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13 问题解决活动:利用相似三角形测高
课堂精要·梳理内容
测量原理：
测量旗杆(或路灯杆)高度的三种方法：
（1）利用阳光下的图1影子；
（2）利用标杆；
（3）利用镜子的反射。
课堂精练·发展能力
基础巩固
课堂精要·梳理内容
测量原理：
相似三角形对应边成比例
。测量旗杆(或路灯杆)高度的三种方法：
（1）利用阳光下的图1影子；
（2）利用标杆；
（3）利用镜子的反射。
课堂精练·发展能力
基础巩固
答案
相似三角形对应边成比例
解析
【分析】
本题考查利用相似三角形测高的核心原理。思考时可回忆三种测高方法的共同逻辑：三种测量方法都是通过构造相似三角形，把无法直接测量的旗杆（或路灯杆）高度转化为相似三角形的对应边，再结合其他可直接测量的边长计算高度，而相似三角形边长计算的核心依据就是对应边成比例的性质。
【解析】
利用阳光下的影子测高时，光线、物体、影子构成的三角形与光线、人、人影构成的三角形相似；利用标杆测高时，通过视线构造相似三角形；利用镜子反射测高时，根据反射角等于入射角可构造相似三角形。三种方法均是借助相似三角形对应边成比例的性质，将待测高度与可测量的边长建立等量关系，进而求出待测高度，因此测量原理为相似三角形对应边成比例。
【答案】
相似三角形对应边成比例
【知识点】
相似三角形的性质、相似三角形的实际应用
【点评】
本题属于基础概念题，重点考察对相似三角形测高原理的理解，是解决各类实际测高问题的基础，需牢记该原理并能灵活运用到不同的测量场景中。
【难度系数】
0.9
本题考查利用相似三角形测高的核心原理。思考时可回忆三种测高方法的共同逻辑：三种测量方法都是通过构造相似三角形，把无法直接测量的旗杆（或路灯杆）高度转化为相似三角形的对应边，再结合其他可直接测量的边长计算高度，而相似三角形边长计算的核心依据就是对应边成比例的性质。
【解析】
利用阳光下的影子测高时，光线、物体、影子构成的三角形与光线、人、人影构成的三角形相似；利用标杆测高时，通过视线构造相似三角形；利用镜子反射测高时，根据反射角等于入射角可构造相似三角形。三种方法均是借助相似三角形对应边成比例的性质，将待测高度与可测量的边长建立等量关系，进而求出待测高度，因此测量原理为相似三角形对应边成比例。
【答案】
相似三角形对应边成比例
【知识点】
相似三角形的性质、相似三角形的实际应用
【点评】
本题属于基础概念题，重点考察对相似三角形测高原理的理解，是解决各类实际测高问题的基础，需牢记该原理并能灵活运用到不同的测量场景中。
【难度系数】
0.9
1.小明的身高为1.5 m，某一时刻小明在阳光下的影子长是0.5 m；同一时刻同一地点，测得学校教学大楼的影长是5 m，则该教学大楼的高度为(
A.12.5 m
B.15 m
C.20 m
D.25 m
B
)。A.12.5 m
B.15 m
C.20 m
D.25 m
答案
1.B
解析
【分析】同一时刻同一地点，太阳光线是平行光线，此时物体高度与影长的比值固定，本质是物体、影长与太阳光线构成的直角三角形相似，根据相似三角形对应边成比例的性质，我们可以通过小明的身高、影长和教学大楼的影长，列比例式求出教学大楼的高度。
【解析】解：设该教学大楼的高度为$x\ \mathrm{m}$。
根据同一时刻物高与影长成正比，可得：
$\frac{\mathrm{小明身高}}{\mathrm{小明影长}}=\frac{\mathrm{教学大楼高度}}{\mathrm{教学大楼影长}}$
将已知数据代入得：
$\frac{1.5}{0.5}=\frac{x}{5}$
解得：$x = 1.5 ÷ 0.5 × 5 = 15$
即教学大楼的高度为15m。
【答案】B
【知识点】相似三角形的应用；平行投影的性质
【点评】本题是相似三角形在实际测量中的基础应用，解题核心是抓住同一时刻物高和影长的比例关系建立方程，侧重对基础原理的应用考查。
【难度系数】
0.9
【解析】解：设该教学大楼的高度为$x\ \mathrm{m}$。
根据同一时刻物高与影长成正比，可得：
$\frac{\mathrm{小明身高}}{\mathrm{小明影长}}=\frac{\mathrm{教学大楼高度}}{\mathrm{教学大楼影长}}$
将已知数据代入得：
$\frac{1.5}{0.5}=\frac{x}{5}$
