登录
6. 如图1是一种折叠式晾衣架.晾衣时,该晾衣架水平放置并且左右晾衣臂张开后示意图如图2所示,两支脚OC=OD=12分米,展开角∠COD=60°,晾衣臂OA=12分米,晾衣臂(OA)撑开时与支脚(OC)的夹角∠AOC=105°,则点A离地面的距离AM为
地面
$6\sqrt{2}+6\sqrt{3}$
分米.(结果保留根号)地面
答案
6.$(6\sqrt{2}+6\sqrt{3})$
解析
【分析】
要求点A离地面的距离AM，可通过作辅助线将AM拆分为两段求解：过点O作OF⊥CD于F，OE⊥AM于E，易证四边形OEMF是矩形，可得EM=OF。先利用等边三角形的性质求出OF的长度，再根据已知角度求出∠AOE的度数，在直角三角形AOE中求出AE的长度，最后将AE和EM相加即可得到AM的长度。
【解析】
解：过点O作$OF⊥ CD$于点F，$OE⊥ AM$于点E。
$\because AM⊥ CD$，$\therefore$四边形OEMF是矩形，$\therefore EM=OF$。
$\because OC=OD=12$分米，$∠ COD=60°$，
$\therefore △ COD$是等边三角形，$∠ OCF=60°$。
在$Rt△ COF$中，$OF=OC·\sin60°=12×\frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}$分米，即$EM=6\sqrt{3}$分米。
$\because ∠ AOC=105°$，$∠ COF=90°-∠ OCF=30°$，
$\therefore ∠ AOE=180°-∠ AOC-∠ COF=180°-105°-30°=45°$。
在$Rt△ AOE$中，$OA=12$分米，
$\therefore AE=OA·\sin45°=12×\frac{\sqrt{2}}{2}=6\sqrt{2}$分米。
$\therefore AM=AE+EM=6\sqrt{2}+6\sqrt{3}$分米。
【答案】
$6\sqrt{2}+6\sqrt{3}$
【知识点】
等边三角形的判定与性质；解直角三角形；矩形的判定与性质
【点评】
本题结合生活场景考查几何知识的综合应用，解题的核心是通过作辅助线将未知线段转化为易求的两段线段，渗透了转化的数学思想，能够有效考查学生的作图能力和边角关系计算能力。
【难度系数】
0.6
要求点A离地面的距离AM，可通过作辅助线将AM拆分为两段求解：过点O作OF⊥CD于F，OE⊥AM于E，易证四边形OEMF是矩形，可得EM=OF。先利用等边三角形的性质求出OF的长度，再根据已知角度求出∠AOE的度数，在直角三角形AOE中求出AE的长度，最后将AE和EM相加即可得到AM的长度。
【解析】
解：过点O作$OF⊥ CD$于点F，$OE⊥ AM$于点E。
$\because AM⊥ CD$，$\therefore$四边形OEMF是矩形，$\therefore EM=OF$。
$\because OC=OD=12$分米，$∠ COD=60°$，
$\therefore △ COD$是等边三角形，$∠ OCF=60°$。
在$Rt△ COF$中，$OF=OC·\sin60°=12×\frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}$分米，即$EM=6\sqrt{3}$分米。
$\because ∠ AOC=105°$，$∠ COF=90°-∠ OCF=30°$，
$\therefore ∠ AOE=180°-∠ AOC-∠ COF=180°-105°-30°=45°$。
在$Rt△ AOE$中，$OA=12$分米，
$\therefore AE=OA·\sin45°=12×\frac{\sqrt{2}}{2}=6\sqrt{2}$分米。
$\therefore AM=AE+EM=6\sqrt{2}+6\sqrt{3}$分米。
【答案】
$6\sqrt{2}+6\sqrt{3}$
【知识点】
等边三角形的判定与性质；解直角三角形；矩形的判定与性质
【点评】
