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8.在平面直角坐标系中，函数$y=-\dfrac{4}{x+2}$的图象与坐标轴的交点个数是（
A.0
B.1
C.2
D.4
B
）。A.0
B.1
C.2
D.4
答案
8.B
解析
【分析】
要判断函数图象与坐标轴的交点个数，需分别计算函数与x轴、y轴的交点情况：①与y轴交点：令x=0，代入函数计算y值，同时需保证x=0在函数定义域内；②与x轴交点：令y=0，解方程求x值，同时验证x是否满足定义域要求。若求解出的坐标有效则计数为1个交点，最后求和即可。
【解析】
1. 求与y轴的交点：
y轴上的点横坐标为0，将x=0代入函数$y=-\dfrac{4}{x+2}$，此时分母$x+2=2≠0$，函数有意义，得$y=-\dfrac{4}{0+2}=-2$，因此函数与y轴交于点$(0,-2)$，共1个交点。
2. 求与x轴的交点：
x轴上的点纵坐标为0，令$y=0$，即$-\dfrac{4}{x+2}=0$，由于分式的分子为$-4≠0$，该等式不可能成立，没有符合条件的x值，因此函数与x轴无交点。
综上，函数图象与坐标轴的交点总个数是1。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的图象性质；函数交点的求解；分式有意义的条件
【点评】
本题考查反比例型函数与坐标轴交点的判断，属于基础题，易错点是部分同学会忽略分式值为0的条件（分子为0且分母不为0），误以为函数能和x轴相交，解题时只需分别令x=0、y=0求解并验证有效性即可快速得出结果。
【难度系数】
0.7
要判断函数图象与坐标轴的交点个数，需分别计算函数与x轴、y轴的交点情况：①与y轴交点：令x=0，代入函数计算y值，同时需保证x=0在函数定义域内；②与x轴交点：令y=0，解方程求x值，同时验证x是否满足定义域要求。若求解出的坐标有效则计数为1个交点，最后求和即可。
【解析】
1. 求与y轴的交点：
y轴上的点横坐标为0，将x=0代入函数$y=-\dfrac{4}{x+2}$，此时分母$x+2=2≠0$，函数有意义，得$y=-\dfrac{4}{0+2}=-2$，因此函数与y轴交于点$(0,-2)$，共1个交点。
2. 求与x轴的交点：
x轴上的点纵坐标为0，令$y=0$，即$-\dfrac{4}{x+2}=0$，由于分式的分子为$-4≠0$，该等式不可能成立，没有符合条件的x值，因此函数与x轴无交点。
综上，函数图象与坐标轴的交点总个数是1。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的图象性质；函数交点的求解；分式有意义的条件
【点评】
本题考查反比例型函数与坐标轴交点的判断，属于基础题，易错点是部分同学会忽略分式值为0的条件（分子为0且分母不为0），误以为函数能和x轴相交，解题时只需分别令x=0、y=0求解并验证有效性即可快速得出结果。
【难度系数】
0.7
9.已知$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3)$是反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象上的三个点，如果$x_1＜x_2＜x_3,y_2＜y_1＜y_3$，则下列关系式不正确的是(
A.$x_1x_2＜0$
B.$x_1x_3＜0$
C.$x_2x_3＜0$
D.$x_1+x_2＜0$
A
).A.$x_1x_2＜0$
B.$x_1x_3＜0$
C.$x_2x_3＜0$
D.$x_1+x_2＜0$
答案
9.A
解析
【分析】
