1.(5分)计算$(x-1)^2$的结果是 （）

A.$x^2 -1$
B.$x^2 -x +1$
C.$x^2 -2x +1$
D.$x^2 +2x +1$

1. C

【分析】
本题考查整式乘法中完全平方公式的应用，解题思路如下：首先观察到$(x-1)^2$是两个相同的二项式$(x-1)$相乘的形式，我们可以有两种解题路径：一是直接调用完全平方差公式，将对应字母代入公式计算；二是用多项式乘多项式的法则逐项相乘后合并同类项，两种方法都能得到正确结果，避免因记错公式出现错误。
【解析】
方法一：利用完全平方差公式计算
完全平方差公式为：$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
本题中$a=x$，$b=1$，代入公式可得：
$(x-1)^2=x^2-2· x·1 +1^2=x^2-2x+1$
方法二：利用多项式乘多项式法则计算
$(x-1)^2=(x-1)(x-1)$
根据多项式乘多项式法则，用第一个多项式的每一项乘第二个多项式的每一项，再把所得的积相加：
$=x· x - x·1 -1· x +1×1$
$=x^2 -x -x +1$
合并同类项后得：$x^2-2x+1$
因此对应选项为C。
【答案】
C
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 多项式乘多项式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对完全平方公式的掌握程度，做题时要注意区分完全平方公式和平方差公式的结构，不要遗漏中间的交叉项，是整式乘法部分的高频基础考点。
【难度系数】
0.9

2.(5分)下列多项式乘法中，能用完全平方公式计算的是 ()

A.$(2a+b)(a-2b)$
B.$(a+2b)(2b-a)$
C.$(2a+b)(-2a-b)$
D.$(b-2a)(-2a-b)$

2. C

【分析】
要解决这道题，首先要明确完全平方公式的结构特征：完全平方公式适用于两个完全相同的二项式相乘，或两个二项式的所有项都互为相反数的情况，可变形为$(a\pm b)^2$的形式；同时要注意和平方差公式区分，平方差公式的特征是两个因式中有一项相同、另一项互为相反数。解题时只需将每个选项的式子适当变形，判断是否符合完全平方公式的结构即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 选项A：$(2a+b)(a-2b)$，两个因式的第一项$2a$和$a$既不相等也不互为相反数，第二项$b$和$-2b$也不相等或互为相反数，不符合完全平方公式特征，排除；
2. 选项B：$(a+2b)(2b-a)$，变形为$(2b+a)(2b-a)$，其中$2b$是相同项，$a$和$-a$是相反项，符合平方差公式特征，不能用完全平方公式，排除；
3. 选项C：$(2a+b)(-2a-b)$，将第二个因式提取负号可得：$(2a+b)[-(2a+b)]=-(2a+b)^2$，可通过完全平方公式展开计算，符合要求；
4. 选项D：$(b-2a)(-2a-b)$，变形为$(-2a+b)(-2a-b)$，其中$-2a$是相同项，$b$和$-b$是相反项，符合平方差公式特征，不能用完全平方公式，排除。
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，多项式乘法
【点评】
本题核心考查乘法公式的结构识别，解题关键是准确判断两个因式的项的对应关系，注意对式子适当变形后再判断，避免混淆完全平方公式和平方差公式的适用条件。
【难度系数】
0.7

3.(5分)如图,对正方形进行分割,利用面积恒等能验证的等式是 ()

A.$(x-2)^2 = x^2 -4x +4$
B.$(x+2)^2 = x^2 +4x +4$
C.$(x+2)(x-2)=x^2 -4$
D.$x(x-2)=x^2 -2x$

