8.如图,点O是△PMN的内心,PO的延长线和△PMN的外接圆相交于点Q,连接NQ,MO,NO,若∠MNQ=15°,则∠MON的度数为.

8.$105°$

【分析】
解题时先回忆相关性质：1、三角形的内心是三个内角角平分线的交点，因此PO平分∠MPN，MO平分∠PMN，NO平分∠PNM；2、同弧所对的圆周角相等。首先由圆周角定理得出∠MPQ=∠MNQ，进而求出∠MPN的度数，再结合三角形内角和求出∠PMN+∠PNM的度数，利用角平分线性质得到△MON中两个底角的和，最后用三角形内角和即可求出∠MON的度数。
【解析】
∵点O是△PMN的内心
∴PO平分∠MPN，MO平分∠PMN，NO平分∠PNM
∵∠MPQ和∠MNQ都是弧MQ所对的圆周角
∴∠MPQ=∠MNQ=15°
∴∠MPN=2∠MPQ=2×15°=30°
在△PMN中，由三角形内角和得：
∠PMN + ∠PNM = 180° - ∠MPN = 180° - 30° = 150°
∵MO、NO分别平分∠PMN、∠PNM
∴∠OMN + ∠ONM = $\frac{1}{2}$(∠PMN + ∠PNM) = $\frac{1}{2}$×150° = 75°
在△MON中，由三角形内角和得：
∠MON = 180° - (∠OMN + ∠ONM) = 180° - 75° = 105°
【答案】
105°
【知识点】
三角形内心的性质，圆周角定理，三角形内角和定理
【点评】
本题是基础综合题，将三角形内心性质与圆周角定理、三角形内角和结合考查，解题的关键是熟练掌握各性质并找到角之间的数量关系。
【难度系数】
0.7

9.如图,在△ABC中,点D是△ABC的内心,连接DB,DC,过点D作EF//BC,EF分别交AB,AC于点E,F,若BE+CF=10,则EF的长度为.

9.$10$

【分析】
解题时先利用三角形内心的性质，得到BD、CD分别是∠ABC和∠ACB的角平分线；再结合EF//BC的条件，由平行线的内错角相等，可推导出△EBD和△DFC都是等腰三角形，得到ED=BE、DF=CF；最后根据EF=ED+DF，代入已知的BE+CF=10即可求出EF的长度。
【解析】
解：
∵点D是△ABC的内心，
∴BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠EBD=∠CBD，∠FCD=∠BCD。
∵EF//BC，
∴∠EDB=∠CBD，∠FDC=∠BCD，
∴∠EBD=∠EDB，∠FCD=∠FDC，
∴ED=BE，DF=CF，
∴EF=ED+DF=BE+CF。
又
∵BE+CF=10，
∴EF=10。
【答案】
10
【知识点】
三角形内心的性质；平行线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题是基础几何综合题，解题的核心是掌握“角平分线+平行线”的经典模型，该模型通常可推出等腰三角形，进而实现线段的等量代换，是几何中常用的解题技巧。
【难度系数】
0.7

10.如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AC=3$,$BC=4$,$△ ABC$的内切圆的半径为$r$,$△ ABC$的外接圆的半径为$R$,则$\frac{r}{R}$的值为.

10.$\dfrac{2}{5}$

【分析】
解题时先明确直角三角形外接圆和内切圆半径的计算逻辑：①先通过勾股定理求出斜边长度，直角三角形的外接圆直径等于斜边长度，据此可直接求出外接圆半径R；②再通过面积法或者直角三角形内切圆半径公式求出内切圆半径r；最后计算r与R的比值即可。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=3$，$BC=4$：
1. 求斜边$AB$的长度：
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
2. 求外接圆半径$R$：
直角三角形的外接圆直径等于斜边长，因此$R=\frac{AB}{2}=\frac{5}{2}$。
3. 求内切圆半径$r$：
用面积法计算：$△ ABC$的面积$S=\frac{1}{2}· AC· BC=\frac{1}{2}×3×4=6$，
同时三角形面积也满足$S=\frac{1}{2}·(AC+BC+AB)· r$，代入得$6=\frac{1}{2}×(3+4+5)· r$，
解得$r=1$。
4. 计算比值：
$\frac{r}{R}=\frac{1}{\frac{5}{2}}=\frac{2}{5}$。
【答案】
$\dfrac{2}{5}$
【知识点】
勾股定理；三角形外接圆性质；三角形内切圆性质
【点评】
本题属于基础题型，考查直角三角形外接圆、内切圆半径的计算，牢记相关性质和公式即可快速解题，是三角形与圆结合的常考基础题。
【难度系数】
0.7

11.如图，点O为△ABC的外心，点I为△ABC的内心，若∠BOC=140°，则∠BIC的度数为.

