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三、解答题
7. 施工队要修建一条横断面为抛物线形的公路隧道，其高度为6 m，宽度OM为12 m.现以点O为原点，OM所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系.
（1）求出这条抛物线对应的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
（2）隧道下的公路是双向行车道（正中间是一条宽1 m的隔离带），其中的一条行车道能否行驶宽2.5 m、高5 m的车辆？请通过计算说明.
7. 施工队要修建一条横断面为抛物线形的公路隧道，其高度为6 m，宽度OM为12 m.现以点O为原点，OM所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系.
（1）求出这条抛物线对应的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
（2）隧道下的公路是双向行车道（正中间是一条宽1 m的隔离带），其中的一条行车道能否行驶宽2.5 m、高5 m的车辆？请通过计算说明.
答案
解：
（1）由题意可知，抛物线的顶点P的坐标为$(6,6)$，且抛物线过原点$O(0,0)$。
设抛物线对应的函数表达式为$y=a(x-6)^2+6$，
将$(0,0)$代入表达式得：
$0=a·(0-6)^2+6$
解得$a=-\dfrac{1}{6}$，
展开得$y=-\dfrac{1}{6}(x-6)^2+6=-\dfrac{1}{6}x^2+2x$。
自变量$x$的取值范围是$0≤ x≤ 12$。
（2）由题意，隧道中线对应$x=6$，正中间宽1m的隔离带两侧边缘的横坐标分别为$x=5.5$和$x=6.5$。
若宽2.5m的车辆沿隔离带边缘向行车道外侧行驶，车辆最外侧的横坐标为$6.5+2.5=9$。
将$x=9$代入函数表达式得：
$y=-\dfrac{1}{6}×9^2 + 2×9=4.5$
因为$4.5＜5$，该位置隧道高度小于车辆高度，
所以这条行车道不能行驶宽2.5m、高5m的车辆。
答：（1）抛物线的函数表达式为$y=-\dfrac{1}{6}x^2+2x$，自变量取值范围是$0≤ x≤ 12$；（2）这条行车道不能行驶宽2.5m、高5m的车辆。
（1）由题意可知，抛物线的顶点P的坐标为$(6,6)$，且抛物线过原点$O(0,0)$。
设抛物线对应的函数表达式为$y=a(x-6)^2+6$，
将$(0,0)$代入表达式得：
$0=a·(0-6)^2+6$
解得$a=-\dfrac{1}{6}$，
展开得$y=-\dfrac{1}{6}(x-6)^2+6=-\dfrac{1}{6}x^2+2x$。
自变量$x$的取值范围是$0≤ x≤ 12$。
（2）由题意，隧道中线对应$x=6$，正中间宽1m的隔离带两侧边缘的横坐标分别为$x=5.5$和$x=6.5$。
若宽2.5m的车辆沿隔离带边缘向行车道外侧行驶，车辆最外侧的横坐标为$6.5+2.5=9$。
将$x=9$代入函数表达式得：
$y=-\dfrac{1}{6}×9^2 + 2×9=4.5$
因为$4.5＜5$，该位置隧道高度小于车辆高度，
所以这条行车道不能行驶宽2.5m、高5m的车辆。
答：（1）抛物线的函数表达式为$y=-\dfrac{1}{6}x^2+2x$，自变量取值范围是$0≤ x≤ 12$；（2）这条行车道不能行驶宽2.5m、高5m的车辆。
解析
【分析】
（1）求解抛物线函数表达式时，先根据题意确定抛物线上的关键点：隧道高度为6m、宽度OM为12m，可得抛物线顶点坐标为(6,6)，且抛物线过原点(0,0)。已知顶点坐标时选择设顶点式求解更简便，代入已知点求出参数后整理为一般式，再结合隧道的宽度确定自变量x的取值范围。
（2）判断行车道能否通行指定车辆时，需结合实际场景确定计算位置：双向车道中间有1m宽的隔离带，隧道中线对应x=6，因此隔离带单侧边缘横坐标为6.5，宽2.5m的车辆沿隔离带边缘行驶时，车辆最外侧横坐标为6.5+2.5=9，计算该横坐标对应的函数值（即隧道高度），和车辆高度对比即可得出结论。
【解析】
（1）由题意可知，抛物线顶点$P$的坐标为$(6,6)$，且过原点$O(0,0)$。
设抛物线对应的函数表达式为$y=a(x-6)^2+6$，
