11. (2026 山东济宁期中)已知$(m-3)x^{|m|}+3x^2-(n-4)x+m+n$是关于$x$的多项式，其中$m,n$为整数，且$|m|＞2$.
(1)若该多项式是一个二次二项式，求$m+n$的值；
(2)若该多项式是一个三次三项式，求$m-n$的值.

11. 解:(1)因为$(m-3)x^{|m|}+3x^2-(n-4)x+m+n$ 是一个二次二项式,且$|m|＞2$,
所以$m-3=0,-(n-4)=0$ 或 $m-3=0,m+n=0$.
当$m-3=0,-(n-4)=0$,即$m=3,n=4$ 时,$m+n=7$,原多项式为$3x^2+7$,是二次二项式,符合题意.
当$m-3=0,m+n=0$,即$m=3,n=-3$ 时,$-(n-4)=7$,原多项式为$3x^2+7x$,是二次二项式,符合题意.
综上所述,$m+n$ 的值为7或0.
(2)因为$(m-3)x^{|m|}+3x^2-(n-4)x+m+n$ 是一个三次三项式,所以$|m|=3,m-3≠0$. 所以$m=-3$.
当$-(n-4)=0$,即$n=4$ 时,$m+n=1$,原多项式为$-6x^3+3x^2+1$,是三次三项式,符合题意.
所以$m-n=-3-4=-7$.
当$m+n=0$ 时,$n=3$. 所以$-(n-4)=1$. 原多项式为$-6x^3+3x^2+x$,是三次三项式,符合题意.
所以$m-n=-3-3=-6$.
综上所述,$m-n$ 的值为-7或-6.

【分析】
要解决这道题，首先要明确多项式的核心概念：多项式的次数是指多项式里次数最高项的次数，项数是指多项式中包含的单项式的个数，且最高次项的系数不能为0。
（1）求二次二项式对应的m+n：已知|m|＞2，若(m-3)x^{|m|}项存在，其次数会大于2，不符合二次多项式要求，因此这一项系数必须为0，即m=3；此时剩余多项式要为二项式，说明剩余的3项中必有1项系数为0，分一次项系数为0、常数项为0两种情况讨论即可。
（2）求三次三项式对应的m-n：三次多项式说明最高次项次数为3，因此|m|=3且三次项系数不为0，可求出m=-3；此时剩余多项式要为三项式，说明剩余的4项中必有1项系数为0，分一次项系数为0、常数项为0两种情况讨论即可。
【解析】
(1) 已知多项式是二次二项式，且$|m|＞2$：
若$(m-3)x^{|m|}$项存在，其次数大于2，不符合二次多项式要求，因此$m-3=0$，解得$m=3$。
此时多项式化简为$3x^2-(n-4)x + 3 + n$，要为二项式，分两种情况讨论：
① 一次项系数为0：$-(n-4)=0$，解得$n=4$，此时$m+n=3+4=7$，原多项式为$3x^2+7$，符合二次二项式要求；
② 常数项为0：$3+n=0$，解得$n=-3$，此时一次项系数为$-(-3-4)=7≠0$，原多项式为$3x^2+7x$，符合二次二项式要求。
综上，$m+n$的值为7或0。
(2) 已知多项式是三次三项式：
最高次项次数为3，因此$|m|=3$，且三次项系数不为0即$m-3≠0$，解得$m=-3$。
此时多项式化简为$-6x^3+3x^2-(n-4)x + (-3 + n)$，要为三项式，分两种情况讨论：
① 一次项系数为0：$-(n-4)=0$，解得$n=4$，此时常数项为$-3+4=1≠0$，原多项式为$-6x^3+3x^2+1$，符合三次三项式要求，此时$m-n=-3-4=-7$；
② 常数项为0：$-3+n=0$，解得$n=3$，此时一次项系数为$-(3-4)=1≠0$，原多项式为$-6x^3+3x^2+x$，符合三次三项式要求，此时$m-n=-3-3=-6$。
综上，$m-n$的值为-7或-6。
【答案】
(1) $m+n$的值为$\boxed{7}$或$\boxed{0}$；
(2) $m-n$的值为$\boxed{-7}$或$\boxed{-6}$。
【知识点】
多项式的项与次数，绝对值的性质，分类讨论思想
【点评】
本题重点考查对多项式次数、项数定义的理解，解题时要注意最高次项系数不能为0，同时要根据项数要求全面分类讨论可能出现的系数为0的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6

12. (2025山西忻州期中)某小区里的一块长为a m,宽为2b m的长方形空地如图所示,为了美化环境,物业准备在这块长方形空地的四个角的位置分别修建一个半径为b m的扇形花坛,然后在花坛内种花,其余的区域铺设草坪.已知建造花坛及种花的费用为每平方米100元,铺设草坪的费用为每平方米50元.(图中长度单位:m)
(1)花坛(空白部分)的面积可以用一个单项式表示为 m²,这个单项式的系数是;草坪(阴影部分)的面积可以用一个多项式表示为 m²,这个多项式的次数是.
(2)当a=7,b=2,π取3时,美化这块空地共需多少元?

