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1. 下列选项中,与$2x^2y$是同类项的是 （
A.$2y^2x$
B.$2x^2y^2$
C.$2xy$
D.$3yx^2$
D
）A.$2y^2x$
B.$2x^2y^2$
C.$2xy$
D.$3yx^2$
答案
1. D
解析
【分析】
要判断哪个选项是$2x^2y$的同类项，首先要明确同类项的判定标准：①所含的字母完全相同；②相同字母的指数也分别对应相等，且同类项与系数的大小、字母的排列顺序无关。接下来我们对照这个标准逐一分析每个选项，满足两个判定标准的就是正确答案。
【解析】
根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的单项式叫做同类项，同类项与系数大小、字母的排列顺序无关。
题干中$2x^2y$的所含字母为$x$、$y$，其中$x$的指数为2，$y$的指数为1。
选项A：$2y^2x$中$x$的指数为1，$y$的指数为2，相同字母的指数不匹配，不是同类项；
选项B：$2x^2y^2$中$y$的指数为2，和题干中$y$的指数不匹配，不是同类项；
选项C：$2xy$中$x$的指数为1，和题干中$x$的指数不匹配，不是同类项；
选项D：$3yx^2$所含字母为$x$、$y$，$x$的指数为2，$y$的指数为1，仅字母排列顺序不同，符合同类项的判定标准，是同类项。
【答案】
D
【知识点】
同类项的判定
【点评】
本题考查同类项的基础判定，解题核心是牢牢掌握同类项的两个判定条件，注意规避字母排列顺序、系数大小的干扰，只要熟记定义即可快速选出正确答案。
【难度系数】
0.9
要判断哪个选项是$2x^2y$的同类项，首先要明确同类项的判定标准：①所含的字母完全相同；②相同字母的指数也分别对应相等，且同类项与系数的大小、字母的排列顺序无关。接下来我们对照这个标准逐一分析每个选项，满足两个判定标准的就是正确答案。
【解析】
根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的单项式叫做同类项，同类项与系数大小、字母的排列顺序无关。
题干中$2x^2y$的所含字母为$x$、$y$，其中$x$的指数为2，$y$的指数为1。
选项A：$2y^2x$中$x$的指数为1，$y$的指数为2，相同字母的指数不匹配，不是同类项；
选项B：$2x^2y^2$中$y$的指数为2，和题干中$y$的指数不匹配，不是同类项；
选项C：$2xy$中$x$的指数为1，和题干中$x$的指数不匹配，不是同类项；
选项D：$3yx^2$所含字母为$x$、$y$，$x$的指数为2，$y$的指数为1，仅字母排列顺序不同，符合同类项的判定标准，是同类项。
【答案】
D
【知识点】
同类项的判定
【点评】
本题考查同类项的基础判定，解题核心是牢牢掌握同类项的两个判定条件，注意规避字母排列顺序、系数大小的干扰，只要熟记定义即可快速选出正确答案。
【难度系数】
0.9
2. (2025 广东珠海斗门区期末)若$6x^2y^m$与$-x^{n+3}y$是同类项,则$m+n$的值是 (
A.$-1$
B.$0$
C.$1$
D.$2$
B
)A.$-1$
B.$0$
C.$1$
D.$2$
答案
2. B
解析
【分析】
解题首先要回忆同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。已知两个单项式是同类项，我们可以分别对应x、y的指数列等式，求出m、n的值，最后计算m+n的结果即可。
【解析】
根据同类项的定义可知：
两个单项式中y的指数相等，即$m=1$；
两个单项式中x的指数相等，即$n+3=2$，解得$n=-1$；
因此$m+n=1+(-1)=0$。
所以本题选B。
【答案】
B
【知识点】
同类项的定义；代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对同类项概念的理解与应用，解题的关键是抓住同类项“两个相同”的特征：所含字母相同、相同字母的指数相同，结合特征列等式求解即可。
【难度系数】
0.8
解题首先要回忆同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。已知两个单项式是同类项，我们可以分别对应x、y的指数列等式，求出m、n的值，最后计算m+n的结果即可。
【解析】
根据同类项的定义可知：
两个单项式中y的指数相等，即$m=1$；
两个单项式中x的指数相等，即$n+3=2$，解得$n=-1$；
因此$m+n=1+(-1)=0$。
所以本题选B。
【答案】
B
【知识点】
同类项的定义；代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对同类项概念的理解与应用，解题的关键是抓住同类项“两个相同”的特征：所含字母相同、相同字母的指数相同，结合特征列等式求解即可。