（第3题图）
（第5题图）

3. B

【分析】
解题时首先从整体和局部两个角度计算大正方形的面积：①先确定大正方形的边长，用边长的平方表示整体面积；②分别计算分割后4个小图形的面积，求和得到总面积；最后利用面积相等建立等式，再匹配选项即可得到答案。
【解析】
第一步：计算大正方形的整体面积
由图可知，大正方形的边长为$x+2$，因此面积为$(x+2)^2$。
第二步：计算分割后各部分的面积和
大正方形被分为4个部分：边长为2的小正方形面积为4，2个长为$x$、宽为2的长方形面积各为$2x$，边长为$x$的正方形面积为$x^2$，因此总面积为：
$x^2 + 2x + 2x + 4 = x^2 + 4x + 4$
第三步：建立面积恒等式
两种方法计算的都是大正方形的面积，因此可得：
$(x+2)^2 = x^2 + 4x + 4$
对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式；面积法验证等式；整式运算
【点评】
本题借助几何图形的面积关系推导完全平方公式，体现了数形结合的思想，能帮助学生更直观地理解公式的来源，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8

4.(5分)已知$(3x+a)^2=9x^2+bx+4$，则b的值为（）

A.4
B.$\pm6$
C.12
D.$\pm12$

4. D

【分析】
本题可利用完全平方公式展开等式左侧，再根据等式两边多项式相等时对应项的系数相等的规则求解。首先回忆完全平方公式有和、差两种形式，展开后先通过常数项求出a的取值，再代入计算b的值，注意不要漏掉负数的情况。
【解析】
根据完全平方公式$(m\pm n)^2=m^2\pm2mn+n^2$，将等式左边展开：
$(3x+a)^2=(3x)^2+2×3x· a+a^2=9x^2+6ax+a^2$
已知$(3x+a)^2=9x^2+bx+4$，因此等式两边对应项系数相等：
1. 常数项对应：$a^2=4$，解得$a=2$或$a=-2$；
2. 一次项系数对应：$b=6a$。
当$a=2$时，$b=6×2=12$；当$a=-2$时，$b=6×(-2)=-12$。
综上，$b$的值为$\pm12$。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式，多项式相等的条件
【点评】
本题是完全平方公式的典型应用题型，解题核心是熟练掌握完全平方公式的两种展开形式，避免因忽略差的平方的情况导致漏解，同时要掌握多项式相等时对应项系数相等的运用规则。
【难度系数】
0.7

5.(5分)(教材P117习题T5变式)如图，正方形的边长增加1 cm，它的面积就增加7 cm²，则原来正方形的边长是（）

A.4 cm
B.3 cm
C.2 cm
D.1 cm

5. B

【分析】
要解决这个问题，我们可以通过设未知数建立方程求解：第一步先设原来正方形的边长为未知数，分别表示出原正方形和边长增加后的正方形的面积；第二步根据“面积增加7cm²”的等量关系列方程；第三步利用完全平方公式展开化简方程，最后求解得到原边长即可。
【解析】
设原来正方形的边长为$ x\ \mathrm{cm} $。
原正方形的面积为$ x^2\ \mathrm{cm}^2 $，边长增加1cm后，新正方形的边长为$ (x+1)\ \mathrm{cm} $，面积为$ (x+1)^2\ \mathrm{cm}^2 $。
根据题意，面积差为7cm²，可列方程：
$(x+1)^2 - x^2 = 7$
利用完全平方公式展开左边：
$x^2 + 2x + 1 - x^2 = 7$
化简得：
$2x + 1 = 7$
移项计算：
$2x = 6 \implies x = 3$
即原来正方形的边长是3cm。
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式，正方形面积计算，一元一次方程应用
【点评】
本题是结合几何图形面积变化的代数应用题，解题核心是抓住面积变化的等量关系建立方程，再利用完全平方公式化简求解，属于基础题型，能有效考查学生对公式的应用能力和方程思想的掌握程度。
【难度系数】
0.8

6.(4分)在横线上填入适当的数或式子，使等式成立.
(1)$x^2 + 4x + \_\_\_\_\_\_ = (x + \_\_\_\_\_\_)^2$;
(2)$4x^2 - \_\_\_\_\_\_ + 9 = (2x - 3)^2$;
(3)$(2a + b)^2 = (2a - b)^2 + \_\_\_\_\_\_$.

