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6.如图，某超市在一楼至二楼之间安装有电梯，天花板与地面平行，张强扛着箱子（人与箱子的总高度约为2.2 m）乘电梯刚好完全通过，两层楼之间的高约为（
A.5.5 m
B.6.2 m
C.11 m
D.2.2 m
A
）。A.5.5 m
B.6.2 m
C.11 m
D.2.2 m
答案
6.A
解析
【分析】
本题可利用相似三角形的性质求解。首先观察图形，电梯所在斜线与两层楼的高度、水平距离构成大直角三角形，人站立位置的竖直高度、对应水平距离与大三角形相似。解题时先设两层楼高为$h$ m，找到两个相似三角形的对应边长：大三角形水平边长10m、竖直边长$h$；小三角形水平边长为$10-4=6$m，竖直边长为$h-2.2$ m，再根据相似三角形对应边成比例列方程即可求解。
【解析】
解：设两层楼之间的高度为$h$ m。
∵ 天花板与一楼地面平行，
∴ 电梯斜线构成的两个直角三角形相似，对应边成比例。
人站立位置距离一楼右端点的水平长度为：$10-4=6\ \mathrm{m}$，
该位置人脚到一楼地面的竖直高度为：$h-2.2\ \mathrm{m}$，
由此可得比例式：
$\frac{h-2.2}{h}=\frac{6}{10}$
交叉相乘得：
$10(h-2.2)=6h$
整理得：
$4h=22$
解得：
$h=5.5$
【答案】
A
【知识点】
相似三角形的性质；利用相似三角形测高
【点评】
本题是相似三角形在实际生活中的应用类题目，解题的核心是准确找到相似的三角形，理清各边的对应关系，结合已知条件列方程求解，这类题目能很好地锻炼将数学知识应用到实际场景的能力。
【难度系数】
0.7
本题可利用相似三角形的性质求解。首先观察图形，电梯所在斜线与两层楼的高度、水平距离构成大直角三角形，人站立位置的竖直高度、对应水平距离与大三角形相似。解题时先设两层楼高为$h$ m，找到两个相似三角形的对应边长：大三角形水平边长10m、竖直边长$h$；小三角形水平边长为$10-4=6$m，竖直边长为$h-2.2$ m，再根据相似三角形对应边成比例列方程即可求解。
【解析】
解：设两层楼之间的高度为$h$ m。
∵ 天花板与一楼地面平行，
∴ 电梯斜线构成的两个直角三角形相似，对应边成比例。
人站立位置距离一楼右端点的水平长度为：$10-4=6\ \mathrm{m}$，
该位置人脚到一楼地面的竖直高度为：$h-2.2\ \mathrm{m}$，
由此可得比例式：
$\frac{h-2.2}{h}=\frac{6}{10}$
交叉相乘得：
$10(h-2.2)=6h$
整理得：
$4h=22$
解得：
$h=5.5$
【答案】
A
【知识点】
相似三角形的性质；利用相似三角形测高
【点评】
本题是相似三角形在实际生活中的应用类题目，解题的核心是准确找到相似的三角形，理清各边的对应关系，结合已知条件列方程求解，这类题目能很好地锻炼将数学知识应用到实际场景的能力。
【难度系数】
0.7
7.在同一时刻两根木杆在太阳光下的影子如图所示，其中木杆$AB=2\ \mathrm{m}$，它的影子$BC=1.6\ \mathrm{m}$，木杆$PQ$的影子有一部分落在了墙上，$PM=1.2\ \mathrm{m}$，$MN=0.8\ \mathrm{m}$，则木杆$PQ$的长度为
2.3 m
。答案
7.2.3 m
解析
【分析】
本题考查平行投影的应用，解题思路如下：首先明确同一时刻太阳光下，物体高度与对应影长的比值是固定的。由于木杆PQ的影子一部分落在墙面、一部分落在地面，我们可以通过作垂直辅助线，将墙上的影子MN转化为PQ的一段等长部分，剩余PQ部分的影长等于地面上PM的长度，再利用物高与影长的比例关系求出剩余部分的高度，两段相加即可得到PQ的总长度。
【解析】
过点N作$ND ⊥ PQ$，垂足为D，可得四边形PMND是矩形，因此：
$ND = PM = 1.2\ \mathrm{m}$，$DP = MN = 0.8\ \mathrm{m}$。
根据平行投影的性质，同一时刻物高与影长的比值相等，可得：
$\frac{AB}{BC} = \frac{QD}{ND}$
将$AB=2\ \mathrm{m}$，$BC=1.6\ \mathrm{m}$，$ND=1.2\ \mathrm{m}$代入上式：
$\frac{2}{1.6} = \frac{QD}{1.2}$
解得$QD = \frac{2 × 1.2}{1.6} = 1.5\ \mathrm{m}$。
因此木杆PQ的长度为：$PQ = QD + DP = 1.5 + 0.8 = 2.3\ \mathrm{m}$。
【答案】
2.3 m
【知识点】
平行投影性质，相似三角形应用
【点评】
本题是利用相似测高的常见题型，核心是掌握平行投影下物高与影长成正比的特点，解题关键是通过辅助线将墙上的影子合理转化，避免直接把两段影子长度相加代入比例计算的错误。
