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1. [2025长春期末]化简$\sqrt{(-2)^2 × 3}$的结果是（
A.$2\sqrt{3}$
B.$-2\sqrt{3}$
C.$3\sqrt{2}$
D.$-3\sqrt{2}$
A
）A.$2\sqrt{3}$
B.$-2\sqrt{3}$
C.$3\sqrt{2}$
D.$-3\sqrt{2}$
答案
$\sqrt{(-2)^2 × 3} = \sqrt{4 × 3} = 2\sqrt{3}$，答案选A。
2. 化简:(1) $\sqrt{\dfrac{20}{9}} =$
$\dfrac{2\sqrt{5}}{3}$
;(2) $\sqrt{18} =$ $3\sqrt{2}$
。答案
(1) $\sqrt{\dfrac{20}{9}} = \dfrac{\sqrt{20}}{\sqrt{9}} = \dfrac{2\sqrt{5}}{3}$；(2) $\sqrt{18} = \sqrt{9 × 2} = 3\sqrt{2}$。
3. 化简:
(1) $\sqrt{81 × 16}$；
(2) $\sqrt{(-9) × (-25)}$；
(3) $\sqrt{\dfrac{3}{64}}$；
(4) $\sqrt{\dfrac{81 × 125}{144}}$。
(1) $\sqrt{81 × 16}$；
(2) $\sqrt{(-9) × (-25)}$；
(3) $\sqrt{\dfrac{3}{64}}$；
(4) $\sqrt{\dfrac{81 × 125}{144}}$。
答案
解:(1) $\sqrt{81 × 16} = \sqrt{81} × \sqrt{16} = 9 × 4 = 36$。
(2) $\sqrt{(-9) × (-25)} = \sqrt{9 × 25} = \sqrt{9} × \sqrt{25} = 3 × 5 = 15$。
(3) $\sqrt{\dfrac{3}{64}} = \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{64}} = \dfrac{\sqrt{3}}{8}$。
(4) $\sqrt{\dfrac{81 × 125}{144}} = \dfrac{\sqrt{81 × 25 × 5}}{\sqrt{144}} = \dfrac{9 × 5 × \sqrt{5}}{12} = \dfrac{15\sqrt{5}}{4}$。
(2) $\sqrt{(-9) × (-25)} = \sqrt{9 × 25} = \sqrt{9} × \sqrt{25} = 3 × 5 = 15$。
(3) $\sqrt{\dfrac{3}{64}} = \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{64}} = \dfrac{\sqrt{3}}{8}$。
(4) $\sqrt{\dfrac{81 × 125}{144}} = \dfrac{\sqrt{81 × 25 × 5}}{\sqrt{144}} = \dfrac{9 × 5 × \sqrt{5}}{12} = \dfrac{15\sqrt{5}}{4}$。
4. [2026 广州增城区期末] 下列四个选项中，属于最简二次根式的是 (
A.$\sqrt{\dfrac{1}{2}}$
B.$\sqrt{2}$
C.$\sqrt{8}$
D.$\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
B
)A.$\sqrt{\dfrac{1}{2}}$
B.$\sqrt{2}$
C.$\sqrt{8}$
D.$\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
答案
B
A项,被开方数含有分母,不是最简二次根式,不符合题意;C项,被开方数含有能开得尽方的因数4,不是最简二次根式,不符合题意;D项,分母中含有二次根式,不是最简二次根式,不符合题意。
A项,被开方数含有分母,不是最简二次根式,不符合题意;C项,被开方数含有能开得尽方的因数4,不是最简二次根式,不符合题意;D项,分母中含有二次根式,不是最简二次根式,不符合题意。
5. 新趋势·结论开放 [2025 新乡期末]写出一个实数$x$，使$\sqrt{x-3}$是最简二次根式，则$x$可以是
5（答案不唯一）
。答案
(答案不唯一) 当$x=5$时，$\sqrt{5-3}=\sqrt{2}$，此时$\sqrt{x-3}$是最简二次根式。
6. [2026 济南月考] 把下列二次根式化成最简二次根式:
(1) $\sqrt{24}$; (2) $\frac{1}{\sqrt{7}}$; (3) $\sqrt{1.5}$; (4) $\sqrt{\frac{4}{3}}$。
(1) $\sqrt{24}$; (2) $\frac{1}{\sqrt{7}}$; (3) $\sqrt{1.5}$; (4) $\sqrt{\frac{4}{3}}$。
答案
解:(1) $\sqrt{24} = 2\sqrt{6}$。
(2) $\frac{1}{\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7} × \sqrt{7}} = \frac{\sqrt{7}}{7}$。
(3) $\sqrt{1.5} = \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2}$。
(4) $\sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$。
(2) $\frac{1}{\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7} × \sqrt{7}} = \frac{\sqrt{7}}{7}$。
(3) $\sqrt{1.5} = \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2}$。
(4) $\sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$。
7. [2026白银期中]下列二次根式中，不能与$\sqrt{3}$合并的是（
A.$\sqrt{\frac{1}{3}}$
B.$\sqrt{8}$
C.$\sqrt{12}$
D.$-\sqrt{75}$
B
）A.$\sqrt{\frac{1}{3}}$
B.$\sqrt{8}$
C.$\sqrt{12}$
D.$-\sqrt{75}$
答案
B
