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6. (2025山东济南期末)我国明代数学著作《算法统宗》中有这样一首诗:我问开店李三公,众客都来到店中.一房七客多七客,一房九客一房空.诗的后两句的意思是如果每一间客房住7位房客,那么有7位房客无房可住,如果每一间客房住9位房客,那么就空出一间客房.
(1)该店有多少间客房?到了多少位房客?
(2)假设李三公将客房进行改造后,客房增多,每间客房收25钱,且每间客房最多入住4位房客,一次性订房低于10间,不予优惠;不低于10间但低于20间,给予九折优惠;不低于20间,给予七折优惠.如果诗中的“众客”再次一起入住,那么他们怎样订房更合算?请说明理由.
(1)该店有多少间客房?到了多少位房客?
(2)假设李三公将客房进行改造后,客房增多,每间客房收25钱,且每间客房最多入住4位房客,一次性订房低于10间,不予优惠;不低于10间但低于20间,给予九折优惠;不低于20间,给予七折优惠.如果诗中的“众客”再次一起入住,那么他们怎样订房更合算?请说明理由.
答案
6. 解:(1)设该店有 x 间客房,
由题意得 7x+7=9(x-1).
解得 x=8.
进而 7x+7=63.
答:该店有 8 间客房,到了 63 位房客.
(2)如果诗中的“众客”再次一起入住,那么他们订20间房更合算.理由如下:
因为每间客房最多入住4人,
63÷4=15(间)……3(人),
所以至少需要订16间客房.
因为一次性订房不低于10间但低于20间,给予九折优惠,
所以订16间房需要付 16×25×0.9 = 360(钱).
因为一次性订房等于20间或超过20间,给予七折优惠,
所以订20间房需要付 20×25×0.7 = 350(钱).
因为 350＜360,
所以如果诗中的“众客”再次一起入住,那么他们订20间房更合算.
由题意得 7x+7=9(x-1).
解得 x=8.
进而 7x+7=63.
答:该店有 8 间客房,到了 63 位房客.
(2)如果诗中的“众客”再次一起入住,那么他们订20间房更合算.理由如下:
因为每间客房最多入住4人,
63÷4=15(间)……3(人),
所以至少需要订16间客房.
因为一次性订房不低于10间但低于20间,给予九折优惠,
所以订16间房需要付 16×25×0.9 = 360(钱).
因为一次性订房等于20间或超过20间,给予七折优惠,
所以订20间房需要付 20×25×0.7 = 350(钱).
因为 350＜360,
所以如果诗中的“众客”再次一起入住,那么他们订20间房更合算.
解析
【分析】
（1）本题是一元一次方程实际应用问题，解题核心是抓住“房客总人数不变”的等量关系。我们可先设客房数量为未知数，分别用两种住宿规则表示出总房客数，列出方程求解得到客房数后，再代入计算就能得到房客总人数。
（2）第二问属于最优方案选择问题，首先要根据每间房最多入住4人的规则，计算出至少需要订的客房数量，再对应不同的优惠档次，分别计算出满足入住需求的两种订房方案的总费用，对比费用大小即可得出更合算的订房方式。
【解析】
(1) 设该店有$x$间客房，由题意得两种住宿方案的房客总人数相等，列方程：
$7x+7=9(x-1)$
解方程：
$7x+7=9x-9$
$2x=16$
$x=8$
则房客总人数为$7×8+7=63$（位）
(2) 订20间房更合算，理由如下：
每间客房最多入住4人，$63÷4=15$（间）$\dots\dots3$（人），剩余3人也需1间房，因此至少需要订$15+1=16$间客房。
若订16间房，符合“不低于10间但低于20间，九折优惠”规则，总费用为：$16×25×0.9=360$（钱）
若订20间房，符合“不低于20间，七折优惠”规则，总费用为：$20×25×0.7=350$（钱）
因为$350＜360$，所以订20间房更合算。
【答案】
(1) 该店有8间客房，到了63位房客；
(2) 订20间房更合算。
【知识点】
1. 一元一次方程的实际应用
2. 最优方案选择
3. 有理数混合运算
【点评】
本题以古代数学著作为背景，既考查了利用方程梳理等量关系的能力，又结合实际消费场景考查了方案对比的逻辑思维，解题时需注意不要仅考虑刚好满足入住需求的订房数量，要对比不同优惠档位的总花费，避免漏算更优惠的方案。
【难度系数】
0.6
（1）本题是一元一次方程实际应用问题，解题核心是抓住“房客总人数不变”的等量关系。我们可先设客房数量为未知数，分别用两种住宿规则表示出总房客数，列出方程求解得到客房数后，再代入计算就能得到房客总人数。
（2）第二问属于最优方案选择问题，首先要根据每间房最多入住4人的规则，计算出至少需要订的客房数量，再对应不同的优惠档次，分别计算出满足入住需求的两种订房方案的总费用，对比费用大小即可得出更合算的订房方式。
【解析】
(1) 设该店有$x$间客房，由题意得两种住宿方案的房客总人数相等，列方程：
$7x+7=9(x-1)$
解方程：
$7x+7=9x-9$
$2x=16$
$x=8$
则房客总人数为$7×8+7=63$（位）
(2) 订20间房更合算，理由如下：
每间客房最多入住4人，$63÷4=15$（间）$\dots\dots3$（人），剩余3人也需1间房，因此至少需要订$15+1=16$间客房。
