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7. 如图,在△ABC中,A,B两点在x轴的上方,点C的坐标是(-1,0),以点C为位似中心,在x轴的下方作△ABC的位似图形△A'B'C,并把△ABC的边长放大到原来的2倍,设点B的对应点B'的横坐标是a,则点B的横坐标为
(第7题) (第8题)
$-\frac{1}{2}(a+3)$
。(第7题) (第8题)
答案
7.$-\frac{1}{2}(a+3)$
解析
【分析】
本题考查位似变换下点的坐标计算，解题思路如下：首先明确位似中心为点C(-1,0)，△ABC与△A'B'C的位似比为1:2，且两个图形分别在位似中心的两侧，对应点相对于位似中心的位移方向相反。我们可以设点B的横坐标为x，先分别表示出点B、点B'相对于点C的水平位移，再结合位似比的关系列方程求解即可。
【解析】
设点B的横坐标为$ x $。
已知位似中心为$ C(-1,0) $，△ABC放大到原来的2倍得到△A'B'C，且两个图形分别在x轴上下两侧，即位似比为$ 1:2 $，对应点相对于C的位移方向相反。
点B相对于C的水平位移为：$ x - (-1) = x + 1 $
点B'相对于C的水平位移为：$ a - (-1) = a + 1 $
根据位似的性质，可得：$ -2(x + 1) = a + 1 $
解方程：
$ x + 1 = -\frac{a + 1}{2} $
$ x = -\frac{a + 1}{2} - 1 = -\frac{a + 1 + 2}{2} = -\frac{1}{2}(a + 3) $
【答案】
$-\frac{1}{2}(a+3)$
【知识点】
位似的性质，坐标与图形变换，一元一次方程的应用
【点评】
本题解题的核心是抓住位似变换的特点，将点的绝对坐标转化为相对于位似中心的相对位移来计算，同时要注意两个图形分别在位似中心两侧时，相对位移的方向相反，避免漏写负号导致错误。
【难度系数】
0.6
本题考查位似变换下点的坐标计算，解题思路如下：首先明确位似中心为点C(-1,0)，△ABC与△A'B'C的位似比为1:2，且两个图形分别在位似中心的两侧，对应点相对于位似中心的位移方向相反。我们可以设点B的横坐标为x，先分别表示出点B、点B'相对于点C的水平位移，再结合位似比的关系列方程求解即可。
【解析】
设点B的横坐标为$ x $。
已知位似中心为$ C(-1,0) $，△ABC放大到原来的2倍得到△A'B'C，且两个图形分别在x轴上下两侧，即位似比为$ 1:2 $，对应点相对于C的位移方向相反。
点B相对于C的水平位移为：$ x - (-1) = x + 1 $
点B'相对于C的水平位移为：$ a - (-1) = a + 1 $
根据位似的性质，可得：$ -2(x + 1) = a + 1 $
解方程：
$ x + 1 = -\frac{a + 1}{2} $
$ x = -\frac{a + 1}{2} - 1 = -\frac{a + 1 + 2}{2} = -\frac{1}{2}(a + 3) $
【答案】
$-\frac{1}{2}(a+3)$
【知识点】
位似的性质，坐标与图形变换，一元一次方程的应用
【点评】
本题解题的核心是抓住位似变换的特点，将点的绝对坐标转化为相对于位似中心的相对位移来计算，同时要注意两个图形分别在位似中心两侧时，相对位移的方向相反，避免漏写负号导致错误。
【难度系数】
0.6
8.如图,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为(6,0),(4,-6),△A'B'O是△ABO以坐标原点O为位似中心的位似图形,且△A'B'O与△ABO的相似比为1:2,则点B'的坐标为
(2,−3)或(−2,3)
。答案
8.(2,−3)或(−2,3)
解析
【分析】
