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1. (2026江苏常州月考)学校组织学生排练节目,其中大合唱节目中,七年级学生人数是参加该节目的学生总人数的一半.如果再增加6名七年级学生,那么七年级学生人数就是参加该节目的学生总人数的$\frac{2}{3}$.求大合唱节目中原来七年级的学生人数.
答案
1. 解:设大合唱节目中原来的学生总人数为t,则大合唱节目中原来七年级的学生人数为$\frac{t}{2}$.
由题意得$\frac{t}{2}+6=\frac{2}{3}(t+6)$.
解得$t=12$.
进而$\frac{t}{2}=6$.
答:大合唱节目中原来七年级的学生人数为6.
由题意得$\frac{t}{2}+6=\frac{2}{3}(t+6)$.
解得$t=12$.
进而$\frac{t}{2}=6$.
答:大合唱节目中原来七年级的学生人数为6.
解析
【分析】
这是一道和差倍分类的一元一次方程应用题，解题思路如下：第一步先梳理数量关系：原来七年级人数是总人数的一半，增加6名七年级学生后，七年级人数变为此时总人数的$\frac{2}{3}$，需注意增加七年级学生的同时，节目总人数也会同步增加6人；第二步选择合适的未知数，可设原来的总人数为$t$，则原来七年级人数可表示为$\frac{t}{2}$；第三步根据变化后的等量关系列方程求解，最后算出原来七年级的人数即可。
【解析】
解：设大合唱节目中原来的学生总人数为$t$，则大合唱节目中原来七年级的学生人数为$\frac{t}{2}$。
由题意得：$\frac{t}{2}+6=\frac{2}{3}(t+6)$
去分母得：$3t + 36 = 4(t + 6)$
去括号得：$3t + 36 = 4t + 24$
移项、合并同类项得：$t = 12$
则原来七年级的学生人数为$\frac{t}{2}=\frac{12}{2}=6$
答：大合唱节目中原来七年级的学生人数为6。
【答案】
6
【知识点】
一元一次方程的应用；和差倍分问题
【点评】
本题是典型的方程实际应用问题，解题关键是准确把握数量变化后对应的等量关系，注意增加参与人员时总人数同步变化的隐藏条件，避免列方程时忽略总人数的变化导致出错。
【难度系数】
0.7
这是一道和差倍分类的一元一次方程应用题，解题思路如下：第一步先梳理数量关系：原来七年级人数是总人数的一半，增加6名七年级学生后，七年级人数变为此时总人数的$\frac{2}{3}$，需注意增加七年级学生的同时，节目总人数也会同步增加6人；第二步选择合适的未知数，可设原来的总人数为$t$，则原来七年级人数可表示为$\frac{t}{2}$；第三步根据变化后的等量关系列方程求解，最后算出原来七年级的人数即可。
【解析】
解：设大合唱节目中原来的学生总人数为$t$，则大合唱节目中原来七年级的学生人数为$\frac{t}{2}$。
由题意得：$\frac{t}{2}+6=\frac{2}{3}(t+6)$
去分母得：$3t + 36 = 4(t + 6)$
去括号得：$3t + 36 = 4t + 24$
移项、合并同类项得：$t = 12$
则原来七年级的学生人数为$\frac{t}{2}=\frac{12}{2}=6$
答：大合唱节目中原来七年级的学生人数为6。
【答案】
6
【知识点】
一元一次方程的应用；和差倍分问题
【点评】
本题是典型的方程实际应用问题，解题关键是准确把握数量变化后对应的等量关系，注意增加参与人员时总人数同步变化的隐藏条件，避免列方程时忽略总人数的变化导致出错。
【难度系数】
0.7
2.某展览馆展出的图片张数和文物、艺术品的件数共计572.其中文物的件数比艺术品的件数的5倍多27,图片的张数比文物、艺术品的件数之和少22,求该展览馆展出的艺术品的件数.
答案
2. 解:设该展览馆展出的艺术品的件数为x,则展出的文物的件数为5x+27.
由题意得$(5x+27+x-22)+x+(5x+27)=572$.
解得$x=45$.
答:该展览馆展出的艺术品的件数为45.
由题意得$(5x+27+x-22)+x+(5x+27)=572$.
解得$x=45$.
答:该展览馆展出的艺术品的件数为45.