本题结合生活场景考查几何知识的综合应用，解题的核心是通过作辅助线将未知线段转化为易求的两段线段，渗透了转化的数学思想，能够有效考查学生的作图能力和边角关系计算能力。
【难度系数】
0.6
7.如图,航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为$45°$,测得底部C的俯角为$60°$,此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为110 m,那么该建筑物的高度BC为
$110+110\sqrt{3}$
m.答案
7.$(110+110\sqrt{3})$
解析
【分析】
本题属于解直角三角形的实际应用问题，解题思路如下：首先根据水平距离的定义可知AD⊥BC，将建筑物高度BC拆分为BD、DC两段，分别放在Rt△ABD和Rt△ACD两个直角三角形中求解；再利用特殊角的三角函数值分别算出BD和DC的长度，最后将两段长度相加即可得到BC的总高度。
【解析】
由题意可知：$AD⊥ BC$，$AD=110\mathrm{m}$，$∠ BAD=45°$，$∠ CAD=60°$。
1. 在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ ADB=90°$：
$\tan45°=\frac{BD}{AD}$，代入$\tan45°=1$，$AD=110\mathrm{m}$，得：
$BD=AD·\tan45°=110×1=110\mathrm{m}$。
2. 在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$∠ ADC=90°$：
$\tan60°=\frac{DC}{AD}$，代入$\tan60°=\sqrt{3}$，$AD=110\mathrm{m}$，得：
$DC=AD·\tan60°=110×\sqrt{3}=110\sqrt{3}\mathrm{m}$。
3. 建筑物高度$BC=BD+DC=110+110\sqrt{3}\mathrm{m}$。
【答案】
$(110+110\sqrt{3})$
【知识点】
解直角三角形应用，锐角三角函数，仰角俯角概念
【点评】
本题是仰角俯角类的典型基础题，解题核心是将实际场景中的几何关系转化为直角三角形的边角计算问题，熟练记忆特殊角的三角函数值即可快速求解。
【难度系数】
0.7
本题属于解直角三角形的实际应用问题，解题思路如下：首先根据水平距离的定义可知AD⊥BC，将建筑物高度BC拆分为BD、DC两段，分别放在Rt△ABD和Rt△ACD两个直角三角形中求解；再利用特殊角的三角函数值分别算出BD和DC的长度，最后将两段长度相加即可得到BC的总高度。
【解析】
由题意可知：$AD⊥ BC$，$AD=110\mathrm{m}$，$∠ BAD=45°$，$∠ CAD=60°$。
1. 在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ ADB=90°$：
$\tan45°=\frac{BD}{AD}$，代入$\tan45°=1$，$AD=110\mathrm{m}$，得：
$BD=AD·\tan45°=110×1=110\mathrm{m}$。
2. 在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$∠ ADC=90°$：
$\tan60°=\frac{DC}{AD}$，代入$\tan60°=\sqrt{3}$，$AD=110\mathrm{m}$，得：
$DC=AD·\tan60°=110×\sqrt{3}=110\sqrt{3}\mathrm{m}$。
3. 建筑物高度$BC=BD+DC=110+110\sqrt{3}\mathrm{m}$。
【答案】
$(110+110\sqrt{3})$
【知识点】
解直角三角形应用，锐角三角函数，仰角俯角概念
【点评】
本题是仰角俯角类的典型基础题，解题核心是将实际场景中的几何关系转化为直角三角形的边角计算问题，熟练记忆特殊角的三角函数值即可快速求解。
【难度系数】