【难度系数】
0.8
3.(2025河北张家口宣化区期末)类比同类项的概念，我们规定：所含字母相同，并且相同字母的指数之差的绝对值都小于或等于1的项叫作“准同类项”.例如，$a^2b^3$与$3a^3b^2$是准同类项.下列单项式：①$3a^3b^4$；②$-5a^3b^3$；③$2ab^4$.其中与$a^3b^4$是准同类项的
①②
.(填序号)答案
3. ①②
解析
【分析】
解题的核心是准确理解题目给出的“准同类项”的定义，解题时先明确基准项$a^3b^4$的字母构成、各字母的指数，再依次对三个单项式逐一验证两个判定条件：1. 所含字母是否和基准项相同；2. 每个相同字母的指数与基准项对应字母指数的差的绝对值是否都小于等于1，两个条件都满足的就是准同类项。
【解析】
根据“准同类项”的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数之差的绝对值都小于或等于1的项叫作“准同类项”。
基准项为$a^3b^4$，所含字母为a、b，a的指数为3，b的指数为4。
①对$3a^3b^4$：所含字母为a、b，符合要求；a的指数差绝对值为$|3-3|=0\le1$，b的指数差绝对值为$|4-4|=0\le1$，满足定义，是准同类项；
②对$-5a^3b^3$：所含字母为a、b，符合要求；a的指数差绝对值为$|3-3|=0\le1$，b的指数差绝对值为$|3-4|=1\le1$，满足定义，是准同类项；
③对$2ab^4$：所含字母为a、b，符合要求；a的指数差绝对值为$|1-3|=2＞1$，不满足定义，不是准同类项。
综上，符合要求的是①②。
【答案】
①②
【知识点】
新定义理解，绝对值计算，单项式的概念
【点评】
本题属于新定义类基础题，解题关键是严格遵循题目给出的定义条件逐一验证，解题时要注意不要漏查任意一个相同字母的指数差要求，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.8
解题的核心是准确理解题目给出的“准同类项”的定义，解题时先明确基准项$a^3b^4$的字母构成、各字母的指数，再依次对三个单项式逐一验证两个判定条件：1. 所含字母是否和基准项相同；2. 每个相同字母的指数与基准项对应字母指数的差的绝对值是否都小于等于1，两个条件都满足的就是准同类项。
【解析】
根据“准同类项”的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数之差的绝对值都小于或等于1的项叫作“准同类项”。
基准项为$a^3b^4$，所含字母为a、b，a的指数为3，b的指数为4。
①对$3a^3b^4$：所含字母为a、b，符合要求；a的指数差绝对值为$|3-3|=0\le1$，b的指数差绝对值为$|4-4|=0\le1$，满足定义，是准同类项；
②对$-5a^3b^3$：所含字母为a、b，符合要求；a的指数差绝对值为$|3-3|=0\le1$，b的指数差绝对值为$|3-4|=1\le1$，满足定义，是准同类项；
③对$2ab^4$：所含字母为a、b，符合要求；a的指数差绝对值为$|1-3|=2＞1$，不满足定义，不是准同类项。
综上，符合要求的是①②。
【答案】
①②
【知识点】
新定义理解，绝对值计算，单项式的概念
【点评】
本题属于新定义类基础题，解题关键是严格遵循题目给出的定义条件逐一验证，解题时要注意不要漏查任意一个相同字母的指数差要求，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.8
4. (2025 江苏徐州沛县期末)下列各式计算正确的是 (
A.$7a+a=7a^2$
B.$3a+2b=5ab$
C.$5y-3y=2$
D.$3x^2y-2yx^2=x^2y$
D
)A.$7a+a=7a^2$
B.$3a+2b=5ab$
C.$5y-3y=2$
D.$3x^2y-2yx^2=x^2y$
答案
4. D
解析
【分析】
本题考查合并同类项的相关计算，解题思路如下：首先回忆同类项的定义（所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项叫做同类项）和合并同类项的法则（合并同类项时，将同类项的系数相加减，字母和字母的指数保持不变）；接下来逐一判断每个选项中的两项是否为同类项，非同类项不能合并，是同类项的按法则验证计算结果是否正确即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：$7a$和$a$是同类项，合并同类项得$7a+a=(7+1)a=8a≠7a^2$，计算错误；
B选项：$3a$和$2b$所含字母不相同，不属于同类项，不能合并，计算错误；