解决本题首先要回忆平面直角坐标系中以原点为位似中心的位似图形的坐标变化规律：位似图形对应点的坐标比等于相似比k或-k（k为正数，对应点与原点同侧时取k，异侧时取-k）。本题已知原图形点B的坐标、位似中心为原点、相似比为$\frac{1}{2}$，分两种情况计算即可得到点B'的坐标，注意不要漏掉异侧的情况。
【解析】
解：
∵在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心的两个位似图形，相似比为k时，对应点的坐标比为k或$-k$。
已知△A'B'O与△ABO的相似比为$1:2$，即$k=\frac{1}{2}$，点B的坐标为$(4,-6)$。
① 当△A'B'O与△ABO在原点同侧时：
点B'的坐标为$(4×\frac{1}{2}, -6×\frac{1}{2})=(2,-3)$；
② 当△A'B'O与△ABO在原点异侧时：
点B'的坐标为$(4×(-\frac{1}{2}), -6×(-\frac{1}{2}))=(-2,3)$。
综上，点B'的坐标为$(2,-3)$或$(-2,3)$。
【答案】
$(2,-3)$或$(-2,3)$
【知识点】
1.位似图形的性质 2.坐标系中的位似变换
【点评】
本题是位似变换的基础题型，核心考查原点为位似中心时坐标的变化规律，易错点是容易忽略位似图形可以位于位似中心的两侧，从而漏掉其中一个解，解题时要注意分类讨论。
【难度系数】
0.6
解决本题首先要回忆平面直角坐标系中以原点为位似中心的位似图形的坐标变化规律：位似图形对应点的坐标比等于相似比k或-k（k为正数，对应点与原点同侧时取k，异侧时取-k）。本题已知原图形点B的坐标、位似中心为原点、相似比为$\frac{1}{2}$，分两种情况计算即可得到点B'的坐标，注意不要漏掉异侧的情况。
【解析】
解：
∵在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心的两个位似图形，相似比为k时，对应点的坐标比为k或$-k$。
已知△A'B'O与△ABO的相似比为$1:2$，即$k=\frac{1}{2}$，点B的坐标为$(4,-6)$。
① 当△A'B'O与△ABO在原点同侧时：
点B'的坐标为$(4×\frac{1}{2}, -6×\frac{1}{2})=(2,-3)$；
② 当△A'B'O与△ABO在原点异侧时：
点B'的坐标为$(4×(-\frac{1}{2}), -6×(-\frac{1}{2}))=(-2,3)$。
综上，点B'的坐标为$(2,-3)$或$(-2,3)$。
【答案】
$(2,-3)$或$(-2,3)$
【知识点】
1.位似图形的性质 2.坐标系中的位似变换
【点评】
本题是位似变换的基础题型，核心考查原点为位似中心时坐标的变化规律，易错点是容易忽略位似图形可以位于位似中心的两侧，从而漏掉其中一个解，解题时要注意分类讨论。
【难度系数】
0.6
9.如图，O是坐标原点，B，C两点的坐标分别为(3，－1)，(2，1)。以O点为位似中心，在y轴的左侧将△OBC放大到原来的两倍(即新图形与原图形的相似比为2：1)。
(1)画出图形，并分别写出B，C两点的对应点B′，C′的坐标；
(2)如果△OBC内部一点M的坐标为(x，y)，写出点M的对应点M′的坐标。
(1)画出图形，并分别写出B，C两点的对应点B′，C′的坐标；
(2)如果△OBC内部一点M的坐标为(x，y)，写出点M的对应点M′的坐标。
答案
9.解:(1)图略 $B'(-6,2),C'(-4,-2)$
(2)$M'(-2x,-2y)$
(2)$M'(-2x,-2y)$
解析
【分析】
解决本题的核心是掌握平面直角坐标系中以原点为位似中心的位似变换坐标规律：若位似比为k，对应点的坐标为原坐标乘以k。首先明确题目要求：以O为位似中心，在y轴左侧将原图形放大2倍，说明对应点与原图形在原点异侧，位似比k=-2，再分别代入原坐标计算即可得到对应点坐标，第二问直接套用规律写出M的对应点坐标即可。
【解析】
(1) 已知位似中心为坐标原点O，要求在y轴左侧将△OBC放大到原来的2倍，即位似比$k=-2$（放大2倍，对应点与原点位在原点异侧，因此位似比符号为负）。
