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9.(14分)先化简,再求值:
(1)$(2a+b)(2a-b)-(a+b)(4a-b)$,其中$a=-\sqrt{2},b=2$;
(2)$3a(2a+1)-(2a+1)(2a-1)$,其中$a$满足$2a^2+3a-6=0$.
(1)$(2a+b)(2a-b)-(a+b)(4a-b)$,其中$a=-\sqrt{2},b=2$;
(2)$3a(2a+1)-(2a+1)(2a-1)$,其中$a$满足$2a^2+3a-6=0$.
答案
9. 解：(1)原式=$4a^2-b^2-4a^2+ab-4ab+b^2=-3ab$.当$a=-\sqrt{2},b=2$时，原式=$-3×(-\sqrt{2})×2=6\sqrt{2}$.(2)原式=$6a^2+3a-4a^2+1=2a^2+3a+1$.$\because 2a^2+3a-6=0,\therefore 2a^2+3a=6$.$\therefore$原式=$6+1=7$.
解析
【分析】
本题分为两个整式化简求值的小题，解题思路如下：
(1) 先观察式子结构，第一个乘积项$(2a+b)(2a-b)$符合平方差公式的形式，可直接用公式展开；第二个乘积项$(a+b)(4a-b)$属于多项式乘多项式，需逐项相乘展开，之后去括号、合并同类项得到最简式，最后将$a$、$b$的取值代入最简式计算即可。
(2) 先分别计算单项式乘多项式和用平方差公式展开后面的乘积项，去括号合并同类项后，发现化简结果中含有和已知等式左边相同的部分$2a^2+3a$，此时无需解出$a$的值，将已知等式变形得到$2a^2+3a$的值，整体代入即可求出结果，简化计算。
【解析】
(1) 利用平方差公式和多项式乘法法则展开：
原式$=(4a^2 - b^2) - (4a^2 - ab + 4ab - b^2)$
去括号得：$4a^2 - b^2 - 4a^2 + ab - 4ab + b^2$
合并同类项得最简式：$-3ab$
将$a=-\sqrt{2},b=2$代入最简式：
原式$=-3×(-\sqrt{2})×2=6\sqrt{2}$
(2) 利用单项式乘多项式法则和平方差公式展开：
原式$=6a^2 + 3a - (4a^2 - 1)$
去括号得：$6a^2 + 3a - 4a^2 + 1$
合并同类项得最简式：$2a^2 + 3a + 1$
由$2a^2 + 3a - 6=0$移项可得$2a^2 + 3a=6$，将其整体代入最简式：
原式$=6 + 1=7$
【答案】
(1) $6\sqrt{2}$；(2) $7$
【知识点】
平方差公式；整式混合运算；整体代入求值
【点评】
本题是整式化简求值的常规题型，既考查了平方差公式、多项式乘法等运算法则的应用，也考查了整体代入的数学思想，解题时要注意去括号时的符号变化，第二问巧用整体代入可避免求解未知数，大幅简化运算。
【难度系数】
0.75
本题分为两个整式化简求值的小题，解题思路如下：
(1) 先观察式子结构，第一个乘积项$(2a+b)(2a-b)$符合平方差公式的形式，可直接用公式展开；第二个乘积项$(a+b)(4a-b)$属于多项式乘多项式，需逐项相乘展开，之后去括号、合并同类项得到最简式，最后将$a$、$b$的取值代入最简式计算即可。
(2) 先分别计算单项式乘多项式和用平方差公式展开后面的乘积项，去括号合并同类项后，发现化简结果中含有和已知等式左边相同的部分$2a^2+3a$，此时无需解出$a$的值，将已知等式变形得到$2a^2+3a$的值，整体代入即可求出结果，简化计算。
【解析】
(1) 利用平方差公式和多项式乘法法则展开：
原式$=(4a^2 - b^2) - (4a^2 - ab + 4ab - b^2)$
去括号得：$4a^2 - b^2 - 4a^2 + ab - 4ab + b^2$
合并同类项得最简式：$-3ab$
将$a=-\sqrt{2},b=2$代入最简式：
原式$=-3×(-\sqrt{2})×2=6\sqrt{2}$
(2) 利用单项式乘多项式法则和平方差公式展开：
原式$=6a^2 + 3a - (4a^2 - 1)$
去括号得：$6a^2 + 3a - 4a^2 + 1$
合并同类项得最简式：$2a^2 + 3a + 1$
由$2a^2 + 3a - 6=0$移项可得$2a^2 + 3a=6$，将其整体代入最简式：
原式$=6 + 1=7$
【答案】
(1) $6\sqrt{2}$；(2) $7$
【知识点】
平方差公式；整式混合运算；整体代入求值
【点评】
本题是整式化简求值的常规题型，既考查了平方差公式、多项式乘法等运算法则的应用，也考查了整体代入的数学思想，解题时要注意去括号时的符号变化，第二问巧用整体代入可避免求解未知数，大幅简化运算。
【难度系数】
0.75
10.（12分）培养代数推理能力 对于任意正整数n，整式(3n+1)(3n−1)−(3−n)(3+n)的值一定是10的倍数吗？试说明理由。
答案
10. 解：一定是，理由如下：$(3n+1)(3n-1)-(3-n)(3+n)=9n^2-1-(9-n^2)=9n^2-1-9+n^2=10n^2-10=10(n^2-1)$.$\because n$是正整数，$\therefore n^2-1$是整数.$\therefore$整式$(3n+1)(3n-1)-(3-n)(3+n)$的值一定是10的倍数.
