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1. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，若$\cos A=\dfrac{\sqrt{2}}{3}$，则$\tan B$等于（
A.$\dfrac{\sqrt{2}}{3}$
B.$\dfrac{\sqrt{7}}{3}$
C.$\dfrac{\sqrt{14}}{2}$
D.$\dfrac{\sqrt{14}}{7}$
D
）A.$\dfrac{\sqrt{2}}{3}$
B.$\dfrac{\sqrt{7}}{3}$
C.$\dfrac{\sqrt{14}}{2}$
D.$\dfrac{\sqrt{14}}{7}$
答案
1.D
解析
【分析】
本题是直角三角形中锐角三角函数求值问题，解题思路如下：首先明确Rt△ABC中∠C=90°，∠A与∠B互余，可根据余弦的定义设出对应边的长度，再通过勾股定理求出第三边，最后结合正切的定义代入计算即可得到tanB的值。
【解析】
解：
∵在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$\cos A=\dfrac{\mathrm{∠A的邻边}}{\mathrm{斜边}}=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{\sqrt{2}}{3}$，
∴设$AC=\sqrt{2}k$，$AB=3k$（$k＞0$），
由勾股定理可得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{(3k)^2-(\sqrt{2}k)^2}=\sqrt{9k^2-2k^2}=\sqrt{7}k$，
又
∵$\tan B=\dfrac{\mathrm{∠B的对边}}{\mathrm{∠B的邻边}}=\dfrac{AC}{BC}$，
将边长代入得：$\tan B=\dfrac{\sqrt{2}k}{\sqrt{7}k}=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{7}}=\dfrac{\sqrt{14}}{7}$（分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{7}$）。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
锐角三角函数的定义，勾股定理，分母有理化
【点评】
本题属于基础类考题，核心考查锐角三角函数的定义和直角三角形的性质，解题时注意不要混淆各三角函数对应的边的比例关系，也可通过互余两角的三角函数关系快速推导结果。
【难度系数】
0.7
本题是直角三角形中锐角三角函数求值问题，解题思路如下：首先明确Rt△ABC中∠C=90°，∠A与∠B互余，可根据余弦的定义设出对应边的长度，再通过勾股定理求出第三边，最后结合正切的定义代入计算即可得到tanB的值。
【解析】
解：
∵在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$\cos A=\dfrac{\mathrm{∠A的邻边}}{\mathrm{斜边}}=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{\sqrt{2}}{3}$，
∴设$AC=\sqrt{2}k$，$AB=3k$（$k＞0$），
由勾股定理可得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{(3k)^2-(\sqrt{2}k)^2}=\sqrt{9k^2-2k^2}=\sqrt{7}k$，
又
∵$\tan B=\dfrac{\mathrm{∠B的对边}}{\mathrm{∠B的邻边}}=\dfrac{AC}{BC}$，
将边长代入得：$\tan B=\dfrac{\sqrt{2}k}{\sqrt{7}k}=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{7}}=\dfrac{\sqrt{14}}{7}$（分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{7}$）。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
锐角三角函数的定义，勾股定理，分母有理化
【点评】
本题属于基础类考题，核心考查锐角三角函数的定义和直角三角形的性质，解题时注意不要混淆各三角函数对应的边的比例关系，也可通过互余两角的三角函数关系快速推导结果。
【难度系数】
0.7
2. 如图,在$Rt△ ABC$中,CD是斜边AB上的高,$∠A≠45°$,则下列比值中不等于$sin∠DCB$的是 (