将B点坐标$(3,-1)$的横、纵坐标分别乘$-2$，可得$B'$的坐标：$(3×(-2), -1×(-2))=(-6,2)$；
将C点坐标$(2,1)$的横、纵坐标分别乘$-2$，可得$C'$的坐标：$(2×(-2), 1×(-2))=(-4,-2)$；
在坐标系中找到$B'$、$C'$，依次连接$O$、$B'$、$C'$即可得到放大后的$△ OB'C'$，画图略。
(2) 根据以原点为位似中心的位似变换坐标规律，位似比为$-2$时，原坐标为$(x,y)$的点的对应点坐标为$(-2x,-2y)$，因此点$M(x,y)$的对应点$M'$的坐标为$(-2x,-2y)$。
【答案】
(1) 图略，$B'(-6,2)$，$C'(-4,-2)$；
(2) $M'(-2x,-2y)$
【知识点】
位似的性质，坐标系中的位似变换，坐标与图形变化
【点评】
本题重点考查平面直角坐标系中位似变换的坐标变化规则，解题时要注意位似比的符号由对应点和原图形在位似中心的同侧还是异侧决定，是位似章节的基础典型习题，熟练掌握坐标变换规律即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心是掌握平面直角坐标系中以原点为位似中心的位似变换坐标规律：若位似比为k，对应点的坐标为原坐标乘以k。首先明确题目要求：以O为位似中心，在y轴左侧将原图形放大2倍，说明对应点与原图形在原点异侧，位似比k=-2，再分别代入原坐标计算即可得到对应点坐标，第二问直接套用规律写出M的对应点坐标即可。
【解析】
(1) 已知位似中心为坐标原点O，要求在y轴左侧将△OBC放大到原来的2倍，即位似比$k=-2$（放大2倍，对应点与原点位在原点异侧，因此位似比符号为负）。
将B点坐标$(3,-1)$的横、纵坐标分别乘$-2$，可得$B'$的坐标：$(3×(-2), -1×(-2))=(-6,2)$；
将C点坐标$(2,1)$的横、纵坐标分别乘$-2$，可得$C'$的坐标：$(2×(-2), 1×(-2))=(-4,-2)$；
在坐标系中找到$B'$、$C'$，依次连接$O$、$B'$、$C'$即可得到放大后的$△ OB'C'$，画图略。
(2) 根据以原点为位似中心的位似变换坐标规律，位似比为$-2$时，原坐标为$(x,y)$的点的对应点坐标为$(-2x,-2y)$，因此点$M(x,y)$的对应点$M'$的坐标为$(-2x,-2y)$。
【答案】
(1) 图略，$B'(-6,2)$，$C'(-4,-2)$；
(2) $M'(-2x,-2y)$
【知识点】
位似的性质，坐标系中的位似变换，坐标与图形变化
【点评】
本题重点考查平面直角坐标系中位似变换的坐标变化规则，解题时要注意位似比的符号由对应点和原图形在位似中心的同侧还是异侧决定，是位似章节的基础典型习题，熟练掌握坐标变换规律即可快速求解。
【难度系数】
0.7
10.(2025·安徽)如图,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系$xOy$,$△ ABC$的顶点和$A_1$均为格点(网格线的交点)。已知点$A$和$A_1$的坐标分别为$(-1,-3)$和$(2,6)$。
(1)在所给的网格图中描出边$AB$的中点$D$,并写出点$D$的坐标;
(2)以点$O$为位似中心,将$△ ABC$放大得到$△ A_1B_1C_1$,使得点$A$的对应点为$A_1$,请在所给的网格图中画出$△ A_1B_1C_1$。
(1)在所给的网格图中描出边$AB$的中点$D$,并写出点$D$的坐标;
(2)以点$O$为位似中心,将$△ ABC$放大得到$△ A_1B_1C_1$,使得点$A$的对应点为$A_1$,请在所给的网格图中画出$△ A_1B_1C_1$。
答案
10.解:(1)如图,点D即为所求。
由图可得,点D的坐标为$(-2,-1)$。
(2)如图,$△ A_1B_1C_1$即为所求。
解析
【分析】
对于(1)问，首先结合网格确定点B的坐标，已知点A坐标后，可通过中点坐标公式计算AB中点坐标，也可直接在网格中找到AB线段的中间格点得到点D，再写出D的坐标即可。