【难度系数】
0.7
本题考查平行投影的应用，解题思路如下：首先明确同一时刻太阳光下，物体高度与对应影长的比值是固定的。由于木杆PQ的影子一部分落在墙面、一部分落在地面，我们可以通过作垂直辅助线，将墙上的影子MN转化为PQ的一段等长部分，剩余PQ部分的影长等于地面上PM的长度，再利用物高与影长的比例关系求出剩余部分的高度，两段相加即可得到PQ的总长度。
【解析】
过点N作$ND ⊥ PQ$，垂足为D，可得四边形PMND是矩形，因此：
$ND = PM = 1.2\ \mathrm{m}$，$DP = MN = 0.8\ \mathrm{m}$。
根据平行投影的性质，同一时刻物高与影长的比值相等，可得：
$\frac{AB}{BC} = \frac{QD}{ND}$
将$AB=2\ \mathrm{m}$，$BC=1.6\ \mathrm{m}$，$ND=1.2\ \mathrm{m}$代入上式：
$\frac{2}{1.6} = \frac{QD}{1.2}$
解得$QD = \frac{2 × 1.2}{1.6} = 1.5\ \mathrm{m}$。
因此木杆PQ的长度为：$PQ = QD + DP = 1.5 + 0.8 = 2.3\ \mathrm{m}$。
【答案】
2.3 m
【知识点】
平行投影性质，相似三角形应用
【点评】
本题是利用相似测高的常见题型，核心是掌握平行投影下物高与影长成正比的特点，解题关键是通过辅助线将墙上的影子合理转化，避免直接把两段影子长度相加代入比例计算的错误。
【难度系数】
0.7
8.一天晚上，小明和小龙利用灯光下的影子长来测量一路灯D的高度。如图，当小明走到点A处时，小龙测得小明直立身高AM与其影子长AE正好相等，接着小明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，小明的影子恰好是线段AB，并测得AB=1.25 m。已知小明的身高为1.75 m，求路灯的高CD的长。（结果精确到0.1 m）
答案
8.解:设路灯的高CD为$x$ m，
$\because AM⊥ EC,CD⊥ EC,BN⊥ EC,EA=MA$，
$\therefore AM// CD,BN// CD$，
$\therefore EC=CD=x\ \mathrm{m},△ ABN∽ △ ACD$，
$\therefore \frac{BN}{CD}=\frac{AB}{AC}$,即$\frac{1.75}{x}=\frac{1.25}{x-1.75}$，
解得$x=6.125\approx 6.1$。
$\therefore$ 路灯的高CD约为$6.1\ \mathrm{m}$。
$\because AM⊥ EC,CD⊥ EC,BN⊥ EC,EA=MA$，
$\therefore AM// CD,BN// CD$，
$\therefore EC=CD=x\ \mathrm{m},△ ABN∽ △ ACD$，
$\therefore \frac{BN}{CD}=\frac{AB}{AC}$,即$\frac{1.75}{x}=\frac{1.25}{x-1.75}$，
解得$x=6.125\approx 6.1$。
$\therefore$ 路灯的高CD约为$6.1\ \mathrm{m}$。
解析
【分析】
解题首先结合已知条件“AM=AE，AM、CD均垂直于地面EC”，可判断△EAM为等腰直角三角形，由此推出△ECD也为等腰直角三角形，得到EC=CD，这是本题的解题突破口；其次，小明在B点时的身高BN同样垂直地面，可得BN//CD，进而证明△ABN和△ACD相似，再利用相似三角形对应边成比例的性质，结合线段的数量关系列方程求解，即可得到路灯高度CD。
【解析】
设路灯的高CD为$x$ m，
$\because AM⊥ EC,CD⊥ EC,BN⊥ EC,EA=MA$，
$\therefore AM// CD,BN// CD$，$∠ E=45°$，
$\therefore △ ECD$为等腰直角三角形，即$EC=CD=x\ \mathrm{m}$，
又$\because BN// CD$，
$\therefore △ ABN∽ △ ACD$，
$\therefore \frac{BN}{CD}=\frac{AB}{AC}$，
其中$BN=1.75\ \mathrm{m}$，$AB=1.25\ \mathrm{m}$，$AC=EC-AE=x-1.75\ \mathrm{m}$，
代入得$\frac{1.75}{x}=\frac{1.25}{x-1.75}$，
解得$x=6.125\approx 6.1$。
【答案】
路灯的高CD约为$\boldsymbol{6.1\ \mathrm{m}}$
【知识点】
1.相似三角形的判定与性质 2.等腰直角三角形的性质 3.相似三角形的实际应用
