【变式4】已知$a＞0$,$b＞0$,求$\frac {1}{a}+ab^{2}+\frac {2}{b}$的最小值。

解：因为$a ＞ 0$，$b ＞ 0$，所以$\frac{1}{a} + ab^2 \geq 2\sqrt{\frac{1}{a} \cdot ab^2} = 2b$，故$\frac{1}{a} + ab^2 + \frac{2}{b} \geq 2b + \frac{2}{b} \geq 2\sqrt{2b \cdot \frac{2}{b}} = 4$，当且仅当$\frac{1}{a} = ab^2$，且$2b = \frac{2}{b}$，即$a = b = 1$时，等号成立，故$\frac{1}{a} + ab^2 + \frac{2}{b}$的最小值为 4。

1.若$a＞1$,则$4a+\frac {1}{a-1}$的最小值为()
A.4
B.6
C.8
D.无最小值

C 若$a ＞ 1$，则$a - 1 ＞ 0$，$4a + \frac{1}{a - 1} = 4(a - 1) + \frac{1}{a - 1} + 4 \geq 2\sqrt{4(a - 1) \cdot \frac{1}{a - 1}} + 4 = 8$，当且仅当$4(a - 1) = \frac{1}{a - 1}$，即$a = \frac{3}{2}$时，等号成立，所以$4a + \frac{1}{a - 1}$的最小值为 8。

2.(教材改编题)当$x＞0$时,$y= \frac {x^{2}+x+3}{x}$的最小值为()
A.$2\sqrt {3}$
B.$2\sqrt {3}-1$
C.$2\sqrt {3}+1$
D.4

C 因为$x ＞ 0$，所以$y = \frac{x^2 + x + 3}{x} = x + \frac{3}{x} + 1 \geq 2\sqrt{x \cdot \frac{3}{x}} + 1 = 2\sqrt{3} + 1$，当且仅当$x = \frac{3}{x}$，即$x = \sqrt{3}$时，等号成立，所以$y$的最小值为$2\sqrt{3} + 1$。

3.已知正数$x,y满足\frac {x}{2}+y= 1$,则$\frac {1}{x}+\frac {2}{y}$的最小值为()
A.5
B.$\frac {9}{2}$
C.4
D.$\frac {7}{2}$

B 因为$\frac{x}{2} + y = 1$，所以$(\frac{1}{x} + \frac{2}{y})(\frac{x}{2} + y) = \frac{5}{2} + \frac{y}{x} + \frac{x}{y} \geq \frac{5}{2} + 2\sqrt{\frac{y}{x} \cdot \frac{x}{y}} = \frac{9}{2}$，当且仅当$\frac{y}{x} = \frac{x}{y}$，即$x = y = \frac{2}{3}$时，等号成立，故$\frac{1}{x} + \frac{2}{y}$的最小值为$\frac{9}{2}$。

4.已知$0＜x＜1$,则$\frac {1}{x}+\frac {2}{1-x}$的最小值为()
A.6
B.$2\sqrt {2}+3$
C.$2\sqrt {3}+2$
D.4

B 因为$0 ＜ x ＜ 1$，所以$1 - x ＞ 0$，所以$\frac{1}{x} + \frac{2}{1 - x} = \frac{1}{x} - 1 + \frac{2}{1 - x} - 2 + 3 = \frac{1 - x}{x} + \frac{2x}{1 - x} + 3 \geq 2\sqrt{\frac{1 - x}{x} \cdot \frac{2x}{1 - x}} + 3 = 2\sqrt{2} + 3$，当且仅当$\frac{1 - x}{x} = \frac{2x}{1 - x}$，即$x = \sqrt{2} - 1$时，等号成立，故$\frac{1}{x} + \frac{2}{1 - x}$的最小值为$2\sqrt{2} + 3$。

5.若正实数$a,b满足a+b= 2$,则下列结论正确的有____。(填序号)
①$ab$的最大值为1；
②$\frac {1}{a}+\frac {1}{b}$的最大值为2；
③$\sqrt {a}+\sqrt {b}$的最小值为2；
④$a^{2}+b^{2}$的最小值为2；
⑤$a(b+1)的最大值为\frac {9}{4}$。
(提示：①⑤根据“和定积最大”进行求解判断；②③④需要进行变形转换。对于②,$\frac {1}{a}+\frac {1}{b}= \frac {1}{2}(\frac {1}{a}+\frac {1}{b})(a+b)$；对于③,可求$(\sqrt {a}+\sqrt {b})^{2}$的最值；对于④,$a^{2}+b^{2}= (a+b)^{2}-2ab)$

①④⑤ 对于①，$ab \leq (\frac{a + b}{2})^2 = 1$，当且仅当$a = b = 1$时，等号成立，所以$ab$的最大值为 1，故①正确；对于②，$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{2}(\frac{1}{a} + \frac{1}{b})(a + b) = \frac{1}{2}(2 + \frac{b}{a} + \frac{a}{b}) \geq \frac{1}{2}(2 + 2\sqrt{\frac{b}{a} \cdot \frac{a}{b}}) = 2$，当且仅当$\frac{b}{a} = \frac{a}{b}$，即$a = b = 1$时，等号成立，所以$\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$的最小值为 2，故②错误；对于③，$(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = a + b + 2\sqrt{ab} \leq a + b + 2 \times \frac{a + b}{2} = 2(a + b) = 4$，当且仅当$a = b = 1$时，等号成立，所以$\sqrt{a} + \sqrt{b} \leq 2$，所以$\sqrt{a} + \sqrt{b}$的最大值为 2，故③错误；对于④，$a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = 4 - 2ab \geq 4 - 2 \times \frac{(a + b)^2}{4} = 2$，当且仅当$a = b = 1$时，等号成立，所以$a^2 + b^2$的最小值为 2，故④正确；对于⑤，$a(b + 1) \leq \frac{(a + b + 1)^2}{4} = \frac{9}{4}$，当且仅当$a = b + 1$，即$a = \frac{3}{2}$，$b = \frac{1}{2}$时，等号成立，所以$a(b + 1)$的最大值为$\frac{9}{4}$，故⑤正确。综上，结论正确的有①④⑤。