12. 解:(1)$π b^2$ ; $π$ ; $(2ab-π b^2)$ ; 2
(2)当$a=7,b=2$,$π$取3时,
$100×π b^2+50×(2ab-π b^2)= 100×3×2^2+50×(2×7×2-3×2^2)= 1 200+800=2 000$.
答:美化这块空地共需2 000元.

【分析】
解决本题分两步思考：1. 第(1)问：先观察四个空白扇形的特征，四个扇形半径均为$b$，圆心角都是$90°$，四个扇形拼接后刚好是1个完整的圆，据此先求出花坛面积；再用长方形空地的总面积减去花坛面积得到草坪面积，再结合单项式系数、多项式次数的定义填写对应内容。2. 第(2)问：先根据“总费用=花坛种花总费用+草坪铺设总费用”列出总费用的代数式，再将给定的数值代入计算即可。
【解析】
(1) 四个扇形的圆心角之和为$4×90°=360°$，因此四个扇形可拼成1个半径为$b$的圆，故花坛面积为$π b^2\ \mathrm{m}^2$；单项式$π b^2$的系数是$π$。
长方形空地的面积为$a×2b=2ab\ \mathrm{m}^2$，因此草坪面积为长方形面积减去花坛面积，即$(2ab-π b^2)\ \mathrm{m}^2$；该多项式最高次项的次数为2，因此多项式的次数是2。
(2) 美化空地的总费用=花坛种花费用+草坪铺设费用，即：
总费用$=100×π b^2 + 50×(2ab-π b^2)$
将$a=7$，$b=2$，$π=3$代入上式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=100×3×2^2 + 50×(2×7×2 - 3×2^2)\\&=1200 + 50×16\\&=1200+800\\&=2000\end{aligned}$
【答案】
(1) $π b^2$；$π$；$2ab-π b^2$；2
(2) 美化这块空地共需2000元。
【知识点】
列代数式，整式相关概念，代数式求值
【点评】
本题结合生活场景考查整式的相关知识，既需要掌握扇形、长方形的面积公式，也需要熟练掌握单项式、多项式的基本定义和代数式求值的运算方法，解题时注意先理清各部分的数量关系再列式计算。
【难度系数】
0.7

13. ★新素养·推理能力（2025 广东珠海金湾区期末）如图,用白棋和黑棋摆出形如长方形的图形,其中每个图形中的白棋和黑棋的数量都相等. 请你观察图形,解答下列问题.

【规律探索】
(1)在横线上写出相应的等式.
摆第1个图形需要的棋子枚数为2；
摆第2个图形需要的棋子枚数为$2×(1+2)=2×3=6$；
摆第3个图形需要的棋子枚数为$2×(1+2+3)=3×4=12$；
摆第4个图形需要的棋子枚数为$2×(1+2+3+4)=4×5=20$；
摆第5个图形需要的棋子枚数为________；
摆第$n$个图形需要的棋子枚数为________.
【规律归纳】
(2)$1+2+3+\dots +n=\_\_\_\_\_\_$.（用含$n$的代数式表示）
【规律应用】
(3)请用上述规律计算$101+102+103+\dots +200$.

13. 解: (1)$2×(1+2+3+4+5)= 5×6=30$ ; $2×(1+2+3+\dots +n)= n(n+1)$
(2)$\dfrac{n(n+1)}{2}$
(3)$101+102+103+\dots +200=(1+2+3+\dots +200)-(1+2+3+\dots +100 )= \dfrac{200×(200+1)}{2} - \dfrac{100×(100+1)}{2} = 15 050$.

【分析】
（1）观察前4个图形的棋子数计算规律：第k个图形的棋子数可表示为$2×(1+2+\dots +k)$，也等于$k(k+1)$，因此将$k=5$代入即可得到第5个图形的棋子数，将k替换为n即可得到第n个图形的棋子数表达式；
（2）根据第n个图形棋子数的两个表达式相等，对等式变形即可得到连续正整数求和的公式；
（3）计算$101+102+\dots +200$时，可转化为$(1+2+\dots +200)-(1+2+\dots +100)$，再代入（2）中的求和公式计算即可，避免逐项相加的繁琐。
【解析】
(1) 按照前4个式子的规律，摆第5个图形需要的棋子枚数为：
$2×(1+2+3+4+5)=5×6=30$
摆第$n$个图形需要的棋子枚数为：
$2×(1+2+3+\dots +n)=n(n+1)$
(2) 由（1）中$2×(1+2+3+\dots +n)=n(n+1)$，等式两边同时除以2，可得：
$1+2+3+\dots +n=\dfrac{n(n+1)}{2}$
(3) 利用求和公式计算：
$\begin{aligned}101+102+103+\dots +200&=(1+2+3+\dots +200)-(1+2+3+\dots +100)\\&=\dfrac{200×(200+1)}{2} - \dfrac{100×(100+1)}{2}\\&=20100-5050\\&=15050\end{aligned}$
【答案】
(1) $2×(1+2+3+4+5)= 5×6=30$；$n(n+1)$
(2) $\dfrac{n(n+1)}{2}$
(3) $15050$
【知识点】
图形规律探究、列代数式、有理数求和
【点评】
本题以图形摆列为载体，考查从特殊到一般的归纳推理能力，先通过观察具体例子总结规律，再将规律应用到实际计算中，能有效提升逻辑推理和知识迁移应用的能力。
【难度系数】
0.7