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三、解答题
7. 小区中央公园要修建一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子OA，O恰好在水面的中心，OA = 1.25 m. 由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下.为使水流形状较为漂亮，要求水流在离OA距离为1 m处达到距水面的最大高度2.25 m.
（1）建立适当的平面直角坐标系，使点A的坐标为(0，1.25)，水流的最高点的坐标为(1，2.25)，求水流的抛物线路线在第一象限内对应的函数表达式；(不要求写取值范围)
（2）若不计其他因素，则水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落到池外？
7. 小区中央公园要修建一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子OA，O恰好在水面的中心，OA = 1.25 m. 由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下.为使水流形状较为漂亮，要求水流在离OA距离为1 m处达到距水面的最大高度2.25 m.
（1）建立适当的平面直角坐标系，使点A的坐标为(0，1.25)，水流的最高点的坐标为(1，2.25)，求水流的抛物线路线在第一象限内对应的函数表达式；(不要求写取值范围)
（2）若不计其他因素，则水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落到池外？
答案
解：
（1）设水流抛物线对应的函数表达式为$y=a(x-1)^2+2.25$，
将点$A(0,1.25)$代入上式，得：
$1.25 = a·(0-1)^2 + 2.25$，
解得$a=-1$，
因此所求函数表达式为：
$y=-(x-1)^2+2.25=-x^2+2x+1.25$。
（2）当水流落到水面时，纵坐标$y=0$，令$y=0$，得方程：
$-x^2+2x+1.25=0$，
整理得$4x^2-8x-5=0$，
解得$x_1=2.5$，$x_2=-0.5$（不符合实际意义，舍去）。
答：水流的抛物线路线在第一象限内对应的函数表达式为$y=-x^2+2x+1.25$，水池的半径至少要2.5米，才能使喷出的水流不至于落到池外。
（1）设水流抛物线对应的函数表达式为$y=a(x-1)^2+2.25$，
将点$A(0,1.25)$代入上式，得：
$1.25 = a·(0-1)^2 + 2.25$，
解得$a=-1$，
因此所求函数表达式为：
$y=-(x-1)^2+2.25=-x^2+2x+1.25$。
（2）当水流落到水面时，纵坐标$y=0$，令$y=0$，得方程：
$-x^2+2x+1.25=0$，
整理得$4x^2-8x-5=0$，
解得$x_1=2.5$，$x_2=-0.5$（不符合实际意义，舍去）。
答：水流的抛物线路线在第一象限内对应的函数表达式为$y=-x^2+2x+1.25$，水池的半径至少要2.5米，才能使喷出的水流不至于落到池外。
解析
【分析】
（1）第一问已知抛物线顶点坐标，优先选用顶点式设二次函数解析式，再将点A的坐标代入解析式求解未知系数a，整理后即可得到所求函数表达式。
（2）第二问水流落到水面时对应纵坐标y=0，令函数表达式中y=0，求解一元二次方程，结合实际意义舍去负根，得到的正根就是水流落地点到水池中心的水平距离，即水池需要的最小半径。
【解析】
（1）已知抛物线顶点坐标为$(1,2.25)$，设水流抛物线对应的函数表达式为$y=a(x-1)^2+2.25$（$a≠0$），
将点$A(0,1.25)$代入上式，得：
$1.25 = a·(0-1)^2 + 2.25$，
解得$a=-1$，
因此所求函数表达式为：
$y=-(x-1)^2+2.25=-x^2+2x+1.25$。
（2）当水流落到水面时，纵坐标$y=0$，令$y=0$，得方程：
$-x^2+2x+1.25=0$，
整理得$4x^2-8x-5=0$，
解得$x_1=2.5$，$x_2=-0.5$，距离不能为负，故$x_2=-0.5$不符合实际意义，舍去。
【答案】
（1）$y=-x^2+2x+1.25$；
（2）水池的半径至少要2.5米。
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式
2. 二次函数实际应用
3. 解一元二次方程
【点评】