A.$\frac{CD}{AC}$
B.$\frac{BC}{AB}$
C.$\frac{AD}{DC}$
D.$\frac{BD}{BC}$
C
)A.$\frac{CD}{AC}$
B.$\frac{BC}{AB}$
C.$\frac{AD}{DC}$
D.$\frac{BD}{BC}$
答案
2.C
解析
【分析】
解题首先利用直角三角形中同角的余角相等，推导得出∠DCB=∠A，将求sin∠DCB转化为求sin∠A，再结合锐角三角函数中正弦的定义，逐个验证每个选项的比值是否等于sin∠DCB即可。
【解析】
已知在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$CD⊥ AB$，因此$∠ CDB=∠ CDA=90°$。
1. 推导等角：
$\because ∠ DCB+∠ B=90°$，$∠ A+∠ B=90°$，
$\therefore ∠ DCB=∠ A$，即$\sin∠ DCB=\sin∠ A$。
2. 逐个验证选项：
选项A：在$Rt△ ACD$中，$\sin A=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{CD}{AC}$，因此$\frac{CD}{AC}=\sin∠ DCB$，不符合题意；
选项B：在$Rt△ ABC$中，$\sin A=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{BC}{AB}$，因此$\frac{BC}{AB}=\sin∠ DCB$，不符合题意；
选项C：在$Rt△ ACD$中，$\tan A=\frac{CD}{AD}$，因此$\frac{AD}{DC}=\frac{1}{\tan A}=\cot A≠\sin A$，即不等于$\sin∠ DCB$，符合题意；
选项D：在$Rt△ BCD$中，$\sin∠ DCB=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{BD}{BC}$，因此$\frac{BD}{BC}=\sin∠ DCB$，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
1. 同角的余角相等
2. 锐角三角函数定义
3. 直角三角形的性质
【点评】
本题是锐角三角函数的基础考法，解题核心是先通过角的关系进行等角转化，再结合三角函数定义判断对应比值，熟练掌握三角函数的边对应关系是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题首先利用直角三角形中同角的余角相等，推导得出∠DCB=∠A，将求sin∠DCB转化为求sin∠A，再结合锐角三角函数中正弦的定义，逐个验证每个选项的比值是否等于sin∠DCB即可。
【解析】
已知在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$CD⊥ AB$，因此$∠ CDB=∠ CDA=90°$。
1. 推导等角：
$\because ∠ DCB+∠ B=90°$，$∠ A+∠ B=90°$，
$\therefore ∠ DCB=∠ A$，即$\sin∠ DCB=\sin∠ A$。
2. 逐个验证选项：
选项A：在$Rt△ ACD$中，$\sin A=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{CD}{AC}$，因此$\frac{CD}{AC}=\sin∠ DCB$，不符合题意；
选项B：在$Rt△ ABC$中，$\sin A=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{BC}{AB}$，因此$\frac{BC}{AB}=\sin∠ DCB$，不符合题意；
选项C：在$Rt△ ACD$中，$\tan A=\frac{CD}{AD}$，因此$\frac{AD}{DC}=\frac{1}{\tan A}=\cot A≠\sin A$，即不等于$\sin∠ DCB$，符合题意；
选项D：在$Rt△ BCD$中，$\sin∠ DCB=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{BD}{BC}$，因此$\frac{BD}{BC}=\sin∠ DCB$，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
1. 同角的余角相等
2. 锐角三角函数定义
3. 直角三角形的性质
【点评】
本题是锐角三角函数的基础考法，解题核心是先通过角的关系进行等角转化，再结合三角函数定义判断对应比值，熟练掌握三角函数的边对应关系是解题的关键。
【难度系数】
0.7
3. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，下列结论：①$\sin^2 A + \sin^2 B = 1$；②$\cos^2 A + \cos^2 B = 1$；③$\tan A · \tan B = 1$；④$\sin A = \tan A · \cos A$。其中正确的有（
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
D
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
3.D
解析
【分析】
已知Rt△ABC中∠C=90°，可得∠A+∠B=90°，我们可以先设∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，结合勾股定理$a^2+b^2=c^2$，再根据锐角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，对四个结论逐一推导验证，就能判断每个结论是否正确。
【解析】
设Rt△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，由勾股定理可知$a^2+b^2=c^2$。
① 由三角函数定义得$\sin A=\frac{a}{c}$，$\sin B=\frac{b}{c}$，则$\sin^2 A + \sin^2 B=\frac{a^2}{c^2}+\frac{b^2}{c^2}=\frac{a^2+b^2}{c^2}=\frac{c^2}{c^2}=1$，故①正确；
② 由$\cos A=\frac{b}{c}$，$\cos B=\frac{a}{c}$，则$\cos^2 A + \cos^2 B=\frac{b^2}{c^2}+\frac{a^2}{c^2}=\frac{a^2+b^2}{c^2}=1$，故②正确；
③ 由$\tan A=\frac{a}{b}$，$\tan B=\frac{b}{a}$，则$\tan A · \tan B=\frac{a}{b}×\frac{b}{a}=1$，故③正确；
④ 右边$\tan A · \cos A=\frac{a}{b}×\frac{b}{c}=\frac{a}{c}$，左边$\sin A=\frac{a}{c}$，因此$\sin A = \tan A · \cos A$，故④正确。
综上，4个结论都正确，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
锐角三角函数定义；勾股定理；同角三角函数关系
【点评】
本题考查直角三角形中锐角三角函数的基本性质，难度不大，只要熟练掌握三角函数的定义，逐个验证结论即可得分。
【难度系数】
0.8
已知Rt△ABC中∠C=90°，可得∠A+∠B=90°，我们可以先设∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，结合勾股定理$a^2+b^2=c^2$，再根据锐角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，对四个结论逐一推导验证，就能判断每个结论是否正确。
【解析】
设Rt△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，由勾股定理可知$a^2+b^2=c^2$。
① 由三角函数定义得$\sin A=\frac{a}{c}$，$\sin B=\frac{b}{c}$，则$\sin^2 A + \sin^2 B=\frac{a^2}{c^2}+\frac{b^2}{c^2}=\frac{a^2+b^2}{c^2}=\frac{c^2}{c^2}=1$，故①正确；
② 由$\cos A=\frac{b}{c}$，$\cos B=\frac{a}{c}$，则$\cos^2 A + \cos^2 B=\frac{b^2}{c^2}+\frac{a^2}{c^2}=\frac{a^2+b^2}{c^2}=1$，故②正确；
③ 由$\tan A=\frac{a}{b}$，$\tan B=\frac{b}{a}$，则$\tan A · \tan B=\frac{a}{b}×\frac{b}{a}=1$，故③正确；
④ 右边$\tan A · \cos A=\frac{a}{b}×\frac{b}{c}=\frac{a}{c}$，左边$\sin A=\frac{a}{c}$，因此$\sin A = \tan A · \cos A$，故④正确。
综上，4个结论都正确，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
锐角三角函数定义；勾股定理；同角三角函数关系
【点评】
本题考查直角三角形中锐角三角函数的基本性质，难度不大，只要熟练掌握三角函数的定义，逐个验证结论即可得分。
【难度系数】
0.8
4. 如图，在$5×5$正方形网格图中，$AB$与$CD$相交于点$M$，则$\sin∠ AMD$等于（
