登录
1.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯.”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有
3
盏灯.答案
1.3 解析 设塔的顶层共有 x 盏灯,由题意得 x+2x+4x+8x+16x+32x+64x = 381. 解得 x = 3. 所以塔的顶层共有 3 盏灯.
解析
【分析】
要解决这个问题，首先梳理题目给出的数量关系：塔共7层，相邻下一层灯数是上一层的2倍，总灯数为381盏，求顶层灯数。我们可以通过设未知数的方法求解：先设顶层灯数为x，根据倍数关系依次表示出其余各层的灯数，再依据“七层总灯数之和为381”的等量关系列方程，最后解方程得出结果即可。
【解析】
解：设塔的顶层共有$x$盏灯。
由题意可知，从顶层到最底层的灯数依次为$x$、$2x$、$4x$、$8x$、$16x$、$32x$、$64x$，总灯数为381盏，因此列方程：
$x+2x+4x+8x+16x+32x+64x=381$
合并同类项得：
$127x=381$
系数化为1得：
$x=3$
【答案】
3
【知识点】
一元一次方程的应用，列方程解应用题
【点评】
本题以我国古代数学名著中的问题为载体，考查了用方程解决实际问题的能力，既可以让学生感受中国传统数学文化的魅力，也能锻炼学生梳理数量关系、建立方程模型的能力，解题关键是准确理清各层灯数的倍数关系。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先梳理题目给出的数量关系：塔共7层，相邻下一层灯数是上一层的2倍，总灯数为381盏，求顶层灯数。我们可以通过设未知数的方法求解：先设顶层灯数为x，根据倍数关系依次表示出其余各层的灯数，再依据“七层总灯数之和为381”的等量关系列方程，最后解方程得出结果即可。
【解析】
解：设塔的顶层共有$x$盏灯。
由题意可知，从顶层到最底层的灯数依次为$x$、$2x$、$4x$、$8x$、$16x$、$32x$、$64x$，总灯数为381盏，因此列方程：
$x+2x+4x+8x+16x+32x+64x=381$
合并同类项得：
$127x=381$
系数化为1得：
$x=3$
【答案】
3
【知识点】
一元一次方程的应用，列方程解应用题
【点评】
本题以我国古代数学名著中的问题为载体，考查了用方程解决实际问题的能力，既可以让学生感受中国传统数学文化的魅力，也能锻炼学生梳理数量关系、建立方程模型的能力，解题关键是准确理清各层灯数的倍数关系。
【难度系数】
0.8
2.《孙子算经》中记载了这样一道题:今有百鹿进城,每家取一鹿,不尽,又三家合取一鹿,恰尽.问城中家几何? 题目大意是现有100头鹿进城,每户人家分1头鹿,鹿还有剩余,每3户人家合分1头剩下的鹿,恰好分完.问城中共有多少户人家?
答案
2. 解:设城中共有 x 户人家,
由题意得 $x+\frac{1}{3}x=100.$
解得 $x=75.$
答:城中共有 75 户人家.
由题意得 $x+\frac{1}{3}x=100.$
解得 $x=75.$
答:城中共有 75 户人家.
解析
【分析】
这是一道列方程解应用题的题目，解题时先明确所求量为城中户数，可直接设未知数列方程求解。首先提取题目中的等量关系：每户分1头的鹿的总数量 + 每3户合分1头的鹿的总数量 = 鹿的总数量100头。设城中共有x户人家，那么每户分1头时共分走x头鹿，每3户合分1头时共分走$\frac{1}{3}x$头鹿，根据等量关系列出方程后求解即可得到答案。
【解析】
解：设城中共有x户人家，
由题意得：$x+\frac{1}{3}x=100$
合并同类项，得：$\frac{4}{3}x=100$
系数化为1，得：$x=75$
答：城中共有75户人家。
【答案】
城中共有75户人家
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 列方程解应用题
【点评】
本题是我国古代经典数学问题，将实际问题转化为方程问题求解，解题核心是准确理解题意，找准总鹿数等于两次分鹿数量之和的等量关系，能够有效锻炼数学建模能力。
【难度系数】
0.8
这是一道列方程解应用题的题目，解题时先明确所求量为城中户数，可直接设未知数列方程求解。首先提取题目中的等量关系：每户分1头的鹿的总数量 + 每3户合分1头的鹿的总数量 = 鹿的总数量100头。设城中共有x户人家，那么每户分1头时共分走x头鹿，每3户合分1头时共分走$\frac{1}{3}x$头鹿，根据等量关系列出方程后求解即可得到答案。
【解析】
解：设城中共有x户人家，
由题意得：$x+\frac{1}{3}x=100$
合并同类项，得：$\frac{4}{3}x=100$
系数化为1，得：$x=75$
答：城中共有75户人家。
【答案】
城中共有75户人家
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 列方程解应用题
【点评】
本题是我国古代经典数学问题，将实际问题转化为方程问题求解，解题核心是准确理解题意，找准总鹿数等于两次分鹿数量之和的等量关系，能够有效锻炼数学建模能力。
【难度系数】
0.8
3.《九章算术》中有一道题:今有牛、马、羊食人苗.苗主责之粟五斗.羊主曰:"我羊食半马."马主曰:"我马食半牛."今欲衰偿之,问:各出几何? 题目大意是今有牛、马、羊吃了别人的禾苗,禾苗主人要求赔偿五斗粟,羊主人说:"我的羊所吃的禾苗只有马吃的一半."马主人说:"我的马所吃的禾苗只有牛吃的一半."现在要按比例赔偿,问:牛主人、马主人、羊主人分别赔偿多少斗粟?