将$(0,0)$代入表达式得：
$0=a·(0-6)^2+6$
解得$a=-\dfrac{1}{6}$，
展开整理得$y=-\dfrac{1}{6}(x-6)^2+6=-\dfrac{1}{6}x^2+2x$。
结合隧道宽度可知自变量$x$的取值范围是$0≤ x≤ 12$。
（2）由题意，隧道中线对应横坐标为$x=6$，正中间宽1m的隔离带两侧边缘的横坐标分别为$x=5.5$和$x=6.5$。
当宽2.5m的车辆沿隔离带边缘向行车道外侧行驶时，车辆最外侧的横坐标为$6.5+2.5=9$。
将$x=9$代入函数表达式得：
$y=-\dfrac{1}{6}×9^2 + 2×9=4.5$
因为$4.5＜5$，即该位置隧道高度小于车辆高度，所以这条行车道不能行驶宽2.5m、高5m的车辆。
【答案】
（1）抛物线对应的函数表达式为$y=-\dfrac{1}{6}x^2+2x$，自变量$x$的取值范围是$0≤ x≤ 12$；
（2）这条行车道不能行驶宽2.5m、高5m的车辆。
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式
2. 二次函数实际应用
3. 函数值计算
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的典型应用，解题核心是准确提取题干信息建立函数模型，第二问需要结合实际场景确定计算的坐标位置，能够考查学生的建模能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.65
（1）求解抛物线函数表达式时，先根据题意确定抛物线上的关键点：隧道高度为6m、宽度OM为12m，可得抛物线顶点坐标为(6,6)，且抛物线过原点(0,0)。已知顶点坐标时选择设顶点式求解更简便，代入已知点求出参数后整理为一般式，再结合隧道的宽度确定自变量x的取值范围。
（2）判断行车道能否通行指定车辆时，需结合实际场景确定计算位置：双向车道中间有1m宽的隔离带，隧道中线对应x=6，因此隔离带单侧边缘横坐标为6.5，宽2.5m的车辆沿隔离带边缘行驶时，车辆最外侧横坐标为6.5+2.5=9，计算该横坐标对应的函数值（即隧道高度），和车辆高度对比即可得出结论。
【解析】
（1）由题意可知，抛物线顶点$P$的坐标为$(6,6)$，且过原点$O(0,0)$。
设抛物线对应的函数表达式为$y=a(x-6)^2+6$，
将$(0,0)$代入表达式得：
$0=a·(0-6)^2+6$
解得$a=-\dfrac{1}{6}$，
展开整理得$y=-\dfrac{1}{6}(x-6)^2+6=-\dfrac{1}{6}x^2+2x$。
结合隧道宽度可知自变量$x$的取值范围是$0≤ x≤ 12$。
（2）由题意，隧道中线对应横坐标为$x=6$，正中间宽1m的隔离带两侧边缘的横坐标分别为$x=5.5$和$x=6.5$。
当宽2.5m的车辆沿隔离带边缘向行车道外侧行驶时，车辆最外侧的横坐标为$6.5+2.5=9$。
将$x=9$代入函数表达式得：
$y=-\dfrac{1}{6}×9^2 + 2×9=4.5$
因为$4.5＜5$，即该位置隧道高度小于车辆高度，所以这条行车道不能行驶宽2.5m、高5m的车辆。
【答案】
（1）抛物线对应的函数表达式为$y=-\dfrac{1}{6}x^2+2x$，自变量$x$的取值范围是$0≤ x≤ 12$；
（2）这条行车道不能行驶宽2.5m、高5m的车辆。
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式
2. 二次函数实际应用
3. 函数值计算
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的典型应用，解题核心是准确提取题干信息建立函数模型，第二问需要结合实际场景确定计算的坐标位置，能够考查学生的建模能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.65
8. 一抛物线形桥的拱肋 ACB 可视为抛物线的一部分,桥面(视为水平的)与拱肋用垂直于桥面的系杆连接,相邻系杆之间的间距均为 5 m(不考虑系杆的粗细),拱肋的跨度 AB 为280 m,距离拱肋的右端 70 m 处的系杆 EF 长 42 m.以 AB 所在直线为 x 轴,抛物线的对称轴为 y 轴建立如图所示的平面直角坐标系.