$\sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$,能与$\sqrt{3}$合并,故A项不符合题意;$\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$,不能与$\sqrt{3}$合并,故B项符合题意;$\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$,能与$\sqrt{3}$合并,故C项不符合题意; $-\sqrt{75} = -5\sqrt{3}$,能与$\sqrt{3}$合并,故D项不符合题意。
$\sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$,能与$\sqrt{3}$合并,故A项不符合题意;$\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$,不能与$\sqrt{3}$合并,故B项符合题意;$\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$,能与$\sqrt{3}$合并,故C项不符合题意; $-\sqrt{75} = -5\sqrt{3}$,能与$\sqrt{3}$合并,故D项不符合题意。
8. [2026长春期末]若$\sqrt{12} + \sqrt{y} = \sqrt{27}$，则$y$的值为（
A.8
B.15
C.3
D.2
C
）A.8
B.15
C.3
D.2
答案
C
因为$\sqrt{12} + \sqrt{y} = \sqrt{27}$,所以$\sqrt{y} = \sqrt{27} - \sqrt{12} = 3\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = \sqrt{3}$,所以$y = 3$。
因为$\sqrt{12} + \sqrt{y} = \sqrt{27}$,所以$\sqrt{y} = \sqrt{27} - \sqrt{12} = 3\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = \sqrt{3}$,所以$y = 3$。
9. [2025石家庄期末]下列计算正确的是（
A.$\sqrt{8} - \sqrt{2} = \sqrt{2}$
B.$\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$
C.$4\sqrt{3} - 4\sqrt{3} = 1$
D.$3 + 2\sqrt{2} = 5\sqrt{2}$
A
）A.$\sqrt{8} - \sqrt{2} = \sqrt{2}$
B.$\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$
C.$4\sqrt{3} - 4\sqrt{3} = 1$
D.$3 + 2\sqrt{2} = 5\sqrt{2}$
答案
A
$\sqrt{8} - \sqrt{2} = 2\sqrt{2} - \sqrt{2} = \sqrt{2}$,A项符合题意;$\sqrt{2}$与$\sqrt{3}$不能合并,B项不符合题意;$4\sqrt{3} - 4\sqrt{3} = 0$,C项不符合题意;3与$2\sqrt{2}$不能合并,D项不符合题意。
$\sqrt{8} - \sqrt{2} = 2\sqrt{2} - \sqrt{2} = \sqrt{2}$,A项符合题意;$\sqrt{2}$与$\sqrt{3}$不能合并,B项不符合题意;$4\sqrt{3} - 4\sqrt{3} = 0$,C项不符合题意;3与$2\sqrt{2}$不能合并,D项不符合题意。
10. 计算:
(1) $9\sqrt{3} + 7\sqrt{12} -5\sqrt{48}$;
(2) $\sqrt{\frac{6}{5}} - \sqrt{\frac{5}{6}}$;
(3) $\sqrt{72} + \sqrt{\frac{1}{20}} - \sqrt{\frac{18}{49}}$;
(4) $\frac{1}{2}\sqrt{12} - (3\sqrt{\frac{1}{3}} + \sqrt{2})$。
(1) $9\sqrt{3} + 7\sqrt{12} -5\sqrt{48}$;
(2) $\sqrt{\frac{6}{5}} - \sqrt{\frac{5}{6}}$;
(3) $\sqrt{72} + \sqrt{\frac{1}{20}} - \sqrt{\frac{18}{49}}$;
(4) $\frac{1}{2}\sqrt{12} - (3\sqrt{\frac{1}{3}} + \sqrt{2})$。
答案
解:(1) $9\sqrt{3} + 7\sqrt{12} -5\sqrt{48} =9\sqrt{3} + 7 × 2\sqrt{3} - 5 × 4\sqrt{3} = 9\sqrt{3} + 14\sqrt{3} - 20\sqrt{3} = 3\sqrt{3}$。
(2) $\sqrt{\frac{6}{5}} - \sqrt{\frac{5}{6}} = \frac{\sqrt{30}}{5} - \frac{\sqrt{30}}{6} = \frac{\sqrt{30}}{30}$。
(3) $\sqrt{72} + \sqrt{\frac{1}{20}} - \sqrt{\frac{18}{49}} =6\sqrt{2} + \frac{\sqrt{5}}{10} - \frac{3\sqrt{2}}{7} = \frac{39\sqrt{2}}{7} + \frac{\sqrt{5}}{10}$。
(4) $\frac{1}{2}\sqrt{12} - (3\sqrt{\frac{1}{3}} + \sqrt{2}) = \frac{1}{2} × 2\sqrt{3} - 3 × \frac{\sqrt{3}}{3} - \sqrt{2} = \sqrt{3} - \sqrt{3} - \sqrt{2} = -\sqrt{2}$。
(2) $\sqrt{\frac{6}{5}} - \sqrt{\frac{5}{6}} = \frac{\sqrt{30}}{5} - \frac{\sqrt{30}}{6} = \frac{\sqrt{30}}{30}$。
(3) $\sqrt{72} + \sqrt{\frac{1}{20}} - \sqrt{\frac{18}{49}} =6\sqrt{2} + \frac{\sqrt{5}}{10} - \frac{3\sqrt{2}}{7} = \frac{39\sqrt{2}}{7} + \frac{\sqrt{5}}{10}$。
(4) $\frac{1}{2}\sqrt{12} - (3\sqrt{\frac{1}{3}} + \sqrt{2}) = \frac{1}{2} × 2\sqrt{3} - 3 × \frac{\sqrt{3}}{3} - \sqrt{2} = \sqrt{3} - \sqrt{3} - \sqrt{2} = -\sqrt{2}$。