解析
【分析】要判断整式的值是否为10的倍数，需先对整式进行化简，观察化简结果是否含有因数10。整式中的两个乘积项均符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的结构，可先利用平方差公式分别展开两项，再合并同类项，最后对化简结果因式分解，结合n是正整数的条件即可完成判断。
【解析】
解：利用平方差公式展开并化简原式：
$\begin{aligned}(3n+1)(3n-1)-(3-n)(3+n)&=(3n)^2-1^2-(3^2-n^2)\\&=9n^2-1-(9-n^2)\\&=9n^2-1-9+n^2\\&=10n^2-10\\&=10(n^2-1)\end{aligned}$
∵n是正整数，
∴$n^2-1$是整数，
∴$10(n^2-1)$是10的倍数，即原整式的值一定是10的倍数。
【答案】一定是，理由如下：$(3n+1)(3n-1)-(3-n)(3+n)=9n^2-1-(9-n^2)=9n^2-1-9+n^2=10n^2-10=10(n^2-1)$。$\because n$是正整数，$\therefore n^2-1$是整数。$\therefore$整式$(3n+1)(3n-1)-(3-n)(3+n)$的值一定是10的倍数。
【知识点】
1. 平方差公式
2. 整式化简
3. 提公因式法因式分解
【点评】本题考查代数推理能力的应用，解题核心是准确识别式子的结构特征，熟练运用平方差公式展开化简，再结合整数的性质判断整除性，属于整式运算的基础应用题型。
【难度系数】
0.75
【解析】
解：利用平方差公式展开并化简原式：
$\begin{aligned}(3n+1)(3n-1)-(3-n)(3+n)&=(3n)^2-1^2-(3^2-n^2)\\&=9n^2-1-(9-n^2)\\&=9n^2-1-9+n^2\\&=10n^2-10\\&=10(n^2-1)\end{aligned}$
∵n是正整数，
∴$n^2-1$是整数，
∴$10(n^2-1)$是10的倍数，即原整式的值一定是10的倍数。
【答案】一定是，理由如下：$(3n+1)(3n-1)-(3-n)(3+n)=9n^2-1-(9-n^2)=9n^2-1-9+n^2=10n^2-10=10(n^2-1)$。$\because n$是正整数，$\therefore n^2-1$是整数。$\therefore$整式$(3n+1)(3n-1)-(3-n)(3+n)$的值一定是10的倍数。
【知识点】
1. 平方差公式
2. 整式化简
3. 提公因式法因式分解
【点评】本题考查代数推理能力的应用，解题核心是准确识别式子的结构特征，熟练运用平方差公式展开化简，再结合整数的性质判断整除性，属于整式运算的基础应用题型。
【难度系数】
0.75
11.(10分) 渗透数形结合思想 探究：
如图①，在边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图①中的阴影部分割补成一个长方形（如图②所示）。通过观察比较两个图中阴影部分的面积，可以得到等式：$\boldsymbol{(a+b)(a-b)=a^2 - b^2}$？不对，按要求下划线保留，应该是
应用：
(1)已知$4m^2=12+n^2$，$2m+n=4$，则$2m-n$的值为
(2)计算：$2026^2 - 2027 × 2025=$
拓展：
(3)计算：$100^2 - 99^2 + 98^2 - 97^2 + \dots + 4^2 - 3^2 + 2^2 - 1^2$。
如图①，在边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图①中的阴影部分割补成一个长方形（如图②所示）。通过观察比较两个图中阴影部分的面积，可以得到等式：$\boldsymbol{(a+b)(a-b)=a^2 - b^2}$？不对，按要求下划线保留，应该是
$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
。（用含a,b的式子表示）应用：
(1)已知$4m^2=12+n^2$，$2m+n=4$，则$2m-n$的值为
3
；(2)计算：$2026^2 - 2027 × 2025=$
1
；拓展：
(3)计算：$100^2 - 99^2 + 98^2 - 97^2 + \dots + 4^2 - 3^2 + 2^2 - 1^2$。
答案
11. 解：$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ (1) 3 (2) 1 (3)$100^2-99^2+98^2-97^2+\dots+4^2-3^2+2^2-1^2=(100+99)×(100-99)+(98+97)×(98-97)+\dots+(4+3)×(4-3)+(2+1)×(2-1)=100+99+98+97+\dots+4+3+2+1=5\ 050$.