解得：$x = 1.5 ÷ 0.5 × 5 = 15$
即教学大楼的高度为15m。
【答案】B
【知识点】相似三角形的应用；平行投影的性质
【点评】本题是相似三角形在实际测量中的基础应用，解题核心是抓住同一时刻物高和影长的比例关系建立方程，侧重对基础原理的应用考查。
【难度系数】
0.9
2. 下图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P处水平放置一面平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处。已知$AB⊥ BD$，$CD⊥ BD$，且测得$AB=1.2\ \mathrm{m}$，$BP=1.8\ \mathrm{m}$，$PD=12\ \mathrm{m}$，那么该古城墙的高度是(
A.$6\ \mathrm{m}$
B.$8\ \mathrm{m}$
C.$18\ \mathrm{m}$
D.$24\ \mathrm{m}$
B
)。A.$6\ \mathrm{m}$
B.$8\ \mathrm{m}$
C.$18\ \mathrm{m}$
D.$24\ \mathrm{m}$
答案
2.B
解析
【分析】
首先根据平面镜反射的规律，入射角等于反射角，可推出∠APB=∠CPD；再结合已知AB⊥BD、CD⊥BD，可得∠ABP=∠CDP=90°，由此可判定△ABP与△CDP相似。接下来利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知的边长数据，即可求出古城墙CD的高度。
【解析】
解：
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABP=∠CDP=90°，
根据平面镜反射原理，反射角等于入射角，可得∠APB=∠CPD，
∴△ABP∽△CDP（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{AB}{CD}=\frac{BP}{PD}$，
将AB=1.2 m，BP=1.8 m，PD=12 m代入得：
$\frac{1.2}{CD}=\frac{1.8}{12}$，
解得$CD=\frac{1.2×12}{1.8}=8$（m）。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似三角形实际应用
【点评】
本题结合物理中的光的反射规律，考查相似三角形在实际测量问题中的应用，解题核心是找到对应相等的角证明三角形相似，再利用相似三角形的边的比例关系计算未知边长，属于基础应用题，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
首先根据平面镜反射的规律，入射角等于反射角，可推出∠APB=∠CPD；再结合已知AB⊥BD、CD⊥BD，可得∠ABP=∠CDP=90°，由此可判定△ABP与△CDP相似。接下来利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知的边长数据，即可求出古城墙CD的高度。
【解析】
解：
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABP=∠CDP=90°，
根据平面镜反射原理，反射角等于入射角，可得∠APB=∠CPD，
∴△ABP∽△CDP（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{AB}{CD}=\frac{BP}{PD}$，
将AB=1.2 m，BP=1.8 m，PD=12 m代入得：
$\frac{1.2}{CD}=\frac{1.8}{12}$，
解得$CD=\frac{1.2×12}{1.8}=8$（m）。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似三角形实际应用
【点评】
本题结合物理中的光的反射规律，考查相似三角形在实际测量问题中的应用，解题核心是找到对应相等的角证明三角形相似，再利用相似三角形的边的比例关系计算未知边长，属于基础应用题，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
