6 在物理学中，关于“牵连速度”的相关问题我们可以进行如下分析：由于速度的矢量性，根据平行四边形定则，我们可以将速度进行正交分解，分解成沿绳方向的速度与垂直于绳方向的速度。如图，一人站在水平光滑台面上，用绳子拉位于台面下水平地面上的小车，若该人向右水平拉动绳子，小车向右水平运动，且在某时刻速度为$v$. 将$v$按照题干所述方式分解为$v_1$和$v_2$，与绳和地面的位置关系如图所示。若$v$的大小为$10\ \mathrm{m/s}$，绳子与水平方向所成的角为$37°$.
(1)求绳子运动的速度和$v_2$的大小；
(2)若绳子与车接触的部分到平台的水平距离为$40\ \mathrm{m}$，绳子由滑轮到人的距离为$5\ \mathrm{m}$，不计绳子与滑轮接触部分的长度，求绳子的长度.(参考数据：$\sin 37° \approx 0.6$，$\cos 37° \approx 0.8$，$\tan 37° \approx 0.75$)

6.解:(1)如图 1,以 A、B、C、D 标记矩形的四个顶点.
根据题意,知$∠ ABC=90°,AC=10,∠ ACB=37°,∠ D=90°,∠ CAD=37°$.
在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,$∠ ABC=90°,\cosθ=\frac{BC}{AC}$,
$\therefore BC=AC\cosθ\approx10×0.8=8$.
在 $\mathrm{Rt}△ ADC$ 中,$∠ ADC=90°,\sinθ=\frac{DC}{AC}$,
$\therefore CD=AC\sinθ\approx10×0.6=6$,
$\therefore$ 绳子的速度大小为 8 m/s,$v_2$ 的大小为 6 m/s.

(2)如图 2,延长 CA 交墙壁于点 F,
设绳子与滑轮的切点为 E.

由题意得$∠ CFE=90°,∠ FCE=37°,FC=40$ m.
在 $\mathrm{Rt}△ FEC$ 中,$\cosθ=\frac{FC}{EC}$,
$\therefore CE=\frac{FC}{\cosθ}\approx\frac{40}{0.8}=50(\mathrm{m}),50+5=55(\mathrm{m})$.
故绳子长度约为 55 m.

【分析】
本题分为两小问，第(1)问需利用速度的分解（平行四边形定则），将小车的合速度分解为沿绳方向的分量（即绳子运动的速度）和垂直绳方向的分量，结合三角函数关系求解；第(2)问需结合直角三角形的三角函数关系，计算滑轮到车接触点的绳长，再加上滑轮到人的绳长，得到总绳子长度。
【解析】
(1) 小车的速度$v$为合速度，根据速度的分解规则，沿绳方向的速度分量等于绳子运动的速度$v_1$，垂直绳方向的分量为$v_2$。已知$θ=37°$，$v=10\ \mathrm{m/s}$，根据三角函数关系：
绳子运动的速度：$v_1 = v\cos37° = 10×0.8 = 8\ \mathrm{m/s}$；
$v_2$的大小：$v_2 = v\sin37° = 10×0.6 = 6\ \mathrm{m/s}$。
(2) 设滑轮到车接触点的绳长为$CE$，由题意，滑轮到车接触点的水平距离$FC=40\ \mathrm{m}$，$∠ FCE=37°$，在$\mathrm{Rt}△ FEC$中，根据三角函数关系：
$\cosθ = \frac{FC}{CE}$，则$CE = \frac{FC}{\cos37°} = \frac{40}{0.8} = 50\ \mathrm{m}$；
已知滑轮到人的绳长为$5\ \mathrm{m}$，故绳子总长度为$CE + 5 = 50 + 5 = 55\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) 绳子运动的速度为$8\ \mathrm{m/s}$，$v_2$的大小为$6\ \mathrm{m/s}$；(2) 绳子的长度为$55\ \mathrm{m}$。
【知识点】
速度的分解、三角函数应用、几何长度计算
【点评】
本题是速度分解的基础应用题，结合直角三角形的三角函数关系求解，难度适中，主要考查对合速度与分速度关系的理解及几何计算能力。
【难度系数】
0.6