【点评】
本题是结合生活场景的高度测量问题，核心是将实际问题转化为几何模型求解，既考查了学生对三角形相关性质的掌握程度，也能锻炼学生的数学建模能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.7
解题首先结合已知条件“AM=AE，AM、CD均垂直于地面EC”，可判断△EAM为等腰直角三角形，由此推出△ECD也为等腰直角三角形，得到EC=CD，这是本题的解题突破口；其次，小明在B点时的身高BN同样垂直地面，可得BN//CD，进而证明△ABN和△ACD相似，再利用相似三角形对应边成比例的性质，结合线段的数量关系列方程求解，即可得到路灯高度CD。
【解析】
设路灯的高CD为$x$ m，
$\because AM⊥ EC,CD⊥ EC,BN⊥ EC,EA=MA$，
$\therefore AM// CD,BN// CD$，$∠ E=45°$，
$\therefore △ ECD$为等腰直角三角形，即$EC=CD=x\ \mathrm{m}$，
又$\because BN// CD$，
$\therefore △ ABN∽ △ ACD$，
$\therefore \frac{BN}{CD}=\frac{AB}{AC}$，
其中$BN=1.75\ \mathrm{m}$，$AB=1.25\ \mathrm{m}$，$AC=EC-AE=x-1.75\ \mathrm{m}$，
代入得$\frac{1.75}{x}=\frac{1.25}{x-1.75}$，
解得$x=6.125\approx 6.1$。
【答案】
路灯的高CD约为$\boldsymbol{6.1\ \mathrm{m}}$
【知识点】
1.相似三角形的判定与性质 2.等腰直角三角形的性质 3.相似三角形的实际应用
【点评】
本题是结合生活场景的高度测量问题，核心是将实际问题转化为几何模型求解，既考查了学生对三角形相关性质的掌握程度，也能锻炼学生的数学建模能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.7
9. 数学实践小组想利用镜子的反射测量池塘边一棵树的高度AB。测量和计算的部分步骤如下：
①如图，树与地面垂直，在地面上的点C处放置一块镜子，小明站在BC的延长线上，当小明在镜子中刚好看到树的顶点A时，测得小明到镜子的水平距离CD=2 m，小明的眼睛E到地面的距离ED=1.5 m。
②将镜子从点C沿BC的延长线向后移动10 m到点F处，小明向后移动到H处时，小明的眼睛在G处又刚好在镜子中看到树的顶点A，这时测得小明到镜子的水平距离FH=3 m。
③计算树的高度AB。
解:设AB=x m，BC=y m。
∵∠ABC=∠EDC=90°，∠ACB=∠ECD，
∴$△ ABC ∽ △ EDC$，
∴$\frac{AB}{ED}=\frac{BC}{DC}$……
请你根据材料中得到的测量数据和计算步骤，将剩余的计算部分补充完整。
①如图，树与地面垂直，在地面上的点C处放置一块镜子，小明站在BC的延长线上，当小明在镜子中刚好看到树的顶点A时，测得小明到镜子的水平距离CD=2 m，小明的眼睛E到地面的距离ED=1.5 m。
②将镜子从点C沿BC的延长线向后移动10 m到点F处，小明向后移动到H处时，小明的眼睛在G处又刚好在镜子中看到树的顶点A，这时测得小明到镜子的水平距离FH=3 m。
③计算树的高度AB。
解:设AB=x m，BC=y m。
∵∠ABC=∠EDC=90°，∠ACB=∠ECD，
∴$△ ABC ∽ △ EDC$，
∴$\frac{AB}{ED}=\frac{BC}{DC}$……
请你根据材料中得到的测量数据和计算步骤，将剩余的计算部分补充完整。
答案
9.解:设$AB=x\ \mathrm{m},BC=y\ \mathrm{m}$。
$\because ∠ ABC=∠ EDC=90°,∠ ACB=∠ ECD$，
$\therefore △ ABC∽ △ EDC$，
$\therefore \frac{AB}{ED}=\frac{BC}{DC}$,即$\frac{x}{1.5}=\frac{y}{2}$。
$\because ∠ ABF=∠ GHF=90°,∠ AFB=∠ GFH$，
$\therefore △ ABF∽ △ GHF$，
$\therefore \frac{AB}{GH}=\frac{BF}{HF}$,即$\frac{x}{1.5}=\frac{y+10}{3}$，
$\therefore \frac{y}{2}=\frac{y+10}{3}$，
解得$y=20$。
把$y=20$代入$\frac{x}{1.5}=\frac{y}{2}$中,得$\frac{x}{1.5}=\frac{20}{2}$，
解得$x=15$。
$\therefore$ 树的高度AB为$15\ \mathrm{m}$。