解析
【分析】
这是一道一元一次方程的实际应用问题，解题时优先选择设所求量为未知数：题目要求艺术品的件数，直接设其为x最简便。接下来根据题中给定的数量关系依次表示其余未知量：①文物件数比艺术品的5倍多27，即可表示为5x+27；②图片张数比文物、艺术品的件数之和少22，先计算文物和艺术品的总件数为x+(5x+27)，因此图片张数可表示为[x+(5x+27)]-22。最后根据三类展品总数为572的等量关系，将三个量相加列方程，求解即可得到答案。
【解析】
解：设该展览馆展出的艺术品的件数为x，则展出的文物的件数为$\boldsymbol{5x+27}$。
文物和艺术品的总件数为：$x+(5x+27)=6x+27$
图片的张数为：$(6x+27)-22=6x+5$
根据三类展品共计572件，列方程得：
$(6x+5)+x+(5x+27)=572$
合并同类项得：$12x+32=572$
移项计算得：$12x=540$
系数化为1得：$x=45$
答：该展览馆展出的艺术品的件数为45。
【答案】
45
【知识点】
1.一元一次方程的应用
2.和差倍分问题
3.解一元一次方程
【点评】
本题是典型的数量关系类应用题，解题核心是读懂题意、合理设未知数，理清各个量之间的和差倍分关系，找到总数量的等量关系列方程即可，计算难度低，重点考查信息梳理能力。
【难度系数】
0.75
这是一道一元一次方程的实际应用问题，解题时优先选择设所求量为未知数：题目要求艺术品的件数，直接设其为x最简便。接下来根据题中给定的数量关系依次表示其余未知量：①文物件数比艺术品的5倍多27，即可表示为5x+27；②图片张数比文物、艺术品的件数之和少22，先计算文物和艺术品的总件数为x+(5x+27)，因此图片张数可表示为[x+(5x+27)]-22。最后根据三类展品总数为572的等量关系，将三个量相加列方程，求解即可得到答案。
【解析】
解：设该展览馆展出的艺术品的件数为x，则展出的文物的件数为$\boldsymbol{5x+27}$。
文物和艺术品的总件数为：$x+(5x+27)=6x+27$
图片的张数为：$(6x+27)-22=6x+5$
根据三类展品共计572件，列方程得：
$(6x+5)+x+(5x+27)=572$
合并同类项得：$12x+32=572$
移项计算得：$12x=540$
系数化为1得：$x=45$
答：该展览馆展出的艺术品的件数为45。
【答案】
45
【知识点】
1.一元一次方程的应用
2.和差倍分问题
3.解一元一次方程
【点评】
本题是典型的数量关系类应用题，解题核心是读懂题意、合理设未知数，理清各个量之间的和差倍分关系，找到总数量的等量关系列方程即可，计算难度低，重点考查信息梳理能力。
【难度系数】
0.75
3. (2026陕西西安莲湖区月考)某工厂要锻造一段底面直径为100 mm,高为80 mm的圆柱形实心毛坯,需截取一段底面直径为80 mm的圆柱形实心钢材作为原材料,那么这段原材料的高为多少毫米?(列方程解答,锻造前后钢材的体积不变)
答案
3. 解:设这段原材料的高为x mm. 由锻造前后钢材的体积不变,得$π×(\frac{80}{2})^2 x=π×(\frac{100}{2})^2 ×80$,
解得$x=125$.
答:这段原材料的高为125 mm.
解得$x=125$.
答:这段原材料的高为125 mm.
