登录
8.在平面直角坐标系中，函数$y=-\dfrac{4}{x+2}$的图象与坐标轴的交点个数是（
A.0
B.1
C.2
D.4
B
）。A.0
B.1
C.2
D.4
答案
8.B
解析
【分析】
要确定函数图象与坐标轴的交点个数，需分别计算函数与x轴、y轴的交点：①与y轴交点的求法是令x=0，代入求解y的值，同时要判断x=0是否在函数的定义域内；②与x轴交点的求法是令y=0，代入求解x的值，同时结合分式的特点判断方程是否有解，另外该函数是平移后的反比例函数，可结合反比例函数的取值特点分析。
【解析】
1. 求函数与y轴的交点：
令$x=0$，由于$x=0≠-2$，符合自变量取值要求，代入函数得：
$y=-\dfrac{4}{0+2}=-2$，因此函数与y轴交于点$(0,-2)$，存在1个交点。
2. 求函数与x轴的交点：
令$y=0$，可得方程$-\dfrac{4}{x+2}=0$，由于分式的分子为$-4≠0$，该方程无解，因此函数与x轴没有交点。
综上，函数图象与坐标轴的交点总个数为1。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的图象性质，函数与坐标轴交点的求解
【点评】
本题考查平移后的反比例函数与坐标轴的交点问题，解题关键是分别令x=0、y=0求解交点，同时注意反比例函数类的函数值不可能为0，避免误判与x轴的交点情况。
【难度系数】
0.7
要确定函数图象与坐标轴的交点个数，需分别计算函数与x轴、y轴的交点：①与y轴交点的求法是令x=0，代入求解y的值，同时要判断x=0是否在函数的定义域内；②与x轴交点的求法是令y=0，代入求解x的值，同时结合分式的特点判断方程是否有解，另外该函数是平移后的反比例函数，可结合反比例函数的取值特点分析。
【解析】
1. 求函数与y轴的交点：
令$x=0$，由于$x=0≠-2$，符合自变量取值要求，代入函数得：
$y=-\dfrac{4}{0+2}=-2$，因此函数与y轴交于点$(0,-2)$，存在1个交点。
2. 求函数与x轴的交点：
令$y=0$，可得方程$-\dfrac{4}{x+2}=0$，由于分式的分子为$-4≠0$，该方程无解，因此函数与x轴没有交点。
综上，函数图象与坐标轴的交点总个数为1。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的图象性质，函数与坐标轴交点的求解
【点评】
本题考查平移后的反比例函数与坐标轴的交点问题，解题关键是分别令x=0、y=0求解交点，同时注意反比例函数类的函数值不可能为0，避免误判与x轴的交点情况。
【难度系数】
0.7
9.已知$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3)$是反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象上的三个点，如果$x_1＜x_2＜x_3,y_2＜y_1＜y_3$，则下列关系式不正确的是(
A.$x_1x_2＜0$
B.$x_1x_3＜0$
C.$x_2x_3＜0$
D.$x_1+x_2＜0$
A
).A.$x_1x_2＜0$
B.$x_1x_3＜0$
C.$x_2x_3＜0$
D.$x_1+x_2＜0$
答案
9.A
解析
【分析】
首先回忆反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象性质：$k=2＞0$时，图象分布在第一、三象限，且每个象限内$y$随$x$的增大而减小。接下来结合已知的$x$、$y$的大小关系判断三个点所在的象限：第三象限的点纵坐标均为负，第一象限的点纵坐标均为正，由$y_2＜y_1＜y_3$可得$y_1$、$y_2$为负，$y_3$为正，即点$A$、$B$在第三象限，点$C$在第一象限，进而得到$x_1＜x_2＜0＜x_3$，最后据此逐一判断选项即可。
【解析】
解：对于反比例函数$y=\frac{2}{x}$，
∵$k=2＞0$，
∴函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小。
已知$x_1＜x_2＜x_3$，$y_2＜y_1＜y_3$：
∵第一象限内点的纵坐标为正，第三象限内点的纵坐标为负，
∴$y_3＞0$，对应点$C$在第一象限，即$x_3＞0$；$y_1＜0$、$y_2＜0$，对应点$A$、$B$在第三象限。
又
∵第三象限内$y$随$x$增大而减小，$y_2＜y_1$，
∴$x_1＜x_2＜0$，综上得$x_1＜x_2＜0＜x_3$。
逐一判断选项：
A. $x_1$、$x_2$均为负数，乘积$x_1x_2＞0$，该关系式错误，符合题意；
B. $x_1＜0$，$x_3＞0$，乘积$x_1x_3＜0$，该关系式正确，不符合题意；
C. $x_2＜0$，$x_3＞0$，乘积$x_2x_3＜0$，该关系式正确，不符合题意；