A.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
B.$\frac{2\sqrt{2}}{3}$
C.$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
D.$\frac{3\sqrt{2}}{5}$
C
）A.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
B.$\frac{2\sqrt{2}}{3}$
C.$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
D.$\frac{3\sqrt{2}}{5}$
答案
4.C
解析
【分析】
要求∠AMD的正弦值，直接在交点M处构造直角三角形计算较为繁琐，可利用网格特性，通过平移其中一条线段，将∠AMD转化为格点三角形的内角，再结合勾股定理及其逆定理判断该三角形为直角三角形，最后根据锐角三角函数的定义计算正弦值即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1：
1. 取合适的格点E，连接AE、BE，使AE//CD，根据“两直线平行，同位角相等”，可得∠EAB=∠AMD。
2. 用勾股定理计算各边长度：
$AE=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，
$BE=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$，
$AB=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
3. 验证直角三角形：
$\because AE^2+BE^2=(\sqrt{5})^2+(2\sqrt{5})^2=25=AB^2$，根据勾股定理的逆定理，可知$△ AEB$是直角三角形，且$∠ AEB=90°$。
4. 计算正弦值：
在$Rt△ AEB$中，$\sin∠ EAB=\frac{BE}{AB}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
$\because ∠ EAB=∠ AMD$，$\therefore \sin∠ AMD=\frac{2\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
C
【知识点】
锐角三角函数的定义，勾股定理，勾股定理的逆定理
【点评】
本题考查网格中锐角三角函数值的求解，解题核心是通过平移转化夹角，将待求角放入便于计算的格点直角三角形中，结合勾股定理相关知识求解，体现了转化的数学思想。
【难度系数】
0.6
要求∠AMD的正弦值，直接在交点M处构造直角三角形计算较为繁琐，可利用网格特性，通过平移其中一条线段，将∠AMD转化为格点三角形的内角，再结合勾股定理及其逆定理判断该三角形为直角三角形，最后根据锐角三角函数的定义计算正弦值即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1：
1. 取合适的格点E，连接AE、BE，使AE//CD，根据“两直线平行，同位角相等”，可得∠EAB=∠AMD。
2. 用勾股定理计算各边长度：
$AE=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，
$BE=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$，
$AB=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
3. 验证直角三角形：
$\because AE^2+BE^2=(\sqrt{5})^2+(2\sqrt{5})^2=25=AB^2$，根据勾股定理的逆定理，可知$△ AEB$是直角三角形，且$∠ AEB=90°$。
4. 计算正弦值：
在$Rt△ AEB$中，$\sin∠ EAB=\frac{BE}{AB}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
$\because ∠ EAB=∠ AMD$，$\therefore \sin∠ AMD=\frac{2\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
C
【知识点】
锐角三角函数的定义，勾股定理，勾股定理的逆定理
【点评】
本题考查网格中锐角三角函数值的求解，解题核心是通过平移转化夹角，将待求角放入便于计算的格点直角三角形中，结合勾股定理相关知识求解，体现了转化的数学思想。
【难度系数】
0.6
5. 如图
是某地铁站入口的智能闸机. 如图,当双翼展开时,双侧挡板边缘的端点A与B之间的距离为10 cm,双翼的边缘AC=BD=60 cm,且与闸机侧立面夹角∠PCA=∠BDQ=30°,可以通过闸机的物体的最大宽度为（