0.7
8.如图1是某小区门口的门禁自动识别系统，主要由可旋转高清摄像机和其下方固定的显示屏构成.图2是其结构示意图，当摄像机AB与水平地面所成的角的度数为$35°$时，AB刚好与显示屏的上沿CD平行，$CD=15\ \mathrm{cm}$，点C到地面的距离为60 cm，则点D到地面的距离约是
68.6
cm.(结果精确到0.1 cm，参考数据：$\sin 35°\approx0.57,\cos 35°\approx0.82,\tan 35°\approx0.70)$答案
8.68.6
解析
【分析】
要求点D到地面的距离，已知点C到地面距离为60cm，因此只需求出点D比点C高出的竖直距离即可。首先由AB//CD，AB与水平面夹角为35°，可得CD与水平线CM的夹角为35°；过D作DM⊥CM构造直角三角形，利用锐角三角函数求出DM的长度，再与60相加即可得到最终结果。
【解析】
过点D作DM⊥CM于点M。
∵AB//CD，AB与水平地面所成的角为35°，
∴∠DCM=35°（两直线平行，同位角相等）。
在Rt△CDM中，CD=15cm，∠DMC=90°，
∴DM = CD·sin35°≈15×0.57 = 8.55 cm。
∵点C到地面的距离为60cm，
∴点D到地面的距离为60 + 8.55 ≈ 68.6 cm。
【答案】
68.6
【知识点】
平行线的性质；解直角三角形；锐角三角函数的应用
【点评】
本题结合生活中的门禁系统场景命题，考查了几何知识在实际问题中的应用，解题的关键是合理作辅助线构造直角三角形，将实际距离转化为直角三角形的边长进行计算。
【难度系数】
0.7
要求点D到地面的距离，已知点C到地面距离为60cm，因此只需求出点D比点C高出的竖直距离即可。首先由AB//CD，AB与水平面夹角为35°，可得CD与水平线CM的夹角为35°；过D作DM⊥CM构造直角三角形，利用锐角三角函数求出DM的长度，再与60相加即可得到最终结果。
【解析】
过点D作DM⊥CM于点M。
∵AB//CD，AB与水平地面所成的角为35°，
∴∠DCM=35°（两直线平行，同位角相等）。
在Rt△CDM中，CD=15cm，∠DMC=90°，
∴DM = CD·sin35°≈15×0.57 = 8.55 cm。
∵点C到地面的距离为60cm，
∴点D到地面的距离为60 + 8.55 ≈ 68.6 cm。
【答案】
68.6
【知识点】
平行线的性质；解直角三角形；锐角三角函数的应用
【点评】
本题结合生活中的门禁系统场景命题，考查了几何知识在实际问题中的应用，解题的关键是合理作辅助线构造直角三角形，将实际距离转化为直角三角形的边长进行计算。
【难度系数】
0.7
9. 如图，坡角$α=30°$的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树AB，当太阳光线与水平线成$45°$角沿斜坡照下时，在斜坡上的树影BC的长为4米，则大树AB的高为
$2\sqrt{3}-2$
米。答案
9.$(2\sqrt{3}-2)$
解析
【分析】
这是解直角三角形的实际应用类题目，解题核心是构造直角三角形转化已知条件。首先明确大树AB垂直于水平地面，我们可过点C作CD垂直AB的延长线于D（CD为水平线段），将已知的坡角30°、太阳光线与水平线夹角45°、影长BC=4米都转化为直角三角形的条件：先在含30°角的Rt△BCD中求出BD、CD的长度，再在含45°角的Rt△ACD中利用等腰直角三角形的性质求出AD的长度，最后通过AD与BD的差即可求出AB的高度。
【解析】
解：过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于点D，则CD为水平线段。
1. 在$Rt△ BCD$中，$∠ BCD=α=30°$，$BC=4m$：
$BD=BC·\sin30°=4×\frac{1}{2}=2m$
$CD=BC·\cos30°=4×\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}m$