D. $x_1$、$x_2$均为负数，和$x_1+x_2＜0$，该关系式正确，不符合题意。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的图象与性质，有理数乘法符号判断，有理数加法符号判断
【点评】
本题核心是利用反比例函数的增减性判断点所在象限，解题时要注意反比例函数的增减性仅在同一个象限内成立，不能直接跨象限比较函数值大小，确定各横坐标的正负后即可快速判断选项正误。
【难度系数】
0.7
首先回忆反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象性质：$k=2＞0$时，图象分布在第一、三象限，且每个象限内$y$随$x$的增大而减小。接下来结合已知的$x$、$y$的大小关系判断三个点所在的象限：第三象限的点纵坐标均为负，第一象限的点纵坐标均为正，由$y_2＜y_1＜y_3$可得$y_1$、$y_2$为负，$y_3$为正，即点$A$、$B$在第三象限，点$C$在第一象限，进而得到$x_1＜x_2＜0＜x_3$，最后据此逐一判断选项即可。
【解析】
解：对于反比例函数$y=\frac{2}{x}$，
∵$k=2＞0$，
∴函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小。
已知$x_1＜x_2＜x_3$，$y_2＜y_1＜y_3$：
∵第一象限内点的纵坐标为正，第三象限内点的纵坐标为负，
∴$y_3＞0$，对应点$C$在第一象限，即$x_3＞0$；$y_1＜0$、$y_2＜0$，对应点$A$、$B$在第三象限。
又
∵第三象限内$y$随$x$增大而减小，$y_2＜y_1$，
∴$x_1＜x_2＜0$，综上得$x_1＜x_2＜0＜x_3$。
逐一判断选项：
A. $x_1$、$x_2$均为负数，乘积$x_1x_2＞0$，该关系式错误，符合题意；
B. $x_1＜0$，$x_3＞0$，乘积$x_1x_3＜0$，该关系式正确，不符合题意；
C. $x_2＜0$，$x_3＞0$，乘积$x_2x_3＜0$，该关系式正确，不符合题意；
D. $x_1$、$x_2$均为负数，和$x_1+x_2＜0$，该关系式正确，不符合题意。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的图象与性质，有理数乘法符号判断，有理数加法符号判断
【点评】
本题核心是利用反比例函数的增减性判断点所在象限，解题时要注意反比例函数的增减性仅在同一个象限内成立，不能直接跨象限比较函数值大小，确定各横坐标的正负后即可快速判断选项正误。
【难度系数】
0.7
10.在平面直角坐标系中,点$A(-2,1),B(3,2),C(-6,m)$分别在三个不同的象限内.若反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象经过其中两点,则$m$的值为
-1
.答案
10.-1
解析
【分析】
解题时可按以下思路思考：①先根据各象限点的坐标符号特征，确定点A、B所在的象限，再结合“三个点在不同象限”的条件，推出点C所在的象限，得到m的取值符号；②结合反比例函数图象的性质：反比例函数的两个分支只能在两个同号象限（要么第一、第三象限，要么第二、第四象限），判断出哪两个点可能在反比例函数图象上，排除不符合的点；③最后根据“反比例函数上任意一点的横、纵坐标乘积等于k”，列方程求解m的值即可。
【解析】
1. 确定各点所在象限：
点A(-2,1)的横坐标为负、纵坐标为正，在第二象限；
点B(3,2)的横坐标为正、纵坐标为正，在第一象限；
点C(-6,m)横坐标为负，因为三个点在不同象限，所以点C不能在第二象限，可得m＜0，即点C在第三象限。
2. 判断反比例函数经过的点：
反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象只能分布在两个同号象限：若k＞0，图象在第一、第三象限；若k＜0，图象在第二、第四象限。
现有三个点中没有第四象限的点，因此反比例函数不可能经过第二象限的点A，只能经过第一象限的点B和第三象限的点C。
3. 计算m的值：
反比例函数上的点横、纵坐标乘积等于k，因此$k=3×2=6$，同时$k=-6× m$，可得：
$-6m=6$
解得$m=-1$，符合m＜0的结论。
【答案】
-1
【知识点】
象限坐标特征；反比例函数的性质；反比例函数解析式的确定
【点评】
本题是反比例函数与平面直角坐标系的综合题，解题的核心是先根据三点分属不同象限确定m的符号，再结合反比例函数图象的象限分布规律筛选出经过的两个点，考查了基础的逻辑推理能力和对性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时可按以下思路思考：①先根据各象限点的坐标符号特征，确定点A、B所在的象限，再结合“三个点在不同象限”的条件，推出点C所在的象限，得到m的取值符号；②结合反比例函数图象的性质：反比例函数的两个分支只能在两个同号象限（要么第一、第三象限，要么第二、第四象限），判断出哪两个点可能在反比例函数图象上，排除不符合的点；③最后根据“反比例函数上任意一点的横、纵坐标乘积等于k”，列方程求解m的值即可。
