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一、选择题
1. 标枪飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，标枪距离地面的高度$h$ m与标枪被掷出后经过的时间$t$ s之间的关系如下表.有下列结论：① 标枪距离地面的最大高度大于20 m；② 标枪飞行路线的对称轴是直线$t=\frac{9}{2}$；③ 标枪被掷出9 s时落地；④ 标枪被掷出1.5 s时，距离地面的高度是11 m.其中正确的个数是().
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
1. 标枪飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，标枪距离地面的高度$h$ m与标枪被掷出后经过的时间$t$ s之间的关系如下表.有下列结论：① 标枪距离地面的最大高度大于20 m；② 标枪飞行路线的对称轴是直线$t=\frac{9}{2}$；③ 标枪被掷出9 s时落地；④ 标枪被掷出1.5 s时，距离地面的高度是11 m.其中正确的个数是().
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
C
解析
【分析】
标枪高度h与时间t满足二次函数关系，我们首先利用待定系数法求出二次函数的解析式，再结合二次函数的性质（顶点最值、对称轴）、解方程等知识，逐一验证4个结论是否正确，最终统计正确结论的个数即可。
【解析】
设高度h关于时间t的二次函数解析式为$h=at^2+bt+c$。
由表格可知$t=0$时$h=0$，代入得$c=0$，故解析式简化为$h=at^2+bt$。
将$(1,8)$、$(2,14)$代入解析式：
$\begin{cases}a + b = 8 \\4a + 2b = 14\end{cases}$
解得$a=-1$，$b=9$，因此函数解析式为$h=-t^2+9t$。
接下来逐一判断结论：
① 求最大高度：二次函数开口向下，顶点处取最大值。顶点横坐标$t=-\frac{b}{2a}=\frac{9}{2}=4.5\,\mathrm{s}$，代入得$h=-4.5^2 +9×4.5=20.25\,\mathrm{m}＞20\,\mathrm{m}$，故①正确。
② 二次函数对称轴为直线$t=\frac{9}{2}$，故②正确。
③ 标枪落地时$h=0$，解方程$-t^2+9t=0$，得$t_1=0$（掷出时刻，舍去），$t_2=9\,\mathrm{s}$，故9s时落地，③正确。
④ 当$t=1.5\,\mathrm{s}$时，代入解析式得$h=-1.5^2 +9×1.5=11.25\,\mathrm{m}≠11\,\mathrm{m}$，故④错误。
综上，正确的结论有①②③，共3个。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的应用；待定系数法求解析式；二次函数的性质
【点评】
本题结合实际运动场景考查二次函数的相关知识，解题关键是先准确求出函数解析式，再结合二次函数的顶点、对称轴、解方程等知识点逐一验证结论，计算时注意避免出现运算错误。
【难度系数】
0.7
标枪高度h与时间t满足二次函数关系，我们首先利用待定系数法求出二次函数的解析式，再结合二次函数的性质（顶点最值、对称轴）、解方程等知识，逐一验证4个结论是否正确，最终统计正确结论的个数即可。
【解析】
设高度h关于时间t的二次函数解析式为$h=at^2+bt+c$。
由表格可知$t=0$时$h=0$，代入得$c=0$，故解析式简化为$h=at^2+bt$。
将$(1,8)$、$(2,14)$代入解析式：
$\begin{cases}a + b = 8 \\4a + 2b = 14\end{cases}$
解得$a=-1$，$b=9$，因此函数解析式为$h=-t^2+9t$。
接下来逐一判断结论：
① 求最大高度：二次函数开口向下，顶点处取最大值。顶点横坐标$t=-\frac{b}{2a}=\frac{9}{2}=4.5\,\mathrm{s}$，代入得$h=-4.5^2 +9×4.5=20.25\,\mathrm{m}＞20\,\mathrm{m}$，故①正确。
② 二次函数对称轴为直线$t=\frac{9}{2}$，故②正确。
③ 标枪落地时$h=0$，解方程$-t^2+9t=0$，得$t_1=0$（掷出时刻，舍去），$t_2=9\,\mathrm{s}$，故9s时落地，③正确。
④ 当$t=1.5\,\mathrm{s}$时，代入解析式得$h=-1.5^2 +9×1.5=11.25\,\mathrm{m}≠11\,\mathrm{m}$，故④错误。
综上，正确的结论有①②③，共3个。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的应用；待定系数法求解析式；二次函数的性质
【点评】
本题结合实际运动场景考查二次函数的相关知识，解题关键是先准确求出函数解析式，再结合二次函数的顶点、对称轴、解方程等知识点逐一验证结论，计算时注意避免出现运算错误。
【难度系数】
0.7