答案
3. 解:设牛主人赔偿 x 斗粟,则马主人赔偿 $\frac{1}{2}x$ 斗粟,羊主人赔偿 $\frac{1}{4}x$ 斗粟,
由题意得 $x+\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}x=5.$
解得 $x=\frac{20}{7}.$
进而 $\frac{1}{2}x=\frac{10}{7},\frac{1}{4}x=\frac{5}{7}.$
答:牛主人赔偿$\frac{20}{7}$斗粟,马主人赔偿$\frac{10}{7}$斗粟,羊主人赔偿$\frac{5}{7}$斗粟.
由题意得 $x+\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}x=5.$
解得 $x=\frac{20}{7}.$
进而 $\frac{1}{2}x=\frac{10}{7},\frac{1}{4}x=\frac{5}{7}.$
答:牛主人赔偿$\frac{20}{7}$斗粟,马主人赔偿$\frac{10}{7}$斗粟,羊主人赔偿$\frac{5}{7}$斗粟.
解析
【分析】
这是一道比例分配类的实际应用题，解题时首先要理清三者赔偿量的比例关系：羊的赔偿量是马的$\frac{1}{2}$，马的赔偿量是牛的$\frac{1}{2}$。我们可以设占比最大的牛的赔偿量为$x$斗，避免计算时出现过多复杂分数，再根据三者的比例关系分别表示出马和羊的赔偿量，最后结合总赔偿量为5斗的等量关系列方程求解，即可得出三者各自的赔偿量。
【解析】
解：设牛主人赔偿$x$斗粟，则马主人赔偿$\frac{1}{2}x$斗粟，羊主人赔偿$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}x=\frac{1}{4}x$斗粟。
根据总赔偿量为5斗，列方程得：
$x+\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}x=5$
合并同类项，得：$\frac{7}{4}x=5$
系数化为1，得：$x=\frac{20}{7}$
则马主人赔偿：$\frac{1}{2}x=\frac{1}{2}×\frac{20}{7}=\frac{10}{7}$（斗）
羊主人赔偿：$\frac{1}{4}x=\frac{1}{4}×\frac{20}{7}=\frac{5}{7}$（斗）
答：牛主人赔偿$\frac{20}{7}$斗粟，马主人赔偿$\frac{10}{7}$斗粟，羊主人赔偿$\frac{5}{7}$斗粟。
【答案】
牛主人赔偿$\frac{20}{7}$斗粟，马主人赔偿$\frac{10}{7}$斗粟，羊主人赔偿$\frac{5}{7}$斗粟。
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 按比例分配
【点评】
本题以《九章算术》中的经典问题为背景，既考查了利用方程解决实际问题的能力，也能让学生感受到中国古代数学的魅力，解题的核心是理清三个赔偿主体的数量比例关系，找准总赔偿量的等量关系。
【难度系数】
0.8
这是一道比例分配类的实际应用题，解题时首先要理清三者赔偿量的比例关系：羊的赔偿量是马的$\frac{1}{2}$，马的赔偿量是牛的$\frac{1}{2}$。我们可以设占比最大的牛的赔偿量为$x$斗，避免计算时出现过多复杂分数，再根据三者的比例关系分别表示出马和羊的赔偿量，最后结合总赔偿量为5斗的等量关系列方程求解，即可得出三者各自的赔偿量。
【解析】
解：设牛主人赔偿$x$斗粟，则马主人赔偿$\frac{1}{2}x$斗粟，羊主人赔偿$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}x=\frac{1}{4}x$斗粟。
根据总赔偿量为5斗，列方程得：
$x+\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}x=5$
合并同类项，得：$\frac{7}{4}x=5$
系数化为1，得：$x=\frac{20}{7}$
则马主人赔偿：$\frac{1}{2}x=\frac{1}{2}×\frac{20}{7}=\frac{10}{7}$（斗）
