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三、解答题
13. 如图，在$△ ABC$中，$AD\bot BC$，垂足为$D$，$DE// AC$，$\cos C=\dfrac{4}{5}$，$AC=10$，$BE=2AE$。
(1) 求$BD$的长；
(2) 求$△ BDE$的面积。
13. 如图，在$△ ABC$中，$AD\bot BC$，垂足为$D$，$DE// AC$，$\cos C=\dfrac{4}{5}$，$AC=10$，$BE=2AE$。
(1) 求$BD$的长；
(2) 求$△ BDE$的面积。
答案
13.解:(1)$\because AD⊥ BC,\therefore ∠ ADC=90°,$
$\therefore \cos C=\dfrac{CD}{AC},\therefore \dfrac{CD}{10}=\dfrac{4}{5},\therefore CD=8.$
$\because DE// AC,\therefore \dfrac{BD}{CD}=\dfrac{BE}{AE}.$
又 $BE=2AE,\therefore \dfrac{BD}{8}=\dfrac{2}{1},\therefore BD=16.$
(2)在 $\mathrm{Rt}△ ACD$ 中,由勾股定理,
得 $AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6.$
$\because BE=2AE,\therefore S_{△ BDE}=\dfrac{2}{3}S_{△ ABD}=\dfrac{2}{3}×\dfrac{1}{2}AD· BD=\dfrac{2}{3}×\dfrac{1}{2}×6×16=32.$
$\therefore \cos C=\dfrac{CD}{AC},\therefore \dfrac{CD}{10}=\dfrac{4}{5},\therefore CD=8.$
$\because DE// AC,\therefore \dfrac{BD}{CD}=\dfrac{BE}{AE}.$
又 $BE=2AE,\therefore \dfrac{BD}{8}=\dfrac{2}{1},\therefore BD=16.$
(2)在 $\mathrm{Rt}△ ACD$ 中,由勾股定理,
得 $AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6.$
$\because BE=2AE,\therefore S_{△ BDE}=\dfrac{2}{3}S_{△ ABD}=\dfrac{2}{3}×\dfrac{1}{2}AD· BD=\dfrac{2}{3}×\dfrac{1}{2}×6×16=32.$
解析
【分析】
(1) 求BD的长时，先利用AD⊥BC得到Rt△ACD，结合已知的cosC和AC的长度，通过锐角三角函数的定义先求出CD的长度；再根据DE//AC的条件，利用平行线分线段成比例定理得到BD与CD的比值等于BE与AE的比值，代入BE=2AE和已求出的CD长度，即可计算得到BD的长。
(2) 求△BDE的面积时，先在Rt△ACD中用勾股定理求出AD的长度，计算出△ABD的面积；由于△BDE和△ABD同高，面积比等于对应底的比BE:AB，结合BE=2AE得到BE:AB=2:3，即可求出△BDE的面积。
【解析】
(1) 解：$\because AD⊥ BC$，$\therefore ∠ ADC=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$\cos C=\dfrac{CD}{AC}$，
将$\cos C=\dfrac{4}{5}$，$AC=10$代入得$\dfrac{CD}{10}=\dfrac{4}{5}$，解得$CD=8$。
$\because DE// AC$，由平行线分线段成比例定理得$\dfrac{BD}{CD}=\dfrac{BE}{AE}$，
又$\because BE=2AE$，即$\dfrac{BE}{AE}=\dfrac{2}{1}$，将$CD=8$代入得$\dfrac{BD}{8}=\dfrac{2}{1}$，
解得$BD=16$。
(2) 在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{36}=6$，
$\because AD⊥ BC$，$\therefore S_{△ ABD}=\dfrac{1}{2}× BD× AD=\dfrac{1}{2}×16×6=48$，
$\because △ BDE$和$△ ABD$同高，底边BE、AB在同一直线上，
$\therefore \dfrac{S_{△ BDE}}{S_{△ ABD}}=\dfrac{BE}{AB}$，
$\because BE=2AE$，$\therefore AB=AE+BE=3AE$，即$\dfrac{BE}{AB}=\dfrac{2}{3}$，
$\therefore S_{△ BDE}=\dfrac{2}{3}S_{△ ABD}=\dfrac{2}{3}×48=32$。
