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一、选择题
1. 如图，小彬将两根长度相等的细木条的一端固定(固定点记为O)，制成一个可以活动的工具，用它测量一个玻璃储物罐的内径AB.已知OA=OB=30 cm，∠AOB=20°，则储物罐内径AB的长为 (
A.$60·\tan10°$ cm
B.$30·\tan20°$ cm
C.$60·\sin10°$ cm
D.$30·\sin20°$ cm
1. 如图，小彬将两根长度相等的细木条的一端固定(固定点记为O)，制成一个可以活动的工具，用它测量一个玻璃储物罐的内径AB.已知OA=OB=30 cm，∠AOB=20°，则储物罐内径AB的长为 (
C
)A.$60·\tan10°$ cm
B.$30·\tan20°$ cm
C.$60·\sin10°$ cm
D.$30·\sin20°$ cm
答案
1.C
解析
【分析】
这是一道结合实际场景的几何计算题，解题思路如下：第一步，先判断△OAB的形状，由OA=OB可知它是等腰三角形，要求底边AB的长，可利用等腰三角形“三线合一”的性质作辅助线：过O作AB的垂线，将等腰三角形拆分为两个全等的直角三角形；第二步，在得到的直角三角形中，已知斜边OA的长度和一个锐角的度数，可通过锐角三角函数的定义算出AB一半的长度；第三步，将算出的长度乘2即可得到AB的总长度，最后对应选项选出答案即可。
【解析】
解：过点O作OD⊥AB于点D。
∵ OA=OB=30cm，OD⊥AB，
∴ 根据等腰三角形三线合一的性质可得：
∠AOD = $\frac{1}{2}$∠AOB = $\frac{1}{2}$×20°=10°，AD = BD = $\frac{1}{2}$AB。
在Rt△AOD中，由正弦的定义可知：
$\sin∠ AOD = \frac{AD}{OA}$，
∴ AD = OA · $\sin∠ AOD$ = 30·$\sin10°$ cm，
∴ AB = 2AD = 2×30·$\sin10°$ = 60·$\sin10°$ cm。
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质、锐角三角函数的定义
【点评】
本题结合生活中的测量场景考查几何知识的应用，解题的核心是通过作辅助线构造直角三角形，将等腰三角形的边长计算问题转化为直角三角形的边角计算问题，是对基础知识点应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
这是一道结合实际场景的几何计算题，解题思路如下：第一步，先判断△OAB的形状，由OA=OB可知它是等腰三角形，要求底边AB的长，可利用等腰三角形“三线合一”的性质作辅助线：过O作AB的垂线，将等腰三角形拆分为两个全等的直角三角形；第二步，在得到的直角三角形中，已知斜边OA的长度和一个锐角的度数，可通过锐角三角函数的定义算出AB一半的长度；第三步，将算出的长度乘2即可得到AB的总长度，最后对应选项选出答案即可。
【解析】
解：过点O作OD⊥AB于点D。
∵ OA=OB=30cm，OD⊥AB，
∴ 根据等腰三角形三线合一的性质可得：
∠AOD = $\frac{1}{2}$∠AOB = $\frac{1}{2}$×20°=10°，AD = BD = $\frac{1}{2}$AB。
在Rt△AOD中，由正弦的定义可知：
$\sin∠ AOD = \frac{AD}{OA}$，
∴ AD = OA · $\sin∠ AOD$ = 30·$\sin10°$ cm，
∴ AB = 2AD = 2×30·$\sin10°$ = 60·$\sin10°$ cm。
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质、锐角三角函数的定义
【点评】
本题结合生活中的测量场景考查几何知识的应用，解题的核心是通过作辅助线构造直角三角形，将等腰三角形的边长计算问题转化为直角三角形的边角计算问题，是对基础知识点应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
2.如图，学生甲在凉亭A处测得湖心岛C在其南偏西$15°$的方向上，又从A处向正东方向走300 m到达凉亭B处，测得湖心岛C在其南偏西$60°$的方向上，则凉亭B与湖心岛C之间的距离为（