首先回忆反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k＞0$）的性质：图象位于第一、三象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小，且第一象限内点的横、纵坐标均为正，第三象限内点的横、纵坐标均为负。接下来结合题目给出的$x$的大小关系$x_1＜x_2＜x_3$和$y$的大小关系$y_2＜y_1＜y_3$，判断三个点所在的象限：$y_3$最大，说明$y_3$是正数，点$C$在第一象限，$x_3＞0$；$y_1$、$y_2$均小于$y_3$，说明二者是负数，点$A$、$B$在第三象限，即$x_1＜0$，$x_2＜0$，最终得到$x$的大小关系为$x_1＜x_2＜0＜x_3$，再结合有理数运算法则逐一判断选项即可。
【解析】
解：
∵反比例函数$y=\frac{2}{x}$中$k=2＞0$，
∴函数图象位于第一、三象限，且在每一象限内，$y$随$x$的增大而减小。
∵$y_2＜y_1＜y_3$，第三象限内点的纵坐标为负，第一象限内点的纵坐标为正，
∴$y_1$、$y_2$为负数，$y_3$为正数，即点$A$、$B$在第三象限，点$C$在第一象限，
∴$x_1＜0$，$x_2＜0$，$x_3＞0$，结合$x_1＜x_2＜x_3$可得：$x_1＜x_2＜0＜x_3$。
逐一判断选项：
A. $x_1＜0$，$x_2＜0$，同号相乘得正，故$x_1x_2＞0$，该选项错误，符合题意；
B. $x_1＜0$，$x_3＞0$，异号相乘得负，故$x_1x_3＜0$，该选项正确，不符合题意；
C. $x_2＜0$，$x_3＞0$，异号相乘得负，故$x_2x_3＜0$，该选项正确，不符合题意；
D. $x_1＜0$，$x_2＜0$，两个负数相加和为负，故$x_1+x_2＜0$，该选项正确，不符合题意。
【答案】
A
【知识点】
1.反比例函数的图象与性质
2.有理数乘法符号法则
3.有理数加法法则
【点评】
本题核心是利用反比例函数的性质判断点所在的象限，解题时要注意反比例函数的增减性仅在同一象限内成立，再结合有理数的运算法则判断选项即可，属于基础的函数性质应用题。
【难度系数】
0.7
首先回忆反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k＞0$）的性质：图象位于第一、三象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小，且第一象限内点的横、纵坐标均为正，第三象限内点的横、纵坐标均为负。接下来结合题目给出的$x$的大小关系$x_1＜x_2＜x_3$和$y$的大小关系$y_2＜y_1＜y_3$，判断三个点所在的象限：$y_3$最大，说明$y_3$是正数，点$C$在第一象限，$x_3＞0$；$y_1$、$y_2$均小于$y_3$，说明二者是负数，点$A$、$B$在第三象限，即$x_1＜0$，$x_2＜0$，最终得到$x$的大小关系为$x_1＜x_2＜0＜x_3$，再结合有理数运算法则逐一判断选项即可。
【解析】
解：
∵反比例函数$y=\frac{2}{x}$中$k=2＞0$，
∴函数图象位于第一、三象限，且在每一象限内，$y$随$x$的增大而减小。
∵$y_2＜y_1＜y_3$，第三象限内点的纵坐标为负，第一象限内点的纵坐标为正，
∴$y_1$、$y_2$为负数，$y_3$为正数，即点$A$、$B$在第三象限，点$C$在第一象限，
∴$x_1＜0$，$x_2＜0$，$x_3＞0$，结合$x_1＜x_2＜x_3$可得：$x_1＜x_2＜0＜x_3$。
逐一判断选项：
A. $x_1＜0$，$x_2＜0$，同号相乘得正，故$x_1x_2＞0$，该选项错误，符合题意；
B. $x_1＜0$，$x_3＞0$，异号相乘得负，故$x_1x_3＜0$，该选项正确，不符合题意；
C. $x_2＜0$，$x_3＞0$，异号相乘得负，故$x_2x_3＜0$，该选项正确，不符合题意；
D. $x_1＜0$，$x_2＜0$，两个负数相加和为负，故$x_1+x_2＜0$，该选项正确，不符合题意。
【答案】
A
【知识点】
1.反比例函数的图象与性质
2.有理数乘法符号法则
3.有理数加法法则
【点评】