【答案】
(1) $BD=16$；(2) $△ BDE$的面积为$32$
【知识点】
平行线分线段成比例；锐角三角函数；勾股定理
【点评】
本题是常规几何中档题，综合考查了解直角三角形、平行线的性质和三角形面积的计算，解题的关键是结合已知条件，把边角关系、线段比例关系对应到合适的几何图形中，整体运算难度不大，需熟练掌握基础几何性质和运算方法。
【难度系数】
0.7
(1) 求BD的长时，先利用AD⊥BC得到Rt△ACD，结合已知的cosC和AC的长度，通过锐角三角函数的定义先求出CD的长度；再根据DE//AC的条件，利用平行线分线段成比例定理得到BD与CD的比值等于BE与AE的比值，代入BE=2AE和已求出的CD长度，即可计算得到BD的长。
(2) 求△BDE的面积时，先在Rt△ACD中用勾股定理求出AD的长度，计算出△ABD的面积；由于△BDE和△ABD同高，面积比等于对应底的比BE:AB，结合BE=2AE得到BE:AB=2:3，即可求出△BDE的面积。
【解析】
(1) 解：$\because AD⊥ BC$，$\therefore ∠ ADC=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$\cos C=\dfrac{CD}{AC}$，
将$\cos C=\dfrac{4}{5}$，$AC=10$代入得$\dfrac{CD}{10}=\dfrac{4}{5}$，解得$CD=8$。
$\because DE// AC$，由平行线分线段成比例定理得$\dfrac{BD}{CD}=\dfrac{BE}{AE}$，
又$\because BE=2AE$，即$\dfrac{BE}{AE}=\dfrac{2}{1}$，将$CD=8$代入得$\dfrac{BD}{8}=\dfrac{2}{1}$，
解得$BD=16$。
(2) 在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{36}=6$，
$\because AD⊥ BC$，$\therefore S_{△ ABD}=\dfrac{1}{2}× BD× AD=\dfrac{1}{2}×16×6=48$，
$\because △ BDE$和$△ ABD$同高，底边BE、AB在同一直线上，
$\therefore \dfrac{S_{△ BDE}}{S_{△ ABD}}=\dfrac{BE}{AB}$，
$\because BE=2AE$，$\therefore AB=AE+BE=3AE$，即$\dfrac{BE}{AB}=\dfrac{2}{3}$，
$\therefore S_{△ BDE}=\dfrac{2}{3}S_{△ ABD}=\dfrac{2}{3}×48=32$。
【答案】
(1) $BD=16$；(2) $△ BDE$的面积为$32$
【知识点】
平行线分线段成比例；锐角三角函数；勾股定理
【点评】
本题是常规几何中档题，综合考查了解直角三角形、平行线的性质和三角形面积的计算，解题的关键是结合已知条件，把边角关系、线段比例关系对应到合适的几何图形中，整体运算难度不大，需熟练掌握基础几何性质和运算方法。
【难度系数】
0.7
14 如图是某种型号的机器人在展示中国功夫时的几何示意图,机器人的一条腿 AB 直立于地面 MN,小腿部分 CD 刚好与地面 MN 平行,上身 AP 垂直于大腿 AC,即 AB⊥MN 于点 B,CD//MN,AP⊥AC 于点 A.CE 是机器人小腿 CD 上踢后与大腿 AC 在同一直线的瞬间(这里的小腿 CD、CE 都包括脚面部分,上身 AP 包括头部部分).已知 AB=80 cm,AP=50 cm,∠DCE=50°,求:
(1)∠CAB 的度数;
(2)点 P 距离地面的高度.(结果精确到 1 cm,参考数据:sin 40°≈0.643,cos 40°≈0.766,tan 40°≈0.839)
(1)∠CAB 的度数;
(2)点 P 距离地面的高度.(结果精确到 1 cm,参考数据:sin 40°≈0.643,cos 40°≈0.766,tan 40°≈0.839)
答案
14.解:(1)如图,过点 A 作 $AH// CD$,
由题意可得 $∠ ABN=90°.$
$\because CD// MN,AH// CD,$
$\therefore AH// CD// MN,$
$\therefore ∠ EAH=∠ DCE=50°,$
$∠ BAH=∠ ABN=90°,$
$\therefore ∠ CAB=∠ EAH+∠ BAH=140°.$
(2)过点 P 作 $PT⊥ HA$,交 HA 的延长线于点 T,如图.
$\because ∠ PAC=90°,$
$\therefore ∠ PAT=180°-90°-50°=40°,$
$\therefore PT=AP· \sin∠ PAT=50· \sin 40°\approx50×0.643\approx32(\mathrm{cm}),$
$\therefore AB+PT\approx80+32=112(\mathrm{cm}).$
故点 P 距离地面的高度约为 112 cm.