C选项：$5y$和$3y$是同类项，合并同类项得$5y-3y=(5-3)y=2y≠2$，计算错误；
D选项：$3x^2y$和$2yx^2$所含字母均为$x$、$y$，且$x$的指数都是2，$y$的指数都是1，属于同类项，合并得$3x^2y-2yx^2=(3-2)x^2y=x^2y$，计算正确。
【答案】
D
【知识点】
同类项的定义；合并同类项法则
【点评】
本题是整式加减的基础题型，核心考查对同类项的识别能力和合并同类项的运算能力，解题时需注意只有同类项可以合并，合并时仅改变系数，字母及字母的指数都保持不变。
【难度系数】
0.9
本题考查合并同类项的相关计算，解题思路如下：首先回忆同类项的定义（所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项叫做同类项）和合并同类项的法则（合并同类项时，将同类项的系数相加减，字母和字母的指数保持不变）；接下来逐一判断每个选项中的两项是否为同类项，非同类项不能合并，是同类项的按法则验证计算结果是否正确即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：$7a$和$a$是同类项，合并同类项得$7a+a=(7+1)a=8a≠7a^2$，计算错误；
B选项：$3a$和$2b$所含字母不相同，不属于同类项，不能合并，计算错误；
C选项：$5y$和$3y$是同类项，合并同类项得$5y-3y=(5-3)y=2y≠2$，计算错误；
D选项：$3x^2y$和$2yx^2$所含字母均为$x$、$y$，且$x$的指数都是2，$y$的指数都是1，属于同类项，合并得$3x^2y-2yx^2=(3-2)x^2y=x^2y$，计算正确。
【答案】
D
【知识点】
同类项的定义；合并同类项法则
【点评】
本题是整式加减的基础题型，核心考查对同类项的识别能力和合并同类项的运算能力，解题时需注意只有同类项可以合并，合并时仅改变系数，字母及字母的指数都保持不变。
【难度系数】
0.9
5. (2026 河北唐山滦州市期末)把多项式$2x^m y^3 + ax^5 y^{n-1}$合并同类项后，所得结果为0，则下列关于$a,m,n$的说法正确的是（
A.$a=2,m=5,n=3$
B.$a=-2,m=3,n=6$
C.$a=-2,m=5,n=4$
D.$a=2,m=5,n=4$
C
）A.$a=2,m=5,n=3$
B.$a=-2,m=3,n=6$
C.$a=-2,m=5,n=4$
D.$a=2,m=5,n=4$
答案
5. C 启发与线索 该式子中同类项的系数互为相反数.
解析
【分析】
解题时首先要明确合并同类项后结果为0的两层含义：一是这两个单项式属于同类项，否则无法合并；二是两个项的系数互为相反数，相加和为0。接下来我们按照两个条件依次推导：首先根据同类项“相同字母的指数完全相等”的定义，分别对应x、y的指数列等式求出m和n；再根据系数和为0的条件求出a的值，最后匹配选项即可得到答案。
【解析】
解：
∵多项式$2x^m y^3 + ax^5 y^{n-1}$合并同类项后所得结果为0，
∴$2x^m y^3$与$ax^5 y^{n-1}$是同类项，且二者系数互为相反数。
1. 由同类项的定义可得：
x的指数相等：$m=5$
y的指数相等：$3 = n-1$，解得$n=4$
2. 由系数互为相反数，和为0可得：
$2+a=0$，解得$a=-2$
综上可得$a=-2,m=5,n=4$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
同类项的定义，合并同类项法则
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题核心是挖掘“合并同类项后结果为0”的隐含条件，只要熟练掌握同类项的判定标准和合并同类项的运算规则，就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确合并同类项后结果为0的两层含义：一是这两个单项式属于同类项，否则无法合并；二是两个项的系数互为相反数，相加和为0。接下来我们按照两个条件依次推导：首先根据同类项“相同字母的指数完全相等”的定义，分别对应x、y的指数列等式求出m和n；再根据系数和为0的条件求出a的值，最后匹配选项即可得到答案。
【解析】
解：
∵多项式$2x^m y^3 + ax^5 y^{n-1}$合并同类项后所得结果为0，
∴$2x^m y^3$与$ax^5 y^{n-1}$是同类项，且二者系数互为相反数。
1. 由同类项的定义可得：
x的指数相等：$m=5$
y的指数相等：$3 = n-1$，解得$n=4$
2. 由系数互为相反数，和为0可得：
$2+a=0$，解得$a=-2$
综上可得$a=-2,m=5,n=4$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