本题核心是利用反比例函数的性质判断点所在的象限，解题时要注意反比例函数的增减性仅在同一象限内成立，再结合有理数的运算法则判断选项即可，属于基础的函数性质应用题。
【难度系数】
0.7
10.在平面直角坐标系中,点$A(-2,1),B(3,2),C(-6,m)$分别在三个不同的象限内.若反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象经过其中两点,则$m$的值为
-1
.答案
10.-1
解析
【分析】
解题时先从点的坐标特征入手：①先判断已知点A、B所在的象限，结合“三个点在不同象限”的条件，确定点C所在的象限，得到m的取值符号；②再根据反比例函数图象的象限分布规律，判断出反比例函数经过的两个点：反比例函数的两个分支只能同时在一、三象限或二、四象限，现有三个点无第四象限的点，因此k只能为正，函数过一、三象限的B、C两点；③最后代入点坐标计算k和m的值即可。
【解析】
1. 判断各点所在象限：
点A(-2,1)横负纵正，位于第二象限；点B(3,2)横正纵正，位于第一象限；
点C横坐标为-6＜0，仅可能在第二或第三象限，结合三个点在不同象限的条件，可得C只能在第三象限，即$m＜0$。
2. 确定反比例函数经过的点：
反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象性质：当$k＞0$时，图象在第一、三象限；当$k＜0$时，图象在第二、四象限。
因三个点中无第四象限的点，故$k＜0$时仅能找到第二象限的A一个点，不符合“经过其中两点”的要求，因此$k＞0$，反比例函数经过第一象限的B和第三象限的C。
3. 计算m的值：
将B(3,2)代入$y=\frac{k}{x}$，得$k=3×2=6$，即函数解析式为$y=\frac{6}{x}$。
将C(-6,m)代入$y=\frac{6}{x}$，得$m=\frac{6}{-6}=-1$，符合$m＜0$的要求。
【答案】
-1
【知识点】
1. 点的象限坐标特征
2. 反比例函数的图象与性质
3. 反比例函数解析式确定
【点评】
本题是反比例函数与平面直角坐标系的综合基础题，解题的核心是利用三个点分属不同象限的限制，结合反比例函数的图象分布特征筛选出函数经过的点，解题时需注意先确定m的符号，避免漏用约束条件导致错误。
【难度系数】
0.6
解题时先从点的坐标特征入手：①先判断已知点A、B所在的象限，结合“三个点在不同象限”的条件，确定点C所在的象限，得到m的取值符号；②再根据反比例函数图象的象限分布规律，判断出反比例函数经过的两个点：反比例函数的两个分支只能同时在一、三象限或二、四象限，现有三个点无第四象限的点，因此k只能为正，函数过一、三象限的B、C两点；③最后代入点坐标计算k和m的值即可。
【解析】
1. 判断各点所在象限：
点A(-2,1)横负纵正，位于第二象限；点B(3,2)横正纵正，位于第一象限；
点C横坐标为-6＜0，仅可能在第二或第三象限，结合三个点在不同象限的条件，可得C只能在第三象限，即$m＜0$。
2. 确定反比例函数经过的点：
反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象性质：当$k＞0$时，图象在第一、三象限；当$k＜0$时，图象在第二、四象限。
因三个点中无第四象限的点，故$k＜0$时仅能找到第二象限的A一个点，不符合“经过其中两点”的要求，因此$k＞0$，反比例函数经过第一象限的B和第三象限的C。
3. 计算m的值：
将B(3,2)代入$y=\frac{k}{x}$，得$k=3×2=6$，即函数解析式为$y=\frac{6}{x}$。
将C(-6,m)代入$y=\frac{6}{x}$，得$m=\frac{6}{-6}=-1$，符合$m＜0$的要求。
【答案】
-1
【知识点】
1. 点的象限坐标特征
2. 反比例函数的图象与性质
3. 反比例函数解析式确定
【点评】
本题是反比例函数与平面直角坐标系的综合基础题，解题的核心是利用三个点分属不同象限的限制，结合反比例函数的图象分布特征筛选出函数经过的点，解题时需注意先确定m的符号，避免漏用约束条件导致错误。