解析
【分析】
(1) 求解$∠ CAB$的度数时，已知$CD$与地面$MN$平行，$AB$垂直于地面$MN$，可通过过点$A$作$AH$平行于$CD$，利用平行线的传递性得到$AH$平行于$CD$和$MN$，结合平行线的内错角相等性质，将已知的$∠ DCE$转化为$∠ EAH$，再结合垂直得到的$∠ BAH=90°$，即可求出$∠ CAB$。
(2) 求解点$P$到地面的高度时，地面到点$A$的高度为$AB=80\mathrm{cm}$，只需算出点$P$高出点$A$的竖直高度即可。过点$P$作$PT$垂直$HA$的延长线，结合$AP⊥ AC$的条件求出$∠ PAT$的度数，利用锐角三角函数求出$PT$的长度，将其与$AB$相加即可得到点$P$到地面的总高度。
【解析】
(1) 过点$A$作 $AH// CD$，由题意得$∠ ABN=90°$。
$\because CD// MN$，$AH// CD$，
$\therefore AH// CD// MN$，
$\therefore ∠ EAH=∠ DCE=50°$，$∠ BAH=∠ ABN=90°$，
$\therefore ∠ CAB=∠ EAH+∠ BAH=50°+90°=140°$。
(2) 过点$P$作$PT⊥ HA$，交$HA$的延长线于点$T$，如图。
$\because ∠ PAC=90°$，
$\therefore ∠ PAT=180°-∠ PAC-∠ EAH=180°-90°-50°=40°$，
在$Rt△ PAT$中，$PT=AP·\sin∠ PAT=50×\sin40°\approx50×0.643\approx32(\mathrm{cm})$，
$\therefore$点$P$到地面的高度为$AB+PT\approx80+32=112(\mathrm{cm})$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠ CAB=140°}$；
(2) 点$P$距离地面的高度约为$\boldsymbol{112\mathrm{cm}}$。
【知识点】
平行线的性质；解直角三角形的应用；垂线的定义
【点评】
本题结合生活中的机器人动作场景命题，趣味性较强，考查了平行线的性质、锐角三角函数的实际应用等知识，解题的关键是合理作出辅助线，将实际问题转化为几何计算问题，能够很好地考查学生的知识应用能力和建模思想。
【难度系数】
0.7
(1) 求解$∠ CAB$的度数时，已知$CD$与地面$MN$平行，$AB$垂直于地面$MN$，可通过过点$A$作$AH$平行于$CD$，利用平行线的传递性得到$AH$平行于$CD$和$MN$，结合平行线的内错角相等性质，将已知的$∠ DCE$转化为$∠ EAH$，再结合垂直得到的$∠ BAH=90°$，即可求出$∠ CAB$。
(2) 求解点$P$到地面的高度时，地面到点$A$的高度为$AB=80\mathrm{cm}$，只需算出点$P$高出点$A$的竖直高度即可。过点$P$作$PT$垂直$HA$的延长线，结合$AP⊥ AC$的条件求出$∠ PAT$的度数，利用锐角三角函数求出$PT$的长度，将其与$AB$相加即可得到点$P$到地面的总高度。
【解析】
(1) 过点$A$作 $AH// CD$，由题意得$∠ ABN=90°$。
$\because CD// MN$，$AH// CD$，
$\therefore AH// CD// MN$，
$\therefore ∠ EAH=∠ DCE=50°$，$∠ BAH=∠ ABN=90°$，
$\therefore ∠ CAB=∠ EAH+∠ BAH=50°+90°=140°$。
(2) 过点$P$作$PT⊥ HA$，交$HA$的延长线于点$T$，如图。
$\because ∠ PAC=90°$，
$\therefore ∠ PAT=180°-∠ PAC-∠ EAH=180°-90°-50°=40°$，
在$Rt△ PAT$中，$PT=AP·\sin∠ PAT=50×\sin40°\approx50×0.643\approx32(\mathrm{cm})$，
$\therefore$点$P$到地面的高度为$AB+PT\approx80+32=112(\mathrm{cm})$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠ CAB=140°}$；
(2) 点$P$距离地面的高度约为$\boldsymbol{112\mathrm{cm}}$。
【知识点】
平行线的性质；解直角三角形的应用；垂线的定义
【点评】
本题结合生活中的机器人动作场景命题，趣味性较强，考查了平行线的性质、锐角三角函数的实际应用等知识，解题的关键是合理作出辅助线，将实际问题转化为几何计算问题，能够很好地考查学生的知识应用能力和建模思想。
【难度系数】
0.7
15 汽车盲区是指驾驶员位于驾驶座位置，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的区域. 如图，$△ ABC$、$△ FED$分别为汽车两侧盲区的示意图. 已知视线 $PB$ 与地面 $BE$ 的夹角 $∠ PBE=43°$，视线 $PE$ 与地面 $BE$ 的夹角 $∠ PEB=20°$，点 $A$、$F$ 分别为 $PB$、$PE$ 与车窗底部的交点，$AF // BE$，$AC$、$FD$ 垂直地面 $BE$，点 $A$ 到点 $B$ 的距离 $AB=1.6\ \mathrm{m}$.