2. 发射一枚炮弹，经$x$ s后的高度为$y$ m，且时间与高度关系为$y=ax^2+bx$。若此炮弹在第7 s与第13 s时的高度相等，则高度最高的时间是()。
A.第8 s
B.第10 s
C.第12 s
D.第15 s
A.第8 s
B.第10 s
C.第12 s
D.第15 s
答案
B
解析
【分析】首先明确炮弹高度与时间的关系是二次函数$y=ax^2+bx$，炮弹发射后先上升到最高点再下落，因此该二次函数开口向下（$a＜0$），最高点对应抛物线的顶点，顶点的横坐标就是高度最高的时间。根据二次函数的性质：抛物线上纵坐标相等的两个点关于抛物线的对称轴对称，题目中第7s和第13s高度相等，说明$x=7$和$x=13$两个点关于对称轴对称，计算两个横坐标的平均值即可得到对称轴，也就是最高高度对应的时间。
【解析】解：
∵高度$y$与时间$x$的函数关系为$y=ax^2+bx$，属于二次函数，且炮弹高度先升后降，
∴$a＜0$，抛物线开口向下，函数最大值对应抛物线顶点，顶点的横坐标即为高度最高的时间。
∵炮弹在第7s与第13s时高度相等，即$x=7$和$x=13$时$y$值相同，
∴抛物线的对称轴为直线$x=\frac{7+13}{2}=10$，
∵开口向下的二次函数在对称轴处取得最大值，
∴高度最高的时间是第10s。
故选：B。
【答案】B
【知识点】二次函数的对称性；二次函数的最值
【点评】本题考查二次函数性质在实际问题中的应用，无需计算参数$a$、$b$的具体取值，利用抛物线上等纵坐标点的对称特性即可快速求解对称轴，属于二次函数性质的基础应用题型，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键。
【难度系数】0.7
【解析】解：
∵高度$y$与时间$x$的函数关系为$y=ax^2+bx$，属于二次函数，且炮弹高度先升后降，
∴$a＜0$，抛物线开口向下，函数最大值对应抛物线顶点，顶点的横坐标即为高度最高的时间。
∵炮弹在第7s与第13s时高度相等，即$x=7$和$x=13$时$y$值相同，
∴抛物线的对称轴为直线$x=\frac{7+13}{2}=10$，
∵开口向下的二次函数在对称轴处取得最大值，
∴高度最高的时间是第10s。
故选：B。
【答案】B
【知识点】二次函数的对称性；二次函数的最值
【点评】本题考查二次函数性质在实际问题中的应用，无需计算参数$a$、$b$的具体取值，利用抛物线上等纵坐标点的对称特性即可快速求解对称轴，属于二次函数性质的基础应用题型，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键。
【难度系数】0.7
3. 如图，某幢建筑物，从 10 m 高的窗口 A，用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状（抛物线所在的平面与墙面垂直）。如果抛物线的最高点 M 离墙1 m，离地面$\frac{40}{3}$m，则水流落地点 B 离墙的距离 OB 是（）。
A.2 m
B.3 m
C.4 m
D.5 m
A.2 m
B.3 m
C.4 m
D.5 m
答案
B
解析
【分析】
我们可以通过建立平面直角坐标系，利用二次函数的知识求解：首先以O为原点，墙面所在直线为y轴，地面所在直线为x轴建系，已知抛物线的顶点坐标，因此优先选用顶点式设抛物线解析式，再代入已知点A的坐标求出解析式，最后令y=0（水流落地时高度为0），求解得到的正根就是OB的长度。
【解析】
以O为原点，OB为x轴，OA为y轴建立平面直角坐标系。
由题意可知：抛物线顶点M的坐标为$\boldsymbol{(1,\frac{40}{3})}$，点A的坐标为$\boldsymbol{(0,10)}$。
设抛物线的解析式为$y=a(x-1)^2+\frac{40}{3}$，将A$(0,10)$代入解析式：
$10=a(0-1)^2+\frac{40}{3}$
解得$a=10-\frac{40}{3}=-\frac{10}{3}$
因此抛物线解析式为$y=-\frac{10}{3}(x-1)^2+\frac{40}{3}$。
水流落地点B处高度为0，即$y=0$，代入解析式：
$0=-\frac{10}{3}(x-1)^2+\frac{40}{3}$
两边同乘3得：$0=-10(x-1)^2+40$
整理得：$(x-1)^2=4$
解得$x_1=3$，$x_2=-1$（不符合实际，舍去）
因此OB的长度为3m。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的实际应用，待定系数法求解析式，二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题是二次函数实际应用的基础题型，解题的核心是合理建立坐标系，结合顶点特征选择顶点式简化计算，最后要注意结合实际场景舍去不符合要求的解。
【难度系数】
0.7
我们可以通过建立平面直角坐标系，利用二次函数的知识求解：首先以O为原点，墙面所在直线为y轴，地面所在直线为x轴建系，已知抛物线的顶点坐标，因此优先选用顶点式设抛物线解析式，再代入已知点A的坐标求出解析式，最后令y=0（水流落地时高度为0），求解得到的正根就是OB的长度。
【解析】
以O为原点，OB为x轴，OA为y轴建立平面直角坐标系。