本题结合生活场景考查二次函数的应用，解题核心是合理利用已知条件求解函数解析式，再结合实际意义求解对应问题，能有效锻炼学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
（1）第一问已知抛物线顶点坐标，优先选用顶点式设二次函数解析式，再将点A的坐标代入解析式求解未知系数a，整理后即可得到所求函数表达式。
（2）第二问水流落到水面时对应纵坐标y=0，令函数表达式中y=0，求解一元二次方程，结合实际意义舍去负根，得到的正根就是水流落地点到水池中心的水平距离，即水池需要的最小半径。
【解析】
（1）已知抛物线顶点坐标为$(1,2.25)$，设水流抛物线对应的函数表达式为$y=a(x-1)^2+2.25$（$a≠0$），
将点$A(0,1.25)$代入上式，得：
$1.25 = a·(0-1)^2 + 2.25$，
解得$a=-1$，
因此所求函数表达式为：
$y=-(x-1)^2+2.25=-x^2+2x+1.25$。
（2）当水流落到水面时，纵坐标$y=0$，令$y=0$，得方程：
$-x^2+2x+1.25=0$，
整理得$4x^2-8x-5=0$，
解得$x_1=2.5$，$x_2=-0.5$，距离不能为负，故$x_2=-0.5$不符合实际意义，舍去。
【答案】
（1）$y=-x^2+2x+1.25$；
（2）水池的半径至少要2.5米。
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式
2. 二次函数实际应用
3. 解一元二次方程
【点评】
本题结合生活场景考查二次函数的应用，解题核心是合理利用已知条件求解函数解析式，再结合实际意义求解对应问题，能有效锻炼学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
8. 如图，某校九年级的一场篮球比赛中，队员甲正在投篮.已知球出手时离地面高$\frac{20}{9}\ \mathrm{m}$，与篮圈中心的水平距离为7 m，当球出手后与投篮点的水平距离为4 m时达到最大高度4 m.设篮球运动的轨迹为抛物线，篮圈距地面3 m.
（1）建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线对应的函数表达式，并判断此球能否准确投中；
（2）此时，若对方队员乙在甲前面1 m处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1 m，那么他能否成功拦截？
（1）建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线对应的函数表达式，并判断此球能否准确投中；
（2）此时，若对方队员乙在甲前面1 m处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1 m，那么他能否成功拦截？
答案
解：
(1) 由题意可知抛物线的顶点坐标为$(4,4)$，设抛物线对应的函数表达式为$y=a(x-4)^2+4$。
将出手点坐标$(0,\frac{20}{9})$代入表达式，得：
$\frac{20}{9}=a·(0-4)^2+4$
解得$a=-\frac{1}{9}$，
因此抛物线对应的函数表达式为$y=-\frac{1}{9}(x-4)^2+4\ (0≤ x≤7)$。
由题意得篮圈中心的横坐标为7，将$x=7$代入表达式：
$y=-\frac{1}{9}×(7-4)^2+4=3$
计算结果与篮圈距地面高度3m相等，因此此球能准确投中。
(2) 将$x=1$代入$y=-\frac{1}{9}(x-4)^2+4$，得：
$y=-\frac{1}{9}×(1-4)^2+4=3$
因为$3＜3.1$，说明该位置处篮球的高度小于乙的最大摸高，他可以成功拦截。
答：(1) 抛物线对应的函数表达式为$y=-\frac{1}{9}(x-4)^2+4$，此球能准确投中；(2) 乙能成功拦截。
(1) 由题意可知抛物线的顶点坐标为$(4,4)$，设抛物线对应的函数表达式为$y=a(x-4)^2+4$。
将出手点坐标$(0,\frac{20}{9})$代入表达式，得：
$\frac{20}{9}=a·(0-4)^2+4$
解得$a=-\frac{1}{9}$，
因此抛物线对应的函数表达式为$y=-\frac{1}{9}(x-4)^2+4\ (0≤ x≤7)$。
由题意得篮圈中心的横坐标为7，将$x=7$代入表达式：
$y=-\frac{1}{9}×(7-4)^2+4=3$
计算结果与篮圈距地面高度3m相等，因此此球能准确投中。
(2) 将$x=1$代入$y=-\frac{1}{9}(x-4)^2+4$，得：