（参考数据：$\sin 43° \approx 0.7$，$\tan 43° \approx 0.9$，$\sin 20° \approx 0.3$，$\tan 20° \approx 0.4$）
(1)求车窗底部到地面的高度(即 $AC$ 的长)；
(2)求盲区中 $DE$ 的长度；
(3)点 $M$ 在 $ED$ 上，$MD=1.8\ \mathrm{m}$，在 $M$ 处有一个高度为 $0.5\ \mathrm{m}$ 的物体，驾驶员能观察到物体吗？请说明理由.
（参考数据：$\sin 43° \approx 0.7$，$\tan 43° \approx 0.9$，$\sin 20° \approx 0.3$，$\tan 20° \approx 0.4$）
(1)求车窗底部到地面的高度(即 $AC$ 的长)；
(2)求盲区中 $DE$ 的长度；
(3)点 $M$ 在 $ED$ 上，$MD=1.8\ \mathrm{m}$，在 $M$ 处有一个高度为 $0.5\ \mathrm{m}$ 的物体，驾驶员能观察到物体吗？请说明理由.
答案
15.解:(1)$\because FD⊥ EB,AC⊥ EB,AF// BE,$
$\therefore DF=AC.$
在 $\mathrm{Rt}△ ACB$ 中, $∠ ACB=90°,∠ PBE=43°,$
$\therefore AC=AB· \sin 43°\approx1.6×0.7=1.12(\mathrm{m}).$
答:车窗底部到地面的高度约为 1.12 m.
(2)$\because AC=1.12\ \mathrm{m},\therefore DF=AC=1.12\ \mathrm{m}.$
在 $\mathrm{Rt}△ DEF$ 中, $∠ FDE=90°,∠ PEB=20°,$
$\therefore DE=\dfrac{DF}{\tan∠ PEB}\approx\dfrac{1.12}{0.4}=2.8(\mathrm{m}).$
答:盲区中 DE 的长度约为 2.8 m.
(3)驾驶员能观察到物体,理由如下:
如图,过点 M 作 $NM⊥ ED$,交 PE 于点 N.
$\because ED=2.8\ \mathrm{m},MD=1.8\ \mathrm{m},\therefore EM=1\ \mathrm{m}.$
在 $\mathrm{Rt}△ EMN$ 中, $MN=EM· \tan∠ PEB\approx1×0.4=0.4(\mathrm{m}).$
$\because 0.5＞0.4,\therefore$ 驾驶员能观察到物体.
解析
【分析】
本题是锐角三角函数在实际生活中的应用问题，解题思路如下：
(1) 求AC的长度：AC在Rt△ACB中，已知斜边AB长度和∠PBE的度数，AC是∠PBE的对边，可直接用正弦函数定义计算；
(2) 求DE的长度：由AF//BE，AC、FD均垂直地面可得FD=AC，FD是Rt△FDE中∠PEB的对边，DE是∠PEB的邻边，用正切函数定义即可求出DE；
(3) 判断能否观察到物体：过M作NM⊥BE交PE于点N，MN是视线PE在M处的高度，若物体高度大于MN，说明物体高出视线的部分未被遮挡，驾驶员可观察到物体，计算MN的长度与物体高度比较即可。
【解析】
(1) $\because FD⊥ EB,AC⊥ EB,AF// BE,$
$\therefore$ 四边形ACDF是矩形，$DF=AC.$
在 $\mathrm{Rt}△ ACB$ 中, $∠ ACB=90°,∠ PBE=43°,AB=1.6\ \mathrm{m},$
$\therefore AC=AB· \sin 43°\approx1.6×0.7=1.12(\mathrm{m}).$
(2) $\because AC=1.12\ \mathrm{m},\therefore DF=AC=1.12\ \mathrm{m}.$
在 $\mathrm{Rt}△ DEF$ 中, $∠ FDE=90°,∠ PEB=20°,$
$\therefore DE=\dfrac{DF}{\tan∠ PEB}\approx\dfrac{1.12}{0.4}=2.8(\mathrm{m}).$
(3) 驾驶员能观察到物体,理由如下:
过点 M 作 $NM⊥ ED$,交 PE 于点 N.