羊主人赔偿：$\frac{1}{4}x=\frac{1}{4}×\frac{20}{7}=\frac{5}{7}$（斗）
答：牛主人赔偿$\frac{20}{7}$斗粟，马主人赔偿$\frac{10}{7}$斗粟，羊主人赔偿$\frac{5}{7}$斗粟。
【答案】
牛主人赔偿$\frac{20}{7}$斗粟，马主人赔偿$\frac{10}{7}$斗粟，羊主人赔偿$\frac{5}{7}$斗粟。
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 按比例分配
【点评】
本题以《九章算术》中的经典问题为背景，既考查了利用方程解决实际问题的能力，也能让学生感受到中国古代数学的魅力，解题的核心是理清三个赔偿主体的数量比例关系，找准总赔偿量的等量关系。
【难度系数】
0.8
4.《算法统宗》中有一道题:牧童分杏各争竞,不知人数不知杏.三人五个多十枚,四人八枚两个剩.问:有几个牧童几个杏? 题目大意是牧童们要分一堆杏,不知道人数也不知道杏的个数.若3人一组,每组5个杏,则多10个杏,若4人一组,每组8个杏,则多2个杏.问:有多少个牧童,多少个杏? 若设共有x个杏,则可列方程为 (
A.$\frac{x-10}{3} × 5 = \frac{x-2}{4} × 8$
B.$\frac{x+10}{3} × 5 = \frac{x+2}{4} × 8$
C.$\frac{x-10}{5} × 3 = \frac{x-2}{8} × 4$
D.$\frac{x+10}{5} × 3 = \frac{x+2}{8} × 4$
C
)A.$\frac{x-10}{3} × 5 = \frac{x-2}{4} × 8$
B.$\frac{x+10}{3} × 5 = \frac{x+2}{4} × 8$
C.$\frac{x-10}{5} × 3 = \frac{x-2}{8} × 4$
D.$\frac{x+10}{5} × 3 = \frac{x+2}{8} × 4$
答案
4. C
解析
【分析】
解题的核心是找到两种分杏方式中不变的量，即牧童的总人数是固定的，我们围绕这个等量关系列式即可。第一步，结合“多10枚杏”的条件，先求出第一种分法中实际分配的杏的总数，再除以每组杏的数量得到组数，用组数乘每组的人数就能得到牧童总人数；第二步，同理根据“多2枚杏”的条件，求出第二种分法对应的牧童总人数；第三步，令两个表示总人数的式子相等，就能得到所求方程。
【解析】
设杏的总个数为$x$，根据两种分配方式下牧童总人数相等列方程：
1. 第一种分法：总共有$x$个杏，多10个说明实际分配了$x-10$个杏，每组发5个杏，因此共有$\frac{x-10}{5}$组，每组有3个牧童，可得牧童总人数为$\frac{x-10}{5} × 3$。
2. 第二种分法：总共有$x$个杏，多2个说明实际分配了$x-2$个杏，每组发8个杏，因此共有$\frac{x-2}{8}$组，每组有4个牧童，可得牧童总人数为$\frac{x-2}{8} × 4$。
联立可得方程：$\frac{x-10}{5} × 3 = \frac{x-2}{8} × 4$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程应用，等量关系识别
【点评】
本题是典型的分配类古代数学问题，解题关键是找准分配过程中不变的量，再梳理清楚总数量、每组分配量、组数、每组人数之间的对应关系，避免混淆“分配总量”和“剩余量”的关系即可正确解题。
【难度系数】
0.65
解题的核心是找到两种分杏方式中不变的量，即牧童的总人数是固定的，我们围绕这个等量关系列式即可。第一步，结合“多10枚杏”的条件，先求出第一种分法中实际分配的杏的总数，再除以每组杏的数量得到组数，用组数乘每组的人数就能得到牧童总人数；第二步，同理根据“多2枚杏”的条件，求出第二种分法对应的牧童总人数；第三步，令两个表示总人数的式子相等，就能得到所求方程。
【解析】
设杏的总个数为$x$，根据两种分配方式下牧童总人数相等列方程：
1. 第一种分法：总共有$x$个杏，多10个说明实际分配了$x-10$个杏，每组发5个杏，因此共有$\frac{x-10}{5}$组，每组有3个牧童，可得牧童总人数为$\frac{x-10}{5} × 3$。
