登录
1.已知反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 的图象经过点$A(1,-2)$，则$k$的值为(
A.$-1$
B.$1$
C.$-2$
D.$2$
C
).A.$-1$
B.$1$
C.$-2$
D.$2$
答案
1.C
解析
【分析】
解题的核心依据是：函数图象上任意一点的坐标都满足该函数的解析式。我们已知点A在反比例函数图象上，只需将点A的横、纵坐标代入反比例函数表达式，即可建立关于k的方程，解方程就能求出k的值，再匹配对应选项即可。
【解析】
∵点$A(1,-2)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上
∴将$x=1$，$y=-2$代入解析式可得：
$\displaystyle -2=\frac{k}{1}$
解得$k=-2$
因此选C选项。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的概念；函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题型，考查对反比例函数基本性质的应用，只要掌握“函数图象上的点的坐标满足函数解析式”这一规律即可快速求解，是反比例函数部分的常见基础考题。
【难度系数】
0.9
解题的核心依据是：函数图象上任意一点的坐标都满足该函数的解析式。我们已知点A在反比例函数图象上，只需将点A的横、纵坐标代入反比例函数表达式，即可建立关于k的方程，解方程就能求出k的值，再匹配对应选项即可。
【解析】
∵点$A(1,-2)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上
∴将$x=1$，$y=-2$代入解析式可得：
$\displaystyle -2=\frac{k}{1}$
解得$k=-2$
因此选C选项。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的概念；函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题型，考查对反比例函数基本性质的应用，只要掌握“函数图象上的点的坐标满足函数解析式”这一规律即可快速求解，是反比例函数部分的常见基础考题。
【难度系数】
0.9
2.关于反比例函数$y=-\dfrac{3}{x}$，下列说法不正确的是(
A.图象经过点$(1,-3)$
B.图象位于第二、第四象限
C.图象关于直线$y=x$对称
D.$y$随$x$的增大而增大
D
).A.图象经过点$(1,-3)$
B.图象位于第二、第四象限
C.图象关于直线$y=x$对称
D.$y$随$x$的增大而增大
答案
2.D
解析
【分析】
本题要求选出关于反比例函数$y=-\dfrac{3}{x}$的错误说法，解题时可结合反比例函数的基本性质，对四个选项逐一验证判断即可。首先回忆反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(k\ne0)$的核心性质：点在函数图象上则坐标满足函数解析式；比例系数$k$的符号决定图象所在象限；反比例函数图象关于直线$y=x$、$y=-x$对称；描述增减性时必须限定“在每个象限内”的前提。
【解析】
已知反比例函数解析式为$y=-\dfrac{3}{x}$，比例系数$k=-3＜0$，逐个分析选项：
1. 验证选项A：将$x=1$代入解析式，得$y=-\dfrac{3}{1}=-3$，因此点$(1,-3)$在函数图象上，A说法正确，不符合题意。
2. 验证选项B：当$k＜0$时，反比例函数的图象位于第二、第四象限，B说法正确，不符合题意。
3. 验证选项C：任意反比例函数的图象均关于直线$y=x$和$y=-x$对称，可推导验证：若点$(a,b)$在该函数图象上，则$b=-\dfrac{3}{a}$，变形可得$a=-\dfrac{3}{b}$，即点$(b,a)$也在图象上，满足关于直线$y=x$对称的特征，C说法正确，不符合题意。
4. 验证选项D：当$k＜0$时，反比例函数仅在每个象限内满足$y$随$x$的增大而增大，缺少该前提时跨象限比较结论不成立，例如$x=-1$时$y=3$，$x=1$时$y=-3$，$x$增大的过程中$y$反而减小，因此D说法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的图象与性质；反比例函数上点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题，重点考查反比例函数的核心性质，易错点是判断增减性时容易忽略“在每一象限内”的适用前提，学习中要牢记性质的限制条件，避免概念混淆。
