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1. [2026 重庆江北区期末]下列各式中，一定是二次根式的是（
A.$\sqrt{-3}$
B.$\sqrt{7}$
C.$\sqrt{a+3}$
D.$\sqrt[3]{5}$
B
）A.$\sqrt{-3}$
B.$\sqrt{7}$
C.$\sqrt{a+3}$
D.$\sqrt[3]{5}$
答案
A项，-3＜0，该式子不是二次根式，不符合题意；C项，当a+3＜0时，该式子不是二次根式，不符合题意；D项，该式子表示5的三次方根，不是二次根式，不符合题意。答案：B
2. [2025福建中考]若$\sqrt{x-1}$在实数范围内有意义，则实数$x$的值可以是（
A.-2
B.-1
C.0
D.2
D
）A.-2
B.-1
C.0
D.2
答案
因为式子$\sqrt{x-1}$有意义，所以$x-1≥0$，所以$x≥1$，所以实数$x$的值可以是2。答案：D
3. [2025 兰州中考] 计算:$\sqrt{3} × \sqrt{2} =$ (
A.6
B.$\sqrt{6}$
C.$\sqrt{5}$
D.1
B
)A.6
B.$\sqrt{6}$
C.$\sqrt{5}$
D.1
答案
$\sqrt{3} × \sqrt{2} = \sqrt{3×2} = \sqrt{6}$。答案：B
4. [2025 咸阳秦都中学期中] 计算：$\sqrt{75} ÷ \sqrt{3} = (\quad)$
A.$2\sqrt{5}$
B.$\sqrt{5}$
C.$\sqrt{15}$
D.$5$
A.$2\sqrt{5}$
B.$\sqrt{5}$
C.$\sqrt{15}$
D.$5$
答案
$\sqrt{75} ÷ \sqrt{3} = \sqrt{\frac{75}{3}} = \sqrt{25} = 5$。答案：D
5. 计算：$\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}} =$
2
，$\sqrt{18} × \sqrt{\frac{1}{2}} =$ 3
。答案
$\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{12}{3}} = \sqrt{4} = 2$，$\sqrt{18} × \sqrt{\frac{1}{2}} = \sqrt{18×\frac{1}{2}} = \sqrt{9} = 3$。答案：2；3
6.若$6\sqrt{6} ÷ □ = 2\sqrt{3}$，则$□$中的数是
$3\sqrt{2}$
。答案
因为$6\sqrt{6} ÷ 2\sqrt{3} = 3\sqrt{2}$，所以$□$中的数是$3\sqrt{2}$。(乘除法互为逆运算) 答案：$3\sqrt{2}$
7. ▶新趋势·结论开放 若计算$\sqrt{12} × m$的结果为正整数，则无理数$m$的值可以是
$\sqrt{3}$
。（写出一个符合条件的即可）答案
答案不唯一，示例：$\sqrt{3}$
8. 计算:
(1) $6\sqrt{8} × (-3\sqrt{2})$;
(2) $\sqrt{\dfrac{1}{4}} ÷ \sqrt{\dfrac{1}{16}}$;
(3) $2\sqrt{15} × 3\sqrt{\dfrac{1}{3}}$;
(4) $\sqrt{2\dfrac{2}{3}} × \sqrt{1\dfrac{1}{2}}$;
(5) $\dfrac{\sqrt{12} × \sqrt{6}}{\sqrt{2}}$;
(6) $\dfrac{\sqrt{12} + \sqrt{27}}{\sqrt{3}}$。
(1) $6\sqrt{8} × (-3\sqrt{2})$;
(2) $\sqrt{\dfrac{1}{4}} ÷ \sqrt{\dfrac{1}{16}}$;
(3) $2\sqrt{15} × 3\sqrt{\dfrac{1}{3}}$;
(4) $\sqrt{2\dfrac{2}{3}} × \sqrt{1\dfrac{1}{2}}$;
(5) $\dfrac{\sqrt{12} × \sqrt{6}}{\sqrt{2}}$;
(6) $\dfrac{\sqrt{12} + \sqrt{27}}{\sqrt{3}}$。
答案
解:
(1) $6\sqrt{8} × (-3\sqrt{2}) = -6 × 3 × \sqrt{8×2} = -72$。
(2) $\sqrt{\dfrac{1}{4}} ÷ \sqrt{\dfrac{1}{16}} = \sqrt{\dfrac{1}{4} × 16} = \sqrt{4} = 2$。