$y=-\frac{1}{9}×(1-4)^2+4=3$
因为$3＜3.1$，说明该位置处篮球的高度小于乙的最大摸高，他可以成功拦截。
答：(1) 抛物线对应的函数表达式为$y=-\frac{1}{9}(x-4)^2+4$，此球能准确投中；(2) 乙能成功拦截。
解析
【分析】
本题考查二次函数在实际问题中的应用，解题思路如下：①首先观察到抛物线顶点坐标已知为$(4,4)$，选择顶点式设抛物线表达式可简化计算；②将球出手点坐标$(0,\frac{20}{9})$代入所设顶点式，求出未知参数$a$即可得到完整的抛物线解析式；③判断能否投中：篮圈横坐标为7，将$x=7$代入解析式求出对应$y$值，和篮圈高度3m比较，若相等则能投中；④判断能否拦截：乙在甲前方1m处对应横坐标$x=1$，代入解析式求出该位置球的高度，和乙的最大摸高3.1m比较，若球高小于摸高则能成功拦截。
【解析】
(1) 由题意可知抛物线的顶点坐标为$(4,4)$，设抛物线对应的函数表达式为$y=a(x-4)^2+4\ (a≠0)$。
将出手点坐标$(0,\frac{20}{9})$代入表达式，得：
$\frac{20}{9}=a·(0-4)^2+4$
解得$a=-\frac{1}{9}$，
因此抛物线对应的函数表达式为$y=-\frac{1}{9}(x-4)^2+4\ (0≤ x≤7)$。
篮圈中心的横坐标为7，将$x=7$代入表达式：
$y=-\frac{1}{9}×(7-4)^2+4=3$
计算结果与篮圈距地面高度3m相等，因此此球能准确投中。
(2) 乙在甲前面1m处，对应横坐标$x=1$，将$x=1$代入$y=-\frac{1}{9}(x-4)^2+4$，得：
$y=-\frac{1}{9}×(1-4)^2+4=3$
因为$3＜3.1$，说明该位置处篮球的高度小于乙的最大摸高，因此他可以成功拦截。
【答案】
(1) 抛物线对应的函数表达式为$\boldsymbol{y=-\frac{1}{9}(x-4)^2+4\ (0≤ x≤7)}$，此球能准确投中；(2) 乙能成功拦截。
【知识点】
二次函数解析式求解，二次函数实际应用，函数值计算
【点评】
本题结合投篮的生活场景考查二次函数的应用，解题核心是根据已知条件选择合适的形式设二次函数解析式，再通过代入求值、比较数值大小即可解决问题，题目贴近生活，能够锻炼学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.75
本题考查二次函数在实际问题中的应用，解题思路如下：①首先观察到抛物线顶点坐标已知为$(4,4)$，选择顶点式设抛物线表达式可简化计算；②将球出手点坐标$(0,\frac{20}{9})$代入所设顶点式，求出未知参数$a$即可得到完整的抛物线解析式；③判断能否投中：篮圈横坐标为7，将$x=7$代入解析式求出对应$y$值，和篮圈高度3m比较，若相等则能投中；④判断能否拦截：乙在甲前方1m处对应横坐标$x=1$，代入解析式求出该位置球的高度，和乙的最大摸高3.1m比较，若球高小于摸高则能成功拦截。
【解析】
(1) 由题意可知抛物线的顶点坐标为$(4,4)$，设抛物线对应的函数表达式为$y=a(x-4)^2+4\ (a≠0)$。
将出手点坐标$(0,\frac{20}{9})$代入表达式，得：
$\frac{20}{9}=a·(0-4)^2+4$
解得$a=-\frac{1}{9}$，
因此抛物线对应的函数表达式为$y=-\frac{1}{9}(x-4)^2+4\ (0≤ x≤7)$。
篮圈中心的横坐标为7，将$x=7$代入表达式：
$y=-\frac{1}{9}×(7-4)^2+4=3$
计算结果与篮圈距地面高度3m相等，因此此球能准确投中。
(2) 乙在甲前面1m处，对应横坐标$x=1$，将$x=1$代入$y=-\frac{1}{9}(x-4)^2+4$，得：
$y=-\frac{1}{9}×(1-4)^2+4=3$
因为$3＜3.1$，说明该位置处篮球的高度小于乙的最大摸高，因此他可以成功拦截。
【答案】
(1) 抛物线对应的函数表达式为$\boldsymbol{y=-\frac{1}{9}(x-4)^2+4\ (0≤ x≤7)}$，此球能准确投中；(2) 乙能成功拦截。
【知识点】
二次函数解析式求解，二次函数实际应用，函数值计算
【点评】
本题结合投篮的生活场景考查二次函数的应用，解题核心是根据已知条件选择合适的形式设二次函数解析式，再通过代入求值、比较数值大小即可解决问题，题目贴近生活，能够锻炼学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.75