3. 为测量操场上旗杆的高度，设计的测量方案如图所示，标杆高度 $ CD = 3 \, \mathrm{m} $，标杆与旗杆的水平距离 $ BD = 15 \, \mathrm{m} $，人的眼睛到地面的高度 $ EF = 1.6 \, \mathrm{m} $，人与标杆 $ CD $ 的水平距离 $ DF = 2 \, \mathrm{m} $，$ E, C, A $ 三点共线，则旗杆 $ AB $ 的高度为(
A.15 m
B.14.5 m
C.13.5 m
D.13 m
C
)。A.15 m
B.14.5 m
C.13.5 m
D.13 m
答案
3.C
解析
【分析】
本题是利用相似三角形测量高度的实际应用题，解题思路如下：首先观察到标杆、旗杆、人都垂直于地面，因此三者互相平行，我们可以通过作辅助线构造两个相似的三角形，利用相似三角形对应边成比例的性质求解旗杆高出人眼部分的高度，最后加上人眼到地面的高度即可得到旗杆总高度。
【解析】
过点E作EH⊥AB于点H，交CD于点G。
∵EF、CD、AB均垂直于地面FB，
∴EF//CD//AB，
∴EG=DF=2m，GH=BD=15m，HB=GD=EF=1.6m，
∴CG=CD - GD=3 - 1.6=1.4m，EH=EG+GH=2+15=17m。
∵CD//AB，
∴∠ECG=∠EAH，∠EGC=∠EHA=90°，
∴△ECG∽△EAH，
∴$\frac{CG}{AH}=\frac{EG}{EH}$，
代入数据得$\frac{1.4}{AH}=\frac{2}{17}$，
解得AH=$\frac{1.4×17}{2}=11.9$m，
∴AB=AH+HB=11.9+1.6=13.5m。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似三角形的实际应用
【点评】
本题考查相似三角形在实际测量中的应用，解题的关键是正确构造相似三角形，准确找到对应边的数量关系，计算时注意不要忽略人眼到地面的高度，避免直接用相似比例结果作为最终高度导致出错。
【难度系数】
0.7
本题是利用相似三角形测量高度的实际应用题，解题思路如下：首先观察到标杆、旗杆、人都垂直于地面，因此三者互相平行，我们可以通过作辅助线构造两个相似的三角形，利用相似三角形对应边成比例的性质求解旗杆高出人眼部分的高度，最后加上人眼到地面的高度即可得到旗杆总高度。
【解析】
过点E作EH⊥AB于点H，交CD于点G。
∵EF、CD、AB均垂直于地面FB，
∴EF//CD//AB，
∴EG=DF=2m，GH=BD=15m，HB=GD=EF=1.6m，
∴CG=CD - GD=3 - 1.6=1.4m，EH=EG+GH=2+15=17m。
∵CD//AB，
∴∠ECG=∠EAH，∠EGC=∠EHA=90°，
∴△ECG∽△EAH，
∴$\frac{CG}{AH}=\frac{EG}{EH}$，
代入数据得$\frac{1.4}{AH}=\frac{2}{17}$，
解得AH=$\frac{1.4×17}{2}=11.9$m，
∴AB=AH+HB=11.9+1.6=13.5m。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似三角形的实际应用
【点评】
本题考查相似三角形在实际测量中的应用，解题的关键是正确构造相似三角形，准确找到对应边的数量关系，计算时注意不要忽略人眼到地面的高度，避免直接用相似比例结果作为最终高度导致出错。
【难度系数】
0.7
4. 如图，小明在水平地面上放了一个平面镜，选择合适的位置，刚好在平面镜中看到旗杆的顶部，此时小明到平面镜的水平距离为2 m，旗杆底部到平面镜的水平距离为16 m。若小明的眼睛到地面的距离为1.5 m，则旗杆的高度为(
A.$\frac{16}{3}$ m
B.9 m
C.12 m
D.$\frac{64}{3}$ m
C
)。A.$\frac{16}{3}$ m
B.9 m
C.12 m
D.$\frac{64}{3}$ m
答案
4.C
解析
【分析】
解题时首先结合平面镜的反射规律，可得入射角等于反射角，进而推导出小明、平面镜、地面构成的直角三角形与旗杆、平面镜、地面构成的直角三角形相似；再根据相似三角形对应边成比例的性质，列出比例式代入已知数据即可求出旗杆高度。
【解析】
设旗杆的高度为$h\,\mathrm{m}$。