11.$125°$

【分析】
解题思路可分为两步：第一步利用外心的性质和圆周角定理求∠BAC的度数：外心是三角形外接圆的圆心，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，已知圆心角∠BOC的度数，可直接求出对应圆周角∠BAC的大小。第二步利用内心的性质和三角形内角和定理求∠BIC：内心是三角形内角平分线的交点，可先表示出∠IBC、∠ICB与△ABC内角的关系，再结合三角形内角和公式推导∠BIC与∠BAC的数量关系，代入数值计算即可。
【解析】
解：
∵点O是△ABC的外心，∠BOC和∠BAC分别是弧BC所对的圆心角和圆周角
∴根据圆周角定理，$∠ BOC=2∠ BAC$
已知$∠ BOC=140°$，代入得$∠ BAC=\frac{1}{2}×140°=70°$
∵点I是△ABC的内心
∴IB平分$∠ ABC$，IC平分$∠ ACB$，即$∠ IBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ ICB=\frac{1}{2}∠ ACB$
在△BIC中，由三角形内角和为$180°$得：
$∠ BIC=180°-(∠ IBC+∠ ICB)=180°-\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)$
在△ABC中，$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ BAC=180°-70°=110°$
将$∠ ABC+∠ ACB=110°$代入上式：
$∠ BIC=180°-\frac{1}{2}×110°=180°-55°=125°$
【答案】
$125°$
【知识点】
圆周角定理，三角形内心的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形与圆结合的基础常考题，核心是区分外心和内心的不同性质，熟练掌握圆周角定理和三角形角平分线、内角和的相关结论就能快速求解。
【难度系数】
0.7

12.等腰三角形的底边长为10，腰长为13，则它的内切圆的半径为.

12.$\dfrac{10}{3}$

【分析】
要求三角形的内切圆半径，可利用面积法公式$S = r · p$求解，其中$S$为三角形面积，$r$为内切圆半径，$p$为三角形的半周长。解题思路如下：第一步，根据等腰三角形三线合一的性质和勾股定理求出三角形的高，进而计算面积$S$；第二步，计算三角形的周长，得到半周长$p$；第三步，将$S$和$p$代入公式变形$r=\frac{S}{p}$，即可求出内切圆半径。
【解析】
1. 求等腰三角形的高：
等腰三角形底边长为10，根据等腰三角形三线合一，底边一半的长度为$10÷2=5$。
已知腰长为13，由勾股定理可得底边上的高$h=\sqrt{13^2 - 5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12$。
2. 计算三角形面积：
$S=\frac{1}{2}×底×高=\frac{1}{2}×10×12=60$。
3. 计算半周长：
三角形周长为$10+13+13=36$，半周长$p=36÷2=18$。
4. 求内切圆半径：
根据三角形内切圆面积公式$S=r· p$，变形得$r=\frac{S}{p}=\frac{60}{18}=\frac{10}{3}$。
【答案】
$\dfrac{10}{3}$
【知识点】
等腰三角形的性质、勾股定理、三角形内切圆半径计算
【点评】
本题考查三角形内切圆半径的求法，解题核心是掌握面积法求内切圆半径的公式，结合等腰三角形的性质和勾股定理计算即可，整体解题思路清晰，难度不大。
【难度系数】
0.7

13.如图，AB是$\odot O$的直径，点C是$\odot O$上一点，点I是$△ ABC(BC＜AC＜AB)$的内心，CI的延长线交$\odot O$于点D，连接AD.
(1)求证:$DA=DI$.
(2)若$CI=2\sqrt{2}$，$DI=5\sqrt{2}$，求BC的长.

13.(1)连接AI.
$\because CI$平分$∠ ACB,AI$平分$∠ BAC,∠ DAB=∠ DCB$,
$\therefore ∠ DAB+∠ OAI=∠ ACI+∠ CAI$,
$\because ∠ AID=∠ ACI+∠ CAI,∠ DAI=∠ DAB+∠ OAI,\therefore ∠ AID=∠ DAI$,
$\therefore DA=DI$.
(2)连接$AI,BD$,过点$D$作$DE⊥ DC$,交$CB$的延长线于点$E$.
$\because AB$为直径,$CI$平分$∠ ACB,\therefore ∠ ACD=∠ DCB=\dfrac{1}{2}∠ ACB=45°$,
$\therefore ∠ DAB=∠ DCB=45°,∠ DBA=∠ ACD=45°$,
$\therefore △ ADB,△ CDE$都是等腰直角三角形,
$\therefore DA=DB=DI=5\sqrt{2},CD=DE=CI+DI=7\sqrt{2}$,
$\because ∠ ADB=90°,\therefore$ 根据勾股定理得 $AB=10,CE=14$,
$\because ∠ ADB=∠ CDE,\therefore ∠ ADC=∠ BDE$,
$\therefore △ ADC≌△ BDE(\mathrm{SAS}),\therefore AC=BE$,
$\therefore CE=BC+BE=BC+AC=14$,
又$\because BC^2+AC^2=AB^2=100,AC＞BC,\therefore AC=8,BC=6.$