由题意可知：抛物线顶点M的坐标为$\boldsymbol{(1,\frac{40}{3})}$，点A的坐标为$\boldsymbol{(0,10)}$。
设抛物线的解析式为$y=a(x-1)^2+\frac{40}{3}$，将A$(0,10)$代入解析式：
$10=a(0-1)^2+\frac{40}{3}$
解得$a=10-\frac{40}{3}=-\frac{10}{3}$
因此抛物线解析式为$y=-\frac{10}{3}(x-1)^2+\frac{40}{3}$。
水流落地点B处高度为0，即$y=0$，代入解析式：
$0=-\frac{10}{3}(x-1)^2+\frac{40}{3}$
两边同乘3得：$0=-10(x-1)^2+40$
整理得：$(x-1)^2=4$
解得$x_1=3$，$x_2=-1$（不符合实际，舍去）
因此OB的长度为3m。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的实际应用，待定系数法求解析式，二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题是二次函数实际应用的基础题型，解题的核心是合理建立坐标系，结合顶点特征选择顶点式简化计算，最后要注意结合实际场景舍去不符合要求的解。
【难度系数】
0.7
二、填空题
4. 飞机着陆后滑行的路程$s\ \mathrm{m}$与滑行的时间$t\ \mathrm{s}$之间的函数表达式是$s=60t -1.5t^2$. 则飞机着陆后从滑行直至完全停下来，需要滑行的时间和距离分别是，.
4. 飞机着陆后滑行的路程$s\ \mathrm{m}$与滑行的时间$t\ \mathrm{s}$之间的函数表达式是$s=60t -1.5t^2$. 则飞机着陆后从滑行直至完全停下来，需要滑行的时间和距离分别是，.
答案
$20\ \mathrm{s}$；$600\ \mathrm{m}$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需明确：飞机完全停下来时，滑行的路程不再增加，也就是此时滑行路程s达到最大值，因此本题本质是求二次函数$s=60t -1.5t^2$的最大值，以及取得最大值时对应的自变量$t$的值。该二次函数二次项系数为负，抛物线开口向下，顶点处即为最大值点，可通过配方法或顶点公式求解。
【解析】
我们可以用顶点公式法求解：
对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，当$a＜0$时，函数在顶点处取得最大值，顶点对应的横坐标$t=-\frac{b}{2a}$就是取得最大值的时间，代入解析式即可得到最大滑行距离。
本题中二次函数整理为$s=-1.5t^2+60t$，其中$a=-1.5$，$b=60$，代入横坐标公式得：
$t=-\frac{60}{2×(-1.5)}=20(\mathrm{s})$
再将$t=20$代入原函数，计算最大滑行距离：
$s=60×20 -1.5×20^2=1200-600=600(\mathrm{m})$
【答案】
$20\ \mathrm{s}$；$600\ \mathrm{m}$
【知识点】
二次函数的应用；二次函数最值计算；顶点公式
【点评】
本题是二次函数在实际场景中的典型应用题，解题核心是将“飞机完全停止滑行”的实际状态转化为“二次函数取最大值”的数学特征，结合二次函数基础性质就能快速求解，侧重考查知识的迁移应用能力。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先需明确：飞机完全停下来时，滑行的路程不再增加，也就是此时滑行路程s达到最大值，因此本题本质是求二次函数$s=60t -1.5t^2$的最大值，以及取得最大值时对应的自变量$t$的值。该二次函数二次项系数为负，抛物线开口向下，顶点处即为最大值点，可通过配方法或顶点公式求解。
【解析】
我们可以用顶点公式法求解：
对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，当$a＜0$时，函数在顶点处取得最大值，顶点对应的横坐标$t=-\frac{b}{2a}$就是取得最大值的时间，代入解析式即可得到最大滑行距离。
本题中二次函数整理为$s=-1.5t^2+60t$，其中$a=-1.5$，$b=60$，代入横坐标公式得：
$t=-\frac{60}{2×(-1.5)}=20(\mathrm{s})$
再将$t=20$代入原函数，计算最大滑行距离：
$s=60×20 -1.5×20^2=1200-600=600(\mathrm{m})$
【答案】
$20\ \mathrm{s}$；$600\ \mathrm{m}$
【知识点】
二次函数的应用；二次函数最值计算；顶点公式
【点评】
本题是二次函数在实际场景中的典型应用题，解题核心是将“飞机完全停止滑行”的实际状态转化为“二次函数取最大值”的数学特征，结合二次函数基础性质就能快速求解，侧重考查知识的迁移应用能力。
【难度系数】
0.7
5. 当一枚火箭被竖直向上发射后，它的高度$h$ m与时间$t$ s之间的关系可以用公式$h = -5t^2 + 150t + 10$表示.则当$t=$时,火箭到达它的最高点,最高点的高度是.
