11.(福建省中考)小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案，如图.其中$△ OAB$与$△ ODC$都是等腰三角形，且它们关于直线$l$对称，点$E,F$分别是底边$AB,CD$的中点，$OE⊥ OF$.下列推断错误的是（）

A.$OB⊥ OD$
B.$∠ BOC=∠ AOB$
C.$OE=OF$
D.$∠ BOC+∠ AOD=180°$

11.B

12.若某等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为$20°$,则该等腰三角形的底角的度数为。

12.$55°$或 $35°$

13.如图,在$△ ABC$中,AB 的垂直平分线 EF交 BC 于点 E,交 AB 于点 F,D 是 CE 的中点,$BE=AC$.
(1)求证:$AD ⊥ BC$;
(2)若$∠ BAC=75°$,求$∠ B$的度数.

13. (1)证明:连接 $AE. \because EF$ 垂直平分 $AB, \therefore AE=BE. \because BE=AC, \therefore AE=AC. \because D$ 是 $CE$ 的中点, $\therefore AD⊥ BC.$
(2)解:设 $∠ B=x.$ 由(1)知 $AE=BE, \therefore ∠ BAE=∠ B=x, \therefore ∠ AEC=∠ B+∠ BAE=2x.$ 由(1)知 $AE=AC, \therefore ∠ C=∠ AEC=2x.$ 在 $△ ABC$ 中, $∠ B+∠ C+∠ BAC=180°, \therefore 3x+75°=180°,$ 解得 $x=35°,$ 即 $∠ B=35°.$

14.【核心素养·创新意识】在$△ ABC$中，$AB=AC$.
(1)如图①，若$∠ BAD=30°$，$AD$是$BC$边上的高，$AD=AE$，则$∠ EDC$的度数为________；
(2)如图②，若$∠ BAD=40°$，$AD$是$BC$边上的高，$AD=AE$，则$∠ EDC$的度数为________；
(3)思考：通过以上两题，你发现$∠ BAD$与$∠ EDC$之间有什么关系？请用式子表示：______；
(4)如图③，$AD=AE$，如果$AD$不是$BC$上的高，上述关系是否成立？请说明理由.

14. (1)$15°$ (2)$20°$ (3)$∠ BAD=2∠ EDC$
(4) 解: $∠ BAD=2∠ EDC$仍成立. 理由如下: $\because AD=AE, \therefore ∠ ADE=∠ AED, \therefore ∠ BAD+∠ B=∠ ADC=∠ ADE+∠ EDC=∠ AED+∠ EDC=∠ EDC+∠ C+∠ EDC=2∠ EDC+∠ C.$ 又 $\because AB=AC, \therefore ∠ B=∠ C, \therefore ∠ BAD=2∠ EDC.$