【难度系数】
0.8
本题要求选出关于反比例函数$y=-\dfrac{3}{x}$的错误说法，解题时可结合反比例函数的基本性质，对四个选项逐一验证判断即可。首先回忆反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(k\ne0)$的核心性质：点在函数图象上则坐标满足函数解析式；比例系数$k$的符号决定图象所在象限；反比例函数图象关于直线$y=x$、$y=-x$对称；描述增减性时必须限定“在每个象限内”的前提。
【解析】
已知反比例函数解析式为$y=-\dfrac{3}{x}$，比例系数$k=-3＜0$，逐个分析选项：
1. 验证选项A：将$x=1$代入解析式，得$y=-\dfrac{3}{1}=-3$，因此点$(1,-3)$在函数图象上，A说法正确，不符合题意。
2. 验证选项B：当$k＜0$时，反比例函数的图象位于第二、第四象限，B说法正确，不符合题意。
3. 验证选项C：任意反比例函数的图象均关于直线$y=x$和$y=-x$对称，可推导验证：若点$(a,b)$在该函数图象上，则$b=-\dfrac{3}{a}$，变形可得$a=-\dfrac{3}{b}$，即点$(b,a)$也在图象上，满足关于直线$y=x$对称的特征，C说法正确，不符合题意。
4. 验证选项D：当$k＜0$时，反比例函数仅在每个象限内满足$y$随$x$的增大而增大，缺少该前提时跨象限比较结论不成立，例如$x=-1$时$y=3$，$x=1$时$y=-3$，$x$增大的过程中$y$反而减小，因此D说法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的图象与性质；反比例函数上点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题，重点考查反比例函数的核心性质，易错点是判断增减性时容易忽略“在每一象限内”的适用前提，学习中要牢记性质的限制条件，避免概念混淆。
【难度系数】
0.8
3.如图,过反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上一点A作$AB⊥x$轴于点B,连接AO,若$S_{△ AOB}=2$,则k的值为(
A.2
B.3
C.4
D.5
C
).A.2
B.3
C.4
D.5
答案
3.C
解析
【分析】
解题时首先回忆反比例函数中k的几何意义：过反比例函数图象上任意一点作x轴（或y轴）的垂线，该点、垂足与原点围成的直角三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$。结合本题，图象位于第一象限，x＞0时y＞0，因此k为正数，已知△AOB的面积，代入公式即可求出k的值。
【解析】
设点A的坐标为$(x,y)$，其中$x＞0,y＞0$。
∵点A在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上，
∴$xy=k$。
∵$AB⊥x$轴，
∴$OB=x$，$AB=y$，
∴$S_{△ AOB}=\frac{1}{2} · OB · AB = \frac{1}{2}xy$。
已知$S_{△ AOB}=2$，代入得：
$\frac{1}{2}k=2$，
解得$k=4$。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数k的几何意义；反比例函数的图象与性质
【点评】
本题是反比例函数的基础常考题，核心考查k的几何意义的应用，解题时只需熟记面积与k的数量关系，结合图象所在象限判断k的符号即可快速求解，注意不要记错面积和k的对应数量关系哦。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆反比例函数中k的几何意义：过反比例函数图象上任意一点作x轴（或y轴）的垂线，该点、垂足与原点围成的直角三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$。结合本题，图象位于第一象限，x＞0时y＞0，因此k为正数，已知△AOB的面积，代入公式即可求出k的值。
【解析】
设点A的坐标为$(x,y)$，其中$x＞0,y＞0$。