A.$150$ m
B.$(150+150\sqrt{3})$m
C.$(150+100\sqrt{2})$m
D.$(400-100\sqrt{2})$m
B
）A.$150$ m
B.$(150+150\sqrt{3})$m
C.$(150+100\sqrt{2})$m
D.$(400-100\sqrt{2})$m
答案
2.B
解析
【分析】
本题是解直角三角形的实际应用问题，核心解题思路是通过作高构造直角三角形，结合方向角推导直角三角形中的角度关系，再利用三角函数建立方程求解。第一步：根据方向角确定相关角的度数；第二步：过C作CD垂直BA延长线，构造两个直角三角形，设CD为未知数，用含未知数的式子表示各边长度；第三步：利用三角函数列方程求解，最终得到BC的长度。
【解析】
解：过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，设CD = x m。
由题意得：
∠CBD = 90° - 60° = 30°，∠CAD = 90° - 15° = 75°，AB = 300 m。
在Rt△BCD中，∠CBD=30°，
∴$BC = 2CD = 2x$，$BD = CD · \cot30° = \sqrt{3}x$。
由$BD = AB + AD$，得$AD = BD - AB = \sqrt{3}x - 300$。
在Rt△ACD中，$\tan75° = \tan(45°+30°) = \frac{1+\frac{\sqrt{3}}{3}}{1-\frac{\sqrt{3}}{3}} = 2+\sqrt{3}$，
根据$\tan∠CAD = \frac{CD}{AD}$，列方程：
$\frac{x}{\sqrt{3}x - 300} = 2 + \sqrt{3}$
解得：
$x = 75(\sqrt{3} + 1)$
∴$BC = 2x = 2 × 75(\sqrt{3} + 1) = 150 + 150\sqrt{3} \ (\mathrm{m})$
【答案】
B
【知识点】
方向角的应用，解直角三角形，特殊角的三角函数
【点评】
本题结合生活场景考查解直角三角形的应用，解题关键是准确理解方向角的含义，合理作辅助线构造直角三角形，熟练运用特殊角的三角函数值列方程求解，是几何应用类的典型题型。
【难度系数】
0.65
本题是解直角三角形的实际应用问题，核心解题思路是通过作高构造直角三角形，结合方向角推导直角三角形中的角度关系，再利用三角函数建立方程求解。第一步：根据方向角确定相关角的度数；第二步：过C作CD垂直BA延长线，构造两个直角三角形，设CD为未知数，用含未知数的式子表示各边长度；第三步：利用三角函数列方程求解，最终得到BC的长度。
【解析】
解：过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，设CD = x m。
由题意得：
∠CBD = 90° - 60° = 30°，∠CAD = 90° - 15° = 75°，AB = 300 m。
在Rt△BCD中，∠CBD=30°，
∴$BC = 2CD = 2x$，$BD = CD · \cot30° = \sqrt{3}x$。
由$BD = AB + AD$，得$AD = BD - AB = \sqrt{3}x - 300$。
在Rt△ACD中，$\tan75° = \tan(45°+30°) = \frac{1+\frac{\sqrt{3}}{3}}{1-\frac{\sqrt{3}}{3}} = 2+\sqrt{3}$，
根据$\tan∠CAD = \frac{CD}{AD}$，列方程：
$\frac{x}{\sqrt{3}x - 300} = 2 + \sqrt{3}$
解得：
$x = 75(\sqrt{3} + 1)$
∴$BC = 2x = 2 × 75(\sqrt{3} + 1) = 150 + 150\sqrt{3} \ (\mathrm{m})$
【答案】
B
【知识点】
方向角的应用，解直角三角形，特殊角的三角函数
【点评】
本题结合生活场景考查解直角三角形的应用，解题关键是准确理解方向角的含义，合理作辅助线构造直角三角形，熟练运用特殊角的三角函数值列方程求解，是几何应用类的典型题型。
【难度系数】
0.65