2. 在$Rt△ ACD$中，$∠ ACD=45°$，故$△ ACD$为等腰直角三角形，可得：
$AD=CD=2\sqrt{3}m$
3. 大树高度$AB=AD-BD=2\sqrt{3}-2$（米）
【答案】
$(2\sqrt{3}-2)$
【知识点】
解直角三角形的应用，特殊角的三角函数，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是解直角三角形的典型实际应用题，解题关键是合理构造辅助线，将倾斜面的已知条件转化为直角三角形的边角关系，结合特殊角的三角函数值即可求解，计算时要注意区分两条线段的和差关系，避免出错。
【难度系数】
0.6
这是解直角三角形的实际应用类题目，解题核心是构造直角三角形转化已知条件。首先明确大树AB垂直于水平地面，我们可过点C作CD垂直AB的延长线于D（CD为水平线段），将已知的坡角30°、太阳光线与水平线夹角45°、影长BC=4米都转化为直角三角形的条件：先在含30°角的Rt△BCD中求出BD、CD的长度，再在含45°角的Rt△ACD中利用等腰直角三角形的性质求出AD的长度，最后通过AD与BD的差即可求出AB的高度。
【解析】
解：过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于点D，则CD为水平线段。
1. 在$Rt△ BCD$中，$∠ BCD=α=30°$，$BC=4m$：
$BD=BC·\sin30°=4×\frac{1}{2}=2m$
$CD=BC·\cos30°=4×\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}m$
2. 在$Rt△ ACD$中，$∠ ACD=45°$，故$△ ACD$为等腰直角三角形，可得：
$AD=CD=2\sqrt{3}m$
3. 大树高度$AB=AD-BD=2\sqrt{3}-2$（米）
【答案】
$(2\sqrt{3}-2)$
【知识点】
解直角三角形的应用，特殊角的三角函数，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是解直角三角形的典型实际应用题，解题关键是合理构造辅助线，将倾斜面的已知条件转化为直角三角形的边角关系，结合特殊角的三角函数值即可求解，计算时要注意区分两条线段的和差关系，避免出错。
【难度系数】
0.6
10我们给出定义:如果两个锐角的和为$45°$,那么称这两个角互为半余角.如图,在$△ ABC$中,$∠ A$和$∠ B$互为半余角,且$\frac{BC}{AC}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$,则$\tan A=$
$\dfrac{2}{5}$
.答案
10.$\dfrac{2}{5}$ 解析:过点 B 作 $BD⊥ AC$,交 AC 的延长线于点 D.
$\because \dfrac{BC}{AC}=\dfrac{2\sqrt{2}}{3},\therefore$ 设 $BC=2\sqrt{2}a,AC=3a.$
$\because ∠ A$ 和 $∠ B$ 互为半余角, $\therefore ∠ A+∠ B=45°,$
$\therefore ∠ DCB=∠ A+∠ B=45°.$
在 $\mathrm{Rt}△ CDB$ 中, $BD=BC· \sin 45°=2\sqrt{2}a· \dfrac{\sqrt{2}}{2}=2a,$
$CD=BC· \cos 45°=2\sqrt{2}a· \dfrac{\sqrt{2}}{2}=2a.$
$\because AC=3a,\therefore AD=AC+CD=3a+2a=5a,$
$\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ ABD$ 中, $\tan A=\dfrac{BD}{AD}=\dfrac{2a}{5a}=\dfrac{2}{5}.$
解析
【分析】