解析
【分析】
1. 探究部分：运用数形结合思想，分别计算两个图形阴影部分的面积，图①阴影面积为大正方形面积减小正方形面积，图②拼合后的长方形面积为长乘宽，两部分阴影面积相等即可得到对应等式。
2. 应用(1)：先将已知等式变形为平方差的结构，再用平方差公式因式分解，代入已知条件即可求解。
3. 应用(2)：将乘法项改写为符合平方差公式的形式，展开后即可简化计算。
4. 拓展(3)：将相邻两个平方项分为一组，每组用平方差公式分解后，转化为求连续自然数的和，再计算即可。
【解析】
探究
图①阴影部分面积：$S_1=a^2 - b^2$；
图②长方形的长为$a+b$，宽为$a-b$，面积：$S_2=(a+b)(a-b)$；
因两图阴影面积相等，故$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$。
(1)求$2m-n$的值
由$4m^2=12+n^2$得：$4m^2 - n^2=12$，
左边分解为：$(2m)^2 - n^2=(2m+n)(2m-n)=12$，
代入$2m+n=4$，得$4×(2m-n)=12$，解得$2m-n=3$。
(2)计算$2026^2 - 2027 × 2025$
将$2027×2025$改写为$(2026+1)(2026-1)$，
原式=$2026^2 - (2026^2 - 1^2)=2026^2 - 2026^2 +1=1$。
(3)计算$100^2 - 99^2 + 98^2 - 97^2 + \dots + 2^2 - 1^2$
分组后用平方差公式分解：
$\begin{aligned}原式&=(100+99)(100-99)+(98+97)(98-97)+\dots+(2+1)(2-1)\\&=100+99+98+97+\dots+2+1\\&=\frac{(1+100)×100}{2}=5050\end{aligned}$
【答案】
探究：$\boldsymbol{a^2-b^2=(a+b)(a-b)}$；(1) $\boldsymbol{3}$；(2) $\boldsymbol{1}$；(3) $\boldsymbol{5050}$
【知识点】
平方差公式，代数式求值，简便运算
【点评】
本题从平方差公式的数形推导出发，层层递进考查公式的灵活应用，解题核心是准确识别平方差公式的结构特征，利用公式简化复杂运算，能有效考查对公式的理解和应用能力。
【难度系数】
0.7
1. 探究部分：运用数形结合思想，分别计算两个图形阴影部分的面积，图①阴影面积为大正方形面积减小正方形面积，图②拼合后的长方形面积为长乘宽，两部分阴影面积相等即可得到对应等式。
2. 应用(1)：先将已知等式变形为平方差的结构，再用平方差公式因式分解，代入已知条件即可求解。
3. 应用(2)：将乘法项改写为符合平方差公式的形式，展开后即可简化计算。
4. 拓展(3)：将相邻两个平方项分为一组，每组用平方差公式分解后，转化为求连续自然数的和，再计算即可。
【解析】
探究
图①阴影部分面积：$S_1=a^2 - b^2$；
图②长方形的长为$a+b$，宽为$a-b$，面积：$S_2=(a+b)(a-b)$；
因两图阴影面积相等，故$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$。
(1)求$2m-n$的值
由$4m^2=12+n^2$得：$4m^2 - n^2=12$，
左边分解为：$(2m)^2 - n^2=(2m+n)(2m-n)=12$，
代入$2m+n=4$，得$4×(2m-n)=12$，解得$2m-n=3$。
(2)计算$2026^2 - 2027 × 2025$
将$2027×2025$改写为$(2026+1)(2026-1)$，
原式=$2026^2 - (2026^2 - 1^2)=2026^2 - 2026^2 +1=1$。
(3)计算$100^2 - 99^2 + 98^2 - 97^2 + \dots + 2^2 - 1^2$
分组后用平方差公式分解：
$\begin{aligned}原式&=(100+99)(100-99)+(98+97)(98-97)+\dots+(2+1)(2-1)\\&=100+99+98+97+\dots+2+1\\&=\frac{(1+100)×100}{2}=5050\end{aligned}$
【答案】
探究：$\boldsymbol{a^2-b^2=(a+b)(a-b)}$；(1) $\boldsymbol{3}$；(2) $\boldsymbol{1}$；(3) $\boldsymbol{5050}$
【知识点】
平方差公式，代数式求值，简便运算
【点评】
本题从平方差公式的数形推导出发，层层递进考查公式的灵活应用，解题核心是准确识别平方差公式的结构特征，利用公式简化复杂运算，能有效考查对公式的理解和应用能力。
【难度系数】
0.7
