【典例1】(1)(一题多解)已知$x＞1$,求$y= \frac {x^{2}+7x+10}{x-1}的最小值及此时x$的值；
(2)已知正数$x,y,z满足x^{2}+xy+xz+yz= 18$,求$3x+y+2z$的最小值。

解题指导 (1)将$\frac {x^{2}+7x+10}{x-1}$裂项分离成“整式+真分式”的形式,进而转化为“积定求和最值”问题。
(2)求和的最小值时,要考虑条件中的积为定值,故将等式$x^{2}+xy+xz+yz= 18$的左边进行因式分解,进而转化为“积定求和最值”问题。
答案 解：(1)(一题多解)方法1(凑分母裂项分离)：因为$x＞1$,所以$x-1＞0$,所以$y= \frac {x^{2}+7x+10}{x-1}= \frac {(x-1)^{2}+9(x-1)+18}{x-1}= (x-1)+\frac {18}{x-1}+9≥2\sqrt {(x-1)\cdot \frac {18}{x-1}}+9= 6\sqrt {2}+9$,当且仅当$x-1= \frac {18}{x-1}$,即$x= 3\sqrt {2}+1$时,等号成立,所以$y的最小值为6\sqrt {2}+9$,此时$x= 3\sqrt {2}+1$。
方法2(换元法裂项分离)：令$t= x-1$,则$t＞0$,且$x= t+1$,代入原式,得$y= \frac {(t+1)^{2}+7(t+1)+10}{t}= \frac {t^{2}+9t+18}{t}= t+\frac {18}{t}+9≥2\sqrt {t\cdot \frac {18}{t}}+9= 6\sqrt {2}+9$,当且仅当$t= \frac {18}{t}$,即$t= 3\sqrt {2}$,$x= 3\sqrt {2}+1$时,等号成立,所以$y的最小值为6\sqrt {2}+9$,此时$x= 3\sqrt {2}+1$。
(2)由$x^{2}+xy+xz+yz= 18$,得$x(x+y)+z(x+y)= 18$,即$(x+y)(x+z)= 18$,
所以$3x+y+2z= (x+y)+2(x+z)≥2\sqrt {(x+y)\cdot 2(x+z)}= 12$,当且仅当$x+y= 2(x+z)$时,等号成立,所以$3x+y+2z$的最小值为12。

【变式1】(1)已知$x＞1$,则$y= \frac {x^{2}+8}{x-1}$的最小值是____；

(1)8

(2)已知$0＜x＜\frac {3}{2}$,则$x(3-2x)$的最大值是____。

(2)$\frac{9}{8}$

【典例2】(1)已知$x,y$均为正数,且$\frac {2}{x}+\frac {6}{y}= 1$,求$3x+y$的最小值；

(1)$3x + y$的最小值为$24$；

(2)若正实数$x,y满足2x+8y-xy= 0$,求$\frac {2}{x+y}$的最大值。

(2)$\frac{2}{x + y}$的最大值为$\frac{1}{9}$。