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14. 新考法 新定义问题 若$m$是不为1的有理数,我们把$\frac{1}{1-m}$称为$m$的“差倒数”.例如,2的“差倒数”是$\frac{1}{1-2}=-1$,$-2$的“差倒数”是$\frac{1}{1-(-2)}=\frac{1}{3}$.如果$m_1=-1$,$m_2$是$m_1$的“差倒数”,$m_3$是$m_2$的“差倒数”……以此类推,那么$m_{2025}$的值为 （
A.$-\frac{1}{2}$
B.1
C.$\frac{1}{2}$
D.2
D
）A.$-\frac{1}{2}$
B.1
C.$\frac{1}{2}$
D.2
答案
14. D 因为 $m_1=-1$,
所以 $m_2=\dfrac{1}{2},m_3=\dfrac{1}{1-m_2}=2,m_4=\dfrac{1}{1-m_3}=-1,\dots$,
所以每 3 个数循环一次,分别是$-1,\dfrac{1}{2},2$.
因为 $2\ 025÷3=675$,
所以 $m_{2\ 025}=m_3=2$.
所以 $m_2=\dfrac{1}{2},m_3=\dfrac{1}{1-m_2}=2,m_4=\dfrac{1}{1-m_3}=-1,\dots$,
所以每 3 个数循环一次,分别是$-1,\dfrac{1}{2},2$.
因为 $2\ 025÷3=675$,
所以 $m_{2\ 025}=m_3=2$.
二、填空题(每小题3分,共3分)
15. 若$a,b$均为整数,且$ab=36$,则$a+b$的最小值为
15. 若$a,b$均为整数,且$ab=36$,则$a+b$的最小值为
-37
.答案
15. -37 因为 $ab=36＞0$,
所以 $a,b$ 同号,
所以要使 $a+b$ 的值最小,则 $a,b$ 都要为负数.
因为 $36=-36×(-1)=-18×(-2)=-12×(-3)=-9×(-4)=-6×(-6)$,
所以当 $a=-36,b=-1$ 或 $a=-1,b=-36$ 时,$a+b$ 的值最小,最小值为$-36+(-1)=-37$.
解题大招
注意分类讨论,由 $ab=36$,且 $a,b$ 均为整数,得到 $a,b$ 同号,故当 $a,b$ 都为负整数时,$a+b$ 才能取到最小值.
所以 $a,b$ 同号,
所以要使 $a+b$ 的值最小,则 $a,b$ 都要为负数.
因为 $36=-36×(-1)=-18×(-2)=-12×(-3)=-9×(-4)=-6×(-6)$,
所以当 $a=-36,b=-1$ 或 $a=-1,b=-36$ 时,$a+b$ 的值最小,最小值为$-36+(-1)=-37$.
解题大招
注意分类讨论,由 $ab=36$,且 $a,b$ 均为整数,得到 $a,b$ 同号,故当 $a,b$ 都为负整数时,$a+b$ 才能取到最小值.
三、解答题(共8分)
16. 新考法 过程性学习(8分)认真阅读材料后,解答问题.
计算:$\frac{1}{30}÷(\frac{2}{3}-\frac{1}{10}+\frac{1}{6}-\frac{2}{5})$.
分析:利用通分计算$\frac{2}{3}-\frac{1}{10}+\frac{1}{6}-\frac{2}{5}$的结果很麻烦,可以采用以下方法进行计算.
解:原式的倒数是$(\frac{2}{3}-\frac{1}{10}+\frac{1}{6}-\frac{2}{5})÷\frac{1}{30}$
$=(\frac{2}{3}-\frac{1}{10}+\frac{1}{6}-\frac{2}{5})×30$
$=\frac{2}{3}×30-\frac{1}{10}×30+\frac{1}{6}×30-\frac{2}{5}×30$
$=20-3+5-12$
$=10$,
故原式$=\frac{1}{10}$.
仿照阅读材料,计算:$(-\frac{1}{20})÷(-\frac{1}{4}-\frac{2}{5}+\frac{9}{10}-\frac{3}{2})$.
16. 新考法 过程性学习(8分)认真阅读材料后,解答问题.
计算:$\frac{1}{30}÷(\frac{2}{3}-\frac{1}{10}+\frac{1}{6}-\frac{2}{5})$.
分析:利用通分计算$\frac{2}{3}-\frac{1}{10}+\frac{1}{6}-\frac{2}{5}$的结果很麻烦,可以采用以下方法进行计算.
解:原式的倒数是$(\frac{2}{3}-\frac{1}{10}+\frac{1}{6}-\frac{2}{5})÷\frac{1}{30}$
$=(\frac{2}{3}-\frac{1}{10}+\frac{1}{6}-\frac{2}{5})×30$
$=\frac{2}{3}×30-\frac{1}{10}×30+\frac{1}{6}×30-\frac{2}{5}×30$
$=20-3+5-12$
$=10$,
故原式$=\frac{1}{10}$.
仿照阅读材料,计算:$(-\frac{1}{20})÷(-\frac{1}{4}-\frac{2}{5}+\frac{9}{10}-\frac{3}{2})$.
答案
16.解:原式的倒数是$(-\dfrac{1}{4}-\dfrac{2}{5}+\dfrac{9}{10}-\dfrac{3}{2})÷(-\dfrac{1}{20})$
$=(-\dfrac{1}{4}-\dfrac{2}{5}+\dfrac{9}{10}-\dfrac{3}{2})×(-20)$
$=\dfrac{1}{4}×20+\dfrac{2}{5}×20-\dfrac{9}{10}×20+\dfrac{3}{2}×20$
$=5+8-18+30$
$=25$,
故原式$=\dfrac{1}{25}.$ ........................................ 8分
$=(-\dfrac{1}{4}-\dfrac{2}{5}+\dfrac{9}{10}-\dfrac{3}{2})×(-20)$
$=\dfrac{1}{4}×20+\dfrac{2}{5}×20-\dfrac{9}{10}×20+\dfrac{3}{2}×20$
$=5+8-18+30$
$=25$,
故原式$=\dfrac{1}{25}.$ ........................................ 8分