∵点A在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上，
∴$xy=k$。
∵$AB⊥x$轴，
∴$OB=x$，$AB=y$，
∴$S_{△ AOB}=\frac{1}{2} · OB · AB = \frac{1}{2}xy$。
已知$S_{△ AOB}=2$，代入得：
$\frac{1}{2}k=2$，
解得$k=4$。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数k的几何意义；反比例函数的图象与性质
【点评】
本题是反比例函数的基础常考题，核心考查k的几何意义的应用，解题时只需熟记面积与k的数量关系，结合图象所在象限判断k的符号即可快速求解，注意不要记错面积和k的对应数量关系哦。
【难度系数】
0.8
4.在反比例函数$y=\frac{1-k}{x}$的图象的每一个分支上，y都随x的增大而增大，则k可以是（
A.－1
B.0
C.1
D.2
D
）。A.－1
B.0
C.1
D.2
答案
4.D
解析
【分析】
解决本题的核心是掌握反比例函数的增减性与比例系数符号的对应关系：第一步，先明确反比例函数的标准形式$y=\frac{a}{x}$（$a≠0$）中，当$a＜0$时，函数图象每一分支上y随x的增大而增大；第二步，结合本题函数形式，确定比例系数为$1-k$，根据题目给出的增减性列出不等式；第三步，解不等式得到k的取值范围，最后匹配选项选出符合条件的k值即可。
【解析】
对于反比例函数$y=\frac{a}{x}$（$a$为常数，且$a≠0$），有如下性质：
当$a＞0$时，函数图象的每一个分支上，$y$随$x$的增大而减小；
当$a＜0$时，函数图象的每一个分支上，$y$随$x$的增大而增大。
已知本题中反比例函数$y=\frac{1-k}{x}$的每一个分支上$y$随$x$的增大而增大，因此可得比例系数满足：
$1-k＜0$
解不等式：
$-k＜-1$
两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得$k＞1$。
观察选项：
A.$-1＜1$，不符合；
B.$0＜1$，不符合；
C.$1=1$，不符合；
D.$2＞1$，符合条件。
因此选D。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的图象与性质；解一元一次不等式
【点评】
本题是反比例函数性质的基础应用题，解题的关键是准确记忆反比例函数增减性和比例系数符号的对应关系，列不等式时注意不要搞混比例系数的符号，解带负号的不等式时注意不等号方向要改变。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心是掌握反比例函数的增减性与比例系数符号的对应关系：第一步，先明确反比例函数的标准形式$y=\frac{a}{x}$（$a≠0$）中，当$a＜0$时，函数图象每一分支上y随x的增大而增大；第二步，结合本题函数形式，确定比例系数为$1-k$，根据题目给出的增减性列出不等式；第三步，解不等式得到k的取值范围，最后匹配选项选出符合条件的k值即可。
【解析】
对于反比例函数$y=\frac{a}{x}$（$a$为常数，且$a≠0$），有如下性质：
当$a＞0$时，函数图象的每一个分支上，$y$随$x$的增大而减小；
当$a＜0$时，函数图象的每一个分支上，$y$随$x$的增大而增大。
已知本题中反比例函数$y=\frac{1-k}{x}$的每一个分支上$y$随$x$的增大而增大，因此可得比例系数满足：
$1-k＜0$
解不等式：
$-k＜-1$
两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得$k＞1$。
观察选项：
A.$-1＜1$，不符合；
B.$0＜1$，不符合；
C.$1=1$，不符合；
D.$2＞1$，符合条件。
因此选D。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的图象与性质；解一元一次不等式
【点评】
本题是反比例函数性质的基础应用题，解题的关键是准确记忆反比例函数增减性和比例系数符号的对应关系，列不等式时注意不要搞混比例系数的符号，解带负号的不等式时注意不等号方向要改变。
【难度系数】
0.7
5.若反比例函数$y=\dfrac{k-2}{x}$的图象位于第一、第三象限，则$k$的取值范围是
$k＞2$
。答案
5.$k＞2$
解析
【分析】