（1）求抛物线形桥的拱肋对应的函数表达式；
（2）正中间系杆 OC 的长度是多少米？是否存在一根系杆的长度恰好是 OC 长度的一半？请说明理由.
（1）求抛物线形桥的拱肋对应的函数表达式；
（2）正中间系杆 OC 的长度是多少米？是否存在一根系杆的长度恰好是 OC 长度的一半？请说明理由.
答案
解：
（1）由题意得，点B的坐标为$(140,0)$，点E的坐标为$(70,42)$。
设抛物线对应的函数表达式为$y=ax^2+c$，将两点坐标代入得：
$\begin{cases}140^2 a + c = 0 \\70^2 a + c = 42 \end{cases}$
解得：
$\begin{cases}a=-\dfrac{1}{350} \\c=56 \end{cases}$
因此抛物线形桥的拱肋对应的函数表达式为$y=-\dfrac{1}{350}x^2 + 56\quad (-140≤ x≤ 140)$。
（2）当$x=0$时，$y=56$，即正中间系杆$OC$的长度是56米。
假设存在一根系杆的长度是$OC$长度的一半，即长度为$28\ \mathrm{m}$，令$y=28$，代入函数表达式：
$-\dfrac{1}{350}x^2 + 56 = 28$
整理得$x^2=9800$，解得$x=\pm70\sqrt{2}\approx\pm98.99$。
由于相邻系杆间距为5m，所有系杆对应的$x$值均为5的整数倍，而$98.99$不是5的整数倍，因此不存在长度恰好是$OC$长度一半的系杆。
答：正中间系杆$OC$的长度是56米，不存在长度恰好是$OC$长度一半的系杆。
（1）由题意得，点B的坐标为$(140,0)$，点E的坐标为$(70,42)$。
设抛物线对应的函数表达式为$y=ax^2+c$，将两点坐标代入得：
$\begin{cases}140^2 a + c = 0 \\70^2 a + c = 42 \end{cases}$
解得：
$\begin{cases}a=-\dfrac{1}{350} \\c=56 \end{cases}$
因此抛物线形桥的拱肋对应的函数表达式为$y=-\dfrac{1}{350}x^2 + 56\quad (-140≤ x≤ 140)$。
（2）当$x=0$时，$y=56$，即正中间系杆$OC$的长度是56米。
假设存在一根系杆的长度是$OC$长度的一半，即长度为$28\ \mathrm{m}$，令$y=28$，代入函数表达式：
$-\dfrac{1}{350}x^2 + 56 = 28$
整理得$x^2=9800$，解得$x=\pm70\sqrt{2}\approx\pm98.99$。
由于相邻系杆间距为5m，所有系杆对应的$x$值均为5的整数倍，而$98.99$不是5的整数倍，因此不存在长度恰好是$OC$长度一半的系杆。
答：正中间系杆$OC$的长度是56米，不存在长度恰好是$OC$长度一半的系杆。
解析
【分析】
（1）先确定抛物线上已知点的坐标：由拱肋跨度AB为280m，对称轴为y轴，可得点B坐标为$(140,0)$；系杆EF距右端B70m，长度为42m，可得点E坐标为$(70,42)$。因抛物线对称轴为y轴，故设解析式为$y=ax^2+c$，将两点坐标代入列二元一次方程组，求解得到a、c的值即可确定函数表达式，注意标注x的取值范围。
（2）求OC长度即求$x=0$时对应的函数值，代入解析式直接计算即可。判断是否存在系杆长度为OC的一半，先假设存在，令y等于OC长度的一半，解方程求出x的值，再结合相邻系杆间距为5m，所有系杆对应的x均为5的整数倍，判断求出的x是否符合该条件即可。
【解析】
（1）由题意得，AB跨度为280m，对称轴为y轴，因此点B的坐标为$(140,0)$；EF距离右端B点70m，EF长42m，因此点E的坐标为$(70,42)$。
设抛物线对应的函数表达式为$y=ax^2+c$，将B、E两点坐标代入得：
$\begin{cases}140^2 a + c = 0 \\70^2 a + c = 42 \end{cases}$
两式相减得$14700a=-42$，解得$a=-\dfrac{1}{350}$，将a代入第二个方程得$-14 +c=42$，解得$c=56$。