【分析】
(1) 要证$DA=DI$，根据等角对等边的性质，只需证明$∠ DAI=∠ DIA$即可。已知点$I$是$△ ABC$的内心，可得$AI$平分$∠ BAC$、$CI$平分$∠ ACB$，再结合同弧所对圆周角相等得到$∠ DAB=∠ DCB$，将$∠ DAI$和$∠ DIA$分别拆分为两个角的和，通过等量代换即可证明两角相等，进而得到边相等。
(2) 首先由$AB$是直径可得$∠ ACB=90°$，结合角平分线性质推出$∠ ACD=∠ BCD=45°$，进而得到$△ ADB$、$△ CDE$均为等腰直角三角形；再通过角的等量代换证明$△ ADC≌△ BDE$，得到$AC=BE$，即可推出$AC+BC=CE$，最后结合勾股定理$AC^2+BC^2=AB^2$，联立关系式求解即可得到$BC$的长度。
【解析】
(1) 证明：连接$AI$。
$\because$ 点$I$是$△ ABC$的内心，
$\therefore CI$平分$∠ ACB$，$AI$平分$∠ BAC$，即$∠ ACI=∠ BCD$，$∠ CAI=∠ BAI$。
又$\because$ 同弧$BD$所对的圆周角相等，$\therefore ∠ DAB=∠ BCD=∠ ACI$。
$\because ∠ DAI=∠ DAB+∠ BAI$，$∠ AID$是$△ ACI$的外角，$\therefore ∠ AID=∠ ACI+∠ CAI$，
$\therefore ∠ DAI=∠ AID$，
$\therefore DA=DI$。
(2) 解：连接$AI$、$BD$，过点$D$作$DE⊥ DC$，交$CB$的延长线于点$E$。
$\because AB$是$\odot O$的直径，$\therefore ∠ ACB=∠ ADB=90°$。
$\because CI$平分$∠ ACB$，$\therefore ∠ ACD=∠ DCB=\frac{1}{2}∠ ACB=45°$，
由同弧所对圆周角相等，得$∠ DAB=∠ DCB=45°$，$∠ DBA=∠ ACD=45°$，
$\therefore △ ADB$是等腰直角三角形，$DA=DB$。
又$\because DE⊥ DC$，$∠ DCB=45°$，$\therefore △ CDE$是等腰直角三角形，$CD=DE$。
已知$CI=2\sqrt{2}$，$DI=5\sqrt{2}$，$\therefore CD=CI+DI=2\sqrt{2}+5\sqrt{2}=7\sqrt{2}$，
$\therefore CE=\sqrt{2}CD=\sqrt{2}×7\sqrt{2}=14$。
由(1)知$DA=DI=5\sqrt{2}$，$\therefore DB=DA=5\sqrt{2}$，
在$Rt△ ADB$中，由勾股定理得$AB=\sqrt{DA^2+DB^2}=\sqrt{(5\sqrt{2})^2+(5\sqrt{2})^2}=10$。
$\because ∠ ADB=∠ CDE=90°$，$\therefore ∠ ADB+∠ CDB=∠ CDE+∠ CDB$，即$∠ ADC=∠ BDE$。
在$△ ADC$和$△ BDE$中：
$\begin{cases} DA=DB \\ ∠ ADC=∠ BDE \\ CD=DE \end{cases}$
$\therefore △ ADC≌△ BDE(\mathrm{SAS})$，$\therefore AC=BE$。
$\therefore CE=BC+BE=BC+AC=14$，即$AC+BC=14$。
又$\because$ 在$Rt△ ABC$中，$AC^2+BC^2=AB^2=10^2=100$，且$AC＞BC$，
联立得$\begin{cases} AC+BC=14 \\ AC^2+BC^2=100 \end{cases}$，将第一个式子平方后代入第二个式子，解得$AC=8$，$BC=6$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $\boldsymbol{BC=6}$
【知识点】
1. 三角形内心的性质
2. 圆周角定理
3. 勾股定理
【点评】
本题属于圆的综合题，综合考查了三角形内心、圆周角性质、全等三角形判定、勾股定理等知识点，解题的关键是合理构造辅助线，通过等腰直角三角形和全等三角形实现线段关系的转化，对逻辑推理能力和知识综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6