3. 如图，在$△ ABC$中，$AB=\sqrt{5}$，$BC=3$，$\cos B=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$，则$∠ C$的度数为 （
A.$60°$
B.$50°$
C.$45°$
D.$30°$
C
）A.$60°$
B.$50°$
C.$45°$
D.$30°$
答案
3.C
解析
【分析】
要求∠C的度数，已知∠B的余弦值、AB和BC的边长，我们可以通过作BC边上的高AD，将斜△ABC转化为两个直角三角形，先在Rt△ABD中利用三角函数求出BD、AD的长度，再计算出CD的长度，最后在Rt△ADC中根据边长关系判断∠C的度数。
【解析】
过点A作AD⊥BC于点D，
∴∠ADB=∠ADC=90°。
在Rt△ABD中，$\cos B=\dfrac{BD}{AB}$，
已知$AB=\sqrt{5}$，$\cos B=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴$BD=AB·\cos B=\sqrt{5}×\dfrac{2\sqrt{5}}{5}=2$，
由勾股定理得：$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{(\sqrt{5})^2-2^2}=\sqrt{5-4}=1$。
∵$BC=3$，
∴$CD=BC-BD=3-2=1$，
∴$AD=CD=1$，即Rt△ADC为等腰直角三角形，
∴$∠ C=45°$。
【答案】
C
【知识点】
1. 解直角三角形 2. 勾股定理 3. 等腰直角三角形性质
【点评】
本题考查斜三角形的角度求解，解题关键是通过作高构造直角三角形，将未知问题转化为已学的直角三角形问题，结合三角函数、勾股定理计算边长后判断角度，是解三角形类问题的常规考法。
【难度系数】
0.7
要求∠C的度数，已知∠B的余弦值、AB和BC的边长，我们可以通过作BC边上的高AD，将斜△ABC转化为两个直角三角形，先在Rt△ABD中利用三角函数求出BD、AD的长度，再计算出CD的长度，最后在Rt△ADC中根据边长关系判断∠C的度数。
【解析】
过点A作AD⊥BC于点D，
∴∠ADB=∠ADC=90°。
在Rt△ABD中，$\cos B=\dfrac{BD}{AB}$，
已知$AB=\sqrt{5}$，$\cos B=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴$BD=AB·\cos B=\sqrt{5}×\dfrac{2\sqrt{5}}{5}=2$，
由勾股定理得：$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{(\sqrt{5})^2-2^2}=\sqrt{5-4}=1$。
∵$BC=3$，
∴$CD=BC-BD=3-2=1$，
∴$AD=CD=1$，即Rt△ADC为等腰直角三角形，
∴$∠ C=45°$。
【答案】
C
【知识点】
1. 解直角三角形 2. 勾股定理 3. 等腰直角三角形性质
【点评】
本题考查斜三角形的角度求解，解题关键是通过作高构造直角三角形，将未知问题转化为已学的直角三角形问题，结合三角函数、勾股定理计算边长后判断角度，是解三角形类问题的常规考法。
【难度系数】
0.7
4. 如图是一架儿童滑梯截面示意图,过道 CD 与地面 AB 平行,扶梯 AD 的坡比为 1:1,滑梯 BC 的坡比为 1:2,若扶梯 AD 的长为 4 米,则滑梯 CB 的长为 (
A.$4\sqrt{2}$ 米
B.$2\sqrt{10}$ 米
C.$4\sqrt{5}$ 米
D.$4\sqrt{10}$ 米
B
)A.$4\sqrt{2}$ 米
B.$2\sqrt{10}$ 米
C.$4\sqrt{5}$ 米
D.$4\sqrt{10}$ 米
答案
4.B
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确坡比的定义（坡比是坡面的铅直高度与水平宽度的比值），再结合已知条件构造直角三角形求解。第一步：过D、C分别作AB的垂线，得到两个直角三角形，且因CD与AB平行，两条高相等；第二步：利用AD的坡比和长度，求出铅直高度的长度；第三步：根据BC的坡比求出BC对应的水平宽度，最后用勾股定理计算BC的长度即可。