答案
解：
在二次函数$h=-5t^2+150t+10$中，$a=-5$，$b=150$，$c=10$，
由$a=-5＜0$可知，抛物线开口向下，当$t=-\frac{b}{2a}$时，$h$取得最大值。
代入计算得：
$t=-\frac{150}{2×(-5)}=15$，
将$t=15$代入解析式得：
$h=-5×15^2 + 150×15 +10 = 1135$。
答：当$t=15$时，火箭到达它的最高点，最高点的高度是1135m。
在二次函数$h=-5t^2+150t+10$中，$a=-5$，$b=150$，$c=10$，
由$a=-5＜0$可知，抛物线开口向下，当$t=-\frac{b}{2a}$时，$h$取得最大值。
代入计算得：
$t=-\frac{150}{2×(-5)}=15$，
将$t=15$代入解析式得：
$h=-5×15^2 + 150×15 +10 = 1135$。
答：当$t=15$时，火箭到达它的最高点，最高点的高度是1135m。
解析
【分析】
题目给出的火箭高度与时间的关系是二次函数表达式，求火箭到达最高点的时间和高度，本质是求该二次函数的最大值。首先判断二次函数的开口方向：二次项系数a=-5＜0，抛物线开口向下，顶点处h取得最大值，因此先通过顶点横坐标公式求出对应时间t，再代入解析式计算最大高度即可。
【解析】
在二次函数$h=-5t^2 + 150t + 10$中，$a=-5$，$b=150$，$c=10$。
由于$a=-5＜0$，抛物线开口向下，函数存在最大值，当$t=-\frac{b}{2a}$时，$h$取得最大值。
代入数值计算时间$t$：
$t=-\frac{150}{2×(-5)}=15$
将$t=15$代入解析式，计算最高点高度：
$h=-5×15^2 + 150×15 + 10 = -1125 + 2250 + 10 = 1135$
【答案】
15s；1135m
【知识点】
二次函数的性质；二次函数的最值；二次函数的实际应用
【点评】
本题将二次函数知识与实际问题结合，解题关键是把实际中的“最高点”对应到二次函数的顶点最值，熟练掌握二次函数顶点坐标的求法即可快速解题。
【难度系数】
0.8
题目给出的火箭高度与时间的关系是二次函数表达式，求火箭到达最高点的时间和高度，本质是求该二次函数的最大值。首先判断二次函数的开口方向：二次项系数a=-5＜0，抛物线开口向下，顶点处h取得最大值，因此先通过顶点横坐标公式求出对应时间t，再代入解析式计算最大高度即可。
【解析】
在二次函数$h=-5t^2 + 150t + 10$中，$a=-5$，$b=150$，$c=10$。
由于$a=-5＜0$，抛物线开口向下，函数存在最大值，当$t=-\frac{b}{2a}$时，$h$取得最大值。
代入数值计算时间$t$：
$t=-\frac{150}{2×(-5)}=15$
将$t=15$代入解析式，计算最高点高度：
$h=-5×15^2 + 150×15 + 10 = -1125 + 2250 + 10 = 1135$
【答案】
15s；1135m
【知识点】
二次函数的性质；二次函数的最值；二次函数的实际应用
【点评】
本题将二次函数知识与实际问题结合，解题关键是把实际中的“最高点”对应到二次函数的顶点最值，熟练掌握二次函数顶点坐标的求法即可快速解题。
【难度系数】
0.8
6. 甲、乙两人进行羽毛球比赛，甲发出一颗十分关键的球，出手点为P，羽毛球发出后距地面高度$h$ m与羽毛球飞出的水平距离$s$ m之间的关系为$h = -\dfrac{1}{12}s^2 + \dfrac{2}{3}s + \dfrac{3}{2}$。如图，已知球网AB距原点5 m，乙扣球的最大高度(用线段CD表示)为$\dfrac{9}{4}$ m，设乙的起跳点C的横坐标为$m$。若乙原地起跳，因球的高度高于乙扣球的最大高度而导致接球失败，则$m$的取值范围是。
答案