同类项的定义，合并同类项法则
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题核心是挖掘“合并同类项后结果为0”的隐含条件，只要熟练掌握同类项的判定标准和合并同类项的运算规则，就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.8
6.把多项式$-1+3a^{3}b^{2}-4ab^{3}+6b$按b的降幂排列：
$-4ab^3+3a^3b^2+6b-1$
.答案
6. $-4ab^3+3a^3b^2+6b-1$
解析
【分析】
解题时首先明确题目要求为按b的降幂排列，回忆降幂排列的定义：将多项式各项按照指定字母的指数从大到小的顺序排列。首先拆分原多项式的所有项，注意要保留每一项自带的正负号，再依次统计每一项中b的指数，最后按b的指数从高到低重新排列各项即可，排序时注意不能改变每一项的符号。
【解析】
第一步：拆分多项式$-1+3a^{3}b^{2}-4ab^{3}+6b$的各项，分别为：$-1$、$+3a^3b^2$、$-4ab^3$、$+6b$。
第二步：分别确定各项中b的指数：
$-4ab^3$中b的次数为3；
$3a^3b^2$中b的次数为2；
$6b$中b的次数为1；
$-1$为常数项，不含b，对应b的次数为0。
第三步：按照b的指数从大到小的顺序排列各项，保留每一项原有的符号，得到排列后的多项式。
【答案】
$-4ab^3+3a^3b^2+6b-1$
【知识点】
多项式降幂排列、单项式的次数、多项式的项
【点评】
本题属于多项式排列的基础题型，核心考察按指定字母对多项式降幂排列的规则，易错点为移动项时漏带项前的正负号，或混淆指定字母的指数排序，做题时可先标注每一项对应字母的次数，再依次排序减少失误。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确题目要求为按b的降幂排列，回忆降幂排列的定义：将多项式各项按照指定字母的指数从大到小的顺序排列。首先拆分原多项式的所有项，注意要保留每一项自带的正负号，再依次统计每一项中b的指数，最后按b的指数从高到低重新排列各项即可，排序时注意不能改变每一项的符号。
【解析】
第一步：拆分多项式$-1+3a^{3}b^{2}-4ab^{3}+6b$的各项，分别为：$-1$、$+3a^3b^2$、$-4ab^3$、$+6b$。
第二步：分别确定各项中b的指数：
$-4ab^3$中b的次数为3；
$3a^3b^2$中b的次数为2；
$6b$中b的次数为1；
$-1$为常数项，不含b，对应b的次数为0。
第三步：按照b的指数从大到小的顺序排列各项，保留每一项原有的符号，得到排列后的多项式。
【答案】
$-4ab^3+3a^3b^2+6b-1$
【知识点】
多项式降幂排列、单项式的次数、多项式的项
【点评】
本题属于多项式排列的基础题型，核心考察按指定字母对多项式降幂排列的规则，易错点为移动项时漏带项前的正负号，或混淆指定字母的指数排序，做题时可先标注每一项对应字母的次数，再依次排序减少失误。
【难度系数】
0.8
7.(2025河北石家庄新华区期末)已知代数式$-\dfrac{3}{4}x^{a}y^{b-2}$与$3x^{2}y$的差为单项式，则$a+b$的值是
5
。答案
7. 5
解析
【分析】
首先要明确：若两个代数式的差是单项式，说明这两个代数式可以合并同类项，即它们是同类项。接下来回忆同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。我们只需要根据同类项的定义，对应找到两个代数式中x和y的指数关系，分别求出a、b的值，再计算a+b即可。
【解析】
解：
∵代数式$-\dfrac{3}{4}x^{a}y^{b-2}$与$3x^{2}y$的差为单项式
∴$-\dfrac{3}{4}x^{a}y^{b-2}$与$3x^{2}y$是同类项
根据同类项的定义，相同字母的指数相等，可得：
$a=2$，$b-2=1$
解得$b=3$
∴$a+b=2+3=5$
【答案】
5
【知识点】
同类项的定义；合并同类项
【点评】
本题的解题核心是理解“两个整式的差为单项式”的含义，即两个整式是同类项，熟练掌握同类项的判定规则是解题的关键，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
首先要明确：若两个代数式的差是单项式，说明这两个代数式可以合并同类项，即它们是同类项。接下来回忆同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。我们只需要根据同类项的定义，对应找到两个代数式中x和y的指数关系，分别求出a、b的值，再计算a+b即可。
【解析】
解：
∵代数式$-\dfrac{3}{4}x^{a}y^{b-2}$与$3x^{2}y$的差为单项式