根据平面镜反射定律，入射角等于反射角，可得两个直角三角形的一组锐角相等，且人和旗杆均与水平地面垂直，因此两个直角三角形相似。
由相似三角形对应边成比例可得：
$\frac{\mathrm{小明的眼高}}{\mathrm{旗杆高度}}=\frac{\mathrm{小明到平面镜的水平距离}}{\mathrm{旗杆底部到平面镜的水平距离}}$
代入已知数据：$\frac{1.5}{h}=\frac{2}{16}$
解得：$2h=1.5×16=24$，即$h=12$。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；光的反射定律
【点评】
本题是跨学科的实际应用类题目，将物理的光反射规律和数学相似三角形的知识结合，考查学生利用所学知识解决实际问题的能力，解题关键是准确找到相似三角形并列出对应边的比例关系。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合平面镜的反射规律，可得入射角等于反射角，进而推导出小明、平面镜、地面构成的直角三角形与旗杆、平面镜、地面构成的直角三角形相似；再根据相似三角形对应边成比例的性质，列出比例式代入已知数据即可求出旗杆高度。
【解析】
设旗杆的高度为$h\,\mathrm{m}$。
根据平面镜反射定律，入射角等于反射角，可得两个直角三角形的一组锐角相等，且人和旗杆均与水平地面垂直，因此两个直角三角形相似。
由相似三角形对应边成比例可得：
$\frac{\mathrm{小明的眼高}}{\mathrm{旗杆高度}}=\frac{\mathrm{小明到平面镜的水平距离}}{\mathrm{旗杆底部到平面镜的水平距离}}$
代入已知数据：$\frac{1.5}{h}=\frac{2}{16}$
解得：$2h=1.5×16=24$，即$h=12$。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；光的反射定律
【点评】
本题是跨学科的实际应用类题目，将物理的光反射规律和数学相似三角形的知识结合，考查学生利用所学知识解决实际问题的能力，解题关键是准确找到相似三角形并列出对应边的比例关系。
【难度系数】
0.7
5.在一次数学活动课上，老师让同学们到操场上测量旗杆的高度，然后回来交流各自的测量方法。小芳的测量方法是拿一根高3.5 m的竹竿直立在离旗杆27 m的C处(如图)，然后沿BC方向走到D处，这时目测旗杆顶部A与竹竿顶部E恰好在同一直线上，又测得C,D两点间的距离为3 m，小芳的眼睛到地面的距离为1.5 m，这样便可知道旗杆的高。你认为这种测量方法是否可行？请说明理由。
答案
5.解:这种测量方法可行。
理由如下：
设旗杆的高$AB=x$ m,过点F作$FG⊥ AB$于点G,交CE于点H(图略)。
$\therefore △ AGF∽ △ EHF$。
$\because FD=1.5\ \mathrm{m},GF=27+3=30(\mathrm{m}),HF=3\ \mathrm{m}$，
$\therefore EH=3.5-1.5=2(\mathrm{m}),AG=(x-1.5)\mathrm{m}$。
由$△ AGF∽ △ EHF$,得$\frac{AG}{EH}=\frac{GF}{HF}$，
即$\frac{x-1.5}{2}=\frac{30}{3}$，
解得$x=21.5$。
$\therefore$ 旗杆的高为$21.5\ \mathrm{m}$。
理由如下：
设旗杆的高$AB=x$ m,过点F作$FG⊥ AB$于点G,交CE于点H(图略)。
$\therefore △ AGF∽ △ EHF$。
$\because FD=1.5\ \mathrm{m},GF=27+3=30(\mathrm{m}),HF=3\ \mathrm{m}$，
$\therefore EH=3.5-1.5=2(\mathrm{m}),AG=(x-1.5)\mathrm{m}$。
由$△ AGF∽ △ EHF$,得$\frac{AG}{EH}=\frac{GF}{HF}$，
即$\frac{x-1.5}{2}=\frac{30}{3}$，
解得$x=21.5$。
$\therefore$ 旗杆的高为$21.5\ \mathrm{m}$。
解析
【分析】