5 ＜ m ＜ 4+\sqrt{7}}$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确“接球失败”的条件是球的高度$h$大于乙扣球的最大高度$\frac{9}{4}\mathrm{m}$，由此可列关于水平距离$s$的不等式，解出$s$的取值范围；再结合实际场景，乙需要在球网（横坐标$s=5\mathrm{m}$）后侧扣球，对解出的范围进行筛选，最终得到$m$的取值范围。
【解析】
解：由题意，接球失败时球的高度高于乙扣球的最大高度，即：
$h＞\frac{9}{4}$
将$h = -\dfrac{1}{12}s^2 + \dfrac{2}{3}s + \dfrac{3}{2}$代入不等式得：
$-\frac{1}{12}s^2 + \frac{2}{3}s + \frac{3}{2} ＞ \frac{9}{4}$
不等式两边同时乘12消去分母，得：
$-s^2 + 8s + 18 ＞ 27$
移项整理得：
$s^2 - 8s + 9 ＜ 0$
先求方程$s^2 -8s +9=0$的根，由求根公式：
$s=\frac{8\pm\sqrt{64-36}}{2}=\frac{8\pm2\sqrt{7}}{2}=4\pm\sqrt{7}$
二次函数$y=s^2 -8s +9$开口向上，因此不等式$s^2 -8s +9 ＜0$的解集为$4-\sqrt{7} ＜ s ＜ 4+\sqrt{7}$。
结合实际情况，乙需在球网（横坐标$s=5$）右侧扣球，故$s＞5$，又$4-\sqrt{7}\approx1.35＜5$，因此最终$s$的取值范围为$5 ＜ s ＜ 4+\sqrt{7}$。
因为乙起跳点C的横坐标为$m$，即$s=m$，所以$m$的取值范围是$5 ＜ m ＜ 4+\sqrt{7}$。
【答案】
$5 ＜ m ＜ 4+\sqrt{7}$
【知识点】
二次函数的应用，解一元二次不等式，二次函数实际意义
【点评】
本题将二次函数和不等式结合考查，解题时要先根据题意列出不等关系求解，尤其要注意结合实际场景对解的范围进行约束，避免忽略球网位置导致取值范围出错。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，首先明确“接球失败”的条件是球的高度$h$大于乙扣球的最大高度$\frac{9}{4}\mathrm{m}$，由此可列关于水平距离$s$的不等式，解出$s$的取值范围；再结合实际场景，乙需要在球网（横坐标$s=5\mathrm{m}$）后侧扣球，对解出的范围进行筛选，最终得到$m$的取值范围。
【解析】
解：由题意，接球失败时球的高度高于乙扣球的最大高度，即：
$h＞\frac{9}{4}$
将$h = -\dfrac{1}{12}s^2 + \dfrac{2}{3}s + \dfrac{3}{2}$代入不等式得：
$-\frac{1}{12}s^2 + \frac{2}{3}s + \frac{3}{2} ＞ \frac{9}{4}$
不等式两边同时乘12消去分母，得：
$-s^2 + 8s + 18 ＞ 27$
移项整理得：
$s^2 - 8s + 9 ＜ 0$
先求方程$s^2 -8s +9=0$的根，由求根公式：
$s=\frac{8\pm\sqrt{64-36}}{2}=\frac{8\pm2\sqrt{7}}{2}=4\pm\sqrt{7}$
二次函数$y=s^2 -8s +9$开口向上，因此不等式$s^2 -8s +9 ＜0$的解集为$4-\sqrt{7} ＜ s ＜ 4+\sqrt{7}$。
结合实际情况，乙需在球网（横坐标$s=5$）右侧扣球，故$s＞5$，又$4-\sqrt{7}\approx1.35＜5$，因此最终$s$的取值范围为$5 ＜ s ＜ 4+\sqrt{7}$。
因为乙起跳点C的横坐标为$m$，即$s=m$，所以$m$的取值范围是$5 ＜ m ＜ 4+\sqrt{7}$。
【答案】
$5 ＜ m ＜ 4+\sqrt{7}$
【知识点】
二次函数的应用，解一元二次不等式，二次函数实际意义
【点评】
本题将二次函数和不等式结合考查，解题时要先根据题意列出不等关系求解，尤其要注意结合实际场景对解的范围进行约束，避免忽略球网位置导致取值范围出错。
【难度系数】
0.6