(3) $2\sqrt{15} × 3\sqrt{\dfrac{1}{3}} = 2 × 3 × \sqrt{15 × \dfrac{1}{3}} = 6\sqrt{5}$。
(4) $\sqrt{2\dfrac{2}{3}} × \sqrt{1\dfrac{1}{2}} = \sqrt{\dfrac{8}{3} × \dfrac{3}{2}} = \sqrt{4} = 2$。
(5) $\dfrac{\sqrt{12} × \sqrt{6}}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{72}}{\sqrt{2}} = \sqrt{36} = 6$。
(6) $\dfrac{\sqrt{12} + \sqrt{27}}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}} + \dfrac{\sqrt{27}}{\sqrt{3}} = \sqrt{4} + \sqrt{9} = 2 + 3 = 5$。
(1) $6\sqrt{8} × (-3\sqrt{2}) = -6 × 3 × \sqrt{8×2} = -72$。
(2) $\sqrt{\dfrac{1}{4}} ÷ \sqrt{\dfrac{1}{16}} = \sqrt{\dfrac{1}{4} × 16} = \sqrt{4} = 2$。
(3) $2\sqrt{15} × 3\sqrt{\dfrac{1}{3}} = 2 × 3 × \sqrt{15 × \dfrac{1}{3}} = 6\sqrt{5}$。
(4) $\sqrt{2\dfrac{2}{3}} × \sqrt{1\dfrac{1}{2}} = \sqrt{\dfrac{8}{3} × \dfrac{3}{2}} = \sqrt{4} = 2$。
(5) $\dfrac{\sqrt{12} × \sqrt{6}}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{72}}{\sqrt{2}} = \sqrt{36} = 6$。
(6) $\dfrac{\sqrt{12} + \sqrt{27}}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}} + \dfrac{\sqrt{27}}{\sqrt{3}} = \sqrt{4} + \sqrt{9} = 2 + 3 = 5$。
9. [2025河北中考] 计算: $(\sqrt{10}+\sqrt{6})(\sqrt{10}-\sqrt{6})=$ (
A.2
B.4
C.6
D.8
B
)A.2
B.4
C.6
D.8
答案
$(\sqrt{10}+\sqrt{6})(\sqrt{10}-\sqrt{6}) = 10 - 6 = 4$。答案：B
10. 计算：
(1) [2025 扬州邗江区期末] $(\sqrt{18} - 4\sqrt{\frac{1}{8}}) × \sqrt{2}$；
(2) [2025 漳州一中期中] $(2\sqrt{3} + 1)(2\sqrt{3} - 1) - (\sqrt{3} - 1)^2$。
(1) [2025 扬州邗江区期末] $(\sqrt{18} - 4\sqrt{\frac{1}{8}}) × \sqrt{2}$；
(2) [2025 漳州一中期中] $(2\sqrt{3} + 1)(2\sqrt{3} - 1) - (\sqrt{3} - 1)^2$。
答案
解:
(1) $(\sqrt{18} - 4\sqrt{\frac{1}{8}}) × \sqrt{2}$
$= \sqrt{18×2} - 4\sqrt{\frac{1}{8}×2}$
$= \sqrt{36} - 4\sqrt{\frac{1}{4}}$
$=6 - 2$
$=4$。
(2) $(2\sqrt{3} + 1)(2\sqrt{3} - 1) - (\sqrt{3} - 1)^2$
$= (2\sqrt{3})^2 - 1^2 - (3 - 2\sqrt{3} + 1)$
$= 12 - 1 - 4 + 2\sqrt{3}$
$= 7 + 2\sqrt{3}$。
(1) $(\sqrt{18} - 4\sqrt{\frac{1}{8}}) × \sqrt{2}$
$= \sqrt{18×2} - 4\sqrt{\frac{1}{8}×2}$
$= \sqrt{36} - 4\sqrt{\frac{1}{4}}$
$=6 - 2$
$=4$。
(2) $(2\sqrt{3} + 1)(2\sqrt{3} - 1) - (\sqrt{3} - 1)^2$
$= (2\sqrt{3})^2 - 1^2 - (3 - 2\sqrt{3} + 1)$
$= 12 - 1 - 4 + 2\sqrt{3}$
$= 7 + 2\sqrt{3}$。