【解析】
过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥AB于点F。
∵CD//AB，
∴DE=CF（平行线间的距离相等）。
在Rt△ADE中，扶梯AD的坡比为1:1，即DE:AE=1:1，
∴AE=DE。
由勾股定理得：$AE^2 + DE^2 = AD^2$，已知AD=4米，代入得：
$2DE^2 = 4^2$，解得$DE=2\sqrt{2}$米，因此$CF=DE=2\sqrt{2}$米。
在Rt△BCF中，滑梯BC的坡比为1:2，即$CF:FB=1:2$，
∴$FB=2CF=2×2\sqrt{2}=4\sqrt{2}$米。
再由勾股定理计算BC的长度：
$BC=\sqrt{CF^2 + FB^2}=\sqrt{(2\sqrt{2})^2 + (4\sqrt{2})^2}=\sqrt{8 + 32}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$米。
【答案】
B
【知识点】
坡度坡比的概念，勾股定理，平行线的性质
【点评】
本题属于解直角三角形的实际应用类题目，解题的关键是正确理解坡比的含义，通过作高构造直角三角形，结合勾股定理计算对应边长，是坡度相关问题的典型考法。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先明确坡比的定义（坡比是坡面的铅直高度与水平宽度的比值），再结合已知条件构造直角三角形求解。第一步：过D、C分别作AB的垂线，得到两个直角三角形，且因CD与AB平行，两条高相等；第二步：利用AD的坡比和长度，求出铅直高度的长度；第三步：根据BC的坡比求出BC对应的水平宽度，最后用勾股定理计算BC的长度即可。
【解析】
过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥AB于点F。
∵CD//AB，
∴DE=CF（平行线间的距离相等）。
在Rt△ADE中，扶梯AD的坡比为1:1，即DE:AE=1:1，
∴AE=DE。
由勾股定理得：$AE^2 + DE^2 = AD^2$，已知AD=4米，代入得：
$2DE^2 = 4^2$，解得$DE=2\sqrt{2}$米，因此$CF=DE=2\sqrt{2}$米。
在Rt△BCF中，滑梯BC的坡比为1:2，即$CF:FB=1:2$，
∴$FB=2CF=2×2\sqrt{2}=4\sqrt{2}$米。
再由勾股定理计算BC的长度：
$BC=\sqrt{CF^2 + FB^2}=\sqrt{(2\sqrt{2})^2 + (4\sqrt{2})^2}=\sqrt{8 + 32}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$米。
【答案】
B
【知识点】
坡度坡比的概念，勾股定理，平行线的性质
【点评】
本题属于解直角三角形的实际应用类题目，解题的关键是正确理解坡比的含义，通过作高构造直角三角形，结合勾股定理计算对应边长，是坡度相关问题的典型考法。
【难度系数】
0.7
5 如图，老师带领数学小组测量河里面一棵大树树顶离水面的高度 EF，小高用高 1.5 m 的测量仪在点 A 处测得树顶的仰角为 $45°$，在点 B 处测得树顶的仰角为 $28°$，点 A、B 是水平地面上的两点，且与点 E、F 均在同一竖直平面内。已知水平地面离水面的高度为 2 m，AB=5 m，则树顶离水面的高度 EF 约为（结果精确到 0.1 m，参考数据：$\sin 28° \approx 0.47$，$\cos 28° \approx 0.88$，$\tan 28° \approx 0.53$）
（
A.9.1 m
B.7.6 m
C.8.6 m
D.8.1 m
（
A
）A.9.1 m
B.7.6 m
C.8.6 m
D.8.1 m
答案
5.A 解析:如图,过点 A 作 $AM⊥ EF$ 于点 M，
由题意得 $MF=2\ \mathrm{m},∠ ECH=45°,∠ EDH=28°$,
$AC=BD=HM=1.5\ \mathrm{m},CD=AB=5\ \mathrm{m}.$
$\because ∠ ECH=45°,∠ EHC=90°,$
$\therefore △ CHE$ 是等腰直角三角形.