首先理解新定义“互为半余角”，可得出∠A+∠B=45°。要求tanA，需要将∠A放在直角三角形中计算，因此考虑过点B作AC延长线的垂线构造直角三角形；再利用三角形外角性质得到∠DCB=∠A+∠B=45°，结合已知BC与AC的比值，设参数分别表示BC、AC的长度，先在Rt△CDB中求出BD、CD的长度，进一步得到AD的长度，最后在Rt△ABD中根据正切的定义计算即可得到结果。
【解析】
过点B作$BD⊥AC$，交AC的延长线于点D，
$\because \dfrac{BC}{AC}=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$，$\therefore$ 设$BC=2\sqrt{2}a$，$AC=3a$（$a＞0$）。
$\because ∠A$和$∠B$互为半余角，$\therefore ∠A+∠B=45°$。
根据三角形外角的性质，$∠DCB=∠A+∠B=45°$。
在$\mathrm{Rt}△CDB$中：
$BD=BC·\sin45°=2\sqrt{2}a·\dfrac{\sqrt{2}}{2}=2a$，
$CD=BC·\cos45°=2\sqrt{2}a·\dfrac{\sqrt{2}}{2}=2a$。
$\therefore AD=AC+CD=3a+2a=5a$。
在$\mathrm{Rt}△ABD$中，$\tan A=\dfrac{BD}{AD}=\dfrac{2a}{5a}=\dfrac{2}{5}$。
【答案】
$\dfrac{2}{5}$
【知识点】
新定义理解，三角形外角性质，锐角三角函数定义
【点评】
本题结合新定义考查三角函数的相关计算，解题关键是正确理解半余角的定义，通过构造辅助线得到直角三角形，借助参数法简化计算，对学生的辅助线构造能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
首先理解新定义“互为半余角”，可得出∠A+∠B=45°。要求tanA，需要将∠A放在直角三角形中计算，因此考虑过点B作AC延长线的垂线构造直角三角形；再利用三角形外角性质得到∠DCB=∠A+∠B=45°，结合已知BC与AC的比值，设参数分别表示BC、AC的长度，先在Rt△CDB中求出BD、CD的长度，进一步得到AD的长度，最后在Rt△ABD中根据正切的定义计算即可得到结果。
【解析】
过点B作$BD⊥AC$，交AC的延长线于点D，
$\because \dfrac{BC}{AC}=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$，$\therefore$ 设$BC=2\sqrt{2}a$，$AC=3a$（$a＞0$）。
$\because ∠A$和$∠B$互为半余角，$\therefore ∠A+∠B=45°$。
根据三角形外角的性质，$∠DCB=∠A+∠B=45°$。
在$\mathrm{Rt}△CDB$中：
$BD=BC·\sin45°=2\sqrt{2}a·\dfrac{\sqrt{2}}{2}=2a$，
$CD=BC·\cos45°=2\sqrt{2}a·\dfrac{\sqrt{2}}{2}=2a$。
$\therefore AD=AC+CD=3a+2a=5a$。
在$\mathrm{Rt}△ABD$中，$\tan A=\dfrac{BD}{AD}=\dfrac{2a}{5a}=\dfrac{2}{5}$。
【答案】
$\dfrac{2}{5}$
【知识点】
新定义理解，三角形外角性质，锐角三角函数定义
【点评】
本题结合新定义考查三角函数的相关计算，解题关键是正确理解半余角的定义，通过构造辅助线得到直角三角形，借助参数法简化计算，对学生的辅助线构造能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
11已知在$△ ABC$中，$CD ⊥ AB$于点$D$，$BC=5$，$\tan A=\dfrac{1}{2}$，$\tan ∠ BCD=\dfrac{4}{3}$，则线段$AB$的长为
10或2
。答案
11.10或2
解析
【分析】