∴$-\dfrac{3}{4}x^{a}y^{b-2}$与$3x^{2}y$是同类项
根据同类项的定义，相同字母的指数相等，可得：
$a=2$，$b-2=1$
解得$b=3$
∴$a+b=2+3=5$
【答案】
5
【知识点】
同类项的定义；合并同类项
【点评】
本题的解题核心是理解“两个整式的差为单项式”的含义，即两个整式是同类项，熟练掌握同类项的判定规则是解题的关键，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
8.一本书有$a$页，小明第一天读了全书的$\frac{2}{3}$，第二天读了余下部分的$\frac{1}{3}$，小明还有
$\frac{2}{9}a$
页没有读.(用含$a$的式子表示)答案
8. $\frac{2}{9}a$
解析
【分析】
解题时首先要明确两次读数对应的单位“1”：第一天读书的单位“1”是全书总页数a，第二天读书的单位“1”是第一天读完后剩余的页数。我们可以先算出第一天读完剩下的页数，再算出第二天读完剩下的页数，最终得到未读页数；也可以先分别算出两天读的页数，用总页数减去两天读的页数总和得到结果。要注意避免误将第二天读书的基数当成全书总页数。
【解析】
方法一：分步计算剩余页数
1. 计算第一天读完后剩余的页数：
总页数为a，第一天读了全书的$\frac{2}{3}$，剩余页数为：
$a - \frac{2}{3}a = \frac{1}{3}a$
2. 计算第二天读完后剩余的页数：
第二天读了余下部分的$\frac{1}{3}$，则剩余部分占第一天余下页数的$1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$，因此未读页数为：
$\frac{1}{3}a × \frac{2}{3} = \frac{2}{9}a$
方法二：总页数减去两天读的页数
1. 第一天读的页数：$\frac{2}{3}a$
2. 第二天读的页数：第一天余下的$\frac{1}{3}$，即$\frac{1}{3}a × \frac{1}{3} = \frac{1}{9}a$
3. 未读页数：$a - \frac{2}{3}a - \frac{1}{9}a = \frac{9a - 6a - a}{9} = \frac{2}{9}a$
【答案】
$\frac{2}{9}a$
【知识点】
列代数式，分数的应用，整式加减运算
【点评】
本题的核心易错点是区分两次分数对应的单位“1”，解题时需准确判断第二天阅读量的计算基数，只要理清数量关系，结合整式的加减运算即可求出正确结果。
【难度系数】
0.6
解题时首先要明确两次读数对应的单位“1”：第一天读书的单位“1”是全书总页数a，第二天读书的单位“1”是第一天读完后剩余的页数。我们可以先算出第一天读完剩下的页数，再算出第二天读完剩下的页数，最终得到未读页数；也可以先分别算出两天读的页数，用总页数减去两天读的页数总和得到结果。要注意避免误将第二天读书的基数当成全书总页数。
【解析】
方法一：分步计算剩余页数
1. 计算第一天读完后剩余的页数：
总页数为a，第一天读了全书的$\frac{2}{3}$，剩余页数为：
$a - \frac{2}{3}a = \frac{1}{3}a$
2. 计算第二天读完后剩余的页数：
第二天读了余下部分的$\frac{1}{3}$，则剩余部分占第一天余下页数的$1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$，因此未读页数为：
$\frac{1}{3}a × \frac{2}{3} = \frac{2}{9}a$
方法二：总页数减去两天读的页数
1. 第一天读的页数：$\frac{2}{3}a$
2. 第二天读的页数：第一天余下的$\frac{1}{3}$，即$\frac{1}{3}a × \frac{1}{3} = \frac{1}{9}a$
3. 未读页数：$a - \frac{2}{3}a - \frac{1}{9}a = \frac{9a - 6a - a}{9} = \frac{2}{9}a$
【答案】
$\frac{2}{9}a$
【知识点】
列代数式，分数的应用，整式加减运算
【点评】
本题的核心易错点是区分两次分数对应的单位“1”，解题时需准确判断第二天阅读量的计算基数，只要理清数量关系，结合整式的加减运算即可求出正确结果。
【难度系数】
0.6
9.某种“H”形模具的尺寸如图所示.
(1)求阴影部分的周长;(用含x,y的式子表示)
(2)当$x=1.5,y=1$时,求阴影部分的周长.
(1)求阴影部分的周长;(用含x,y的式子表示)
(2)当$x=1.5,y=1$时,求阴影部分的周长.
答案
9. 解:(1)$2×4y+2×3y+4x=8y+6y+4x=4x+14y$.
答:阴影部分的周长是$4x+14y$.