(1) 4 2 (2) 12x (3) 8ab

【分析】
本题考查完全平方公式的应用，解题核心是牢记完全平方公式的结构：$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$，解题时可通过公式展开后对比等式两边的项，即可求出空缺的内容。
(1) 观察等式左边的二次项和一次项，对应公式中$a=x$，通过一次项系数求出$b$的值，再求出常数项即可；
(2) 直接将右侧的完全平方式展开，对比左侧的项即可得到空缺的一次项；
(3) 分别将左右两侧的完全平方式展开，通过整式的减法运算即可求出需要补充的项。
【解析】
(1) 根据完全平方和公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，对比左边$x^2+4x+$___，可得$a=x$，$2ab=4x$，代入$a=x$得$2b=4$，解得$b=2$，因此常数项为$b^2=2^2=4$，即$x^2+4x+4=(x+2)^2$。
(2) 先展开右侧的完全平方式：$(2x-3)^2=(2x)^2-2×2x×3+3^2=4x^2-12x+9$，对比左侧$4x^2-$___$+9$，可得知空缺项为$12x$。
(3) 分别展开两个完全平方式：
左边：$(2a+b)^2=4a^2+4ab+b^2$
右边：$(2a-b)^2=4a^2-4ab+b^2$
设空缺项为$A$，则$4a^2+4ab+b^2=4a^2-4ab+b^2+A$
移项计算得$A=(4a^2+4ab+b^2)-(4a^2-4ab+b^2)=8ab$。
【答案】
(1) $\boxed{4}$，$\boxed{2}$；(2) $\boxed{12x}$；(3) $\boxed{8ab}$
【知识点】
完全平方公式，整式的加减运算
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，重点考查对完全平方公式结构特征的理解和掌握，熟练记忆公式的展开形式，通过对比系数或展开计算即可快速解题，是后续学习因式分解、解一元二次方程的重要基础。
【难度系数】
0.8

7.(5分)用若干张如图所示的正方形卡片和长方形卡片拼成一个边长为$a+2b$的正方形，需要张B类卡片.

7. 4

【分析】
要解决这个问题，我们可以利用面积相等的思路：拼成的大正方形的总面积等于所有用到的卡片面积之和。首先计算边长为(a+2b)的大正方形的面积，用完全平方公式展开后，找到ab项的系数，就是所需B类卡片的张数。
【解析】
首先计算三类卡片的面积：
A类是边长为a的正方形，面积为$S_A=a^2$；
B类是长为a、宽为b的长方形，面积为$S_B=ab$；
C类是边长为b的正方形，面积为$S_C=b^2$。
边长为$a+2b$的大正方形面积为：
$\begin{aligned}(a+2b)^2 &= a^2 + 2· a· 2b + (2b)^2 \\&= a^2 + 4ab + 4b^2\end{aligned}$
展开式中$ab$项的系数为4，说明需要4张面积为$ab$的B类卡片。
【答案】
4
【知识点】
1.完全平方公式 2.面积等量关系 3.整式运算
【点评】
本题结合几何拼图考查完全平方公式的几何意义，将代数运算和几何图形的面积计算结合，能直观体现完全平方公式的展开原理，是代数与几何结合的典型基础题。
【难度系数】
0.8

8.(16分)计算：
(1) $(\dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{3})^2$；
(2) $(-mn + 2)^2$；
(3) $(4a - b^2)^2$；
(4) $(-3x - 4y)^2$。

8. 解:(1)原式=$\frac{1}{4}x^2 - 2· \frac{1}{2}x· \frac{1}{3} + \frac{1}{9} = \frac{1}{4}x^2 - \frac{1}{3}x + \frac{1}{9}$. (2)原式=$(-mn)^2 + 2· (-mn)· 2 + 2^2 = m^2n^2 -4mn +4$. (3)原式=$(4a)^2 -2· 4a· b^2 + (b^2)^2 = 16a^2 -8ab^2 +b^4$. (4)原式=$9x^2 -2· (-3x)· 4y +16y^2 =9x^2 +24xy +16y^2$.