A.30 cm
B.60 cm
C.70 cm
D.80 cm
是某地铁站入口的智能闸机. 如图,当双翼展开时,双侧挡板边缘的端点A与B之间的距离为10 cm,双翼的边缘AC=BD=60 cm,且与闸机侧立面夹角∠PCA=∠BDQ=30°,可以通过闸机的物体的最大宽度为（C
）A.30 cm
B.60 cm
C.70 cm
D.80 cm
答案
5.C
解析
【分析】要计算可通过闸机的物体的最大宽度，需先求出双翼挡板在通道宽度方向的投影长度，再加上A、B两点的间距。我们可以过A、B分别向闸机箱侧立面作垂线，构造含30°角的直角三角形，利用30°角直角三角形的性质求出垂线段长度，再求和得到最终的最大宽度。
【解析】过点A作AE⊥PC于点E，过点B作BF⊥QD于点F。
在Rt△ACE中，∠ACE=30°，AC=60cm，
根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
$AE=AC·\sin30°=60×\frac{1}{2}=30\mathrm{cm}$，
同理可得$BF=BD·\sin30°=60×\frac{1}{2}=30\mathrm{cm}$，
已知A、B之间的距离为10cm，
因此可通过闸机的物体的最大宽度为$AE+AB+BF=30+10+30=70\mathrm{cm}$。
【答案】C
【知识点】30°角直角三角形性质；解直角三角形的实际应用
【点评】本题结合生活中闸机的实际场景命题，考查解直角三角形的应用，解题关键是合理构造直角三角形，将实际问题转化为直角三角形的边长计算问题，解题思路较为直接。
【难度系数】0.7
【解析】过点A作AE⊥PC于点E，过点B作BF⊥QD于点F。
在Rt△ACE中，∠ACE=30°，AC=60cm，
根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
$AE=AC·\sin30°=60×\frac{1}{2}=30\mathrm{cm}$，
同理可得$BF=BD·\sin30°=60×\frac{1}{2}=30\mathrm{cm}$，
已知A、B之间的距离为10cm，
因此可通过闸机的物体的最大宽度为$AE+AB+BF=30+10+30=70\mathrm{cm}$。
【答案】C
【知识点】30°角直角三角形性质；解直角三角形的实际应用
【点评】本题结合生活中闸机的实际场景命题，考查解直角三角形的应用，解题关键是合理构造直角三角形，将实际问题转化为直角三角形的边长计算问题，解题思路较为直接。
【难度系数】0.7
6如图，港口B位于岛A的北偏西$37°$方向，灯塔C在岛A的正东方向，$AC=6\ \mathrm{km}$，一艘货轮D在岛A的正北方向，且B、D、C三点在一条直线上，$DC=\dfrac{5}{2}BD$，则$\tan∠ ACB$的值是（参考数据：$\sin37°\approx\dfrac{3}{5}$，$\cos37°\approx\dfrac{4}{5}$，$\tan37°\approx\dfrac{3}{4}$）（
A.$\dfrac{5}{21}$
B.$\dfrac{7}{21}$
C.$\dfrac{8}{21}$
D.$\dfrac{10}{21}$
C
）A.$\dfrac{5}{21}$
B.$\dfrac{7}{21}$
C.$\dfrac{8}{21}$
D.$\dfrac{10}{21}$
答案
6.C 解析:如图,过点 B 作$BM⊥AD$,垂足为 M.
$\because DC=\frac{5}{2}BD,\therefore \frac{BD}{DC}=\frac{2}{5}.$
$\because BM⊥AD,AC⊥AD,$
$\therefore BM// AC,\therefore △ BDM∽ △ CDA,$
$\therefore \frac{DM}{AD}=\frac{BM}{CA}=\frac{BD}{CD}=\frac{2}{5},即\frac{DM}{AD}=\frac{BM}{6}=\frac{2}{5},$
解得$BM=\frac{12}{5}\mathrm{km}.$
在$\mathrm{Rt}△ ABM$中,$\tan∠ BAD=\frac{BM}{AM}=\tan37°\approx\frac{3}{4},$
$\therefore AM\approx\frac{4}{3}BM=\frac{4}{3}×\frac{12}{5}=\frac{16}{5}(\mathrm{km}),$
$\therefore AD=\frac{5}{7}AM\approx\frac{5}{7}×\frac{16}{5}=\frac{16}{7}(\mathrm{km}),$
$\therefore \tan∠ ACB=\frac{AD}{AC}\approx\frac{\frac{16}{7}}{6}=\frac{8}{21}.$故选 C.