(2)当$x=1.5,y=1$时,
$4x+14y=4×1.5+14×1=6+14=20$.
答:阴影部分的周长是20.
答:阴影部分的周长是$4x+14y$.
(2)当$x=1.5,y=1$时,
$4x+14y=4×1.5+14×1=6+14=20$.
答:阴影部分的周长是20.
解析
【分析】
(1)求解阴影部分周长时，先拆分所有边长：左右两条竖直长边长度均为4y，所有水平边平移后总长度为2个3y的和；上下两个凹进区域各多出2条长度为x的竖直边，共4条长度为x的边，将所有边长相加后合并同类项即可得到周长表达式。
(2)第二问属于代数式求值，直接将x、y的取值代入第一问得到的表达式，按运算顺序计算即可得到结果。
【解析】
(1) 分别计算各部分边长总和：
左右竖直边总长度：$2×4y=8y$
所有水平边总长度：$2×(y+y+y)=6y$
凹进部分竖直边总长度：$4× x=4x$
合并得阴影部分周长：$8y+6y+4x=4x+14y$
(2) 将$x=1.5$，$y=1$代入$4x+14y$计算：
$4x+14y=4×1.5+14×1=6+14=20$
【答案】
(1) $4x+14y$
(2) $20$
【知识点】
列代数式；合并同类项；代数式求值
【点评】
本题考查不规则图形的周长计算，解题关键是准确梳理图形所有边缘的长度，也可通过平移法简化周长计算过程，代入求值时注意运算顺序，保证计算准确。
【难度系数】
0.8
(1)求解阴影部分周长时，先拆分所有边长：左右两条竖直长边长度均为4y，所有水平边平移后总长度为2个3y的和；上下两个凹进区域各多出2条长度为x的竖直边，共4条长度为x的边，将所有边长相加后合并同类项即可得到周长表达式。
(2)第二问属于代数式求值，直接将x、y的取值代入第一问得到的表达式，按运算顺序计算即可得到结果。
【解析】
(1) 分别计算各部分边长总和：
左右竖直边总长度：$2×4y=8y$
所有水平边总长度：$2×(y+y+y)=6y$
凹进部分竖直边总长度：$4× x=4x$
合并得阴影部分周长：$8y+6y+4x=4x+14y$
(2) 将$x=1.5$，$y=1$代入$4x+14y$计算：
$4x+14y=4×1.5+14×1=6+14=20$
【答案】
(1) $4x+14y$
(2) $20$
【知识点】
列代数式；合并同类项；代数式求值
【点评】
本题考查不规则图形的周长计算，解题关键是准确梳理图形所有边缘的长度，也可通过平移法简化周长计算过程，代入求值时注意运算顺序，保证计算准确。
【难度系数】
0.8
10. 多项式$x - 2x + 3x - 4x + \dots + 2025x$合并同类项后的结果是________。
答案
10. 1 013x 解析 原式$=(1-2+3-4+\dots+2\ 023-2\ 024)x+2\ 025x=[(1-2)+(3-4)+\dots+(2\ 023-2\ 024)]x+2\ 025x=-1\ 012x+2\ 025x=1\ 013x$.
解析
【分析】
本题属于合并同类项的题型，所有项都是含x的同类项，只需合并各项的系数即可求解。首先观察系数规律：系数是从1到2025的连续整数，奇数项系数为正、偶数项系数为负。我们可以将相邻的一正一负两项分为一组，每组的和均为-1，先计算前2024项的分组总和，再加上最后一项的系数2025，就能得到合并后的总系数，最后乘x即可得到结果。
【解析】
所有项均为同类项，先提取公因式x，合并系数：
原式$=(1-2+3-4+\dots+2023-2024+2025)x$
将前2024项两两分组计算：
$=[(1-2)+(3-4)+\dots+(2023-2024)]x+2025x$
每组的计算结果为-1，前2024项共有$2024÷2=1012$组，因此前2024项的和为$-1×1012=-1012$：
$=-1012x+2025x$
合并后得：
$=1013x$
【答案】
$1013x$
【知识点】
合并同类项，有理数加减运算，规律探究
【点评】
本题解题的关键是观察到系数正负交替的规律，通过分组运算简化了多个有理数加减的计算过程，避免了逐项计算的繁琐，只要准确统计分组数量、正确计算系数和即可得到正确结果。
【难度系数】
0.7
本题属于合并同类项的题型，所有项都是含x的同类项，只需合并各项的系数即可求解。首先观察系数规律：系数是从1到2025的连续整数，奇数项系数为正、偶数项系数为负。我们可以将相邻的一正一负两项分为一组，每组的和均为-1，先计算前2024项的分组总和，再加上最后一项的系数2025，就能得到合并后的总系数，最后乘x即可得到结果。