【难度系数】
0.6
11.已知y是x的反比例函数，当$x＞0$时，y随x的增大而减小.请写出一个满足以上条件的函数解析式：
$y=\dfrac{1}{x}$(答案不唯一)
.答案
11.$y=\dfrac{1}{x}$(答案不唯一)
解析
【分析】
解题思路如下：首先回忆反比例函数的一般形式为$y=\dfrac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠ 0$）；然后结合题目给出的“当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小”的性质，根据反比例函数的增减性规律，可推出系数$k$的取值范围为$k＞0$；最后任意选取一个大于0的$k$值代入一般式，即可得到符合条件的函数解析式。
【解析】
反比例函数的一般解析式为$y=\dfrac{k}{x}$（$k$为常数，且$k≠ 0$）。
根据反比例函数的性质：当$k＞0$时，在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小，符合题目中$x＞0$时$y$随$x$增大而减小的要求，因此只需取$k＞0$即可。
例如取$k=1$，可得满足条件的函数解析式为$y=\dfrac{1}{x}$。
【答案】
$y=\dfrac{1}{x}$（答案不唯一）
【知识点】
反比例函数的定义；反比例函数的增减性
【点评】
本题属于开放性基础题，主要考查对反比例函数性质的理解与应用，只要掌握反比例函数中系数$k$的符号和函数增减性的对应关系即可快速解题，答案不唯一，合理即可。
【难度系数】
0.9
解题思路如下：首先回忆反比例函数的一般形式为$y=\dfrac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠ 0$）；然后结合题目给出的“当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小”的性质，根据反比例函数的增减性规律，可推出系数$k$的取值范围为$k＞0$；最后任意选取一个大于0的$k$值代入一般式，即可得到符合条件的函数解析式。
【解析】
反比例函数的一般解析式为$y=\dfrac{k}{x}$（$k$为常数，且$k≠ 0$）。
根据反比例函数的性质：当$k＞0$时，在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小，符合题目中$x＞0$时$y$随$x$增大而减小的要求，因此只需取$k＞0$即可。
例如取$k=1$，可得满足条件的函数解析式为$y=\dfrac{1}{x}$。
【答案】
$y=\dfrac{1}{x}$（答案不唯一）
【知识点】
反比例函数的定义；反比例函数的增减性
【点评】
本题属于开放性基础题，主要考查对反比例函数性质的理解与应用，只要掌握反比例函数中系数$k$的符号和函数增减性的对应关系即可快速解题，答案不唯一，合理即可。
【难度系数】
0.9
12.已知点$(a-1,y_1),(a+1,y_2)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$的图象上，若$y_1＜y_2$，求$a$的取值范围.
答案
12.$\because k＞0,\therefore$在图象的每一支上,$y$ 随 $x$ 的增大而减小.
当点$(a-1,y_1),(a+1,y_2)$在图象的同一支上时,$a-1＞a+1$,无解；
当点$(a-1,y_1),(a+1,y_2)$在图象的两支上时,$a-1＜0$ 且 $a+1＞0$,解得$-1＜a＜1$.
故$-1＜a＜1$.
当点$(a-1,y_1),(a+1,y_2)$在图象的同一支上时,$a-1＞a+1$,无解；
当点$(a-1,y_1),(a+1,y_2)$在图象的两支上时,$a-1＜0$ 且 $a+1＞0$,解得$-1＜a＜1$.
故$-1＜a＜1$.