解题时首先注意：三角形的高可能在三角形内部，也可能在三角形外部，需分两种情况讨论避免漏解。第一步，先在Rt△BCD中，结合∠BCD的正切值和BC的边长，用勾股定理求出CD、BD的长度；第二步，在Rt△ACD中，结合∠A的正切值和已求出的CD长度，算出AD的长度；第三步，分垂足D在线段AB上、垂足D在线段AB延长线上两种情况，分别计算AB的长度即可。
【解析】
∵CD⊥AB，
∴∠CDA=∠CDB=90°。
在Rt△BCD中，$\tan∠ BCD=\dfrac{BD}{CD}=\dfrac{4}{3}$，设$BD=4k$，$CD=3k$（$k＞0$）。
由勾股定理得：$(4k)^2+(3k)^2=BC^2$，代入$BC=5$，得$25k^2=25$，解得$k=1$。
∴$BD=4$，$CD=3$。
在Rt△ACD中，$\tan A=\dfrac{CD}{AD}=\dfrac{1}{2}$，代入$CD=3$，得$\dfrac{3}{AD}=\dfrac{1}{2}$，解得$AD=6$。
分两种情况计算AB：
1. 当垂足D在线段AB上时，$AB=AD+BD=6+4=10$；
2. 当垂足D在线段AB的延长线上时，$AB=AD-BD=6-4=2$。
综上，线段AB的长为10或2。
【答案】
10或2
【知识点】
解直角三角形，勾股定理，分类讨论
【点评】
本题考查直角三角形的相关计算，易错点是忽略高在三角形外的情况，导致只算出一个解，做题时遇到未明确形状的三角形，要注意多情况分析，避免漏解。
【难度系数】
0.6
解题时首先注意：三角形的高可能在三角形内部，也可能在三角形外部，需分两种情况讨论避免漏解。第一步，先在Rt△BCD中，结合∠BCD的正切值和BC的边长，用勾股定理求出CD、BD的长度；第二步，在Rt△ACD中，结合∠A的正切值和已求出的CD长度，算出AD的长度；第三步，分垂足D在线段AB上、垂足D在线段AB延长线上两种情况，分别计算AB的长度即可。
【解析】
∵CD⊥AB，
∴∠CDA=∠CDB=90°。
在Rt△BCD中，$\tan∠ BCD=\dfrac{BD}{CD}=\dfrac{4}{3}$，设$BD=4k$，$CD=3k$（$k＞0$）。
由勾股定理得：$(4k)^2+(3k)^2=BC^2$，代入$BC=5$，得$25k^2=25$，解得$k=1$。
∴$BD=4$，$CD=3$。
在Rt△ACD中，$\tan A=\dfrac{CD}{AD}=\dfrac{1}{2}$，代入$CD=3$，得$\dfrac{3}{AD}=\dfrac{1}{2}$，解得$AD=6$。
分两种情况计算AB：
1. 当垂足D在线段AB上时，$AB=AD+BD=6+4=10$；
2. 当垂足D在线段AB的延长线上时，$AB=AD-BD=6-4=2$。
综上，线段AB的长为10或2。
【答案】
10或2
【知识点】
解直角三角形，勾股定理，分类讨论
【点评】
本题考查直角三角形的相关计算，易错点是忽略高在三角形外的情况，导致只算出一个解，做题时遇到未明确形状的三角形，要注意多情况分析，避免漏解。
【难度系数】
0.6
12图1所示是一种单臂篮球架，其侧面示意图如图2所示，其中支架AB垂直于地面BE，支架AC与AB的夹角为$115°$，篮筐DP与支架PC都平行于地面BE。现已知$AB=2.50\ \mathrm{m}$，$CA=1.30\ \mathrm{m}$，则篮筐DP距离地面的高度约为
3.05
$\mathrm{m}$。（结果精确到$0.01\ \mathrm{m}$，参考数据：$\sin 25° \approx 0.42$，$\cos 25° \approx 0.91$，$\tan 25° \approx 0.47$）答案
12.3.05 解析:如图,过点 P 作 $PM⊥ BE$ 于点 M,过点 C 作 $CN⊥ BE$ 于点 N,过点 A 作 $AQ⊥ CN$ 于点 Q,则 $PM// CN.$
$\because$ 篮筐 DP 与支架 PC 都平行于地面 BE,
$\therefore$ 四边形 PMNC 是平行四边形.
$\because ∠ PMN=90°,\therefore$ 平行四边形 PMNC 是矩形.
