11. 当式子$\sqrt{3m + 9}$取得最小值时，$m$的值为（）

A.0
B.3
C.-3
D.-9

根据题意,得$3m + 9 = 0$,解得 $m = -3$。(由二次根式的非负性可知,二次根式的值是一个非负数)

12. [2026 西安月考] 下列运算错误的是 ()

A.$\sqrt{8} ÷ \sqrt{2} = 2$
B.$\sqrt{\frac{1}{2}} ÷ \sqrt{2} = \frac{1}{2}$
C.$\sqrt{3} ÷ \sqrt{\frac{3}{2}} = \sqrt{2}$
D.$\sqrt{\frac{2}{3}} ÷ \sqrt{\frac{3}{2}} = 1$

A项,$\sqrt{8} ÷ \sqrt{2} = \sqrt{\frac{8}{2}} = \sqrt{4} = 2$,不符合题意;B项,$\sqrt{\frac{1}{2}} ÷ \sqrt{2} = \sqrt{\frac{1}{2} × \frac{1}{2}} = \frac{1}{2}$,不符合题意;C项,$\sqrt{3} ÷ \sqrt{\frac{3}{2}} = \sqrt{3 × \frac{2}{3}} =\sqrt{2}$,不符合题意;D项,$\sqrt{\frac{2}{3}} ÷ \sqrt{\frac{3}{2}} = \sqrt{\frac{2}{3} × \frac{2}{3}} = \frac{2}{3} ≠1$,符合题意。

13. [2025大连月考]若$\sqrt{2} × \sqrt{\dfrac{6}{x}}$是整数，则整数$x$的值是（）

A.1或3
B.3或6
C.3或12
D.6或12

$\sqrt{2} × \sqrt{\frac{6}{x}} = \sqrt{\frac{12}{x}}$,则当整数$x$为3或12时,$\sqrt{2} × \sqrt{\frac{6}{x}}$为整数。

14. [2025 百色期中] 计算：$\sqrt{1\dfrac{2}{3}} ÷ \sqrt{2\dfrac{1}{3}} × \sqrt{1\dfrac{2}{5}} =$ 。

$\sqrt{1\dfrac{2}{3}} ÷ \sqrt{2\dfrac{1}{3}} × \sqrt{1\dfrac{2}{5}} = \sqrt{\dfrac{5}{3} ÷ \dfrac{7}{3} × \dfrac{7}{5}} = 1$。

15. 计算：
(1) [2026包头月考] $(2\sqrt{3} + 1)^2 + \frac{1}{\sqrt{6}} ÷ \frac{1}{\sqrt{54}}$；
(2) $(\sqrt{\frac{9}{2}} - \frac{\sqrt{98}}{3}) ÷ \sqrt{2} + \frac{1}{3}$；
(3) $\frac{\sqrt{20} + \sqrt{5}}{\sqrt{5}} - (\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2})$。

解:(1)$(2\sqrt{3} + 1)^2 + \frac{1}{\sqrt{6}} ÷ \frac{1}{\sqrt{54}}$
$=12 +4\sqrt{3} +1 +3$
$=16 +4\sqrt{3}$。
(2)$(\sqrt{\frac{9}{2}} - \frac{\sqrt{98}}{3}) ÷ \sqrt{2} + \frac{1}{3}$
$=\frac{3}{2} - \frac{7}{3} + \frac{1}{3}$
$=\frac{3}{2} -2$
$= -\frac{1}{2}$。
(3)$\frac{\sqrt{20} + \sqrt{5}}{\sqrt{5}} - (\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2})$
$=2 +1 -(3 -2)$
$=3 -1$
$=2$。

16. 新趋势·过程性学习 [2025 长春期末节选] 阅读材料,回答下列问题。
【材料一】两个含有二次根式且非零的代数式相乘,如果它们的积不含二次根式,那么这两个代数式互为有理化因式。例如:$\sqrt{2} × \sqrt{2} = 2,(\sqrt{3} + 1) × (\sqrt{3} - 1) = 2$,我们称$\sqrt{2}$和$\sqrt{2}$互为有理化因式,$\sqrt{3} + 1$和$\sqrt{3} - 1$互为有理化因式。
(1)$\sqrt{5}$的有理化因式是,$2 - \sqrt{3}$的有理化因式是。(写出一个即可)
【材料二】将代数式分子、分母同乘分子的有理化因式,从而消去分子中的根式,这种变形叫作分子有理化。例如:$\sqrt{3} - \sqrt{2} = \frac{(\sqrt{3} - \sqrt{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2})}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$。
(2) 用分子有理化比较$\sqrt{n+1} - \sqrt{n}$和$\sqrt{n} - \sqrt{n-1}(n ≥ 2)$的大小。

解:(1)(答案不唯一)$\sqrt{5}$ $2 + \sqrt{3}$
(2) $\sqrt{n + 1} - \sqrt{n} = \frac{(\sqrt{n + 1} - \sqrt{n})(\sqrt{n + 1} + \sqrt{n})}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} = \frac{n + 1 -n}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}}$,
$\sqrt{n} - \sqrt{n - 1} = \frac{(\sqrt{n} - \sqrt{n - 1})(\sqrt{n} + \sqrt{n - 1})}{\sqrt{n} + \sqrt{n - 1}} = \frac{n - (n - 1)}{\sqrt{n} + \sqrt{n - 1}} = \frac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n - 1}}$。

因为$n≥2$,所以$\sqrt{n + 1} ＞ \sqrt{n - 1}$,所以$\frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} ＜ \frac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n - 1}}$,
所以$\sqrt{n + 1} - \sqrt{n} ＜ \sqrt{n} - \sqrt{n - 1}$。

1. 当$x=$时，代数式$3 - \sqrt{2x + 1}$有最大值，最大值是。

1 $-\frac{1}{2}$ 3 因为$\sqrt{2x + 1} ≥ 0$,所以$ - \sqrt{2x + 1} ≤ 0$,所以$3 - \sqrt{2x + 1} ≤ 3$,所以当$2x + 1 = 0$,即$x = -\frac{1}{2}$时,$3 - \sqrt{2x + 1}$有最大值,最大值是3。

2. [2026 上海宝山区期末] 如果 $\sqrt{2x - 6}$ 与 $\sqrt{2 + y}$ 互为相反数，那么 $x^2 + y$ 的算术平方根是。

2 $\sqrt{7}$ 根据题意,可知$\sqrt{2x - 6} + \sqrt{2 + y} = 0$,所以$2x - 6 = 0$,$2 + y = 0$,解得$x = 3$,$y = -2$,所以$x^2 + y = 3^2 + (-2) = 7$,所以$x^2 + y$的算术平方根是$\sqrt{7}$。

3. [2026洛阳月考]已知$y=\sqrt{x-1}+\sqrt{1-x}+x-2$，则$\sqrt{10x+y}$的值为。

3 3 由题意,易得$x = 1$,则$y = -1$,则$\sqrt{10x + y} = \sqrt{10 × 1 - 1} = 3$。