解析
【分析】
解题时首先回忆k＞0时反比例函数的图象性质：图象位于第一、三象限，且在每一支上y随x的增大而减小。已知两点横坐标满足$a-1 ＜ a+1$，结合$y_1＜y_2$的条件，需分两种情况讨论：①两点在图象的同一支上；②两点在图象的不同支上。分别根据两种情况的增减性或象限的y值符号特征列不等式（组）求解，最后综合得到a的取值范围。
【解析】
$\because k＞0$，$\therefore$反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象位于第一、三象限，且在图象的每一支上，$y$随$x$的增大而减小。
①当点$(a-1,y_1),(a+1,y_2)$在图象的同一支上时：
根据增减性，若$y_1＜y_2$，则需$a-1 ＞ a+1$，该不等式无解，即不存在符合条件的a值。
②当点$(a-1,y_1),(a+1,y_2)$在图象的两支上时：
$\because y_1＜y_2$，$\therefore$点$(a-1,y_1)$在第三象限，点$(a+1,y_2)$在第一象限，
可得不等式组：$\begin{cases}a-1 ＜ 0 \\ a+1 ＞ 0\end{cases}$，
解得：$-1 ＜ a ＜ 1$。
综上，a的取值范围是$-1 ＜ a ＜ 1$。
【答案】
$-1＜a＜1$
【知识点】
反比例函数的图象与性质；解一元一次不等式组
【点评】
本题易错点是忽略反比例函数的增减性仅在同一象限的分支上成立，解题时需先判断两点是否在同一分支，分情况讨论避免错解。
【难度系数】
0.6
解题时首先回忆k＞0时反比例函数的图象性质：图象位于第一、三象限，且在每一支上y随x的增大而减小。已知两点横坐标满足$a-1 ＜ a+1$，结合$y_1＜y_2$的条件，需分两种情况讨论：①两点在图象的同一支上；②两点在图象的不同支上。分别根据两种情况的增减性或象限的y值符号特征列不等式（组）求解，最后综合得到a的取值范围。
【解析】
$\because k＞0$，$\therefore$反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象位于第一、三象限，且在图象的每一支上，$y$随$x$的增大而减小。
①当点$(a-1,y_1),(a+1,y_2)$在图象的同一支上时：
根据增减性，若$y_1＜y_2$，则需$a-1 ＞ a+1$，该不等式无解，即不存在符合条件的a值。
②当点$(a-1,y_1),(a+1,y_2)$在图象的两支上时：
$\because y_1＜y_2$，$\therefore$点$(a-1,y_1)$在第三象限，点$(a+1,y_2)$在第一象限，
可得不等式组：$\begin{cases}a-1 ＜ 0 \\ a+1 ＞ 0\end{cases}$，
解得：$-1 ＜ a ＜ 1$。
综上，a的取值范围是$-1 ＜ a ＜ 1$。
【答案】
$-1＜a＜1$
【知识点】
反比例函数的图象与性质；解一元一次不等式组
【点评】
本题易错点是忽略反比例函数的增减性仅在同一象限的分支上成立，解题时需先判断两点是否在同一分支，分情况讨论避免错解。
【难度系数】
0.6
13.如图,已知反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象经过点$A(4,m)$,$AB⊥ x$轴于点$B$,且$△ AOB$的面积为2.
(1)求$k$和$m$的值.
(2)当$-3≤ x≤ -1$时,求函数值$y$的取值范围.
(1)求$k$和$m$的值.
(2)当$-3≤ x≤ -1$时,求函数值$y$的取值范围.
答案
13.(1)$\because△ AOB$ 的面积为 2,$\therefore k=4$.
$\therefore$反比例函数的解析式为 $y=\dfrac{4}{x}$.
$\because A(4,m),\therefore m=1$.
(2)当 $x=-3$ 时,$y=-\dfrac{4}{3}$;当 $x=-1$ 时,$y=-4$.
$\because$ 反比例函数的解析式为 $y=\dfrac{4}{x}$,当 $x＜0$ 时,$y$ 随 $x$ 的增大而减小,
$\therefore$ 当 $-3≤ x≤ -1$ 时,$y$ 的取值范围是 $-4≤ y≤ -\dfrac{4}{3}$.
$\therefore$反比例函数的解析式为 $y=\dfrac{4}{x}$.
$\because A(4,m),\therefore m=1$.
(2)当 $x=-3$ 时,$y=-\dfrac{4}{3}$;当 $x=-1$ 时,$y=-4$.
$\because$ 反比例函数的解析式为 $y=\dfrac{4}{x}$,当 $x＜0$ 时,$y$ 随 $x$ 的增大而减小,
$\therefore$ 当 $-3≤ x≤ -1$ 时,$y$ 的取值范围是 $-4≤ y≤ -\dfrac{4}{3}$.