同理可得四边形 AQNB 是矩形, $\therefore PM=CN$,
$QN=AB=2.5\ \mathrm{m},∠ CAQ=115°-90°=25°.$
在 $\mathrm{Rt}△ ACQ$ 中, $\because \sin∠ CAQ=\dfrac{CQ}{AC},$
$\therefore CQ=AC· \sin 25°\approx1.30×0.42=0.546(\mathrm{m}),$
$\therefore PM=CN=CQ+QN\approx0.546+2.50\approx3.05(\mathrm{m}).$
解析
【分析】
要求篮筐DP距离地面的高度，因DP平行于地面BE，故DP的高度等于点P到地面BE的竖直距离，又PC也平行于地面BE，因此P、C两点竖直高度相等，可将问题转化为求点C到地面BE的高度。解题时先通过作辅助线构造矩形和直角三角形：过P作PM⊥BE于M，过C作CN⊥BE于N，过A作AQ⊥CN于Q，借助矩形性质可得PM=CN、QN=AB；再结合AC与AB的夹角求出Rt△ACQ中的锐角∠CAQ的度数，利用三角函数求出CQ的长度，最后将CQ与QN相加即可得到所求高度。
【解析】
解：如图，过点$P$作 $PM⊥ BE$ 于点 $M$，过点 $C$ 作 $CN⊥ BE$ 于点 $N$，过点 $A$ 作 $AQ⊥ CN$ 于点 $Q$，则 $PM// CN$。
$\because$ 篮筐 $DP$ 与支架 $PC$ 都平行于地面 $BE$，
$\therefore$ 四边形 $PMNC$ 是平行四边形，
又$\because ∠ PMN=90°$，
$\therefore$ 平行四边形 $PMNC$ 是矩形。
同理可得四边形 $AQNB$ 是矩形，
$\therefore PM=CN$，$QN=AB=2.50\ \mathrm{m}$。
$\because ∠BAC=115°$，$∠BAQ=90°$，
$\therefore ∠CAQ=115°-90°=25°$。
在 $\mathrm{Rt}△ ACQ$ 中，$\sin∠ CAQ=\dfrac{CQ}{AC}$，
$\therefore CQ=AC· \sin 25°\approx1.30×0.42=0.546(\mathrm{m})$，
$\therefore PM=CN=CQ+QN\approx0.546+2.50\approx3.05(\mathrm{m})$。
【答案】
$\boxed{3.05}$
【知识点】
解直角三角形的应用、矩形的判定与性质、平行线的性质
【点评】
本题结合实际生活场景考查几何计算，解题核心是通过作辅助线构造直角三角形和矩形，将实际问题转化为数学计算问题，计算时需注意参考数据的选用和结果精确度的要求。
【难度系数】
0.7
要求篮筐DP距离地面的高度，因DP平行于地面BE，故DP的高度等于点P到地面BE的竖直距离，又PC也平行于地面BE，因此P、C两点竖直高度相等，可将问题转化为求点C到地面BE的高度。解题时先通过作辅助线构造矩形和直角三角形：过P作PM⊥BE于M，过C作CN⊥BE于N，过A作AQ⊥CN于Q，借助矩形性质可得PM=CN、QN=AB；再结合AC与AB的夹角求出Rt△ACQ中的锐角∠CAQ的度数，利用三角函数求出CQ的长度，最后将CQ与QN相加即可得到所求高度。
【解析】
解：如图，过点$P$作 $PM⊥ BE$ 于点 $M$，过点 $C$ 作 $CN⊥ BE$ 于点 $N$，过点 $A$ 作 $AQ⊥ CN$ 于点 $Q$，则 $PM// CN$。
$\because$ 篮筐 $DP$ 与支架 $PC$ 都平行于地面 $BE$，
$\therefore$ 四边形 $PMNC$ 是平行四边形，
又$\because ∠ PMN=90°$，
$\therefore$ 平行四边形 $PMNC$ 是矩形。
同理可得四边形 $AQNB$ 是矩形，
$\therefore PM=CN$，$QN=AB=2.50\ \mathrm{m}$。
$\because ∠BAC=115°$，$∠BAQ=90°$，
$\therefore ∠CAQ=115°-90°=25°$。
在 $\mathrm{Rt}△ ACQ$ 中，$\sin∠ CAQ=\dfrac{CQ}{AC}$，
$\therefore CQ=AC· \sin 25°\approx1.30×0.42=0.546(\mathrm{m})$，
$\therefore PM=CN=CQ+QN\approx0.546+2.50\approx3.05(\mathrm{m})$。
【答案】
$\boxed{3.05}$
【知识点】
解直角三角形的应用、矩形的判定与性质、平行线的性质
【点评】
本题结合实际生活场景考查几何计算，解题核心是通过作辅助线构造直角三角形和矩形，将实际问题转化为数学计算问题，计算时需注意参考数据的选用和结果精确度的要求。
【难度系数】
0.7