若订16间房，符合“不低于10间但低于20间，九折优惠”规则，总费用为：$16×25×0.9=360$（钱）
若订20间房，符合“不低于20间，七折优惠”规则，总费用为：$20×25×0.7=350$（钱）
因为$350＜360$，所以订20间房更合算。
【答案】
(1) 该店有8间客房，到了63位房客；
(2) 订20间房更合算。
【知识点】
1. 一元一次方程的实际应用
2. 最优方案选择
3. 有理数混合运算
【点评】
本题以古代数学著作为背景，既考查了利用方程梳理等量关系的能力，又结合实际消费场景考查了方案对比的逻辑思维，解题时需注意不要仅考虑刚好满足入住需求的订房数量，要对比不同优惠档位的总花费，避免漏算更优惠的方案。
【难度系数】
0.6
7.(2025四川德阳旌阳区期末)相传古时候有个乡绅摆宴席请客,他看到还有几个人没来,就说道:"怎么该来的还不来呢?"客人们听了,心想:"难道我们是不该来的?"于是有一半客人走了.他一看十分着急,又说了一句:"不该走的倒走了!"剩下的人一听,心想:"那就是说我们该走啊!"于是剩下的客人又走了$\frac{3}{4}$.他着急地一拍大腿,忙说:"我说的不是你们!"最后剩下的3人心想:"不是他们,那不就是我们吗?"于是也都起身走了.最开始来了
24
位客人.答案
7. 24 解析 设最开始来了 x 位客人,由题意得 $x-\frac{1}{2}x-\frac{3}{4}×(x-\frac{1}{2}x)=3.$ 解得 x = 24. 所以最开始来了24位客人.
解析
【分析】
我们可以通过设未知数列方程的方法解决本题。首先明确要求的是最开始的客人数量，我们将其设为未知数$x$，再梳理客人两次离开后的剩余人数关系：第一次走了总人数的一半，剩余人数为总人数的$\frac{1}{2}$；第二次走了第一次剩余人数的$\frac{3}{4}$，即第二次剩余人数是第一次剩余人数的$\frac{1}{4}$，已知最终剩余3人，根据这个等量关系就可以列方程求解。也可以从最后剩余的3人出发，用逆推法逐步算出初始人数。
【解析】
解：设最开始来了$x$位客人。
根据题意，第一次走了一半客人后剩余人数为$x-\frac{1}{2}x$，第二次走了剩余人数的$\frac{3}{4}$后还剩3人，可列方程：
$x-\frac{1}{2}x-\frac{3}{4}×(x-\frac{1}{2}x)=3$
化简方程左边：
$\begin{aligned}x-\frac{1}{2}x-\frac{3}{4}×\frac{1}{2}x&=\frac{1}{2}x-\frac{3}{8}x\\&=\frac{1}{8}x\end{aligned}$
即$\frac{1}{8}x=3$，解得$x=24$。
【答案】
24
【知识点】
一元一次方程的应用；分数的实际应用
【点评】
本题以趣味民间故事为背景，将数学知识和生活场景结合，解题的核心是理清每次客人离开的人数基数，找准剩余人数和初始人数的等量关系，就能快速得到结果。
【难度系数】
0.7
我们可以通过设未知数列方程的方法解决本题。首先明确要求的是最开始的客人数量，我们将其设为未知数$x$，再梳理客人两次离开后的剩余人数关系：第一次走了总人数的一半，剩余人数为总人数的$\frac{1}{2}$；第二次走了第一次剩余人数的$\frac{3}{4}$，即第二次剩余人数是第一次剩余人数的$\frac{1}{4}$，已知最终剩余3人，根据这个等量关系就可以列方程求解。也可以从最后剩余的3人出发，用逆推法逐步算出初始人数。
【解析】
解：设最开始来了$x$位客人。
根据题意，第一次走了一半客人后剩余人数为$x-\frac{1}{2}x$，第二次走了剩余人数的$\frac{3}{4}$后还剩3人，可列方程：
$x-\frac{1}{2}x-\frac{3}{4}×(x-\frac{1}{2}x)=3$
化简方程左边：
$\begin{aligned}x-\frac{1}{2}x-\frac{3}{4}×\frac{1}{2}x&=\frac{1}{2}x-\frac{3}{8}x\\&=\frac{1}{8}x\end{aligned}$
即$\frac{1}{8}x=3$，解得$x=24$。
【答案】
24
【知识点】
一元一次方程的应用；分数的实际应用
【点评】
本题以趣味民间故事为背景，将数学知识和生活场景结合，解题的核心是理清每次客人离开的人数基数，找准剩余人数和初始人数的等量关系，就能快速得到结果。
【难度系数】
0.7
8. ①一题多解 《孙子算经》中有这样一道题:今有器中米,不知其数,前人取半,中人三分取一,后人四分取一,余米一斗五升.问:本米几何? 大意是器物中不知道有多少米,只知道第一个人取了其中的$\frac{1}{2}$,第二个人取了余下的$\frac{1}{3}$,第三个人取了余下的$\frac{1}{4}$,还剩下15升米.问:器物中本来有多少升米?(提示:1斗=10升)
答案
8. 解:设器物中本来有 x 升米,
由题意得 $x-\frac{1}{2}x-\frac{1}{3}×(1-\frac{1}{2})x-\frac{1}{4}×[1-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}×(1-\frac{1}{2})]x=15.$
解得 x=60.