对于(2)问，已知原点O为位似中心，且A的对应点为A₁，先通过两点坐标计算位似比，再根据位似比求出B、C对应点B₁、C₁的坐标，在网格中描出三点后顺次连线，即可得到放大后的△A₁B₁C₁。
【解析】
(1) 根据网格和已知点A(-1,-3)，可得点B的坐标为(-3,1)。
根据中点坐标公式：若两点坐标为$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$，则两点连线的中点坐标为$(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$。
将A、B坐标代入公式，得D的横坐标为$\frac{-1+(-3)}{2}=-2$，纵坐标为$\frac{-3+1}{2}=-1$，即点D的坐标为(-2,-1)，在网格中描出该点即可。
(2) 已知位似中心为原点O，点A(-1,-3)对应A₁(2,6)，可计算位似比$k=\frac{2}{-1}=\frac{6}{-3}=-2$，即位似变换后对应点的坐标为原坐标乘-2。
由网格得点C的坐标为(-2,2)，因此：
B的对应点B₁坐标为$(-3×(-2),1×(-2))=(6,-2)$，
C的对应点C₁坐标为$(-2×(-2),2×(-2))=(4,-4)$。
在网格中依次描出A₁(2,6)、B₁(6,-2)、C₁(4,-4)，顺次连接三点，所得的△A₁B₁C₁即为所求。
【答案】
(1) 点D如图所示，点D的坐标为$\boldsymbol{(-2,-1)}$；
(2) △A₁B₁C₁如图所示。
【知识点】
中点坐标计算，位似变换作图，平面直角坐标系点的坐标
【点评】
本题结合网格考查平面直角坐标系中的坐标计算和基础作图，解题核心是熟练掌握中点坐标公式，以及以原点为位似中心的位似变换的坐标变化规律，结合网格特点即可快速准确完成求解和作图。
【难度系数】
0.7
对于(1)问，首先结合网格确定点B的坐标，已知点A坐标后，可通过中点坐标公式计算AB中点坐标，也可直接在网格中找到AB线段的中间格点得到点D，再写出D的坐标即可。
对于(2)问，已知原点O为位似中心，且A的对应点为A₁，先通过两点坐标计算位似比，再根据位似比求出B、C对应点B₁、C₁的坐标，在网格中描出三点后顺次连线，即可得到放大后的△A₁B₁C₁。
【解析】
(1) 根据网格和已知点A(-1,-3)，可得点B的坐标为(-3,1)。
根据中点坐标公式：若两点坐标为$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$，则两点连线的中点坐标为$(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$。
将A、B坐标代入公式，得D的横坐标为$\frac{-1+(-3)}{2}=-2$，纵坐标为$\frac{-3+1}{2}=-1$，即点D的坐标为(-2,-1)，在网格中描出该点即可。
(2) 已知位似中心为原点O，点A(-1,-3)对应A₁(2,6)，可计算位似比$k=\frac{2}{-1}=\frac{6}{-3}=-2$，即位似变换后对应点的坐标为原坐标乘-2。
由网格得点C的坐标为(-2,2)，因此：
B的对应点B₁坐标为$(-3×(-2),1×(-2))=(6,-2)$，
C的对应点C₁坐标为$(-2×(-2),2×(-2))=(4,-4)$。
在网格中依次描出A₁(2,6)、B₁(6,-2)、C₁(4,-4)，顺次连接三点，所得的△A₁B₁C₁即为所求。
【答案】
(1) 点D如图所示，点D的坐标为$\boldsymbol{(-2,-1)}$；
(2) △A₁B₁C₁如图所示。
【知识点】
中点坐标计算，位似变换作图，平面直角坐标系点的坐标
【点评】
本题结合网格考查平面直角坐标系中的坐标计算和基础作图，解题核心是熟练掌握中点坐标公式，以及以原点为位似中心的位似变换的坐标变化规律，结合网格特点即可快速准确完成求解和作图。
【难度系数】
0.7