$\because ED=2.8\ \mathrm{m},MD=1.8\ \mathrm{m},\therefore EM=ED-MD=1\ \mathrm{m}.$
在 $\mathrm{Rt}△ EMN$ 中, $∠NME=90°,∠ PEB=20°,$
$\therefore MN=EM· \tan∠ PEB\approx1×0.4=0.4(\mathrm{m}).$
$\because 0.5\ \mathrm{m}＞0.4\ \mathrm{m},$说明物体高出视线的部分未被遮挡，$\therefore$ 驾驶员能观察到物体。
【答案】
(1) 车窗底部到地面的高度约为 $\boxed{1.12\ \mathrm{m}}$；
(2) 盲区中 $DE$ 的长度约为 $\boxed{2.8\ \mathrm{m}}$；
(3) 驾驶员能观察到物体，理由见解析，辅助线图：
【知识点】
1. 解直角三角形的应用
2. 锐角三角函数定义
3. 矩形的性质
【点评】
本题结合汽车盲区的生活场景考查三角函数的实际应用，核心是将实际问题转化为直角三角形的边角计算问题，需要学生准确识别直角三角形、选择对应三角函数列式，第三问需要理解视线高度的含义，题目贴近生活，能锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
本题是锐角三角函数在实际生活中的应用问题，解题思路如下：
(1) 求AC的长度：AC在Rt△ACB中，已知斜边AB长度和∠PBE的度数，AC是∠PBE的对边，可直接用正弦函数定义计算；
(2) 求DE的长度：由AF//BE，AC、FD均垂直地面可得FD=AC，FD是Rt△FDE中∠PEB的对边，DE是∠PEB的邻边，用正切函数定义即可求出DE；
(3) 判断能否观察到物体：过M作NM⊥BE交PE于点N，MN是视线PE在M处的高度，若物体高度大于MN，说明物体高出视线的部分未被遮挡，驾驶员可观察到物体，计算MN的长度与物体高度比较即可。
【解析】
(1) $\because FD⊥ EB,AC⊥ EB,AF// BE,$
$\therefore$ 四边形ACDF是矩形，$DF=AC.$
在 $\mathrm{Rt}△ ACB$ 中, $∠ ACB=90°,∠ PBE=43°,AB=1.6\ \mathrm{m},$
$\therefore AC=AB· \sin 43°\approx1.6×0.7=1.12(\mathrm{m}).$
(2) $\because AC=1.12\ \mathrm{m},\therefore DF=AC=1.12\ \mathrm{m}.$
在 $\mathrm{Rt}△ DEF$ 中, $∠ FDE=90°,∠ PEB=20°,$
$\therefore DE=\dfrac{DF}{\tan∠ PEB}\approx\dfrac{1.12}{0.4}=2.8(\mathrm{m}).$
(3) 驾驶员能观察到物体,理由如下:
过点 M 作 $NM⊥ ED$,交 PE 于点 N.
$\because ED=2.8\ \mathrm{m},MD=1.8\ \mathrm{m},\therefore EM=ED-MD=1\ \mathrm{m}.$
在 $\mathrm{Rt}△ EMN$ 中, $∠NME=90°,∠ PEB=20°,$
$\therefore MN=EM· \tan∠ PEB\approx1×0.4=0.4(\mathrm{m}).$
$\because 0.5\ \mathrm{m}＞0.4\ \mathrm{m},$说明物体高出视线的部分未被遮挡，$\therefore$ 驾驶员能观察到物体。
【答案】
(1) 车窗底部到地面的高度约为 $\boxed{1.12\ \mathrm{m}}$；
(2) 盲区中 $DE$ 的长度约为 $\boxed{2.8\ \mathrm{m}}$；
(3) 驾驶员能观察到物体，理由见解析，辅助线图：
【知识点】
1. 解直角三角形的应用
2. 锐角三角函数定义
3. 矩形的性质
【点评】
本题结合汽车盲区的生活场景考查三角函数的实际应用，核心是将实际问题转化为直角三角形的边角计算问题，需要学生准确识别直角三角形、选择对应三角函数列式，第三问需要理解视线高度的含义，题目贴近生活，能锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