7【发现】某大型购物商场在一楼和二楼之间安装自动扶梯AC，界面的示意图如图1所示，一楼和二楼地面平行(即点A与点B所在的直线与CD平行)，层高AD为8 m，坡角$∠ ACD=20°$.
(1)要使身高1.8 m的嘉淇爸爸(竖直站立)乘坐自动扶梯时不碰头，则A、B之间的距离要大于多少米？
【探究】该商场计划改造这个扶梯，将其分为三段：AE段(上坡段自动扶梯)、EF段(水平平台，即$EF// DC$)、FC段(上坡楼梯)，如图2中虚线所示.AE段和FC段的坡度相同，为保障安全，其坡度$i$不能超过$1:2$，商场希望尽可能延长平台EF的长度，以方便顾客休息.
(2)求出平台EF的最大长度.(结果精确到0.1 m)
(参考数据：$\sin 20° \approx 0.34$，$\cos 20° \approx 0.94$，$\tan 20° \approx 0.36$)

7.解:(1)如图 1,连接 AB,过点 B 作 $BM⊥AB$ 交 AC 于点 M.

$\because AB// CD,\therefore ∠ BAM=∠ ACD=20°$.
$\because \tan∠ BAM=\frac{BM}{AB}$,
$\therefore AB=\frac{BM}{\tan∠ BAM}\approx\frac{1.8}{0.36}=5.0(\mathrm{m})$.
故 A、B 之间的距离要大于 5.0 m.
(2)如图 2,延长 AE 交 CD 于点 N.

$\because$ AE 段和 FC 段的坡度 $i=1:2$,
$\therefore ∠ END=∠ FCN,\therefore EN// FC$.
又 $EF// DC,\therefore$ 四边形 CNEF 为平行四边形,
$\therefore EF=CN$.
$\because$ AE 段和 FC 段的坡度 $i=1:2$,
$\therefore ND=2AD=16(\mathrm{m})$.
在 $\mathrm{Rt}△ ACD$ 中,$∠ ACD=20°$,
$\therefore CD=\frac{AD}{\tan∠ ACD}\approx\frac{8}{0.36}\approx22.22(\mathrm{m})$,
$\therefore EF=CN=22.22-16\approx6.2(\mathrm{m})$.
故平台 EF 的最大长度约为 6.2 m.

【分析】
(1) 要使身高1.8m的人乘坐扶梯不碰头，需找到扶梯上离AB最近的点，其竖直高度为1.8m。由于AB与CD平行，根据平行线的内错角相等，可得∠BAM等于坡角∠ACD=20°，再利用正切函数的定义，即可求出A、B之间的最小距离。
(2) 要确定平台EF的最大长度，需利用AE和FC的坡度（1:2），先延长AE交CD于点N，根据坡度的含义（垂直高度与水平宽度的比为1:2），算出ND的长度；再在Rt△ACD中，利用正切函数算出CD的长度；结合EF与CD平行、AE与FC平行，可判定四边形CNEF为平行四边形，从而得到EF=CN，进而算出EF的最大长度。
【解析】
(1) 如图1，连接AB，过点B作BM⊥AB交AC于点M。
∵ AB//CD，
∴ ∠BAM=∠ACD=20°。
在Rt△ABM中，∠ABM=90°，$\tan∠BAM=\frac{BM}{AB}$，
∴ $AB=\frac{BM}{\tan∠BAM}\approx\frac{1.8}{0.36}=5.0(\mathrm{m})$。
故A、B之间的距离要大于5.0 m。
(2) 如图2，延长AE交CD于点N。
∵ AE段和FC段的坡度$i=1:2$，即垂直高度与水平宽度的比为1:2，
∴ $ND=2AD=2×8=16(\mathrm{m})$。
又
∵ $EF// DC$，$AE// FC$，
∴ 四边形CNEF为平行四边形，
∴ $EF=CN$。
在Rt△ACD中，∠ADC=90°，$\tan∠ACD=\frac{AD}{CD}$，
∴ $CD=\frac{AD}{\tan∠ACD}\approx\frac{8}{0.36}\approx22.22(\mathrm{m})$。
∴ $EF=CN=CD-ND\approx22.22-16\approx6.2(\mathrm{m})$。
故平台EF的最大长度约为6.2 m。
【答案】
(1) A、B之间的距离要大于5.0 m；(2) 平台EF的最大长度约为6.2 m。
【知识点】
解直角三角形的应用，坡度坡角，平行线的性质
【点评】
本题结合商场扶梯的实际场景，考查解直角三角形的应用，第一问利用平行线性质和三角函数求解，第二问结合坡度定义和平行四边形判定，需要准确理解相关概念，步骤清晰，难度适中。
【难度系数】
0.6