【解析】
所有项均为同类项，先提取公因式x，合并系数：
原式$=(1-2+3-4+\dots+2023-2024+2025)x$
将前2024项两两分组计算：
$=[(1-2)+(3-4)+\dots+(2023-2024)]x+2025x$
每组的计算结果为-1，前2024项共有$2024÷2=1012$组，因此前2024项的和为$-1×1012=-1012$：
$=-1012x+2025x$
合并后得：
$=1013x$
【答案】
$1013x$
【知识点】
合并同类项，有理数加减运算，规律探究
【点评】
本题解题的关键是观察到系数正负交替的规律，通过分组运算简化了多个有理数加减的计算过程，避免了逐项计算的繁琐，只要准确统计分组数量、正确计算系数和即可得到正确结果。
【难度系数】
0.7
11.(2026黑龙江佳木斯同江市第三中学期末)
如果关于$x,y$的多项式$mx^{3}+3nx^{2}y-2x^{3}+x^{2}y+x-2y$不含三次项,那么$n^{m}=$
如果关于$x,y$的多项式$mx^{3}+3nx^{2}y-2x^{3}+x^{2}y+x-2y$不含三次项,那么$n^{m}=$
$\frac{1}{9}$
.答案
11. $\frac{1}{9}$ 启发与线索 先合并同类项,再令三次项的系数分别为0.
解析
【分析】
解题时首先要理解“多项式不含三次项”的含义：即多项式中所有次数为3的项的系数都为0。首先需要对多项式合并同类项，找出所有三次项，再令三次项的系数分别等于0，解出m、n的值，最后代入计算$n^m$即可。
【解析】
首先对多项式合并同类项：
$\begin{aligned}&mx^{3}+3nx^{2}y-2x^{3}+x^{2}y+x-2y\\=&(mx^3-2x^3)+(3nx^2y+x^2y)+x-2y\\=&(m-2)x^3+(3n+1)x^2y+x-2y\end{aligned}$
∵ 多项式不含三次项
∴ 三次项的系数均为0，可得：
$\begin{cases}m-2=0\\3n+1=0\end{cases}$
解得：$\begin{cases}m=2\\n=-\dfrac{1}{3}\end{cases}$
将$m=2$，$n=-\dfrac{1}{3}$代入$n^m$得：
$n^m=(-\dfrac{1}{3})^2=\dfrac{1}{9}$
【答案】
$\dfrac{1}{9}$
【知识点】
合并同类项；多项式的项与次数；代数式求值
【点评】
本题是同类项相关知识的典型应用题，解题核心是明确“多项式不含某项即该项系数为0”的规则，计算过程中要注意符号处理，掌握基础运算规则即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先要理解“多项式不含三次项”的含义：即多项式中所有次数为3的项的系数都为0。首先需要对多项式合并同类项，找出所有三次项，再令三次项的系数分别等于0，解出m、n的值，最后代入计算$n^m$即可。
【解析】
首先对多项式合并同类项：
$\begin{aligned}&mx^{3}+3nx^{2}y-2x^{3}+x^{2}y+x-2y\\=&(mx^3-2x^3)+(3nx^2y+x^2y)+x-2y\\=&(m-2)x^3+(3n+1)x^2y+x-2y\end{aligned}$
∵ 多项式不含三次项
∴ 三次项的系数均为0，可得：
$\begin{cases}m-2=0\\3n+1=0\end{cases}$
解得：$\begin{cases}m=2\\n=-\dfrac{1}{3}\end{cases}$
将$m=2$，$n=-\dfrac{1}{3}$代入$n^m$得：
$n^m=(-\dfrac{1}{3})^2=\dfrac{1}{9}$
【答案】
$\dfrac{1}{9}$
【知识点】
合并同类项；多项式的项与次数；代数式求值
【点评】
本题是同类项相关知识的典型应用题，解题核心是明确“多项式不含某项即该项系数为0”的规则，计算过程中要注意符号处理，掌握基础运算规则即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
12. 新趋势·定义新概念 定义:若$x-y=k$,则称$x$与$y$是关于$k$的“相关数”.
(1)若5与$a$是关于2的相关数,则$a=$
(2)若$A$与$B$是关于$m$的相关数,$A=3mn-5m+n+6$,$B$的值与$m$无关,求$B$的值.