【解析】
1. 确定各点所在象限：
点A(-2,1)的横坐标为负、纵坐标为正，在第二象限；
点B(3,2)的横坐标为正、纵坐标为正，在第一象限；
点C(-6,m)横坐标为负，因为三个点在不同象限，所以点C不能在第二象限，可得m＜0，即点C在第三象限。
2. 判断反比例函数经过的点：
反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象只能分布在两个同号象限：若k＞0，图象在第一、第三象限；若k＜0，图象在第二、第四象限。
现有三个点中没有第四象限的点，因此反比例函数不可能经过第二象限的点A，只能经过第一象限的点B和第三象限的点C。
3. 计算m的值：
反比例函数上的点横、纵坐标乘积等于k，因此$k=3×2=6$，同时$k=-6× m$，可得：
$-6m=6$
解得$m=-1$，符合m＜0的结论。
【答案】
-1
【知识点】
象限坐标特征；反比例函数的性质；反比例函数解析式的确定
【点评】
本题是反比例函数与平面直角坐标系的综合题，解题的核心是先根据三点分属不同象限确定m的符号，再结合反比例函数图象的象限分布规律筛选出经过的两个点，考查了基础的逻辑推理能力和对性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
11.已知y是x的反比例函数，当$x＞0$时，y随x的增大而减小.请写出一个满足以上条件的函数解析式：
$y=\dfrac{1}{x}$(答案不唯一)
.答案
11.$y=\dfrac{1}{x}$(答案不唯一)
解析
【分析】
首先明确反比例函数的标准形式，再结合题目给出的增减性条件确定参数的取值范围，最后选取符合要求的参数值写出解析式即可。首先反比例函数的标准形式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，且$k≠0$）；其次反比例函数的增减性由$k$的符号决定：当$k＞0$时，在$x＞0$的区间内，$y$随$x$的增大而减小，刚好符合题目的要求，因此只要取任意正数作为$k$的值，就能写出满足条件的解析式。
【解析】
解：设满足条件的反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}$（$k≠0$）。
根据反比例函数的性质：当$k＞0$时，在$x＞0$的区间内，$y$随$x$的增大而减小，因此只需取$k$为正实数即可。
例如取$k=1$，可得解析式$y=\frac{1}{x}$，答案不唯一，只要$k＞0$均符合要求。
【答案】
$y=\dfrac{1}{x}$(答案不唯一)
【知识点】
反比例函数的定义；反比例函数的增减性
【点评】
本题属于开放性基础题，重点考查对反比例函数性质的理解与运用，只要掌握反比例函数中系数$k$的符号与函数增减性的对应规律，即可快速作答。
【难度系数】
0.9
首先明确反比例函数的标准形式，再结合题目给出的增减性条件确定参数的取值范围，最后选取符合要求的参数值写出解析式即可。首先反比例函数的标准形式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，且$k≠0$）；其次反比例函数的增减性由$k$的符号决定：当$k＞0$时，在$x＞0$的区间内，$y$随$x$的增大而减小，刚好符合题目的要求，因此只要取任意正数作为$k$的值，就能写出满足条件的解析式。
【解析】
解：设满足条件的反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}$（$k≠0$）。
根据反比例函数的性质：当$k＞0$时，在$x＞0$的区间内，$y$随$x$的增大而减小，因此只需取$k$为正实数即可。
例如取$k=1$，可得解析式$y=\frac{1}{x}$，答案不唯一，只要$k＞0$均符合要求。
【答案】
$y=\dfrac{1}{x}$(答案不唯一)
【知识点】
反比例函数的定义；反比例函数的增减性
【点评】
本题属于开放性基础题，重点考查对反比例函数性质的理解与运用，只要掌握反比例函数中系数$k$的符号与函数增减性的对应规律，即可快速作答。
【难度系数】
0.9
12.已知点$(a-1,y_1),(a+1,y_2)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$的图象上，若$y_1＜y_2$，求$a$的取值范围.
答案
12.$\because k＞0,\therefore$在图象的每一支上,$y$ 随 $x$ 的增大而减小.