这种测量方法是可行的，解题思路如下：首先可以通过作辅助线构造相似三角形，利用相似三角形的性质求解旗杆高度。第一步，过观测点F作水平辅助线，分别与旗杆AB、竹竿CE相交，得到两个含公共视角的直角三角形，可判定这两个三角形相似；第二步，分别找出两个相似三角形的对应边长，将未知的旗杆高度转化为对应边中的未知量；第三步，根据相似三角形对应边成比例列方程，解方程即可求出旗杆高度。
【解析】
这种测量方法可行，理由如下：
设旗杆的高$AB=x$ m，过点F作$FG ⊥ AB$于点G，交CE于点H。
$\because AB ⊥ BD$，$CE ⊥ BD$，$FG ⊥ AB$，
$\therefore ∠ AGF = ∠ EHF = 90°$，
又$\because ∠ AFG = ∠ EFH$（公共角），
$\therefore △ AGF ∽ △ EHF$。
由题意得：$FD=1.5\ \mathrm{m}$，$BC=27\ \mathrm{m}$，$CD=3\ \mathrm{m}$，$CE=3.5\ \mathrm{m}$，
$\therefore GF = BD = BC + CD = 27 + 3 = 30(\mathrm{m})$，$HF = CD = 3\ \mathrm{m}$，
$EH = CE - FD = 3.5 - 1.5 = 2(\mathrm{m})$，$AG = AB - FD = (x - 1.5)\mathrm{m}$。
根据相似三角形对应边成比例，得$\frac{AG}{EH}=\frac{GF}{HF}$，
代入数据得：$\frac{x - 1.5}{2}=\frac{30}{3}$，
解得$x=21.5$。
【答案】
这种测量方法可行，旗杆的高为$\boxed{21.5\ \mathrm{m}}$。
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、相似三角形的实际应用
【点评】
本题是相似三角形在实际测量问题中的典型应用，通过构造相似三角形可将无法直接测量的高度转化为可测量的线段长度求解，解题的关键是正确作出辅助线构造相似三角形，准确找到对应边的长度。
【难度系数】
0.7
这种测量方法是可行的，解题思路如下：首先可以通过作辅助线构造相似三角形，利用相似三角形的性质求解旗杆高度。第一步，过观测点F作水平辅助线，分别与旗杆AB、竹竿CE相交，得到两个含公共视角的直角三角形，可判定这两个三角形相似；第二步，分别找出两个相似三角形的对应边长，将未知的旗杆高度转化为对应边中的未知量；第三步，根据相似三角形对应边成比例列方程，解方程即可求出旗杆高度。
【解析】
这种测量方法可行，理由如下：
设旗杆的高$AB=x$ m，过点F作$FG ⊥ AB$于点G，交CE于点H。
$\because AB ⊥ BD$，$CE ⊥ BD$，$FG ⊥ AB$，
$\therefore ∠ AGF = ∠ EHF = 90°$，
又$\because ∠ AFG = ∠ EFH$（公共角），
$\therefore △ AGF ∽ △ EHF$。
由题意得：$FD=1.5\ \mathrm{m}$，$BC=27\ \mathrm{m}$，$CD=3\ \mathrm{m}$，$CE=3.5\ \mathrm{m}$，
$\therefore GF = BD = BC + CD = 27 + 3 = 30(\mathrm{m})$，$HF = CD = 3\ \mathrm{m}$，
$EH = CE - FD = 3.5 - 1.5 = 2(\mathrm{m})$，$AG = AB - FD = (x - 1.5)\mathrm{m}$。
根据相似三角形对应边成比例，得$\frac{AG}{EH}=\frac{GF}{HF}$，
代入数据得：$\frac{x - 1.5}{2}=\frac{30}{3}$，
解得$x=21.5$。
【答案】
这种测量方法可行，旗杆的高为$\boxed{21.5\ \mathrm{m}}$。
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、相似三角形的实际应用
【点评】
本题是相似三角形在实际测量问题中的典型应用，通过构造相似三角形可将无法直接测量的高度转化为可测量的线段长度求解，解题的关键是正确作出辅助线构造相似三角形，准确找到对应边的长度。
【难度系数】
0.7