解析
【分析】
要计算$\tan∠ACB$，观察图形可知$AD⊥AC$，因此在$\mathrm{Rt}△ACD$中，$\tan∠ACB=\frac{AD}{AC}$，已知$AC=6\ \mathrm{km}$，因此只需求出$AD$的长度即可。首先根据$DC=\frac{5}{2}BD$得到线段比$\frac{BD}{DC}=\frac{2}{5}$，过点B作$BM⊥AD$，可证$△BDM∽△CDA$，利用相似三角形的性质可求出$BM$的长度；再结合$∠BAD=37°$，在$\mathrm{Rt}△ABM$中利用$\tan37°$的数值求出$AM$的长度；最后根据相似得到的$DM$与$AD$的比例关系，求出$AD$的长度，代入锐角三角函数定义即可得到结果。
【解析】
如图，过点$B$作$BM⊥AD$，垂足为$M$。
$\because DC=\frac{5}{2}BD$，$\therefore \frac{BD}{DC}=\frac{2}{5}$。
$\because BM⊥AD$，$AC⊥AD$，
$\therefore BM// AC$，$\therefore △BDM∽△CDA$，
$\therefore \frac{DM}{AD}=\frac{BM}{CA}=\frac{BD}{CD}=\frac{2}{5}$，即$\frac{BM}{6}=\frac{2}{5}$，
解得$BM=\frac{12}{5}\ \mathrm{km}$。
在$\mathrm{Rt}△ABM$中，$\tan∠BAD=\frac{BM}{AM}=\tan37°\approx\frac{3}{4}$，
$\therefore AM\approx\frac{4}{3}BM=\frac{4}{3}×\frac{12}{5}=\frac{16}{5}\ (\mathrm{km})$。
由$\frac{DM}{AD}=\frac{2}{5}$，可得$DM=\frac{2}{5}AD$，而$AM=AD+DM=\frac{7}{5}AD$，
$\therefore AD=\frac{5}{7}AM\approx\frac{5}{7}×\frac{16}{5}=\frac{16}{7}\ (\mathrm{km})$，
$\therefore \tan∠ACB=\frac{AD}{AC}\approx\frac{\frac{16}{7}}{6}=\frac{8}{21}$。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定与性质，锐角三角函数，方向角应用
【点评】
本题将方向角问题与几何计算结合，解题的关键是通过作垂线构造相似三角形和直角三角形，灵活运用相似三角形的线段比例关系和锐角三角函数的定义求解，能有效考查几何综合应用能力。
【难度系数】
0.6
要计算$\tan∠ACB$，观察图形可知$AD⊥AC$，因此在$\mathrm{Rt}△ACD$中，$\tan∠ACB=\frac{AD}{AC}$，已知$AC=6\ \mathrm{km}$，因此只需求出$AD$的长度即可。首先根据$DC=\frac{5}{2}BD$得到线段比$\frac{BD}{DC}=\frac{2}{5}$，过点B作$BM⊥AD$，可证$△BDM∽△CDA$，利用相似三角形的性质可求出$BM$的长度；再结合$∠BAD=37°$，在$\mathrm{Rt}△ABM$中利用$\tan37°$的数值求出$AM$的长度；最后根据相似得到的$DM$与$AD$的比例关系，求出$AD$的长度，代入锐角三角函数定义即可得到结果。
【解析】
如图，过点$B$作$BM⊥AD$，垂足为$M$。
$\because DC=\frac{5}{2}BD$，$\therefore \frac{BD}{DC}=\frac{2}{5}$。
$\because BM⊥AD$，$AC⊥AD$，
$\therefore BM// AC$，$\therefore △BDM∽△CDA$，
$\therefore \frac{DM}{AD}=\frac{BM}{CA}=\frac{BD}{CD}=\frac{2}{5}$，即$\frac{BM}{6}=\frac{2}{5}$，
解得$BM=\frac{12}{5}\ \mathrm{km}$。
在$\mathrm{Rt}△ABM$中，$\tan∠BAD=\frac{BM}{AM}=\tan37°\approx\frac{3}{4}$，
$\therefore AM\approx\frac{4}{3}BM=\frac{4}{3}×\frac{12}{5}=\frac{16}{5}\ (\mathrm{km})$。
由$\frac{DM}{AD}=\frac{2}{5}$，可得$DM=\frac{2}{5}AD$，而$AM=AD+DM=\frac{7}{5}AD$，
$\therefore AD=\frac{5}{7}AM\approx\frac{5}{7}×\frac{16}{5}=\frac{16}{7}\ (\mathrm{km})$，
$\therefore \tan∠ACB=\frac{AD}{AC}\approx\frac{\frac{16}{7}}{6}=\frac{8}{21}$。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定与性质，锐角三角函数，方向角应用
【点评】
本题将方向角问题与几何计算结合，解题的关键是通过作垂线构造相似三角形和直角三角形，灵活运用相似三角形的线段比例关系和锐角三角函数的定义求解，能有效考查几何综合应用能力。
【难度系数】
0.6