因此抛物线形桥的拱肋对应的函数表达式为$y=-\dfrac{1}{350}x^2 + 56\quad (-140≤ x≤ 140)$。
（2）当$x=0$时，$y=56$，即正中间系杆OC的长度是56米。
假设存在一根系杆的长度是OC长度的一半，即长度为28m，令$y=28$，代入函数表达式：
$-\dfrac{1}{350}x^2 + 56 = 28$
整理得$x^2=9800$，解得$x=\pm70\sqrt{2}\approx\pm98.99$。
由于相邻系杆间距为5m，所有系杆对应的x值均为5的整数倍，而$98.99$不是5的整数倍，因此不存在长度恰好是OC长度一半的系杆。
【答案】
（1）$y=-\dfrac{1}{350}x^2 + 56\quad (-140≤ x≤ 140)$；
（2）正中间系杆OC的长度是56米，不存在长度恰好是OC长度一半的系杆。
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用；二次函数求值
【点评】
本题以抛物线拱桥为实际背景考查二次函数的应用，解题核心是准确确定已知点坐标，熟练运用待定系数法求解析式，同时要注意结合实际场景的约束条件验证解的合理性，能较好地考查学生将数学知识应用于实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
（1）先确定抛物线上已知点的坐标：由拱肋跨度AB为280m，对称轴为y轴，可得点B坐标为$(140,0)$；系杆EF距右端B70m，长度为42m，可得点E坐标为$(70,42)$。因抛物线对称轴为y轴，故设解析式为$y=ax^2+c$，将两点坐标代入列二元一次方程组，求解得到a、c的值即可确定函数表达式，注意标注x的取值范围。
（2）求OC长度即求$x=0$时对应的函数值，代入解析式直接计算即可。判断是否存在系杆长度为OC的一半，先假设存在，令y等于OC长度的一半，解方程求出x的值，再结合相邻系杆间距为5m，所有系杆对应的x均为5的整数倍，判断求出的x是否符合该条件即可。
【解析】
（1）由题意得，AB跨度为280m，对称轴为y轴，因此点B的坐标为$(140,0)$；EF距离右端B点70m，EF长42m，因此点E的坐标为$(70,42)$。
设抛物线对应的函数表达式为$y=ax^2+c$，将B、E两点坐标代入得：
$\begin{cases}140^2 a + c = 0 \\70^2 a + c = 42 \end{cases}$
两式相减得$14700a=-42$，解得$a=-\dfrac{1}{350}$，将a代入第二个方程得$-14 +c=42$，解得$c=56$。
因此抛物线形桥的拱肋对应的函数表达式为$y=-\dfrac{1}{350}x^2 + 56\quad (-140≤ x≤ 140)$。
（2）当$x=0$时，$y=56$，即正中间系杆OC的长度是56米。
假设存在一根系杆的长度是OC长度的一半，即长度为28m，令$y=28$，代入函数表达式：
$-\dfrac{1}{350}x^2 + 56 = 28$
整理得$x^2=9800$，解得$x=\pm70\sqrt{2}\approx\pm98.99$。
由于相邻系杆间距为5m，所有系杆对应的x值均为5的整数倍，而$98.99$不是5的整数倍，因此不存在长度恰好是OC长度一半的系杆。
【答案】
（1）$y=-\dfrac{1}{350}x^2 + 56\quad (-140≤ x≤ 140)$；
（2）正中间系杆OC的长度是56米，不存在长度恰好是OC长度一半的系杆。
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用；二次函数求值
【点评】
本题以抛物线拱桥为实际背景考查二次函数的应用，解题核心是准确确定已知点坐标，熟练运用待定系数法求解析式，同时要注意结合实际场景的约束条件验证解的合理性，能较好地考查学生将数学知识应用于实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