(1)若5与$a$是关于2的相关数,则$a=$
3
;(2)若$A$与$B$是关于$m$的相关数,$A=3mn-5m+n+6$,$B$的值与$m$无关,求$B$的值.
答案
12. 解:(1)3 启发与线索 由题意得$5-a=2$,可得$a=3$.
(2)因为$A$与$B$是关于$m$的相关数,
所以$A-B=m$.
所以$3mn-5m+n+6-B=m$(关键点:根据定义的新概念,列出相关等式).
所以$B=3mn-5m+n+6-m=3mn-6m+n+6$.
因为$B$的值与$m$无关,
可得$3mn-6m+n+6=(3n-6)m+n+6$.
所以$3n-6=0$.
所以$n=2$.
所以$B=n+6=2+6=8$.
所以$B$的值为8.
(2)因为$A$与$B$是关于$m$的相关数,
所以$A-B=m$.
所以$3mn-5m+n+6-B=m$(关键点:根据定义的新概念,列出相关等式).
所以$B=3mn-5m+n+6-m=3mn-6m+n+6$.
因为$B$的值与$m$无关,
可得$3mn-6m+n+6=(3n-6)m+n+6$.
所以$3n-6=0$.
所以$n=2$.
所以$B=n+6=2+6=8$.
所以$B$的值为8.
解析
【分析】
（1）首先明确“相关数”的定义规则：若x与y是关于k的相关数，则满足$x-y=k$。将题目中对应数值代入定义式，得到关于a的一元一次方程，解方程即可求出a的值。
（2）第一步先根据“相关数”定义，由A与B是关于m的相关数得到$A-B=m$，代入A的代数式，整理得出B的表达式；第二步根据“B的值与m无关”的条件，可知B的表达式中所有含m的项的系数为0，据此求出n的值，再代入B的表达式即可得到B的定值。
【解析】
（1）根据“相关数”的定义，5与a是关于2的相关数，可得：
$5 - a = 2$
解得$a = 3$
（2）
∵A与B是关于m的相关数，
∴根据定义得$A - B = m$，
将$A=3mn-5m+n+6$代入上式：
$3mn - 5m + n + 6 - B = m$
移项整理得：
$B = 3mn - 5m + n + 6 - m = 3mn - 6m + n + 6$
对含m的项合并同类项：
$B = (3n - 6)m + n + 6$
∵B的值与m无关，
∴含m的项的系数为0，即：
$3n - 6 = 0$
解得$n = 2$，
将$n=2$代入B的表达式得：
$B = 0×m + 2 + 6 = 8$
【答案】
（1）3；（2）8
【知识点】
新定义运算，整式的加减，多项式与字母无关的条件
【点评】
本题结合新定义概念考查整式运算的应用，解题关键是准确理解新定义的运算规则，将陌生的新定义问题转化为常规的整式加减问题，掌握“多项式与某个字母无关时，该字母对应项的系数为0”的结论即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
（1）首先明确“相关数”的定义规则：若x与y是关于k的相关数，则满足$x-y=k$。将题目中对应数值代入定义式，得到关于a的一元一次方程，解方程即可求出a的值。
（2）第一步先根据“相关数”定义，由A与B是关于m的相关数得到$A-B=m$，代入A的代数式，整理得出B的表达式；第二步根据“B的值与m无关”的条件，可知B的表达式中所有含m的项的系数为0，据此求出n的值，再代入B的表达式即可得到B的定值。
【解析】
（1）根据“相关数”的定义，5与a是关于2的相关数，可得：
$5 - a = 2$
解得$a = 3$
（2）
∵A与B是关于m的相关数，
∴根据定义得$A - B = m$，
将$A=3mn-5m+n+6$代入上式：
$3mn - 5m + n + 6 - B = m$
移项整理得：
$B = 3mn - 5m + n + 6 - m = 3mn - 6m + n + 6$
对含m的项合并同类项：
$B = (3n - 6)m + n + 6$
∵B的值与m无关，
∴含m的项的系数为0，即：
$3n - 6 = 0$
解得$n = 2$，
将$n=2$代入B的表达式得：
$B = 0×m + 2 + 6 = 8$
【答案】
（1）3；（2）8
【知识点】
新定义运算，整式的加减，多项式与字母无关的条件
【点评】
本题结合新定义概念考查整式运算的应用，解题关键是准确理解新定义的运算规则，将陌生的新定义问题转化为常规的整式加减问题，掌握“多项式与某个字母无关时，该字母对应项的系数为0”的结论即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