$\because ∠ ABC=∠ EDC=90°,∠ ACB=∠ ECD$，
$\therefore △ ABC∽ △ EDC$，
$\therefore \frac{AB}{ED}=\frac{BC}{DC}$,即$\frac{x}{1.5}=\frac{y}{2}$。
$\because ∠ ABF=∠ GHF=90°,∠ AFB=∠ GFH$，
$\therefore △ ABF∽ △ GHF$，
$\therefore \frac{AB}{GH}=\frac{BF}{HF}$,即$\frac{x}{1.5}=\frac{y+10}{3}$，
$\therefore \frac{y}{2}=\frac{y+10}{3}$，
解得$y=20$。
把$y=20$代入$\frac{x}{1.5}=\frac{y}{2}$中,得$\frac{x}{1.5}=\frac{20}{2}$，
解得$x=15$。
$\therefore$ 树的高度AB为$15\ \mathrm{m}$。
解析
【分析】
解题时首先利用镜面反射“入射角等于反射角”的原理，得到两组相等的角，结合已知的直角条件，可证明△ABC∽△EDC、△ABF∽△GHF两对相似三角形；再根据相似三角形对应边成比例的性质，分别列出关于x、y的两个比例式，观察发现两个比例式的左边相等，因此可联立得到仅含y的方程，先求解出y的值，再代入任意一个比例式即可求出x，即树高AB的值。
【解析】
接题中已有步骤继续计算：
即$\frac{x}{1.5}=\frac{y}{2}$。
$\because ∠ABF=∠GHF=90°$，根据镜面反射原理可得$∠AFB=∠GFH$，
$\therefore △ABF∽△GHF$，
$\therefore \frac{AB}{GH}=\frac{BF}{HF}$，其中$GH=ED=1.5\ \mathrm{m}$，$BF=BC+CF=y+10$，$HF=3\ \mathrm{m}$，
即$\frac{x}{1.5}=\frac{y+10}{3}$，
$\therefore \frac{y}{2}=\frac{y+10}{3}$，
交叉相乘得$3y=2(y+10)$，
解得$y=20$。
把$y=20$代入$\frac{x}{1.5}=\frac{y}{2}$中，得$\frac{x}{1.5}=\frac{20}{2}$，
解得$x=15$。
【答案】
树的高度AB为$\boldsymbol{15\ \mathrm{m}}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，相似三角形的实际应用，镜面反射原理
【点评】
本题是相似三角形在实际测量中的典型应用题，需要学生将实际测量场景转化为相似三角形的数学模型，通过列比例式、解方程得到结果，既考察了相似的相关知识，也锻炼了学生将实际问题转化为数学问题的应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用镜面反射“入射角等于反射角”的原理，得到两组相等的角，结合已知的直角条件，可证明△ABC∽△EDC、△ABF∽△GHF两对相似三角形；再根据相似三角形对应边成比例的性质，分别列出关于x、y的两个比例式，观察发现两个比例式的左边相等，因此可联立得到仅含y的方程，先求解出y的值，再代入任意一个比例式即可求出x，即树高AB的值。
【解析】
接题中已有步骤继续计算：
即$\frac{x}{1.5}=\frac{y}{2}$。
$\because ∠ABF=∠GHF=90°$，根据镜面反射原理可得$∠AFB=∠GFH$，
$\therefore △ABF∽△GHF$，
$\therefore \frac{AB}{GH}=\frac{BF}{HF}$，其中$GH=ED=1.5\ \mathrm{m}$，$BF=BC+CF=y+10$，$HF=3\ \mathrm{m}$，
即$\frac{x}{1.5}=\frac{y+10}{3}$，
$\therefore \frac{y}{2}=\frac{y+10}{3}$，
交叉相乘得$3y=2(y+10)$，
解得$y=20$。
把$y=20$代入$\frac{x}{1.5}=\frac{y}{2}$中，得$\frac{x}{1.5}=\frac{20}{2}$，
解得$x=15$。
【答案】
树的高度AB为$\boldsymbol{15\ \mathrm{m}}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，相似三角形的实际应用，镜面反射原理
【点评】
本题是相似三角形在实际测量中的典型应用题，需要学生将实际测量场景转化为相似三角形的数学模型，通过列比例式、解方程得到结果，既考察了相似的相关知识，也锻炼了学生将实际问题转化为数学问题的应用能力。
【难度系数】
0.7