当点$(a-1,y_1),(a+1,y_2)$在图象的同一支上时,$a-1＞a+1$,无解；
当点$(a-1,y_1),(a+1,y_2)$在图象的两支上时,$a-1＜0$ 且 $a+1＞0$,解得$-1＜a＜1$.
故$-1＜a＜1$.
当点$(a-1,y_1),(a+1,y_2)$在图象的同一支上时,$a-1＞a+1$,无解；
当点$(a-1,y_1),(a+1,y_2)$在图象的两支上时,$a-1＜0$ 且 $a+1＞0$,解得$-1＜a＜1$.
故$-1＜a＜1$.
解析
【分析】
首先回忆反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$的性质：图象分布在第一、三象限，且在同一象限的分支上，$y$随$x$的增大而减小。观察两个点的横坐标可知$a+1$始终大于$a-1$，结合题设$y_1＜y_2$，可先判断两点是否在同一支：若在同一支，横坐标小的点对应的$y$值应该更大，与$y_1＜y_2$矛盾，因此两点必然在不同的分支上，即横坐标小的点在第三象限（$x＜0$），横坐标大的点在第一象限（$x＞0$），据此列不等式组求解即可。
【解析】
$\because k＞0$，$\therefore$反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象在第一、三象限，且在图象的每一支上，$y$随$x$的增大而减小。
①当点$(a-1,y_1),(a+1,y_2)$在图象的同一支上时：
$\because y_1＜y_2$，根据增减性可得$a-1＞a+1$，化简得$-1＞1$，此不等式无解，故该情况不存在；
②当点$(a-1,y_1),(a+1,y_2)$在图象的两支上时：
$y_1＜y_2$说明$(a-1,y_1)$在第三象限，$(a+1,y_2)$在第一象限，因此列不等式组：
$\begin{cases}a-1＜0 \\ a+1＞0\end{cases}$
解得$-1＜a＜1$。
【答案】
$-1＜a＜1$
【知识点】
反比例函数的图象与性质，解一元一次不等式组
【点评】
本题核心考查反比例函数增减性的应用，解题的易错点是忽略反比例函数的增减性仅在同一象限内成立，解题时需分两点在同一支、不同支两种情况讨论，避免直接套用增减性导致错解。
【难度系数】
0.6
首先回忆反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$的性质：图象分布在第一、三象限，且在同一象限的分支上，$y$随$x$的增大而减小。观察两个点的横坐标可知$a+1$始终大于$a-1$，结合题设$y_1＜y_2$，可先判断两点是否在同一支：若在同一支，横坐标小的点对应的$y$值应该更大，与$y_1＜y_2$矛盾，因此两点必然在不同的分支上，即横坐标小的点在第三象限（$x＜0$），横坐标大的点在第一象限（$x＞0$），据此列不等式组求解即可。
【解析】
$\because k＞0$，$\therefore$反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象在第一、三象限，且在图象的每一支上，$y$随$x$的增大而减小。
①当点$(a-1,y_1),(a+1,y_2)$在图象的同一支上时：
$\because y_1＜y_2$，根据增减性可得$a-1＞a+1$，化简得$-1＞1$，此不等式无解，故该情况不存在；
②当点$(a-1,y_1),(a+1,y_2)$在图象的两支上时：
$y_1＜y_2$说明$(a-1,y_1)$在第三象限，$(a+1,y_2)$在第一象限，因此列不等式组：
$\begin{cases}a-1＜0 \\ a+1＞0\end{cases}$
解得$-1＜a＜1$。
【答案】
$-1＜a＜1$
【知识点】
反比例函数的图象与性质，解一元一次不等式组
【点评】
本题核心考查反比例函数增减性的应用，解题的易错点是忽略反比例函数的增减性仅在同一象限内成立，解题时需分两点在同一支、不同支两种情况讨论，避免直接套用增减性导致错解。
【难度系数】
0.6
13.如图,已知反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象经过点$A(4,m)$,$AB⊥ x$轴于点$B$,且$△ AOB$的面积为2.
(1)求$k$和$m$的值.
(2)当$-3≤ x≤ -1$时,求函数值$y$的取值范围.
(1)求$k$和$m$的值.
(2)当$-3≤ x≤ -1$时,求函数值$y$的取值范围.
答案
13.(1)$\because△ AOB$ 的面积为 2,$\therefore k=4$.
$\therefore$反比例函数的解析式为 $y=\dfrac{4}{x}$.
$\because A(4,m),\therefore m=1$.
(2)当 $x=-3$ 时,$y=-\dfrac{4}{3}$;当 $x=-1$ 时,$y=-4$.