解析
【分析】
(1) 求解k和m时，首先回忆反比例函数k的几何意义：过反比例函数上一点作x轴垂线，该点、垂足、原点构成的三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$。结合已知△AOB的面积为2，且函数图象在一、三象限可知k＞0，即可求出k的值，得到反比例函数解析式后，将点A的横坐标代入解析式就能求出m的值。
(2) 求指定区间的y值范围时，先明确反比例函数$y=\frac{4}{x}$在x＜0的分支上，y随x的增大而减小，只需计算区间两个端点对应的y值，结合增减性就能得到y的取值范围，本题区间内x均为负数，属于同一象限，可直接用增减性判断。
【解析】
(1)
∵AB⊥x轴，点A在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上
∴$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}|k|=2$，解得$|k|=4$
∵反比例函数图象经过第一、三象限，即$k＞0$
∴$k=4$，反比例函数的解析式为$y=\frac{4}{x}$
将$A(4,m)$代入$y=\frac{4}{x}$，得$m=\frac{4}{4}=1$
(2) 对于反比例函数$y=\frac{4}{x}$，当$x＜0$时，图象位于第三象限，y随x的增大而减小
当$x=-3$时，$y=\frac{4}{-3}=-\frac{4}{3}$
当$x=-1$时，$y=\frac{4}{-1}=-4$
∵$-3≤x≤-1＜0$，结合函数增减性可得
y的取值范围是$-4≤y≤-\frac{4}{3}$
【答案】
(1) $k=4$，$m=1$
(2) $-4≤y≤-\frac{4}{3}$
【知识点】
1. 反比例函数k的几何意义
2. 反比例函数的增减性
3. 反比例函数解析式求解
【点评】
本题是反比例函数的基础常考题，侧重考查核心性质的应用，解题关键是熟练掌握k的几何意义，以及不同象限内函数的增减性规律，注意应用增减性时需保证在同一象限内判断，避免出现符号或范围判断错误。
【难度系数】
0.8
(1) 求解k和m时，首先回忆反比例函数k的几何意义：过反比例函数上一点作x轴垂线，该点、垂足、原点构成的三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$。结合已知△AOB的面积为2，且函数图象在一、三象限可知k＞0，即可求出k的值，得到反比例函数解析式后，将点A的横坐标代入解析式就能求出m的值。
(2) 求指定区间的y值范围时，先明确反比例函数$y=\frac{4}{x}$在x＜0的分支上，y随x的增大而减小，只需计算区间两个端点对应的y值，结合增减性就能得到y的取值范围，本题区间内x均为负数，属于同一象限，可直接用增减性判断。
【解析】
(1)
∵AB⊥x轴，点A在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上
∴$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}|k|=2$，解得$|k|=4$
∵反比例函数图象经过第一、三象限，即$k＞0$
∴$k=4$，反比例函数的解析式为$y=\frac{4}{x}$
将$A(4,m)$代入$y=\frac{4}{x}$，得$m=\frac{4}{4}=1$
(2) 对于反比例函数$y=\frac{4}{x}$，当$x＜0$时，图象位于第三象限，y随x的增大而减小
当$x=-3$时，$y=\frac{4}{-3}=-\frac{4}{3}$
当$x=-1$时，$y=\frac{4}{-1}=-4$
∵$-3≤x≤-1＜0$，结合函数增减性可得
y的取值范围是$-4≤y≤-\frac{4}{3}$
【答案】
(1) $k=4$，$m=1$
(2) $-4≤y≤-\frac{4}{3}$
【知识点】
1. 反比例函数k的几何意义
2. 反比例函数的增减性
3. 反比例函数解析式求解
【点评】
本题是反比例函数的基础常考题，侧重考查核心性质的应用，解题关键是熟练掌握k的几何意义，以及不同象限内函数的增减性规律，注意应用增减性时需保证在同一象限内判断，避免出现符号或范围判断错误。
【难度系数】
0.8