解题时首先回忆反比例函数的图象性质：对于反比例函数$ y=\frac{m}{x} $（$ m $为常数且$ m≠0 $），当$ m＞0 $时，函数图象位于第一、第三象限；当$ m＜0 $时，图象位于第二、第四象限。本题中反比例函数的比例系数为$ k-2 $，结合图象位于第一、三象限的条件，可列出关于$ k $的不等式，求解不等式即可得到$ k $的取值范围。
【解析】
解：
∵ 反比例函数$ y=\dfrac{k-2}{x} $的图象位于第一、第三象限
∴ 其比例系数大于0，即$ k-2＞0 $
移项解得：$ k＞2 $
【答案】
$ k＞2 $
【知识点】
1. 反比例函数的图象与性质；2. 解一元一次不等式
【点评】
本题是基础常考题型，主要考查反比例函数图象位置与比例系数符号的对应关系，牢记相关性质即可快速解题，失分多因记错性质符号导致。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆反比例函数的图象性质：对于反比例函数$ y=\frac{m}{x} $（$ m $为常数且$ m≠0 $），当$ m＞0 $时，函数图象位于第一、第三象限；当$ m＜0 $时，图象位于第二、第四象限。本题中反比例函数的比例系数为$ k-2 $，结合图象位于第一、三象限的条件，可列出关于$ k $的不等式，求解不等式即可得到$ k $的取值范围。
【解析】
解：
∵ 反比例函数$ y=\dfrac{k-2}{x} $的图象位于第一、第三象限
∴ 其比例系数大于0，即$ k-2＞0 $
移项解得：$ k＞2 $
【答案】
$ k＞2 $
【知识点】
1. 反比例函数的图象与性质；2. 解一元一次不等式
【点评】
本题是基础常考题型，主要考查反比例函数图象位置与比例系数符号的对应关系，牢记相关性质即可快速解题，失分多因记错性质符号导致。
【难度系数】
0.9
6.在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＜0)$中，x与y的三组对应值如表所示，则a，b，c的大小关系为
$a＞c＞b$
。答案
6.$a＞c＞b$
解析
【分析】
要比较a、b、c的大小，需结合反比例函数的性质分析：首先明确k＜0时反比例函数的图象分布和增减性，先根据x的正负判断对应y值的符号，区分不同象限的点的函数值符号差异，再对同象限内的点根据增减性比较函数值大小即可。
【解析】
解：
∵反比例函数$y=\frac{k}{x}$中$k＜0$，
∴函数图象分布在第二、四象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大。
①当$x=-1$时，$x＜0$，对应点在第二象限，
∴$a＞0$；
②当$x=1$和$x=2$时，$x$均大于0，对应点在第四象限，
∴$b＜0$，$c＜0$；
又
∵$1＜2$，在第四象限内y随x增大而增大，
∴$b＜c$。
综上，正数大于负数，可得$a＞c＞b$。
【答案】
$a＞c＞b$
【知识点】
反比例函数的图象与性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题考查反比例函数性质的应用，解题关键是明确反比例函数的增减性仅适用于同一象限内的点，不同象限的点可先通过正负性判断大小，避免直接跨象限使用增减性导致错误。
【难度系数】
0.7
要比较a、b、c的大小，需结合反比例函数的性质分析：首先明确k＜0时反比例函数的图象分布和增减性，先根据x的正负判断对应y值的符号，区分不同象限的点的函数值符号差异，再对同象限内的点根据增减性比较函数值大小即可。
【解析】
解：
∵反比例函数$y=\frac{k}{x}$中$k＜0$，
∴函数图象分布在第二、四象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大。
①当$x=-1$时，$x＜0$，对应点在第二象限，
∴$a＞0$；
②当$x=1$和$x=2$时，$x$均大于0，对应点在第四象限，
∴$b＜0$，$c＜0$；
又
∵$1＜2$，在第四象限内y随x增大而增大，
∴$b＜c$。
综上，正数大于负数，可得$a＞c＞b$。
【答案】
$a＞c＞b$
【知识点】
反比例函数的图象与性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题考查反比例函数性质的应用，解题关键是明确反比例函数的增减性仅适用于同一象限内的点，不同象限的点可先通过正负性判断大小，避免直接跨象限使用增减性导致错误。