设 $EH=CH=x\ \mathrm{m}$,则 $DH=(x+5)\ \mathrm{m}.$
$\because ∠ EDH=28°,$
$\therefore \tan∠ EDH=\dfrac{EH}{DH}=\dfrac{x}{x+5}\approx0.53,$
解得 $x\approx5.6$(经检验,是分式方程的解,且符合题意),
$\therefore EF=EH+HM+MF\approx5.6+1.5+2=9.1(\mathrm{m}),$
$\therefore$ 树顶离水面的高度 EF 约为 9.1 m. 故选 A.
解析
【分析】
本题属于仰角测量的实际应用问题，解题思路如下：首先通过作辅助线构造直角三角形，将已知的仰角、线段长度对应到直角三角形的边角关系中；再利用45°仰角得到等腰直角三角形的两直角边相等，据此设未知数；然后结合28°仰角的正切值列出方程求解对应边长；最后将各段高度求和，即可得到树顶离水面的高度EF。
【解析】
如图，过点A作$AM⊥EF$于点M，
由题意得$MF=2\ \mathrm{m},∠ECH=45°,∠EDH=28°$，$AC=BD=HM=1.5\ \mathrm{m},CD=AB=5\ \mathrm{m}$。
$\because ∠ECH=45°,∠EHC=90°$，
$\therefore △CHE$是等腰直角三角形。
设$EH=CH=x\ \mathrm{m}$，则$DH=(x+5)\ \mathrm{m}$。
$\because ∠EDH=28°$，
$\therefore \tan∠EDH=\dfrac{EH}{DH}=\dfrac{x}{x+5}\approx0.53$，
解得$x\approx5.6$（经检验，是分式方程的解，且符合题意），
$\therefore EF=EH+HM+MF\approx5.6+1.5+2=9.1(\mathrm{m})$。
【答案】
A
【知识点】
解直角三角形应用，仰角俯角问题，等腰直角三角形性质
【点评】
本题结合实际测量场景考查解直角三角形的相关知识，要求学生能合理构造辅助线将实际问题转化为几何问题，正确运用锐角三角函数建立方程求解，计算时需注意各段高度的累加，避免漏算测量仪高度或地面到水面的高度。
【难度系数】
0.7
本题属于仰角测量的实际应用问题，解题思路如下：首先通过作辅助线构造直角三角形，将已知的仰角、线段长度对应到直角三角形的边角关系中；再利用45°仰角得到等腰直角三角形的两直角边相等，据此设未知数；然后结合28°仰角的正切值列出方程求解对应边长；最后将各段高度求和，即可得到树顶离水面的高度EF。
【解析】
如图，过点A作$AM⊥EF$于点M，
由题意得$MF=2\ \mathrm{m},∠ECH=45°,∠EDH=28°$，$AC=BD=HM=1.5\ \mathrm{m},CD=AB=5\ \mathrm{m}$。
$\because ∠ECH=45°,∠EHC=90°$，
$\therefore △CHE$是等腰直角三角形。
设$EH=CH=x\ \mathrm{m}$，则$DH=(x+5)\ \mathrm{m}$。
$\because ∠EDH=28°$，
$\therefore \tan∠EDH=\dfrac{EH}{DH}=\dfrac{x}{x+5}\approx0.53$，
解得$x\approx5.6$（经检验，是分式方程的解，且符合题意），
$\therefore EF=EH+HM+MF\approx5.6+1.5+2=9.1(\mathrm{m})$。
【答案】
A
【知识点】
解直角三角形应用，仰角俯角问题，等腰直角三角形性质
【点评】
本题结合实际测量场景考查解直角三角形的相关知识，要求学生能合理构造辅助线将实际问题转化为几何问题，正确运用锐角三角函数建立方程求解，计算时需注意各段高度的累加，避免漏算测量仪高度或地面到水面的高度。
【难度系数】
0.7