【分析】
这4道小题均考查完全平方公式的应用，完全平方公式为$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$。解题时首先要确定每个式子中对应公式里的“a”和“b”，注意带负号的项要将符号归属到对应的项中，再严格按照公式展开，最后对各项进行化简计算即可，展开时注意不要遗漏中间的2倍项，也要注意幂运算、符号运算的正确性。
【解析】
(1) 把$\frac{1}{2}x$看作公式中的$a$，$\frac{1}{3}$看作公式中的$b$，套用差的完全平方公式：
原式=$(\frac{1}{2}x)^2 - 2·\frac{1}{2}x·\frac{1}{3} + (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{4}x^2 - \frac{1}{3}x + \frac{1}{9}$
(2) 把$-mn$看作公式中的$a$，2看作公式中的$b$，套用和的完全平方公式：
原式=$(-mn)^2 + 2·(-mn)·2 + 2^2 = m^2n^2 -4mn +4$
(3) 把$4a$看作公式中的$a$，$b^2$看作公式中的$b$，套用差的完全平方公式：
原式=$(4a)^2 -2·4a·b^2 + (b^2)^2 = 16a^2 -8ab^2 +b^4$
(4) 把$-3x$看作公式中的$a$，$-4y$看作公式中的$b$，套用和的完全平方公式：
原式=$(-3x)^2 + 2·(-3x)·(-4y) + (-4y)^2 =9x^2 +24xy +16y^2$
【答案】
(1) $\frac{1}{4}x^2 - \frac{1}{3}x + \frac{1}{9}$
(2) $m^2n^2 -4mn +4$
(3) $16a^2 -8ab^2 +b^4$
(4) $9x^2 +24xy +16y^2$
【知识点】
完全平方公式，积的乘方运算，幂的乘方运算
【点评】
本题是完全平方公式的常规基础应用，解题核心是准确识别公式中的两个项，注意符号、系数及幂的运算规则，避免出现漏算2倍项、符号错误、幂运算次数错误等常见问题，熟练掌握公式后可快速解答。
【难度系数】
0.85

9.(10分)运用完全平方公式进行计算：
(1)$(20 \frac{1}{2})^2$；
(2)$99.8^2$.

9. 解:(1)原式=$(20+\frac{1}{2})^2 =400 +2×20×\frac{1}{2} +\frac{1}{4}=420\frac{1}{4}$. (2)原式=$(100-0.2)^2=10\ 000 -2×100×0.2 +0.04=9\ 960.04$.

【分析】
这两道题都是较大数或非整数的平方计算，直接运算较繁琐，可利用完全平方公式简化计算。解题思路为：先将原式中的数拆分成两个容易计算的数的和或差，再对应套用完全平方和公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$或完全平方差公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$展开，最后计算结果即可。
(1)中$20\frac{1}{2}$可拆为$20+\frac{1}{2}$，用完全平方和公式计算；(2)中99.8接近100，可拆为$100-0.2$，用完全平方差公式计算。
【解析】
(1) 计算$(20 \frac{1}{2})^2$：
原式$=(20+\frac{1}{2})^2$
根据完全平方和公式展开得：
$=20^2 + 2×20×\frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2$
逐项计算后合并：
$=400 + 20 + \frac{1}{4}=420\frac{1}{4}$
(2) 计算$99.8^2$：
原式$=(100-0.2)^2$
根据完全平方差公式展开得：
$=100^2 - 2×100×0.2 + (0.2)^2$
逐项计算后合并：
$=10000 - 40 + 0.04=9960.04$
【答案】
(1)$420\frac{1}{4}$；(2)$9960.04$
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 有理数简便运算
【点评】
本题考查完全平方公式在简便计算中的实际应用，解题关键是掌握凑整拆数的技巧，将复杂的平方运算转化为简单的四则运算，既提升计算速度也能降低出错概率。
【难度系数】
0.85