$\because$ 反比例函数的解析式为 $y=\dfrac{4}{x}$,当 $x＜0$ 时,$y$ 随 $x$ 的增大而减小,
$\therefore$ 当 $-3≤ x≤ -1$ 时,$y$ 的取值范围是 $-4≤ y≤ -\dfrac{4}{3}$.
$\therefore$反比例函数的解析式为 $y=\dfrac{4}{x}$.
$\because A(4,m),\therefore m=1$.
(2)当 $x=-3$ 时,$y=-\dfrac{4}{3}$;当 $x=-1$ 时,$y=-4$.
$\because$ 反比例函数的解析式为 $y=\dfrac{4}{x}$,当 $x＜0$ 时,$y$ 随 $x$ 的增大而减小,
$\therefore$ 当 $-3≤ x≤ -1$ 时,$y$ 的取值范围是 $-4≤ y≤ -\dfrac{4}{3}$.
解析
【分析】
(1) 解题时先利用反比例函数中k的几何意义：过反比例函数图象上任意一点向x轴作垂线，该点、垂足与原点构成的三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$，结合△AOB的面积求出k的绝对值，再根据图象所在象限确定k的符号，得到反比例函数解析式后，将点A的横坐标代入解析式即可求出m的值。
(2) 先判断反比例函数在$x＜0$区间的增减性，再分别计算区间端点$x=-3$和$x=-1$对应的函数值，结合增减性就能确定$x$在$-3≤x≤-1$范围内时y的取值范围。
【解析】
(1)
∵AB⊥x轴，点A在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，根据反比例函数k的几何意义可得$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}|k|$
已知$S_{△ AOB}=2$，
∴$\frac{1}{2}|k|=2$，解得$|k|=4$
又
∵反比例函数图象位于第一、三象限，
∴$k＞0$，即$k=4$
∴反比例函数的解析式为$y=\dfrac{4}{x}$
将$A(4,m)$代入$y=\dfrac{4}{x}$，得$m=\dfrac{4}{4}=1$
(2) 对于反比例函数$y=\dfrac{4}{x}$，$k=4＞0$，因此当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小
当$x=-3$时，$y=\dfrac{4}{-3}=-\dfrac{4}{3}$；当$x=-1$时，$y=\dfrac{4}{-1}=-4$
结合$-3≤x≤-1＜0$和函数增减性可得，y的取值范围是$-4≤y≤-\dfrac{4}{3}$
【答案】
(1) $k=4$，$m=1$；
(2) $-4≤y≤-\dfrac{4}{3}$
【知识点】
反比例函数k的几何意义；反比例函数的增减性；反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数的基础题型，侧重考查对反比例函数基本性质的理解和应用，解题的关键是熟练掌握k的几何意义以及反比例函数的增减性规律，注意在判断取值范围时不要因记错增减性将范围写反。
【难度系数】
0.8
(1) 解题时先利用反比例函数中k的几何意义：过反比例函数图象上任意一点向x轴作垂线，该点、垂足与原点构成的三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$，结合△AOB的面积求出k的绝对值，再根据图象所在象限确定k的符号，得到反比例函数解析式后，将点A的横坐标代入解析式即可求出m的值。
(2) 先判断反比例函数在$x＜0$区间的增减性，再分别计算区间端点$x=-3$和$x=-1$对应的函数值，结合增减性就能确定$x$在$-3≤x≤-1$范围内时y的取值范围。
【解析】
(1)
∵AB⊥x轴，点A在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，根据反比例函数k的几何意义可得$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}|k|$
已知$S_{△ AOB}=2$，
∴$\frac{1}{2}|k|=2$，解得$|k|=4$
又
∵反比例函数图象位于第一、三象限，
∴$k＞0$，即$k=4$
∴反比例函数的解析式为$y=\dfrac{4}{x}$
将$A(4,m)$代入$y=\dfrac{4}{x}$，得$m=\dfrac{4}{4}=1$
(2) 对于反比例函数$y=\dfrac{4}{x}$，$k=4＞0$，因此当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小
当$x=-3$时，$y=\dfrac{4}{-3}=-\dfrac{4}{3}$；当$x=-1$时，$y=\dfrac{4}{-1}=-4$
结合$-3≤x≤-1＜0$和函数增减性可得，y的取值范围是$-4≤y≤-\dfrac{4}{3}$
【答案】
(1) $k=4$，$m=1$；
(2) $-4≤y≤-\dfrac{4}{3}$
【知识点】
反比例函数k的几何意义；反比例函数的增减性；反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数的基础题型，侧重考查对反比例函数基本性质的理解和应用，解题的关键是熟练掌握k的几何意义以及反比例函数的增减性规律，注意在判断取值范围时不要因记错增减性将范围写反。
【难度系数】
0.8