【难度系数】
0.7
7.如图，点A的坐标是$(-2,0)$，点B的坐标是$(0,6)$，C为OB的中点，将$△ ABC$绕点B逆时针旋转$90°$后得到$△ A'BC'$.若反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象恰好经过$A'B$的中点D，则k的值是(
A.9
B.12
C.15
D.18
C
).A.9
B.12
C.15
D.18
答案
7.C
解析
【分析】
要求反比例函数的k值，需先求出图象上点D的坐标。D是A'B的中点，因此核心是先求出旋转后点A'的坐标。可通过构造直角三角形，利用旋转的性质证明三角形全等，得到A'的横纵坐标，再结合中点坐标公式求出D点坐标，代入反比例函数解析式即可求出k。
【解析】
过点$ A' $作$ A'H ⊥ y $轴于点$ H $。
已知点$ A(-2,0) $，点$ B(0,6) $，因此$ OA=2 $，$ OB=6 $。
由旋转的性质可知：$ ∠ ABA'=90° $，$ BA=BA' $，因此$ ∠ ABO + ∠ A'BH = 90° $。
又因为$ ∠ ABO + ∠ BAO = 90° $，所以$ ∠ BAO = ∠ A'BH $。
在$ △ AOB $和$ △ BHA' $中：
$ \begin{cases}∠ AOB = ∠ BHA' = 90° \\∠ BAO = ∠ A'BH \\BA = A'B\end{cases} $
因此$ △ AOB ≌ △ BHA' $（AAS）。
由全等三角形对应边相等得：$ BH=OA=2 $，$ A'H=OB=6 $。
因此$ OH = OB - BH = 6 - 2 = 4 $，即点$ A' $的坐标为$ (6,4) $。
因为$ D $是$ A'B $的中点，结合$ B(0,6) $，由中点坐标公式得$ D $的坐标为$ ( \frac{0+6}{2}, \frac{6+4}{2} ) = (3,5) $。
将$ D(3,5) $代入反比例函数$ y=\frac{k}{x} $，得$ k = 3 × 5 = 15 $。
【答案】
C
【知识点】
旋转的性质；全等三角形的判定与性质；反比例函数性质
【点评】
本题是几何与函数的综合题，解题关键是利用旋转性质构造全等三角形求出旋转后对应点的坐标，再结合中点坐标公式得到反比例函数上点的坐标，体现了数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.6
要求反比例函数的k值，需先求出图象上点D的坐标。D是A'B的中点，因此核心是先求出旋转后点A'的坐标。可通过构造直角三角形，利用旋转的性质证明三角形全等，得到A'的横纵坐标，再结合中点坐标公式求出D点坐标，代入反比例函数解析式即可求出k。
【解析】
过点$ A' $作$ A'H ⊥ y $轴于点$ H $。
已知点$ A(-2,0) $，点$ B(0,6) $，因此$ OA=2 $，$ OB=6 $。
由旋转的性质可知：$ ∠ ABA'=90° $，$ BA=BA' $，因此$ ∠ ABO + ∠ A'BH = 90° $。
又因为$ ∠ ABO + ∠ BAO = 90° $，所以$ ∠ BAO = ∠ A'BH $。
在$ △ AOB $和$ △ BHA' $中：
$ \begin{cases}∠ AOB = ∠ BHA' = 90° \\∠ BAO = ∠ A'BH \\BA = A'B\end{cases} $
因此$ △ AOB ≌ △ BHA' $（AAS）。
由全等三角形对应边相等得：$ BH=OA=2 $，$ A'H=OB=6 $。
因此$ OH = OB - BH = 6 - 2 = 4 $，即点$ A' $的坐标为$ (6,4) $。
因为$ D $是$ A'B $的中点，结合$ B(0,6) $，由中点坐标公式得$ D $的坐标为$ ( \frac{0+6}{2}, \frac{6+4}{2} ) = (3,5) $。
将$ D(3,5) $代入反比例函数$ y=\frac{k}{x} $，得$ k = 3 × 5 = 15 $。
【答案】
C
【知识点】
旋转的性质；全等三角形的判定与性质；反比例函数性质
【点评】
本题是几何与函数的综合题，解题关键是利用旋转性质构造全等三角形求出旋转后对应点的坐标，再结合中点坐标公式得到反比例函数上点的坐标，体现了数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.6