答:器物中本来有 60 升米.
一题多解 设器物中本来有 y 升米,前人取半后,余米$\frac{1}{2}y$升；
中人三分取一后,余米$(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}×\frac{1}{3})y$升,即$\frac{1}{3}y$升;后人四分取一后,余米$(\frac{1}{3}-\frac{1}{3}×\frac{1}{4})y$升,即$\frac{1}{4}y$升,
由题意得 $\frac{1}{4}y=15.$
解得 y=60.
答:器物中本来有 60 升米.
由题意得 $x-\frac{1}{2}x-\frac{1}{3}×(1-\frac{1}{2})x-\frac{1}{4}×[1-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}×(1-\frac{1}{2})]x=15.$
解得 x=60.
答:器物中本来有 60 升米.
一题多解 设器物中本来有 y 升米,前人取半后,余米$\frac{1}{2}y$升；
中人三分取一后,余米$(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}×\frac{1}{3})y$升,即$\frac{1}{3}y$升;后人四分取一后,余米$(\frac{1}{3}-\frac{1}{3}×\frac{1}{4})y$升,即$\frac{1}{4}y$升,
由题意得 $\frac{1}{4}y=15.$
解得 y=60.
答:器物中本来有 60 升米.
解析
【分析】
这是一道以古代数学为背景的一元一次方程应用题，解题前先统一单位：1斗5升=15升。我们可以从两种思路切入解题：思路1：设原有米量为未知数，依次计算三个人各自取走的米量，根据“总量减去三人取走的米量和=剩余15升”的等量关系列方程求解；思路2：逐次计算每次取米后剩余的米占总量的比例，最终剩余米量占总量的$\frac{1}{4}$，根据“总量×剩余占比=15升”列方程，计算过程更简便。
【解析】
单位换算：$1$斗$5$升$=10$升$+5$升$=15$升。
方法1：设器物中本来有$x$升米，
由题意得 $x-\frac{1}{2}x-\frac{1}{3}×(1-\frac{1}{2})x-\frac{1}{4}×[1-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}×(1-\frac{1}{2})]x=15$，
化简得：$\frac{1}{4}x=15$，
解得 $x=60$。
方法2：设器物中本来有$y$升米，
前人取半后，余米$\frac{1}{2}y$升；
中人三分取一后，余米$(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}×\frac{1}{3})y=\frac{1}{3}y$升；
后人四分取一后，余米$(\frac{1}{3}-\frac{1}{3}×\frac{1}{4})y=\frac{1}{4}y$升，
由题意得 $\frac{1}{4}y=15$，
解得 $y=60$。
答：器物中本来有60升米。
【答案】
60升
【知识点】
一元一次方程应用、分数四则运算
【点评】
本题以《孙子算经》的经典问题为载体，既考查方程解决实际问题的能力，也引导学生尝试多角度解题，通过计算剩余占比的方法可大幅简化运算，有助于培养发散思维。
【难度系数】
0.7
这是一道以古代数学为背景的一元一次方程应用题，解题前先统一单位：1斗5升=15升。我们可以从两种思路切入解题：思路1：设原有米量为未知数，依次计算三个人各自取走的米量，根据“总量减去三人取走的米量和=剩余15升”的等量关系列方程求解；思路2：逐次计算每次取米后剩余的米占总量的比例，最终剩余米量占总量的$\frac{1}{4}$，根据“总量×剩余占比=15升”列方程，计算过程更简便。
【解析】
单位换算：$1$斗$5$升$=10$升$+5$升$=15$升。
方法1：设器物中本来有$x$升米，
由题意得 $x-\frac{1}{2}x-\frac{1}{3}×(1-\frac{1}{2})x-\frac{1}{4}×[1-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}×(1-\frac{1}{2})]x=15$，
化简得：$\frac{1}{4}x=15$，
解得 $x=60$。
方法2：设器物中本来有$y$升米，
前人取半后，余米$\frac{1}{2}y$升；
中人三分取一后，余米$(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}×\frac{1}{3})y=\frac{1}{3}y$升；
后人四分取一后，余米$(\frac{1}{3}-\frac{1}{3}×\frac{1}{4})y=\frac{1}{4}y$升，
由题意得 $\frac{1}{4}y=15$，
解得 $y=60$。
答：器物中本来有60升米。
【答案】
60升
【知识点】
一元一次方程应用、分数四则运算
【点评】
本题以《孙子算经》的经典问题为载体，既考查方程解决实际问题的能力，也引导学生尝试多角度解题，通过计算剩余占比的方法可大幅简化运算，有助于培养发散思维。
【难度系数】
0.7