2. 第二种分法：总共有$x$个杏，多2个说明实际分配了$x-2$个杏，每组发8个杏，因此共有$\frac{x-2}{8}$组，每组有4个牧童，可得牧童总人数为$\frac{x-2}{8} × 4$。
联立可得方程：$\frac{x-10}{5} × 3 = \frac{x-2}{8} × 4$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程应用，等量关系识别
【点评】
本题是典型的分配类古代数学问题，解题关键是找准分配过程中不变的量，再梳理清楚总数量、每组分配量、组数、每组人数之间的对应关系，避免混淆“分配总量”和“剩余量”的关系即可正确解题。
【难度系数】
0.65
5. 中国古代数学著作《增删算法统宗》中记载了一道“绳索量竿”问题，大意是现有一根竿子和一条绳索，用绳索去量竿子，绳索比竿子长5尺；将绳索对折去量竿子，绳索比竿子短5尺。问竿子、绳索各有多长？甲、乙两人所列方程如下，下列选项判断正确的是（
甲：设竿子长$ x $尺，根据题意可列方程为$ x - \frac{x + 5}{2} = 5 $。
乙：设绳索长$ x $尺，根据题意可列方程为$ (x - 5) - \frac{x}{2} = 5 $。
A.甲对，乙错
B.甲错，乙对
C.甲、乙都对
D.甲、乙都错
C
）甲：设竿子长$ x $尺，根据题意可列方程为$ x - \frac{x + 5}{2} = 5 $。
乙：设绳索长$ x $尺，根据题意可列方程为$ (x - 5) - \frac{x}{2} = 5 $。
A.甲对，乙错
B.甲错，乙对
C.甲、乙都对
D.甲、乙都错
答案
5. C
解析
【分析】
这是一道一元一次方程应用的古代数学问题，解题时需分别对甲、乙两人所列方程进行验证：首先明确两人设的未知数分别对应哪个量，再结合题意找到核心等量关系“对折后的绳索长度 = 竿子长度 - 5尺”，即“竿长减去对折后绳长等于5尺”，最后将各自设的未知数代入等量关系，判断方程是否符合即可。
【解析】
1. 验证甲的方程：
甲设竿子长$x$尺，由“绳索比竿子长5尺”可知，绳索长度为$(x+5)$尺；绳索对折后长度为$\frac{x+5}{2}$尺，此时对折后绳索比竿子短5尺，可列方程：$x - \frac{x+5}{2} =5$，因此甲列的方程正确。
2. 验证乙的方程：
乙设绳索长$x$尺，由“绳索比竿子长5尺”可知，竿子长度为$(x-5)$尺；绳索对折后长度为$\frac{x}{2}$尺，此时对折后绳索比竿子短5尺，可列方程：$(x-5) - \frac{x}{2} =5$，因此乙列的方程也正确。
综上，甲、乙的方程都对，故选C。
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程应用，列方程找等量关系
【点评】
本题结合中国古代数学问题考查一元一次方程的列法，核心是抓住“对折后绳索比竿短5尺”的不变等量关系，通过两种不同的设元方式都能列出正确的方程，体现了列方程解应用题时设未知数的灵活性。
【难度系数】
0.7
这是一道一元一次方程应用的古代数学问题，解题时需分别对甲、乙两人所列方程进行验证：首先明确两人设的未知数分别对应哪个量，再结合题意找到核心等量关系“对折后的绳索长度 = 竿子长度 - 5尺”，即“竿长减去对折后绳长等于5尺”，最后将各自设的未知数代入等量关系，判断方程是否符合即可。
【解析】
1. 验证甲的方程：
甲设竿子长$x$尺，由“绳索比竿子长5尺”可知，绳索长度为$(x+5)$尺；绳索对折后长度为$\frac{x+5}{2}$尺，此时对折后绳索比竿子短5尺，可列方程：$x - \frac{x+5}{2} =5$，因此甲列的方程正确。
2. 验证乙的方程：
乙设绳索长$x$尺，由“绳索比竿子长5尺”可知，竿子长度为$(x-5)$尺；绳索对折后长度为$\frac{x}{2}$尺，此时对折后绳索比竿子短5尺，可列方程：$(x-5) - \frac{x}{2} =5$，因此乙列的方程也正确。
综上，甲、乙的方程都对，故选C。
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程应用，列方程找等量关系
【点评】
本题结合中国古代数学问题考查一元一次方程的列法，核心是抓住“对折后绳索比竿短5尺”的不变等量关系，通过两种不同的设元方式都能列出正确的方程，体现了列方程解应用题时设未知数的灵活性。
【难度系数】
0.7
