GEF$和$△ GBP$中,$\begin{cases} ∠ EGF = ∠ BGP, \\ GE = GB, \\ ∠ E = ∠ B = 90°, \end{cases}$所以$△ GEF ≅ △ GBP(\mathrm{ASA})$,所以$EF = BP$,$GF = GP$,所以$BF = EP = CP$,设$BF = EP = CP = x$,则$AF = 4 - x$,$EF = 3 - x$,所以$DF = 4 - (3 - x) = 1 + x$,在$\mathrm{Rt}△ ADF$中,由勾股定理,得$(4 - x)^2 + 3^2 = (1 + x)^2$,解得$x = \frac{12}{5}$,所以$BF = \frac{12}{5}$。
6. [2026郑州七中期中]如图，动点E，P分别是正方形ABCD的边BC，CD上的动点，沿AE，AP折叠正方形，点B，D的对应点恰好都落在点O处，若AB=3，当点P是CD边的三等分点时，BE的长为
$\frac{3}{2}$或$\frac{3}{5}$
。答案
四边形$ABCD$是正方形,$AB = 3$,点$P$是$CD$边的三等分点,则分两种情况。若$DP = 1$,则$PC = CD - DP = 3 - 1 = 2$,设$BE = x$,则$CE = 3 - x$,由折叠可知,$OE = BE = x$,$OP = DP = 1$,所以$PE = OE + OP = x + 1$,在$\mathrm{Rt}△ PCE$中,$PE^2 = PC^2 + CE^2$,即$(x + 1)^2 = 2^2 + (3 - x)^2$,解得$x = \frac{3}{2}$,所以$BE = \frac{3}{2}$;若$DP = 2$,同理可得$BE = \frac{3}{5}$。