解析
【分析】
本题属于等积变形类的一元一次方程应用题，解题的核心是抓住“锻造前后钢材体积不变”这一等量关系。首先回忆圆柱的体积计算公式：圆柱体积=π×底面半径²×高，接下来设原材料的高为未知数，分别用公式表示出锻造前原材料的体积和锻造后毛坯的体积，令二者相等即可列出一元一次方程，最后解方程求出未知数的值即可。
【解析】
解：设这段原材料的高为x mm。
根据锻造前后钢材的体积不变，可列方程：
$π×(\frac{80}{2})^2 x=π×(\frac{100}{2})^2 ×80$
化简方程，两边同时约去π，得：
$1600x = 2500×80$
计算右侧得：
$1600x = 200000$
系数化为1，解得：
$x=125$
答：这段原材料的高为125 mm。
【答案】
125 mm
【知识点】
一元一次方程的应用；圆柱体积计算；等积变形问题
【点评】
本题是典型的等积变形类应用题，解题关键是准确提取锻造前后体积不变的核心等量关系，结合圆柱体积公式列方程求解即可，主要考查对基础公式的掌握和等量关系的提取能力。
【难度系数】
0.8
本题属于等积变形类的一元一次方程应用题，解题的核心是抓住“锻造前后钢材体积不变”这一等量关系。首先回忆圆柱的体积计算公式：圆柱体积=π×底面半径²×高，接下来设原材料的高为未知数，分别用公式表示出锻造前原材料的体积和锻造后毛坯的体积，令二者相等即可列出一元一次方程，最后解方程求出未知数的值即可。
【解析】
解：设这段原材料的高为x mm。
根据锻造前后钢材的体积不变，可列方程：
$π×(\frac{80}{2})^2 x=π×(\frac{100}{2})^2 ×80$
化简方程，两边同时约去π，得：
$1600x = 2500×80$
计算右侧得：
$1600x = 200000$
系数化为1，解得：
$x=125$
答：这段原材料的高为125 mm。
【答案】
125 mm
【知识点】
一元一次方程的应用；圆柱体积计算；等积变形问题
【点评】
本题是典型的等积变形类应用题，解题关键是准确提取锻造前后体积不变的核心等量关系，结合圆柱体积公式列方程求解即可，主要考查对基础公式的掌握和等量关系的提取能力。
【难度系数】
0.8
4. (2026北京期末)如图,有一块长方形区域,计划在该区域内设置20个停车位.规定每两个相邻的停车位之间设置一个下车区.已知每个停车位的宽度相同,且每个停车位的宽度与下车区的宽度比均为5:3.若这块长方形区域的总长度为78.5 m,求每个停车位的宽度.
答案
4. 解:设每个停车位的宽度是5x m,则每个下车区的宽度是3x m.
由题意得$20×5x+(20-1)×3x=78.5$.
解得$x=0.5$.
进而$5x=5×0.5=2.5$.
答:每个停车位的宽度为2.5 m.
由题意得$20×5x+(20-1)×3x=78.5$.
解得$x=0.5$.
进而$5x=5×0.5=2.5$.
答:每个停车位的宽度为2.5 m.
解析
【分析】
解题时首先根据停车位与下车区的宽度比设未知数，可简化计算；其次明确数量：共有20个停车位，每两个相邻停车位间设置1个下车区，因此下车区数量为$20-1=19$个；最后根据“所有停车位总宽度+所有下车区总宽度=长方形区域总长度”这一等量关系列方程求解即可。
【解析】
解：设每个停车位的宽度是$5x\ \mathrm{m}$，则每个下车区的宽度是$3x\ \mathrm{m}$。
由题意得：
$20×5x+(20-1)×3x=78.5$
化简得：$100x+57x=78.5$
合并同类项得：$157x=78.5$
解得：$x=0.5$
因此每个停车位的宽度为$5x=5×0.5=2.5\ \mathrm{m}$。
答：每个停车位的宽度为2.5 m。
【答案】
2.5 m
【知识点】
1.一元一次方程的实际应用 2.比例的应用 3.间隔问题
【点评】
本题结合生活中的停车场景命题，解题的核心是准确梳理出停车位和下车区的数量关系，找到总长度对应的等量关系，易错点是误算下车区的数量。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据停车位与下车区的宽度比设未知数，可简化计算；其次明确数量：共有20个停车位，每两个相邻停车位间设置1个下车区，因此下车区数量为$20-1=19$个；最后根据“所有停车位总宽度+所有下车区总宽度=长方形区域总长度”这一等量关系列方程求解即可。
【解析】
解：设每个停车位的宽度是$5x\ \mathrm{m}$，则每个下车区的宽度是$3x\ \mathrm{m}$。
由题意得：
$20×5x+(20-1)×3x=78.5$
化简得：$100x+57x=78.5$
合并同类项得：$157x=78.5$
解得：$x=0.5$
因此每个停车位的宽度为$5x=5×0.5=2.5\ \mathrm{m}$。
答：每个停车位的宽度为2.5 m。
【答案】
2.5 m
【知识点】
1.一元一次方程的实际应用 2.比例的应用 3.间隔问题
【点评】
本题结合生活中的停车场景命题，解题的核心是准确梳理出停车位和下车区的数量关系，找到总长度对应的等量关系，易错点是误算下车区的数量。
【难度系数】
0.7
