【变式2】(1)已知$a＞0$,$b＞0$,且$3a+7b= 10$,则$ab$的最大值为____,$\frac {3}{a}+\frac {7}{b}$的最小值为____；
(2)若正实数$a,b满足a+b= 1$,则$\frac {4}{a+1}+\frac {1}{b}$的最小值为____。

(1)$\frac{25}{21}$ 10 (2)$\frac{9}{2}$ (1)因为$a ＞ 0$，$b ＞ 0$，所以$10 = 3a + 7b \geq 2\sqrt{3a \cdot 7b}$，当且仅当$3a = 7b = 5$时，等号成立，所以$ab \leq \frac{25}{21}$，即$ab$的最大值为$\frac{25}{21}$。$\frac{3}{a} + \frac{7}{b} = \frac{1}{10}(\frac{3}{a} + \frac{7}{b})(3a + 7b) = \frac{1}{10}(9 + \frac{21b}{a} + \frac{21a}{b} + 49) \geq \frac{1}{10}(58 + 2\sqrt{\frac{21b}{a} \cdot \frac{21a}{b}}) = 10$，当且仅当$\frac{21b}{a} = \frac{21a}{b}$，即$a = b = 1$时，等号成立，所以$\frac{3}{a} + \frac{7}{b}$的最小值为 10。(2)因为$a + b = 1$，所以$a + 1 + b = 2$，所以$\frac{4}{a + 1} + \frac{1}{b} = \frac{1}{2}(\frac{4}{a + 1} + \frac{1}{b})(a + 1 + b) = \frac{1}{2}(5 + \frac{4b}{a + 1} + \frac{a + 1}{b}) \geq \frac{1}{2}(5 + 2\sqrt{\frac{4b}{a + 1} \cdot \frac{a + 1}{b}}) = \frac{9}{2}$，当且仅当$\frac{4b}{a + 1} = \frac{a + 1}{b}$，即$a = \frac{1}{3}$，$b = \frac{2}{3}$时，等号成立，所以$\frac{4}{a + 1} + \frac{1}{b}$的最小值为$\frac{9}{2}$。

【典例3】已知$x＞0$,$y＞0$,且$xy+x-2y= 4$,求$2x+y$的最小值。
解题指导 利用$y表示出x$,再将$x$代入所求式子中进行化简。
答案 解：因为$xy+x-2y= 4$,所以$(y+1)x= 4+2y$,解得$x= \frac {2y+2+2}{y+1}= 2+\frac {2}{y+1}$,所以$2x+y= 4+\frac {4}{y+1}+y+1-1≥3+2\sqrt {\frac {4}{y+1}\cdot (y+1)}= 7$,当且仅当$\frac {4}{y+1}= y+1$,即$x= 3$,$y= 1$时,等号成立,故$2x+y$的最小值为7。

$2x + y$的最小值为$7$。

【变式3】设正实数$x,y,z满足x^{2}-3xy+9y^{2}-z= 0$,当$\frac {xy}{z}$取得最大值时,求$\frac {x}{y}$的值。

解：因为$x^2 - 3xy + 9y^2 - z = 0$，所以$z = x^2 - 3xy + 9y^2$，所以$\frac{xy}{z} = \frac{xy}{x^2 - 3xy + 9y^2} = \frac{1}{\frac{x}{y} - 3 + \frac{9y}{x}} \leq \frac{1}{2\sqrt{\frac{x}{y} \cdot \frac{9y}{x}} - 3} = \frac{1}{3}$，当且仅当$\frac{x}{y} = \frac{9y}{x}$，即$x = 3y$时，等号成立，此时$\frac{x}{y} = \frac{3y}{y} = 3$。故当$\frac{xy}{z}$取得最大值时，$\frac{x}{y}$的值为 3。

【典例4】设$a＞b＞0$,求$ab+\frac {4}{b^{2}}+\frac {1}{b(a-b)}$的最小值。

解题指导 由式子中分母为$b^{2}和b(a-b)= ab-b^{2}$,可以想到本题需要添加$b^{2}$项进行变形,即原式$=ab-b^{2}+\frac {1}{b(a-b)}+b^{2}+\frac {4}{b^{2}}= b(a-b)+\frac {1}{b(a-b)}+b^{2}+\frac {4}{b^{2}}$。
答案 解：因为$a＞b＞0$,所以$a-b＞0$,
所以$ab+\frac {4}{b^{2}}+\frac {1}{b(a-b)}= ab-b^{2}+\frac {1}{b(a-b)}+b^{2}+\frac {4}{b^{2}}= b(a-b)+\frac {1}{b(a-b)}+b^{2}+\frac {4}{b^{2}}≥2\sqrt {b(a-b)\cdot \frac {1}{b(a-b)}}+2\sqrt {b^{2}\cdot \frac {4}{b^{2}}}= 2+4= 6$,当且仅当$b(a-b)= \frac {1}{b(a-b)}$,$b^{2}= \frac {4}{b^{2}}$时,等号成立,所以$ab+\frac {4}{b^{2}}+\frac {1}{b(a-b)}$的最小值为6。